DE VA DA Thu DH thang 5 nam 2010

S GD&T BC NINH
TRNG THPT LNG TI 2
THI TH I HC LN III
NM HC 2009 2010
Mụn Toỏn
Ngy thi: 01/5/2010
Thi gian lm bi 180 phỳt (khụng k thi gian phỏt )
Phần chung cho tất cả các thí sinh.
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số :
1
2

+
=
x
x
y
(1)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).
2.Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (1) đều lập với hai đờng tiệm cận một
tam giác có diện tích không đổi.
Câu II (2 điểm)
1.Tìm
);0(

x
thoả mãn phơng trình:
Cotx 1 =
xx
x

x
2sin
2
1
sin
tan1
2cos
2
+
+
.
2.Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:

mxxxx =+++ 11
22
Câu III (2 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.
1. Tính khoảng cách từ O đến mp (ABC)
2. Tính thể tích khối đa diện OIBC trong đó I là chân đờng cao kẻ từ C của
ABC
.
Câu IV (2 điểm)
1. Tính tích phân: I =



2
1
10
1

dx
x
xx
2. Cho x, y, z là các số thực dơng thoả mãn: x + y + z = xyz.
Tìm GTNN của A =
)1()1()1( zxy
zx
yzx
yz
xyz
xy
+
+
+
+
+
.
Phần riêng.
Thí sinh chỉ đợc làm 1 trong 2 câu: V. a hoặc V.b
Câu V. a. Dành cho ban Cơ Bản (2 điểm).
1. Giải phơng trình:
25lg)20.155.10lg( +=+ x
xx
2.Tính thể tích lăng trụ đều ABC.A
'
B
'
C
'
biết mp(ABC

'
) hợp với đáy góc 60
0
và diện
tích tam giác ABC
'
bằng
2
3a
Câu V. b. Dành cho ban KHTN (2 điểm).
1.Giải bất phơng trình:

32
4
)32()32(
1212
22

++
+ xxxx
2.Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành có AB = a, góc ABC = 30
0
; hai mặt
bên SAD và SBC vuông tại A, C cùng hợp với đáy góc

.
CMR: (SAC)

(ABCD) và tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Hết

Hớng dẫn chấm môn toán
Câu ý
Nội dung
Điểm
I
2
1
Khảo sát- vẽ đồ thị (1 điểm)
Ta có:
1
3
1

+=
x
y
TXĐ: D = R\ {1}
Sự biến thiên:
+ Giới hạn Tiệm cận:

+=
+

y
x 1
lim


=

y
x 1
lim


ĐTHS có tiệm cận đứng: x = 1

1lim =
+x
y


ĐTHS có tiệm cận ngang: y = 1
0,25
+ Bảng biến thiên:

'y
=
0
)1(
3
2
<


x
,
Dx

HS nghịch biến trên các khoảng (-

; 1) và (1; +

)
HS không có cực trị
0,5
Đồ thị:
KL: Đồ thị hàm số nhận giao hai tiệm cận làm tâm đối xứng.

0,25
2 CMR: Mọi tiếp tuyến diện tích không đổi (1 điểm)
Giả sử M







+
1
2
;
a
a
a
thuộc đồ thị (1)
Tiếp tuyến của (1) tại M:

1
2
))((
'

+
+=
a
a
axayy
=
2
2
2
)1(
24
)1(
3

+
+


a
aa
x
a
0,25
TCĐ: x = 1 (
1

) ; TCN: y = 1(
1

)
Gọi I là giao 2 tiệm cận

I(1; 1)
A = d

1



A(1;
1
5

+
a
a
) ; B = d

2



B(2a-1; 1)
0,25

=

1
6
;0
a
IA


IA =
1
6
a
;
( )
0;22 =

aIB


IB = 2
1a
0,25

Diện tích
IAB
: S
IAB
=
IBIA.
2
1
= 6 (đvdt)

ĐPCM
0,25
II

2
1
Tìm x
);0(


thoả mãn pt (1 điểm)
ĐK:

+

1tan
02sin
0cossin
02sin
x
x
xx
x
Khi đó pt
xxx
xx
xx
x
xx
cossinsin
sincos
cos.2cos
sin
sincos
2
+
+
=



xxxxxx

x
xx
cossinsincossincos
sin
sincos
22
+=


0,25


)2sin1(sinsincos xxxx =


0)1sincos)(sinsin(cos
2
= xxxxx
0,25


0)32cos2)(sinsin(cos =+ xxxx


0sincos = xx


tanx = 1
)(
4

Zkkx +=


(tm)
0,25

( )
4
0;0


== xkx
KL:
0,25
2 Tìm m để pt có nghiệm (1 điểm)
Xét hs:
11)(
22
+++= xxxxxf

12
12
12
12
)('
22
+


++

+
=
xx
x
xx
x
xf
0,25




++−=+−+
≥−+
⇔=
)1()12()1()12(
0)12)(12(
0)('
2222
xxxxxx
xx
xf






=
−

≤∨≥
⇔
)(0
2
1
2
1
lx
xx

Rxf ∈∀>= ,01)0('

⇒
HS
)(xf
®ång biÕn trªn R.
0,25

1)(lim;1)(lim −==
−∞→+∞→ xx
xfxf
0,25
PT cã nghiÖm khi: -1 < m < 1.

0,25
III 2
1 TÝnh kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn (ABC) (1 ®iÓm)
PT mp(ABC):
1=++
c

z
b
y
a
x
0,5

0=−++⇔ abcabzcaybcx
O,25

( )
222222
)(,
accbba
abc
ABCOd
++
=
0,25
2 TÝnh thÓ tÝch khèi ®a diÖn OIBC (1 ®iÓm)



AB
=
( )
0;;ba
PTTS của AB:

=
=
=
0z
bty
atax


0,25

)0;;( btataIABI



IC
=
( )
cbtaat ;;



IC


AB

IC
.

AB
= 0
22
2
222
0)(
ba
a
ttbaa
+
==+










++
0;;
22
2
22

2
ba
ba
ba
ab
I
( )
0;0;
00
0
;
0
00
;
0
0
, bc
b
cc
b
OCOB =








=

22
3
.,
ba
cab
OIOCOB
+
=










( )
22
3
6

.,
6
1
ba
cab
OIOCOB
V
OIBC
+
=






=

(đvtt)
0,25
0,25
0,25
IV 2
1 Tính tích phân (1 điểm)
Đặt
tdtdxxtxt 211
2
===
Đổi cận: x = 1
0= t

x = 2
1= t
0,25
Khi đó:
dt
t
t
t
dttt
I








++=

+
=
1
0
2
2
1
0
2
22

9
90
102
9
2)1(
0,25
=
1
0
1
0
3
3
3
ln3010
3
2
+

+








+
t

t
t
t
=
2ln30
3
62
2
1
ln30
3
62
=+
0,5
2 Tìm GTNN (1 điểm)
Cách 1:
CM: Với mọi a, b > 0 thì






+
+ baba
11
4
11
(1)
Dấu = xảy ra

ba =

0,25
A =








+
+
+
+
+
++
xyzzxyzyxyzxzyx
111111
A =








++

+
++
+
++
++
yxzxzyzyxzyx 2
1
2
1
2
1111
áp dụng (1) ta có:
A








+
+
+
+
+
+++++
yxxzzyzyxzyx
111
2

1
2
1
2
1
4
1111









++=








++++
zyxzyxzyx
111
4
3111

4
1111
CM: Với mọi a, b, c thì:
( ) ( )
cabcabcba ++++ 3
2
(2)
Dấu = xảy ra
cba ==
áp dụng (2) ta có:

3.3
111
3
111
2
=
++
=








++

++
xyz
zyx
zxyzxyzyx
Do x, y, z > 0 nên
3
111
++
zyx


A
4
33

KL:
4
33
min
=
A
đạt đợc khi
3=== zyx
Cách 2:

A =








++
+
++
+
++
++
yxzxzyzyxzyx 2
1
2
1
2
1111
Theo CôSi:
A

++++
444
4
1
4
1
4
1111
xyzzxyyzxxyz
zyx

A








++++++++++
zyxzyxzyxzyx
211121112
16
1111


A

++
zyx
111
4
3
(Cách 1)
0,25
0,25
0,25
V.a Dành cho ban Cơ Bản 2
1 Giải phơng trình (1 điểm)
PT
( ) ( )
xxx
10.25lg20.155.10lg =+
0,25

xxx
10.2520.155.10 =+

0102.254.15 =+
xx
0,25

Đặt
)0(2 >= tt
x
, ta đợc: 15t
2
- 25t +10 = 0




=
=

)(
3
2
)(1
tmt
tmt
0,25

1=t

012 == x
x

===
3
2
log
3
2
2
3
2
2
xt
x
KL:
0,25
2 Tính thể tích lăng trụ (1 điểm)


Gọi H là trung điểm AB






ABHC
ABCH
'

( )
0
60')',()(),'( === CHCHCCHABCABC

22
'
32'.3 aABHCa
S
ABC
==

(1)
Xét
'HCC
vuông tại C:
3
60cos
'
0
AB
HC
HC ==
(2)
Từ (1),(2)
6';2 aHCaAB ==

aHCCC
2
23
60sin'.'

0
==

202
2
3
60sin
2
1
aAB
S
ABC
==


3
'''.
4
63
'. aCC
SV
ABCCBAABC
==

(đvtt)

0,25
0,25
0,25
0,25

V.b Dành cho ban KHTN 2

1
Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh (1 ®iÓm)
Bpt
( ) ( )
43232
22
22
≤−++⇔
−− xxxx
§Æt
( )
)0(32
2
2
>+=
−
tt
xx
, ta ®îc:
4
1
≤+
t
t

014
2
≤+− tt

3232 +≤≤−⇔ t
(tm)
0,5
Khi ®ã:
( )
323232
2
2
+≤+≤−
− xx
121
2
≤−≤−⇔ xx

⇔
2121012
2
+≤≤−⇔≤−− xxx
KL:

0,5

2
CM: (SAC)
⊥
(ABCD) vµ tÝnh thÓ tÝch S.ABCD (1 ®iÓm)

S
 CM: (SAC)
⊥

(ABCD):

BCSA
BCAD
ADSA
⊥⇒



⊥
//
)()()( ABCDSACSACBC
BCSC
⊥⇒⊥ →
⊥
 TÝnh thÓ tÝch:
( ) ( )
α
== →



⊥
⊥
=∩
ACSCABCDSBC
ACBC
SCBC
BCABCDSBC
,)(),(

)()(
(1)
T¬ng tù
( ) ( )
α
==⇒ ACSAABCDSAD ,)(),(
(2)
Tõ (1), (2)
α
==⇒ SCASAC

SAC∆
c©n t¹i S
)(ABCDSOACSO
SOBC
⊥ →⊥⇒
⊥

ABC∆
vu«ng t¹i C : AC = AB.sin30
0
=
2
a


20
4
3
60sin

2
1
.22 aACAB
SS
ABCABCD
===

0,25
0,25
0,25
0,25

SOA∆
vu«ng t¹i O: AO =
42
1 a
AC =
SO = AO.tan
αα
tan
4
1
4
a=

α
tan
48
3
.

3
1
3
.
aSO
SV
ABCDABCDS
==
(®vtt).