Cong thuc Xac suat

TRờng sĩ quan pháo binh
Hội Thi Gvdg-cbqlg
Bài giảng
Bài 5: các công thức xác suất cơ bản
Đối tợng: khoá 4 đào tạo SQCHPĐPB
Thời gian giảng bài: 2 Tiết .

Giáo viên: Nguyễn văn thuyên
Sơn tây 2008
Phê chuẩn
Ngày tháng năm 2008
CNK: KHCB
Đại tá : Nguyễn Trung Triệu
Bài 5: các công thức xác suất cơ bản
Đối tợng: khoá 46 đào tạo SQCHPĐPB
Thời gian giảng bài: 2 Tiết.
Mở đầu
Trong các mục trớc chúng ta đã nghiên cứu về các định lý cơ bản về
phép toán xác suất. Bài hôm nay chúng ta tiếp tục nghiên cứu các công thức
xác suất cơ bản nhằm giải quyết một số bài toán thực tiễn.
PHần nội dung
I. Công thức xác suất toàn phần:
1. Nhóm đầy đủ các biến cố:
Giả sử
n
A ,
3
A,
2
A,
1

A
là các biến cố xung khắc với nhau từng đôi
một và
=++++
n
A
3
A
2
A
1
A
( Biến cố chắc chắn).
Khi đó ta nói rằng
n
A ,
3
A,
2
A,
1
A
là một nhóm đầy đủ các biến cố.
Ví dụ: Bắn 3 viên đạn vào bia, Gọi
j
B
là biến cố sau 3 lần bắn có đúng j
viên trúng mục tiêu, (j=0,1,2,3). thì các biến cố
3
B,

2
B,
1
B,
0
B
lập thành một
nhóm đầy đủ các biến cố.
2. Định lý:
Giả sử
n
A ,
3
A,
2
A,
1
A
là một nhóm đầy đủ các biến cố và
.n, ,1i,0)
i
A(P =>
H là một biến cố bất kỳ. Khi đó ta có công thức
)
n
A/H(P).
n
A(P )
2
A/H(P).

2
A(P)
1
A/H(P).
1
A(P)H(P +++=
hay
2

=
=
n
1i
)
i
A/H(P).
i
A(P)H(P
Chứng minh :
Vì
n
A ,
3
A,
2
A,
1
A
là một nhóm đầy đủ các biến cố, nên
=++++

n
A
3
A
2
A
1
A
Tử đó suy ra:
n
HA
3
HA
2
HA
1
HAH ++++=
Vì hệ
n
A ,
3
A,
2
A,
1
A
xung khắc với nhau từng đôi một nên hệ
n
HA ,
3

HA,
2
HA,
1
HA
cũng xung khắc với nhau từng đôi một, do đó
)
n
HA(P )
3
HA(P)
2
HA(P)
1
HA(P)H(P ++++=

Suy ra
)
n
A/H(P).
n
A(P )
2
A/H(P).
2
A(P)
1
A/H(P).
1
A(P)H(P +++=

.
Ví dụ 1: Một máy bay của địch có thể tập kích trận địa phòng không từ
3 hớng đã đợc xác định với xác suất tơng ứng là 0.6; 0.3; 0.1 . Một phơng án
bố trí lực lợng cho phép diệt máy bay ở các hớng đó với xác suất tơng ứng đó
là 0.8; 0.7; 0.2 .
Tính xác suất diệt máy bay theo phơng án đó.
Giải:

Gọi
i
A
là biến cố máy bay bay vào hớng thứ i (i=1 3). H là biến cố
máy bay bị tiêu diệt.
Theo đầu bài ta có
6.0)
1
A(P =
;
3.0)
2
A(P =
;
1.0)
3
A(P =
8.0)
1
A/H(P =
;
7.0)

2
A/H(P =
;
2.0)
3
A/H(P =

1
A
,
2
A
,
3
A
là nhóm đầy đủ các biến cố và H xảy ra khi một trong
các biến cố
i
A
xảy ra. Vậy
)
3
A/H(P).
3
A(P)
2
A/H(P).
2
A(P)
1

A/H(P).
1
A(P)H(P ++=
3
Trận địa pháo
của ta
P=0.6
P=0.3
P=0.1
P=0.8
P=0.2
P=0.7
Hay P(H)=0.6*0.8+0.7*0.3+0.1*0.2=0.71
Nhận xét: Nếu thay đổi phơng án bố trí lực lợng phòng thủ theo các hớng
thì xác suất diệt đợc mục tiêu cũng thay đổi, Từ đó ta có thể lựa chọn đợc ph-
ơng án bố trí lực lợng tốt nhất.
Ví dụ 2:Một chiếc máy bay có thể xuất hiện ở vị trí A với xác
suất là 0,6 , ở vị trí B với xác suất là 0,4. Có 2 phơng án bố trí 4 khẩu pháo
bắn máy bay:
Phơng án 1: 3 khẩu pháo đặt tại A, 1 khẩu pháo đặt tại B.
Phơng án 2: 2 khẩu pháo đặt tại A, 2 khẩu pháo đặt tại B.
Biết rằng xác suất diệt máy bay của mỗi khẩu pháo là 0,7 và các khẩu pháo
hoạt động độc lập với nhau.
Hãy chọn phơng án tốt nhất.
Giải:
Gọi A là biến cố máy bay xuất hiện ở vị trí A. Gọi B là biến cố máy bay xuất
hiện ở vị trí B. H là biến cố máy bay bị tiêu diệt. Khi đó P(A)=0.6; P(B)=0.4.
Xét phơng án 1:
Nếu máy bay xuất hiện ở vị trí A thì xác suất diệt máy bay trong trờng
hợp này là:

973.0
3
3.01)A/H(P ==
Nếu máy bay xuất hiện ở vị trí B thì xác suất diệt máy bay trong trờng hợp
này là:
7.03.01)B/H(P ==
Theo công thức xác suất toàn phần thì xác suất máy bay bị tiêu diệt là:
P(H)=P(A).P(H/A)+P(B)P(H/B)
= 0.6*0.973+0.4*0.7=0.8638
Xét phơng án 2:
Nếu máy bay xuất hiện ở vị trí A thì xác suất diệt máy bay trong trờng
hợp này là:
91.0
2
3.01)A/H(P
==
Nếu máy bay xuất hiện ở vị trí B thì xác suất diệt máy bay trong trờng hợp
này là:
91.0
2
3.01)B/H(P ==
Theo công thức xác suất toàn phần thì xác suất máy bay bị tiêu diệt là:
P(H)=P(A).P(H/A)+P(B)P(H/B)
= 0.6*0.91+0.4*0.91=0.91
Nh vậy việc bố trí lực lợng theo phơng án 2 tốt hơn phơng án 1.
Ví dụ 3: Xác suất để một khẩu pháo bắn trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là
0,6. Xác định xác suất mục tiêu bị tiêu diệt sau ba lần bắn độc lập. Biết rằng
xác suất mục tiêu bị tiêu diệt khi trúng một, hai, ba phát đạn tơng ứng là 0,2 ,
0,6 và 1.0.
Giải:

4
Gọi
i
A
là biến cố viên thứ i trúng mục tiêu, (i=1,2,3).
Gọi
j
B
là biến cố sau 3 lần bắn có đúng j viên trúng mục tiêu, (j=0,1,2,3).
3
A
2
A
1
A
0
B =
3
A
2
A
1
A
3
A
2
A
1
A
3

A
2
A
1
A
1
B ++=
3
A
2
A
1
A
3
A
2
A
1
A
3
A
2
A
1
A
2
B ++=
3
A
2

A
1
A
3
B =
.
áp dụng công thức cộng và nhân xác suất ta có :
064.0)
0
B(P =
;
288.0)
1
B(P =
;
432.0)
2
B(P =
;
216.0)
3
B(P =
Gọi H là biến cố mục tiêu bị tiêu diệt theo giả thiết ta có:
0)
0
B/H(P =
;
2.0)
1
B/H(P =

6.0)
2
B/H(P =
;
1)
3
B/H(P =
.

3
B,
2
B,
1
B,
0
B
Lập thành một nhóm đầy đủ các biến cố. áp dụng công thức
xác suất toàn phần ta có :
)
3
B/H(P).
3
B(P)
2
B/H(P).
2
B(P)
1
B/H(P).

1
B(P)
0
B/H(P).
0
B(P)H(P +++=
P(H)=0.064*0+0.228*0.2+0.432*0.6+0.216*1
P(H)=0.5208
II. Công thức Bay-et:
Giả sử
n
A ,
3
A,
2
A,
1
A
là một nhóm đầy đủ các biến cố và
.n, ,1i,0)
i
A(P =>
H là một biến cố bất kỳ thoả mãn P(H) > 0. Khi đó ta
có công thức Bayes:

=
=
n
1i
)

i
A/H(P).
i
A(P
)
i
A/H(P)
i
A(P
)
H/i
A(P
Chứng minh:
Ta có

==
=
n
i
ii
iii
i
)A/H(P).A(P
)A/H(P)A(P
)H(P
)H.A(P
)H/A(P
1
Ví dụ : Bắn hai lần độc lập với nhau, mỗi lần một viên đạn vào cùng
một bia. Xác suất trúng đích của viên đạn thứ nhất là 0.8 và của viên đạn thứ 2

là 0.5. Sau khi bắn quan trắc viên báo có một viên đạn ở bia. Tìm xác suất để
vết đạn đó là vết đạn của viên đạn thứ hai.
Giải:
Gọi: - H là biến cố có một viên đạn trúng bia.
5
-
0
A
là biến cố cả hai viên đạn đều không trúng bia.
-
1
A
là biến cố cả hai viên đạn đều trúng bia
-
2
A
là biến cố viên thứ nhất trúng bia còn viên thứ 2 không trúng bia.
-
3
A
là biến cố viên thứ hai trúng bia viên thứ nhất không trúng bia.
Do các lần bắn độc lập nên ta có:
1.05.0*2.0)
0
A(P ==
;
4.05.0*8.0)
1
A(P ==
4.05.0*8.0)

2
A(P ==
;
1.05.0*2.0)
3
A(P ==
0)
0
A/H(P =
;
0)
1
A/H(P =
;
1)
2
A/H(P =
;
1)
4
A/H(P =
.
Do
321
A,A,A
là một nhóm đầy đủ và
.3, ,0i,0)
i
A(P =>
Nên áp dụng

công thức Bayes, xác suất để vết đạn ở bia là vết đạn của viên thứ hai là
2.0
2.0
1.1.0
3
0i
)
i
A/H(P).
i
A(P
)
3
A/H(P)
3
A(P
)H/
3
A(P ==
=
=

Kết luận
Trong bài này chúng ta cần nắm vững 2 công thức sau:
Công thức xác suất toàn phần:

=
=
n
1i

)
i
A/H(P).
i
A(P)H(P
Trong đó
n
A ,
3
A,
2
A,
1
A
là một nhóm đầy đủ các biến cố và
.n, ,1i,0)
i
A(P =>
áp dụng công thức này ta có thể tính xác suất huỷ
diệt mục tiêu, xác suất của các phơng án bố trí phòng ngự.
Công thức Bayes:

=
=
n
1i
)
i
A/H(P).
i

A(P
)
i
A/H(P)
i
A(P
)
H/i
A(P
Đây là công thức giả định sau thực nghiệm.
Bài tập về nhà: 4,5,6 Trang 23 .
Ngày 28 tháng 4 năm 2008
Giáo viên
6
NguyÔn V¨n Thuyªn
7