PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
VẤN ĐỀ 1:TỌA ĐỘ PHẲNG
A.LÝ THUYẾT:
Trong hệ Oxy cho
( )
;u x y=
r
và
( )
' ' '
;u x y=
ur
.Khi đó:
1)
u
r
+
'
u
ur
= (x +x
’
; y + y
’
).
2) k.
u
r
= ( kx ; ky).
3) Tích vô hướng
u

r
.
'
u
ur
=xx
’
+ yy
’
.
4)
2
u
r
=x
2
+y
2
,
2 2
u x y= +
r
5)
( )
2 2
' '
'
2 2 ' '
os u,
.

xx yy
c u
x y x y
+
=
+ +
ur
r

6)
u
r
⊥
'
u
ur

⇔

u
r
.
'
u
ur
=0
⇔
xx
’
+ yy

’
=0.
7)
u
r
và
'
u
ur
cùng phương
⇔
' '
0
x y
x y
=
8)
u
r
=
'
u
ur
⇔
'
'
x x
y y

=



=


9)Cho A( x
A
;y
A
) ; B(x
B
;y
B
) .Khi đó:
a)
( )
;
B A B A
AB x x y y= − −
uuur
b)
( ) ( )
2 2
B A B A
AB x x y y= − + −
uuur
c)
MA kMB=
uuur uuur

⇔
1
1
A B
M
A B
M
x kx
x
k
y ky
y
k
−

=


−

−

=

−

( k
≠
1)
d) M là trung điểm của AB

⇔
2
2
A B
M
A B
M
x x
x
y y
y
+

=



+

=


B.BÀI TẬP.
Nguyễn Quốc Việt – giáo viên THPT Krông Nô 1
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
Bài 1.Cho 3 điểm A(2,3) ;B(-1,4) ;C(1,1). Tìm tọa độ đỉnh D sao cho:
a) ABCD là hình bình hành ĐS: D(4,0)
b) ACBD là hình bình hành ĐS: D(0,6)
c) CABD là hình bình hành ĐS:D(-2,2)
Bài 2. Cho các vectơ

a
r
=(3,7) ;
b
r
=(-3,-1).
a) Tìm góc giữa các cặp vectơ:
a
r
và
b
r
;
a
r
+
b
r
và
a
r
-
b
r
;
a
r
và
a
r

+
b
r
b) Tìm các số m và n sao cho m
a
r
+n
b
r
vuông góc với
a
r
.
c) Tìm vectơ
c
r
sao cho
a
r
.
c
r
=17 và
b
r
.
c
r
= -5 ĐS:
c

r
=(1,2).
Bài 3. Cho A(2,4) ; B(4,3).
Tìm tọa độ điểm C trên Ox sao cho tam giác ABC cân tại C.
Bài 4. Cho
a
r
=( m-1,1) ;
b
r
= ( 6,m-2)
a)Định m để
a
r
và
b
r
cùng phương. ĐS: m=-1, m=4
b)Định m để
a
r
=
b
r
Bài 5Đề 87/Va).
Tìm trên trục hoành điểm P sao cho tổng các khoảng cách từ P tới
các điểm A(1,2) và B(3,4) là nhỏ nhất.
HD:Hai điểm A,B đều nằm phía trên trục x
’
x.Gọi A

’
là điểm đối xứng
với A qua x
’
x .Khi đó PA+PB=PA
’
+PB
≥
A
’
B
Suy ra PA+PB nhỏ nhất khi P, A
’
,B thẳng hàng.
⇔
'
A P
uuur
và
'
A B
uuur
cùng
phương
ĐS: P
5
,0
3
 
 ÷

 
Nguyễn Quốc Việt – giáo viên THPT Krông Nô 2
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
VẤN ĐỀ 2:PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A.LÝ THUYẾT:
1.Phương trình tổng quát của đường thẳng:
a)Vectơ pháp tuyến:Vectơ
n
r
0≠
r
được gọi là vectơ pháp tuyến của
đường thẳng (
∆
) nếu
n
r
nằm trên đường thẳng vuông góc với (
∆
) (nói
tắt
n
r
vuông góc với (
∆
) ).
b) Phưong trình tổng quát của đường thẳng:
Đường thẳng (
∆
) qua M

0
(x
0
;y
0
) và có vectơ pháp tuyến
n
r
=(A;B)
có phương trình dạng:


2.Phương trình tham số của đường thẳng:
a) Vectơ chỉ phương: Vectơ
u
r
0≠
r
được gọi là vectơ chỉ phương của
đường thẳng (
∆
) nếu giá của nó song song hoặc trùng với (
∆
) (nói tắt
u
r
song song hoặc nằm trên (
∆
)).
b) Phương trình tham số của đường thẳng:

Đường thẳng (
∆
) qua M
0
(x
0
;y
0
) và có vectơ chỉ phương
u
r
=(a;b)
có phương trình dạng :

(a
2
+b
2

≠
0)
c)Phương trình chính tắc của đường thẳng:
Đường thẳng (
∆
) qua M
0
(x
0
;y
0

) và có vectơ chỉ phương
u
r
=(a;b) có
phương trình dạng :

d) Phương trình chính tắc của đường thẳng (AB): A(x
A
;y
A
) ,B(x
B
;y
B
)
Nguyễn Quốc Việt – giáo viên THPT Krông Nô 3
A(x – x
0
) + B(y – y
0
) =0
0
0
x x at
y y bt
= +


= +


0 0
x x y y
a b
− −
=
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng


e)Phương trình đoạn chắn:
Đường thẳng (
∆
) đi qua A(a,0) ,B(0,b) có phương trình:

*Chú ý:Nếu đường thẳng có dạng:Ax +By +C =0 thì có vectơ pháp
tuyến
n
r
=(A;B) và vectơ chỉ phương
u
r
=(-B;A).
B.BÀI TẬP:
Bài 1.Cho tam giác ABC với A(4,5), B(-6,-1) , C(1,1).
a) Viết phương trình các đường cao của tam giác.
b) Viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác.
Bài 2. Viết phương trình tham số ,phương trình chính tắc của đường
thẳng có phương trình tổng quát: 3x -2y +11 =0
Bài 3Cho trung điểm ba cạnh của một tam giác là M(3,-2), N(-1,1),
P(5,2).Hãy lập phương trình ba cạnh của một tam giác.
Bài 4.Viết phương trình đường trung trực của các cạnh 1 tam giác, biết

trung điểm của các cạnh là M(-2,1) ,N(3,-4), P(5,2).
ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC.
*Kiến thức cần nhớ:
Cho đường thẳng (d): Ax +By +C =0
- Đường thẳng (d
’
) song song với (d) nên (d
’
): Ax +By +C
’
=0
- Đường thẳng (d
’’
) vuông góc với (d) nên (d
’’
):Bx –Ay+C
’’
=0
Nguyễn Quốc Việt – giáo viên THPT Krông Nô 4
A A
B A B A
x x y y
x x y y
− −
=
− −
ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC.
*Kiến thức cần nhớ:
Cho đường thẳng (d): Ax +By +C =0
Đường thẳng (d

’
) song song với (d) nên (d
’
): Ax +By +C
’
=0
Đường thẳng (d
’’
) vuông góc với (d) nên (d
’’
):Bx –Ay+C
’’
=0
1
x y
a b
+ =
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
Bài 5.Viết phương trình đường thẳng đi qua I(0,3) và vuông góc với
đường thẳng có phương trình: 2x -5y +4 =0.
Bài 6.Viết phương trình đường thẳng qua A(1,-2) và song song với
đường thẳng :4x -3y +5=0.
Bài 7.Cho tam giác ABC, đỉnh A(2;2) và phương trình 2 đường cao kẻ
từ B,C lần lượt có phương trình :9x -3y -4 =0 ; x+y-2=0.
a) Viết phương trình các cạnh của tam giác.
b) Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với AC.
Bài 8. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết đỉnh B(2;5) và
hai đường cao có phương trình:
2x +3y +7=0 và x -11y +3 =0.
Bài 9.Tam giác ABC có phương trình cạnh AB là: 5x -3y +2=0, các

đường cao qua đỉnh A và B lần lượt có phương trình:4x-3y+1=0 và
7x +2y -22=0. Viết phương trình hai cạnh AC, BC và đường cao thứ 3.
Bài 10.Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết B(-4;-5) và
hai đường cao có pt:5x+3y-4=0 và 3x+8y+13=0.
Bài 11.Cho tam giác ABC có cạnh BC:x-y+2=0 và hai đường cao
BH: 2x-7y-6=0 và CH: 7x-2y-1=0 .Viết phương trình hai cạnh còn
lại và đường cao thứ 3.
Bài 12.Cho tam giác ABC có 1 đỉnh (3;0) và phương trình của hai đường
cao là: 2x+2y-9=0 ; 3x -12y -1=0 . Viết phương trình các cạnh của tam
giác đó.
Bài 13 Cho P(3;0) và hai đường thẳng có phương trình:
(d
1
):2x-y-2=0 ; (d
2
): x+y+3=0
Gọi (d) là đường thẳng qua P và cắt (d
1
),(d
2
) tại A,B sao cho
PA=PB.Viết phương trình đường thẳng (d).
Bài 14 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết đỉnh C(4;-1),
đường cao và đường trung tuyến kẻ từ 1 đỉnh có phương trình:
Nguyễn Quốc Việt – giáo viên THPT Krông Nô 5
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
2x -3y +12=0 và 2x+3y=0.
Bài 15 Cho tam giác ABC có A(2;-7) ,đườn BH:3x+y+11=0,
đường trung tuyến CK: x+2y+7=0. Viết phương trình 3 cạnh của tam
giác.

Bài 16.Cho tam giác ABC có A(1;3) ,hai trung tuyến có phương trình:
x -2y +1=0 ; y -1 =0. Viết phương trình 3 cạnh của tam giác.
Bài 17.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác với một cạnh có trung
điểm là M(-1;1) còn hai cạnh kia có phương trình:
x + y – 2 =0 và 2x +6y +3=0
Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C .Viết phương trình cạnh còn lại và đường
trung tuyến qua M.
VẤN ĐỀ 3:HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM
TRÊN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
A.LÝ THUYẾT:
1.Cách xác định hình chiếu H của M trên đường thẳng (d):
-Viết phương trình đường thẳng (d
’
) qua M và vuông góc (d).
- H =(d)
∩
(d
’
).
2.Cách xác định điểm M
’
đối xứng của M qua đường thẳng (d):
- Gọi H là hình chiếu của M lên (d)
- Sử dụng H là trung điểm của MM
’
, suy ra điểm M
’
.
B.BÀI TẬP:
Bài 1.Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của M(-6;4) trên (d):4x -5y +3 =0

Suy ra tọa độ điểm M
’
đối xứng của M qua (d).
Bài 2.Cho 2 điểm A(1;6) , B(-3;-4) .Hãy tìm điểm M trên (d):2x-y-1=0
sao cho MA +MB nhỏ nhất.
ĐS: M(0;-1)
Nguyễn Quốc Việt – giáo viên THPT Krông Nô 6
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
Bài 3.Cho 2 điểm A(4;1), B(0;4) .Tìm trên (d):3x –y -1 =0 một điểm M
sao cho :
MA MB−
lớn nhất.
ĐS: M(2;5).
Bài 4.Cho 2 điểm A(-7;1), B(-5;5). Hãy tìm trên (d):2x –y +5=0 một
điểm M sao cho MA+MB nhỏ nhất.
Bài 5.Cho 2 điểm A(-3;2), B(2;5). Tìm trên trục tung một điểm M sao
cho
MA MB−
lớn nhất.
Bài 6.Cho (d):x –y +2 =0 và O(0;0) , A(2;0).
a)Chứng minh 2 điểm O và A cùng nằm 1 phía đối với (d).
b)Trên (d) tìm điểm M sao cho độ dài đường gấp khúc OMA nhỏ nhất.
VẤN ĐỀ 4:KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM
ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG-GÓC GIỮA HAI
ĐƯỜNG THẲNG-ĐƯỜNG PHÂN GIÁC.
A.LÝ THUYẾT.
1.Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Khoảng cách từ M
0
(x

0
;y
0
) đến đường thẳng (
∆
):Ax +By +C =0 là:

2. Góc giữa hai đường thẳng:

( )
1 1 1 1
: 0A x B y C∆ + + =
;
( )
2 2 2 2
: 0A x B y C∆ + + =
.
Góc
ϕ
giữa 2 đường thẳng đó luôn luôn bằng hoặc bù với góc giữa
hai vectơ pháp tuyến của nó .Do đó:

3.Phương trình đường phân giác:
Nguyễn Quốc Việt – giáo viên THPT Krông Nô 7
( )
0 0
0
2 2
,
Ax By C

d M
A B
+ +
∆ =
+
1 2
1 2 1 2
2 2 2 2
1 2
1 1 2 2
n .
os =
.
.
n
A A B B
c
n n
A B A B
ϕ
+
=
+ +
uur uur
ur uur
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

( )
1 1 1 1
: 0A x B y C∆ + + =

;
( )
2 2 2 2
: 0A x B y C∆ + + =
Điểm M(x;y) nằm trên đường phân giác khi và chỉ khi:

( ) ( )
1 2
, ,d M d M∆ = ∆
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
A x B y C A x B y C
A B A B
+ + + +
⇔ =
+ +
Vậy, đường phân giác có phương trình:

B.BÀI TẬP:
Bài 1.Cho P(2;5), Q(5;1). Lập phương trình đường thẳng qua Q sao cho
khoảng cách từ điểm P đến đường thẳng đó bằng 3.
HD:+Xét x=5 có thỏa hay không?
+(d) qua Q và có hệ số góc k. Sử dụng giả thiết suy ra hệ số góc k.
ĐS: x=5 và 7x +24y -134=0.
Bài 2. Tính diện tích tam giác ABC có A(1;2), B(-2;6), C(4;2)
ĐS: S=6(đvdt).
Bài 3. Cho tam giác ABC có diện tích S=
3
2

, hai đỉnh A(3;-2), B(2;-3).
Trọng tâm G của tam giác thuộc (d): 3x –y -8=0.Tìm tọa độ C.
HD: Viết pt cạnh AB và tính AB.
G
∈
(d): 3x
G
– y
G
-8 =0 (1)
S=
1 2 3
. .
2
2
S
h AB h
AB
⇔ = =
Theo Tales:
5
2
( , )
3 2
2
G G
x y
h
d G AB
+ −

= ⇔ =
(2)
Từ (1) và (2) giải hệ tìm G .Suy ra tọa độ C.
ĐS:(1;-1) ,(-2;-10).
Nguyễn Quốc Việt – giáo viên THPT Krông Nô 8
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
A x B y C A x B y C
A B A B
+ + + +
= ±
+ +
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
Bài 4.Cho hai đỉnh đối diện A(-1;3), C(6;2) của một hình vuông. Hãy
viết phương trình các cạnh còn lại của hình vuông đó.
ĐS: AB:
3 15
0
4 4
x y− + =
; AD:
4 5
0
3 3
x y− − + =
Bài 5. Cho hai đường thẳng : (d
1
):2x –y -2 =0 ; (d
2

): 2x +4y -7 =0.
a) Viết phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi (d
1
) và (d
2
).
b) Viết phương trình đường thẳng qua P(3;1) cùng với (d
1
), (d
2
) tạo
thành một tam giác cân có đỉnh là giao của (d
1
) và (d
2
).
HD:b) Có hai đường thẳng qua P lần lượt // với hai đường phân giác đã
tìm được ở câu a).
Bài 6. Cho một hình chữ nhật có phương trình hai cạnh: 2x -3y +5 =0;
3x +2y -7=0 và 1 đỉnh A(2;-3). Tính diện tích hình chữ nhật.
Bài 7. Tìm các điểm M trên trục Ox sao cho M cách đều hai đường
thẳng: (d
1
): x – 2y +3 =0 ; (d
2
) :2x +y -1 =0.
Bài 8. Cho A(2;2) , B(5;1). Tìm điểm C trên đường thẳng (d):x-2y+8=0
sao cho diện tích tam giác ABC bằng 1.
HD:Viết pt cạnh AB. Tính AB.
CH =d(C,AB) =

3 8
3 8 1
10
C C
C C
x y
x y
+ −
⇔ + − =
(1)
C
∈
(d) (2) .Từ (1) và (2) ta tìm được tọa độ C.
Bài 9. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC, với B(2;1), đường
cao và phân giác trong lần lượt có phương trình:
3x -4y +27 =0 và x + 2y -5 =0.
Bài 10.Cho cho tam giác ABC cân tại A có (BC): 3x –y +5=0,
(AB):x+2y-1=0. Viết phương trình cạnh AC đi qua M (1;-5).
Bài 11.Cho N(2;-1).Viết phương trình các cạnh tam giác MNP biết
đường cao hạ từ M có pt: 3x -4y +27=0, đường phân giác trong hạ từ P
có pt: x+ 2y -5=0.
Nguyễn Quốc Việt – giáo viên THPT Krông Nô 9
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
Bài 12. Cho tam giác ABC cân tại A, (BC):2x -3y+5=0;
(AB):x+y+1=0.Viết phương trình cạnh AC qua D(-1;1).
Bài 13.Cho tam giác ABC có B(-4;0), đường cao (AH):-4x +3y +2=0 ;
trung tuyến (CM): 4x +y +3 =0 .Tính diện tích tam giác ABC.
HD:+)Viết pt cạnh BC , tìm tọa độ đỉnh C .
+) Tìm tọa độ đỉnh A:
,

2 2
A B A B
M M
A AH
M CM
x x y y
x y


∈

∈


+ +

= =

Bài 14.(ĐH Huế-01)
Cho tam giác ABC, biết C(4;3), phân giác trong (AD):x +2y -5=0
,trung tuyến (AE): 4x +13y -10=0. Viết phương trình 3 cạnh của tam
giác đó.
Bài 15. Cho tam giác vuông cân có phương trình cạnh huyền là:
3x –y+5=0 và đỉnh góc vuông A(4;-1).
a)Viết phương trình hai cạnh góc vuông.
b)Tìm tọa độ hai đỉnh B,C.
Bài 16
*
. Cho tam giác ABC có A
4 7

;
5 5
 
 ÷
 
.Hai phân giác trong :
(BB
1
): x -2y +1 =0 ; (CC
1
): x +3y -1 =0.
Viết phương trình các cạnh của tam giác đó.
Bài 17(ĐH Khối B-2004).
Cho A(-2;1), B(4;-2).Trong mpOxy tìm điểm C trên đường thẳng :
2x –y -6 =0 sao cho diện tích tam giác ABC bằng 15.
Bài 18. Cho A(0;-1), B(4;1), C(1;2) .Viết phương trình đường thẳng
( )
∆
qua A sao cho khoảng cách từ B đến
( )
∆
bằng hai lần khoảng từ C đến
( )
∆
.
Nguyễn Quốc Việt – giáo viên THPT Krông Nô 10
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
Bài 19(ĐH Khối A-2006).
Trong mp(Oxy) cho các đường thẳng:
(d

1
): x+y+3=0; (d
2
): x-y-4=0 ; (d
3
): x -2y =0.
Tìm tọa độ điểm M nằm trên (d
3
) sao cho khoảng cách từ M đến (d
1
)
bằng 2 lần khoảng cách từ M đến (d
2
).
ĐS:M
1
(-22;-11) , M
2
(2;1).
Bài 20.Cho (d): 2x -2y +1 =0 và 2 điểm A(0;4), B(3;0).Viết phương
trình hai đường thẳng lần lượt qua A,B và nhận (d) làm phân giác.
HD:A, B ở về hai phía của (d).
Gọi A
’
, B
’
lần lượt là 2 điểm đối xứng của A, B qua (d).
Phương trình AB
’
và A

’
B là 2 đường thẳng cần tìm.
Bài 21.Cho 2 đường thẳng :(d
1
):3x +y - 4=0 ; (d
2
):2x +6y+3=0.
Viết phương trình đường phân giác của góc tù tạo bởi (d
1
),(d
2
).
Bài 22.Cho (d
1
): x +3y -6=0 ; (d
2
): 3x +y +2=0.
Viết phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi (d
1
),(d
2
).
Bài 23.Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh là:
AB: x –y +4 =0; AC:7x +y -12=0; BC: 3x +5y +4 =0.
a) Viết phương trình đường phân giác trong của góc A.
b) Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 24.Cho A(-1;2), B(3;4). Tìm điểm C nằm trên (d):x -2y +1=0 sao
cho tam giác ABC vuông tại C.
ĐS: C(3;2), C
3 4

;
5 5
 
 ÷
 
Bài 25(ĐH Huế).
Viết phương trình các đường thẳng song song với (d): 3x -4y +1 =0
và có khoảng cách đến (d) bằng 1.
Nguyễn Quốc Việt – giáo viên THPT Krông Nô 11
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
VẤN ĐỀ 5: ĐƯỜNG THẲNG ĐỐI XỨNG
A. LÝ THUYẾT:
1.Cách viết phương trình (d
’
) đối xứng với (d) qua đt (l):
a.Trường hợp (d) cắt (l) tại I:
-Lấy 1 điểm A trên (d) .Xác định tọa độ B đối xứng với A qua (d).
-Viết pt đt (d
’
) qua I và B.
b. Trường hợp (d)//(l):
- Viết pt (d)và (l) ở dạng : (d):y=kx+m ; (l):y =kx +n.
- (d
’
)//(d) nên (d
’
):y=kx +p với p được tính bởi :
2
m p
n

+
=
2. Cách viết phương trình đt (d
’
) đối xứng với (d) qua I (a;b):
- Lấy M(x;y) thuộc đt (d). Gọi M
’
là điểm đối xứng M qua I .
- Đường thẳng (d
’
) qua M
’
và song song với (d).
B. BÀI TẬP.
Bài 1.Cho (d) :x -2y +2 =0 . Viết phương trình (d
’
) đối xứng với (d) qua
đường thẳng (l): x –y +1 =0.
ĐS: 2x –y +1 =0.
Bài 2.Viết phương trình đt (d
’
) đối xứng với (d): 2x +3y -6 =0 qua I(1;2).
ĐS: 2x +3y -10 =0.
Bài 3. Cho A(3;1) và (d) :
2
3 2
x t
y t
= +



= −

a) Tính khoảng cách từ A đến (d).
b) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua (d).
c) Viết phương trình (d
’
) đối xứng với (d) qua A.
Bài 4. Cho (d
1
):2x -3y +1=0 ; (d
2
): x -2y +3 =0.
Nguyễn Quốc Việt – giáo viên THPT Krông Nô 12
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Viết phương trình (d
3
) đối xứng của (d
1
) qua (d
2
).
VẤN ĐỀ 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI
ĐƯỜNG THẲNG –CHÙM ĐƯỜNG THẲNG.
A LÝ THUYẾT:
1.Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Trong hệ Oxy cho 2 đường thẳng: (d
1
):A

1
x + B
1
y +C
1
=0
(d
2
): A
2
x +B
2
y +C
2
=0.
a) (d
1
) cắt (d
2
)
⇔
D
≠
0
b) (d
1
)//(d
2
)
⇔

D =0 , D
x

≠
0 hoặc D
y

≠
0.
c) (d
1
)
≡
(d
2
)
⇔
D=D
x
=D
y
=0.
2. Chùm đường thẳng:
(d
1
):A
1
x + B
1
y +C

1
=0 ; (d
2
): A
2
x +B
2
y +C
2
=0. cắt nhau tại S.
Đường thẳng (d) qua S thuộc chùm đường thẳng giữa (d
1
) và (d
2
) có
phương trình dạng:

( ) ( )
1 1 1 2 2 2
0A x B y C A x B y C
α β
+ + + + + =

( )
2 2
0
α β
+ >
B.BÀI TẬP.
Bài 1. Với giá trị nào của a ,b thì các đường thẳng :(d

1
):ax -2y -1 =0 và
(d
2
):6x -4y –b =0.
a) Cắt nhau b) Song song
c) Trùng nhau d) Vuông góc.
Bài 2.Xác định a để các đường thẳng sau đồng quy:
2x –y +3=0 ; x +y +3 =0 ; ax +y -3 =0.
Bài 3(ĐH Cần Thơ). Tam giác ABC có A(1;-3).
Nguyễn Quốc Việt – giáo viên THPT Krông Nô 13
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
a) Viết pt đường cao AL, biết 2 đường cao BH:5x +3y -25 =0 ;
CK:3x +8y -12=0.
b) Viết phương trình đường thẳng BC nếu biết đường trung trực của
cạnh BC có pt: 3x +2y -4=0 và tọa độ trọng tâm G(4;-2) của tam giác.
VẤN ĐỀ 6: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG
LUÔN TIẾP XÚC MỘT ĐƯỜNG TRÒN CỐ
ĐỊNH.
A.LÝ THUYẾT.
Bài toán:Cho đường thẳng
( )
∆
có chứa tham số m. Chứng minh rằng
( )
∆
luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Giải: Gọi đường tròn (C) có tâm I(a;b) , bán kính R.
Điều kiện để (d) tiếp xúc với (C) là:
( )

,d I R∆ =
,
m
∀
.
B.BÀI TẬP.
Bài 1.Cho
( )
∆
: (m
2
-1)x -2my +4m +2=0
Chứng minh rằng
( )
∆
luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Bài 2. Cho
( )
∆
:xcost –ysint -3cost +5sint -2=0.
Chứng minh rằng
( )
∆
luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Bài 3.(Đề 19Va). Cho
( )
∆
:xcost +ysint +2cost +1=0.
Chứng minh rằng
( )

∆
luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định
Bài 4. Cho
( )
∆
:xcos2t +ysin2t +4cos
2
t -5=0.
Chứng minh rằng
( )
∆
luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định
Bài 5. Cho (d
m
): (m-2)x +(m-1)y +2m-1=0.
CMR:khi m thay đổi, (d
m
) luôn đi qua 1 điểm cố định.
Nguyễn Quốc Việt – giáo viên THPT Krông Nô 14
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
Bài 6. Cho 2 đường thẳng:(d
1
):kx +y-3=0 ; (d
2
):2x+(k+1)y-k-5=0
a) Biện luận theo k vị trí tương đối của hai đường thẳng trên.
b)Khi 2 đường thẳng cắt nhau, giao điểm của 2 đường thẳng (d
1
),(d
2

)
nằm trên đường thẳng nào.
VẤN ĐỀ 7:PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
A.LÝ THUYẾT.
Đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R có phương trình dạng:
(x-a)
2
+(y-b)
2
= R
2
.
Định lí: Phương trình: x
2
+y
2
-2ax-2ay+c=0 (với đk:a
2
+b
2
-c>0) là
phương trình của đường tròn có tâm I(a;b),bán kính R
2 2
a b c+ −
.
B.BÀI TẬP.
Bài 1.Viết phương trình đường tròn qua A(-1;3), B(1;-5) và có tâm ở
trên trục tung.
Bài 2.Viết phương trình đường tròn qua 3 điểm A(0;6), B(4;0), C(3;0).
Bài 3(ĐH Y Dược TPHCM)

Trong mp(Oxy) cho đường tròn (C
m
):x
2
+y
2
-2mx-2(1-m)y+2m
2
-2m-3=0
Tìm quỹ tích của tâm đường tròn (C
m
).
Bài 4.Cho (C
m
):x
2
+y
2
+2mx-2(m-1)y+1=0
a) Xác định m để (C
m
) là đường tròn. Tìm quỹ tích tâm I của (C
m
).
b)Viết phương trình đường tròn ,bán kính
2 3
.
c) Tính bán kính của đường tròn, biết nó tiếp xúc với
( )
∆

:3x-4y=0.
Bài 5.Viết phương trình đường tròn tâm I(3;0) và tiếp xúc với
( )
∆
:
3x-4y+16=0
Nguyễn Quốc Việt – giáo viên THPT Krông Nô 15
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
ĐS: (x-3)
2
+y
2
=25.
Bài 6.Viết phương trình đường tròn qua A(-1;1), B(1;-3) và có tâm nằm
trên (d): 2x +3y=0
ĐS: (x-3)
2
+(y-2)
2
=25.
Bài 7. Viết phương trình đường tròn qua A(-1;3) và tiếp xúc với đường
thẳng (d):4x +3y -30=0 tại B(6;2).
ĐS: (x-2)
2
+(y +1)
2
=25.
Bài 8.Viết phương trình đường tròn qua A(5;3) và tiếp xúc với đường
thẳng (d):x +3y +2 =0 tại một điểm B(1;-1).
Bài 9.Viết phương trình đường tròn qua A(1;2), B(3;4) và tiếp xúc với

đường thẳng (d):3x +y-3=0
ĐS: x
2
+y
2
-8x-2y+7=0 ; x
2
+y
2
-3x-7y+12=0.
Bài 10.Viết phương trình đường tròn tiếp xúc 2 đường thẳng (d
1
):
3x-y+3=0 và (d
2
): x-3y +9=0 và có tâm ở trên đt (d
3
):2x-y=0.
ĐS:(x-1)
2
+(y-2)
2
=
8
5
; (x-3)
2
+(y-6)
2
=

18
5
Bài 11. Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với hai trục tọa độ và
có tâm nằm trên đường thẳng (d): 2x –y -3 =0.
VẤN ĐỀ 8 : TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
A.LÝ THUYẾT:
Cho đường tròn (C): (x-a)
2
+(y-b)
2
= R
2
.
1.Tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm M
0
(x
0
;y
0
)
∈
(C):
Tiếp tuyến
( )
∆
của (C) qua M
0
và nhận
0
IM

uuuur
làm vectơ pháp tuyến
2.Tiếp tuyến của (C) kẻ từ một điểm M(x
0
;y
0
):
Phương pháp:+)Kiểm tra x =x
0
có phải là tiếp tuyến của (C) không?
+)Đường thẳng
( )
∆
qua M và có hệ số góc k có dạng:
y = k(x-x
0
) +y
0.

( )
∆
là tiếp tuyến của (C)
( )
,d I R⇔ ∆ =
, suy ra k.
Nguyễn Quốc Việt – giáo viên THPT Krông Nô 16
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
B.BÀI TẬP.
Bài 1.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C):(x-3)
2

+(y+4)
2
=50
tại A(-2;1).
ĐS: x –y + 3=0.
Bài 2.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C):x
2
+y
2
+2x-4y-4=0,
biết rằng tiếp tuyến đi qua A(2;5).
ĐS: x=2 ; y=5.
Bài 3.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C):x
2
+(y-1)
2
=25, biết
tiếp tuyến song song với đường thẳng (d):3x -4y =0.
ĐS: 3x-4y-21=0 và 3x-4y+29=0.
Bài 4.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C):x
2
+y
2
-4x+8y-5=0,
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): x +2y =0.
Bài 5.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C):x
2
+y
2
-2x-6y+6=0,

biết tiếp tuyến có hệ số góc k =-1.
ĐS: y= -x +4 +
2 2
và y = -x +4-
2 2
.
Bài 6(ĐH Y Dược).
Trong hệ Oxy cho họ đường tròn (C
m
):x
2
+y
2
-2mx-2(1-m)y+2m
2
-2m-3=0
a)Tìm quỹ tích tâm của đường tròn (C
m
).
b) Cho m=2 và điểm A(0;3).Viết phương trình tiếp tuyến của (C
2
)
kẻ từ A.
Bài 7. Trong hệ Oxy cho (C
m
):x
2
+y
2
-(m-2)x+2my-1=0.

a)Tìm quỹ tích tâm của họ (C
m
).
b)CMR:Khi m thay đổi họ (C
m
) luôn qua điểm cố định.
CÁC BÀI TOÁN TRONG BỘ ĐỀ THI TUYỂN SINH
Bài 1(Đề 3/Va).
Cho tam giác ABC đỉnh A(2;2).
a) Lập phương trình các cạnh của tam giác, biết rằng các đường cao kẻ
từ B,C lần lượt có pt:9x -3y -4 =0 ; x +y -2 =0.
b) Lập phương trình đường thẳng đi qua A và tạo với đường thẳng AC
một góc bằng
4
π
.
ĐS:a)AC: x +3y -8=0 ; AB:x –y =0; BC: 7x +5y -8 =0
b) x -2y +2 =0 ; 2x +y -6 =0.
Bài 2(Đề 14/Va).
Nguyễn Quốc Việt – giáo viên THPT Krông Nô 17
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
Viết phương trình các đường trung trực của tam giác ABC, biết trung
điểm của các cạnh là M(-1;-1), N(1;9), P(9;1).
Bài 3(Đề 32/Va).
Trên mặt phẳng tọa độ cho tam giác với một cạnh có trung điểm là
M(-1;1), còn hai cạnh kia có phương trình là x +y -2 =0 và 2x +6y +3 =0
Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác.
ĐS: A
15 7
;

4 4
 
−
 ÷
 
, B
1 7
;
4 4
 
 ÷
 
, C
9 1
;
4 4
 
−
 ÷
 
Bài 4(Đề 57/Va).
Cho P(3;0) và hai đường thẳng có phương trình:
(d
1
):2x-y-2=0 ; (d
2
): x+y+3=0
Gọi (d) là đường thẳng qua P và cắt (d
1
),(d

2
) tại A,B sao cho
PA=PB.Viết phương trình đường thẳng (d).
ĐS: (d): 8x –y -24 =0.
Bài 5(Đề 72/Va).
Cho biết trung điểm 3 cạnh của tam giác là M
1
(2;1), M
2
(5;3), M
3
(3;-4)
Hãy lập phương trình ba cạnh của tam giác đó.
ĐS:BC: 2x -3y -18=0 ; AB :7x -2y -12=0; AC:5x +y -28=0
Bài 6(Đề 85/Va)
Cho tam giác ABC có A(1;3) ,hai trung tuyến có phương trình:
x -2y +1=0 ; y -1 =0. Viết phương trình 3 cạnh của tam giác
ĐS: BC: x -4y -1=0; AB: x –y +2=0; AC: x +2y -7=0.
Bài 7(Đề 89/Va)
Tam giác ABC có phương trình các cạnh AB: 5x -3y +2 =0, các
đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là 4x -3y+1=0, 7x+2y-22=0.Lập
phương trình hai cạnh AC,BC và đường cao thứ ba.
ĐS: BC:3x +4y -22=0; AC: 2x -7y -5=0.
Bài 8(Đề 98/Va).
Cho hình vuông có một đỉnh A(-4;5) và một đường chéo đặt trên
đường thẳng 7x –y +8 =0.Lập phương trình các cạnh và đường chéo thứ
hai của hình vuông đó.
Bài 9(Đề 17/Va).
Cho hai đường thẳng (d
1

), (d
2
) có phương trình tham số:
(d
1
):
2
3
x t
y t
= −


= −

(d
2
):
1
1
1 3
3 6
x t
y t
= +


= +

a) Xác định giao điểm của (d

1
) và (d
2
).
b) Tính cosin góc nhọn tạo bởi (d
1
), (d
2
).
Nguyễn Quốc Việt – giáo viên THPT Krông Nô 18
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
ĐS:a) I(-2;3) b) cos
ϕ
=
8
65
Bài 10(Đề 56/Va)
Lập phương trình đường thẳng qua điểm P(2;-1) sao cho đường
thẳng đó cùng với hai đường thẳng
(d
1
) : 2x –y +5 =0 , (d
2
): 3x +6y -1 =0
tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao của hai đường thẳng (d
1
),(d
2
).
ĐS: 9x +3y -15 =0 hay 3x -9y -15 =0.

Bài 11(Đề 71/Va).
Lập phương trình đường thẳng qua điểm A(2;1) và tạo với đường
thẳng 2x +3y +4 =0 một góc 45
0
.
ĐS: 5x +y -11=0 ; x – 5y +3 =0
Bài 12(Đề 84/Va)
Lập phương trình các cạnh tam giác ABC nếu B(2;-1), đường cao và
phân giác trong qua hai đỉnh A,C lần lượt là
3x – 4y + 27 =0 ; x + 2y -5 =0
ĐS: BC: 4x +3y -5 =0 ; AC: y =3 ; AB: 4x +7y -1 =0
Bài 13(Đề 136/IVa)
Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) có phương trình:
(d
1
): kx – y +k =0 ; (d
2
): (1 – k
2
)x + 2ky – (1+k
2
) =0.
a) Chứng minh rằng khi k thay đổi , đường thẳng (d
1
) luôn đi qua một
điểm cố định.

b) Với mỗi giá trị k , hãy xác định giao điểm của (d
1
) và (d
2
).
c) Khử k để tìm hệ thức giữa tọa độ x, y của giao điểm.
Bài 14(Đề 1/Va).
Cho hai đường tròn:
(C
1
): x
2
+ y
2

- 6x +5 =0
(C
2
): x
2
+ y
2
– 12x -6y +44 =0
Xác định phương trình các đường thẳng tiếp xúc với cả (C
1
),(C
2
).
HD:- TH1: Gọi (
∆

) :y =kx +c
(
∆
) tiếp xúc với (C
1
), (C
2
)
⇔
( )
1 1
2 2
( , )
,
d I R
d I R
∆ =



∆ =


.Suy ra k, c
-TH2:(
∆
): x =c , làm tương tự
Bài 15(Đề 11/Va)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho họ đường tròn (C
m

) có phương trình:
(C
m
): x
2
+ y
2
– (m – 2)x +2my – 1 =0.
a) Tìm tập hợp quỹ tích tâm I các đường tròn (C
m
).
b) Chứng tỏ rằng khi m thay đổi, các đường tròn (C
m
) đều đi qua điểm
cố định
Nguyễn Quốc Việt – giáo viên THPT Krông Nô 19
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
c) Cho m = -2 và A(0;-1). Viết phương trình các tiếp tuyến của đường
tròn (C
-2
) kẻ từ A.
ĐS: a) Qũy tích tâm I là đường thẳng : 2x + y + 2 =0
b) Điểm cố định A(-2;-1) , B
2 1
;
5 5
 
 ÷
 
.

c) có 2 tiếp tuyến: y + 1 =0 và 12x – 5y – 5 =0.
Bài 16(Đề 16/IVa).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 đường thẳng :
(d
1
): 3x + 4y -6 =0 ; (d
2
): 4x +3y -1 =0 ; (d
3
): y =0
Gọi (d
1
)
∩
(d
2
) =
{ }
A
, (d
2
)
∩
(d
3
)=
{ }
B
, (d
3

)
∩
(d
1
)=
{ }
C
.
a) Viết phương trình đường phân giác trong của góc A của tam giác
ABC và tính diện tích tam giác đó.
b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác.
HD:a) -Vẽ hình
- Viết 2 pt đường phân giác của góc A .Từ hình vẽ suy ra đường
phân giác trong của góc A phải có hệ số góc k<0.
b) A nằm phía trên trục x
’
x, B,C thuộc trục x
’
x. Do đó tâm I của
đường tròn nội tiếp tam giác ABC phải nằm phía trên x
’
x (tức là y
I
>0) và
I cách đều (d
1
),(d
2
),(d
3

).
Suy ra :
2 3
0
( )
( , ) ( , )
I
y
I
d I d d I d r
>


∈ ∆


= =

( (
∆
) là phân giác trong của góc A)
Suy ra I
1 1
;
2 2
 
 ÷
 
, r =
1

2
.
Bài 17(Đề 28/Va).
Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(1;-2) và các giao điểm
của đường thẳng x – 7y + 10 =0 với đường tròn có phương trình
x
2
+ y
2
– 2x + 4y – 20 =0.
ĐS: x
2
+ y
2
– x – 3y – 10 =0.
Bài 18(Đề 82/Va).
Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
=1 .Đường tròn (C) cắt trục tung tại
A(0;1) và B(0;-1). Đường thẳng y = m (-1<m<1 ; m
≠
0) cắt (C) tại T và
S. Đường thẳng qua A,T cắt đường thẳng qua B,S tại P. Tìm tập hợp các
điểm P khi m thay đổi.
HD:Gọi S(x
0
;y
0

) là giao điểm của (C) và y =m Suy ra tạo độ của T và S
theo m Tìm tọa độ giao điểm P của 2 đường thẳng AT và BS theo m, khử
m để có phương trình quĩ tích của P.
ĐS:Qũi tích P là : x
2
– y
2
= - 1.
Nguyễn Quốc Việt – giáo viên THPT Krông Nô 20
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
CÁC BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC.
Bài 1(ĐHBK Hà Nội)
Phương trình của hai cạnh của một tam giác trong mặt phẳng tọa độ
là 5x – 2y + 6=0 ; 4x + 7y – 21 =0 . Viết phương trình của cạnh thứ ba
của tam giác ấy, biết trực tâm của tam giác trùng với gốc tọa độ.
HD:-Tìm tọa độ điểm A . ĐS A(0;3)
-Do gốc O(0;0) là trực tâm tam giác nên đường cao BB
’
qua O và
vuông góc với AC.Suy ra pt đường cao BB
’
.
- Tọa độ B là nghiệm của hệ :
'
( )
( )
pt AB
pt BB




Suy ra B(-4;-7)
- Ta biết A(0;3), trực tâm O(0;0) nên đường cao AA
’

⊥
Ox và AA
’
⊥
BC .Suy ra BC //Ox .
- Ta biết B(-4;-7), suy ra BC: y = -7.
Bài 2(CĐ SP-TPHCM)
Tam giác ABC có phương trình cạnh AB là 5x – 3y + 2 =0. Các
đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là 4x – 3y + 1 =0 ; 7x + 2y – 22 =0.
Lập phương trình hai cạnh CA, CB và đường cao thứ ba.
ĐS: BC: 3x +4y -22 =0 ; CA: 2x – 7y – 5 =0 ; CC
’
: 3x + 5y – 23 =0.
Bài 3(ĐH Hàng Hải TPHCM).
Lập phương trình các cạnh của tam giác MNP biết N(2;-1). Đường
cao hạ từ M xuống NP có phương trình là 3x – 4y + 27 =0. Đường phân
giác trong hạ từ đỉnh P có phương trình: x + 2y – 5 =0.
ĐS:NP: 4x +3y – 5 =0 ; PM: y=3 ; MN: 4x +7y -1 =0.
Bài 4(ĐH Tài Chính –Hà Nội)
Cho tam giác ABC có M(-2;2) là trung điểm cạnh BC.
Cạnh AB: x – 2y – 2 =0 ; cạnh AC: 2x + 5y + 3 =0.
Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác.
ĐS: A
4 7
;

9 9
 
−
 ÷
 
; B
40 11
;
9 9
 
 ÷
 
; C
76 25
;
9 9
 
−
 ÷
 
.
Bài 5(ĐH Y Dược TPHCM)
Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC . Cạnh BC có trung điểm
M(0;4), còn hai cạnh kia có phương trình là :
2x + y – 11 =0 và x + 4y – 2 =0.
a) Xác định tọa độ đỉnh A.
b) Gọi C là đỉnh nằm trên đường thẳng x + 4y – 2 =0. N là trung điểm
AC. Xác định tọa độ điểm N, rồi tính tọa độ đỉnh B,C của tam giác.
Nguyễn Quốc Việt – giáo viên THPT Krông Nô 21
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Bài 6(ĐHQGTPHCM)
Cho đường thẳng (d): 2x + y – 4 =0 và hai điểm M(3;3); N(-5;19) trên
mặt phẳng tọa độ. Hạ MK
⊥
(d) và gọi P là điểm đối xứng của M qua (d).
a) Tìm tọa độ của K và P.
b) Tìm điểm A trên (d) sao cho AM + AN nhỏ nhất và tính tính giá trị
nhỏ nhất đó.
Bài 7(ĐH Cần Thơ)
Cho tam giác ABC có diện tích S=
3
2
, hai đỉnh A(2; -3); B(3;-2) và
trọng tâm G của tam giác thuộc đường thẳng 3x – y – 8 =0. Tìm tọa độ
đỉnh C.
ĐS: C(1;-1) ,C(4;-10).
Bài 8(ĐHTH TPHCM).
Cho 2 đường thẳng:(d
1
):kx –y +k= 0 ;(d
2
): (1-k
2
)x +2ky –(1+k
2
)=0
a)CMR: Khi k thay đổi ,(d
1
) luôn đi qua 1 điểm cố định.
b) Tìm giao điểm của (d

1
) và (d
2
).
c) Tìm tập hợp quĩ tích các giao điểm của (d
1
) và (d
2
) khi k thay đổi.
ĐS: a) A(-1;0) b) M
2
2 2
1 2
;
1 1
k k
k k
 
−
 ÷
+ +
 
c) Qũi tích :x
2
+ y
2
=1
Bài 9(ĐH Kinh Tế)
Trong mp Oxy cho tam giác ABC có trọng G(-2;-1) và các cạnh :
AB: 4x + y + 15 =0 ; AC: 2x + 5y + 3 =0

a) Tìm tọa độ đỉnh A và trung điểm M của BC.
b) Tìm tọa độ đỉnh B, C và viết phương trình BC.
HD: a) -Tìm tọa độ đỉnh A
-Gọi M trung điểm BC .Ta có
2AG GM=
uuur uuuur
Suy ra M(-1;-2)
b) B (-3;-3); C(1;-1) ; BC: x – 2y – 3 =0.
Bài 10(ĐH Cần Thơ).
Trong mp Oxy cho tam giác ABC có A(-1;-3).
a) Cho biết 2 đường cao:
BH: 5x + 3y – 25 =0 ; CK: 3x + 8y – 12 =0.
Hãy xác định tọa độ các đỉnh B,C.
b)Xác định tọa độ B và C nếu biết đường trung trực của AB:3x +2y -4=0
và G(4;-2) là trọng tâm của tam giác ABC.
HD:b)- Viết pt AB qua A và vuông góc trung trực của AB.
- Gọi I là giao điểm AB và trung trực đoạn AB.
- Sử dụng I là trung điểm suy ra B.
Nguyễn Quốc Việt – giáo viên THPT Krông Nô 22
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
- Sử dụng G là trọng tâm suy ra C.
ĐS: a) B(2;5) ; C(4;0)
b) B(5;1) ; C(8;-4)
Bài 11(ĐH Đà Lạt)
Trong mp Oxy cho 2 đường thẳng có phương trình:
(d
1
):(a+1)x – 2y = a +1 ; (d
2
): x +(a-1)y = a

2
a) Xác định giao điểm của (d
1
) và (d
2
).
b)Tìm điều kiện của a để giao điểm ấy nằm trên đường thẳng đi qua 2
điểm M(0;a) và N(a;0).
ĐS: a=1 hoặc a=
1
2
.
Bài 12(ĐH Kiến Trúc)
Trong mp Oxy cho 2 hai đường thẳng:
(d
1
): 3x + 4y +5 =0 và (d
2
): 4x – 3y – 5 =0
Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng (d):
x – 6y – 10 =0 và tiếp xúc với (d
1
) và (d
2
).
ĐS: (x-10)
2
+ y
2
= 49 và

2 2
10 70 49
43 43 1849
x y
   
− + + =
 ÷  ÷
   
Bài 13(ĐH Nông Nghiệp I)
Trong mp Oxy cho 3 điểm: A(3;1), B(0;7), C(5;2).
a) Chứng minh tam giác ABC vuông , tính diện tích của nó.
b) Gỉa sử M là điểm chạy trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác
ABC. Chứng minh rằng khi đó trọng tâm G của tam giác MBC chạy trên
một đường tròn, viết phương trình của đường tròn đó.
HD:b)Gọi I là trung điểm của BC.Vì tam giác vuông tại A nên I là tâm
của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Suy ra I, R=IA.
G là trọng tâm của MBC nên:IG=
1 1 5 2
3 3 6
IM R= =
Suy ra G trên đường tròn tâm I và bán kính IG.
Bài 14(ĐH Khối A-02)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy,xét tam giác
ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC:
3 3 0x y− − =
, các
đỉnh B và A thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2.Tìm
tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài 15(ĐH Khối A-04)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy cho 2 điểm

A(0;2) và B(-
3; 1)−
.Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ tâm đường tròn ngoại
tiếp của tam giác OAB.
ĐS: H(
3; 1)−
; I(
3;1)−
.
Bài 16(ĐH Khối A-05)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy
cho hai đường thẳng :
Nguyễn Quốc Việt – giáo viên THPT Krông Nô 23
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
d
1
: x – y =0 và d
2
: 2x + y – 1 =0
Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc
d
1
, đỉnh C thuộc d
2
và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.
ĐS: A(1;1) , B(2;0) , C(1;-1) ,D(0;0).
Bài 17(ĐH Khối B-02)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy cho hình chữ
nhật ABCD có tâm I
1

;0
2
 
 ÷
 
, phương trình đường thẳng AB:x – 2y +2 = 0
và AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D biết rằng đỉnh A có hoành
độ âm.
Bài 18(ĐH Khối B-03)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy cho tam giác
ABC có AB=AC,
·
0
90BAC =
. Biết M(1;-1) là trung điểm cạnh BC và G
2
;0
3
 
 ÷
 
là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C.
HD: G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm BC suy ra
3MA MG=
uuur uuuur
suy ra A(0;2)
Viết pt cạnh BC qua M và vuông góc với MA.
Ta có MB=MC=MA=
10
nên tọa độ đỉnh B,C là giao của BC và

mặt cầu tâm M bán kính MA. Suy ra B(4;0), C(-2;-2).
Bài 19(ĐH Khối B-04)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 2 điểm A(1;1), B(4;-3). Tìm
điểm C thuộc đường thẳng x – 2y – 1 =0 sao cho khoảng cách từ C đến
đường thẳng AB bằng 6.
ĐS:C
1
( 7;3) , C
2
43 27
;
11 11
 
− −
 ÷
 
Bài 20(ĐH Khối B-05)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(2;0) và B(6;4).
Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và
khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5.
HD: Gọi I(a;b), R là tâm và bán kính đường tròn (C)
(C) tiếp xúc Ox tại A(2;0) nên suy ra a =2 và R =
b
IB = 5 Suy ra b = 1; b= 7 . Suy ra (C).

Bài 21(ĐH Khối D-03)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy cho đường tròn
(C): (x-1)
2

+ (y-2)
2
= 4 và đường thẳng d : x – y – 1 =0.
Viết phương trình đường tròn (C
’
) đối xứng với đường tròn (C) qua
đường thẳng d.
Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C
’
).
ĐS: (C
’
): (x-3)
2
+ y
2
=4.
Tọa độ các giao điểm : (1;0) và (3;2).
Nguyễn Quốc Việt – giáo viên THPT Krông Nô 24
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
Bài 22(ĐH Khối D-04)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh
A(-1;0); B(4;0);C(0;m) với m
0≠
.Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác
ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G.
ĐS: G
1;
3
m

 
 ÷
 
, m =
3 6±
.
Bài 23(ĐH Khối A-06).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho các đường thẳng :
d
1
: x + y + 3 =0 ; d
2
: x – y – 4 =0 ; d
3
: x – 2y = 0.
Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d
3
sao cho khoảng cách từ M
đến đường thẳng d
1
bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d
2
.
ĐS: M
1
(-22;-11) M
2
(2;1).
Bài 24(ĐH Khối B-06)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn

(C) : x
2
+ y
2
– 2x – 6y + 6 =0 và điểm M(-3;1). Gọi T
1
và T
2
là các tiếp
điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng
T
1
T
2
.
ĐS: T
1
T
2
: 2x + y – 3 =0
Bài 25(ĐH Khối D-06)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn
(C) : x
2
+ y
2
– 2x – 2y+ 1=0 và đường thẳng d : x –y + 3 =0.Tìm tọa độ
điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M , có bán kính gấp đôi bán
kính đường tròn (C) , tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).
ĐS: M

1
(1;4), M
2
(-2;1)
Bài 26(ĐH Khối B-08)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của
tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng
AB là điểm H(-1;-1), đường phân giác trong của góc A có phương trình
x– y + 2 =0 và đường cao kẻ từ đỉnh B có phương trình 4x + 3y – 1 = 0.
ĐS:
10 3
;
3 4
 
−
 ÷
 
Nguyễn Quốc Việt – giáo viên THPT Krông Nô 25