Đề và ĐA thi thử ĐH 2010 - Số 3

ề thi thử đại học - NĂM 2010 Môn Toán
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề).
I: PHầN CHUNG CHO TấT Cả THí SINH .
Câu I Cho hàm số
1
12

+
=
x
x
y
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
2. Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B .
Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu II 1. Giải phơng trình:
xx
xx
2sin
2
1
cos2)
2
cos
2
(sin3
33
+=
1

B GIO DC
THAM KHO

2. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :





=−++
=+−+−
0222
0964
22
224
yxyx
yyxx
.
C©u III 1.TÝnh tÝch ph©n sau:
2
0
3sinx cos
sinx cos 2
x
I dx
x
π
−
=
+ +

∫

2. Cho
0 x y z< ≤ ≤
: Chứng minh rằng
2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
3
2 2 2 2 2 4 2 2
2 4 2
2
2
z y z x y z x z x z z x y xy x y
z z x y xy
x y
x y

+ + + + + + + +


+ + +

+ +
+
Câu IV Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lợt là các

trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a thể tích khối chóp S.AMN, biết rằng mặt phẳng
(AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
II, PHầN RIÊNG. (Thí sinh chỉ làm một trong 2 phần ; phần 1 hoặc phần 2 )
Phần 1( Dành cho thí sinh theo chơng trình chuẩn )
3

C©u Va 1. Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
- 2x + 4y - 4 = 0 và đường thẳng d: x + y + m = 0. Tìm m
để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn
(C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông.
2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm
( )
4; 5;3M - -
và cắt cả hai
đường thẳng:
2 3 11 0
':
2 7 0
x y
d
y z
+ + =


− + =

và

2 1 1
'':
2 3 5
x y z
d
- + -
= =
-
.
.C©u VIa T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã 2 nghiÖm ph©n biÖt :

x10
1).12(48
22
++=++ xxmx
.
PhÇn 2 ( Dµnh cho thÝ sinh theo ch¬ng tr×nh n©ng cao ) .
4

Câu Vb 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; -2); P(2;0);
Q(1;2) lần lợt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD. Hãy lập phơng trình các cạnh của hình vuông.
2. ) Trong khụng gian Oxyz cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cú A(0;0;0); B(1;0;0);
D(0;1;0),A(0;0;1). im M l trung im ca AB , N l tõm hỡnh vuụng ADDA
a) Vit phng trỡnh mt cu (S) i qua C,DM,N
b) Tớnh bỏn kớnh ng trũn l giao ca mt cu (S) vi mt cu i qua A,B,C,D
Câu VII.b ( 1,0 im) Tớnh tng:
0 4 8 2004 2008
2009 2009 2009 2009 2009
S C C C C C= + + + + +
******** Ht ********

5

Kú thi thö ®¹i häc- cao ®¼ng
n¨m 2010
Híng dÉn chÊm m«n to¸n
6

Câu Nội dung Điểm
I.1
Khảo sát hàm số y=
1
12

+
x
x
1,00
1. Tập xác định: R\{1}
2. Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
22
)1(
3
)1(
)12()1(2
'


=

+
=
xx
xx
y

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-; 1) và (1;+)
. Cực trị : Hàm số đã cho không có cực trị
0,25
7

C©u Néi dung §iÓm
. TiÖm cËn:
−∞=
−
+
=
−
−
→
→
1
12
limlim
1
1
x
x
y
x

x

+∞=
−
+
=
+
+
→
→
1
12
limlim
1
1
x
x
y
x
x
Do ®ã ®êng th¼ng x=1 lµ tiÖm cËn ®øng

2
1
12
limlim
=
−
+
=

±∞→
±∞→
x
x
y
x
x
0,25
8

Câu Nội dung Điểm
Vậy đờng thẳng y= 2 là tiệm cận ngang
* Bảng biến thiên:
x
-
1
+
y' - -
y 2
-
+
2
3* Đồ thị : HS tự vẽ đồ thị hàm số.
0,5
9

C©u Néi dung §iÓm
10

C©u Néi dung §iÓm

I.2
Víi M bÊt k× ∈ (C), tiÕp tuyÕn t¹i M c¾t 2 tiÖm cËn t¹i A, B. T×m M ®Ó chu vi tam
gi¸c IAB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
1,00
Gäi M








−
+
1
3
2;
0
0
x
x
∈(C)
* TiÕp tuyÕn t¹i M cã d¹ng:
1
3
2)(
)1(
3
0

0
2
0
−
++−
−
−
=
x
xx
x
y
0,25
11

C©u Néi dung §iÓm
TiÕp tuyÕn t¹i M c¾t hai tiÖm cËn t¹i A vµ B nªn täa ®é A; B cã d¹ng lµ: A








−
+
1
6
2;1

0
x
B(2x
0
-1; 2) ; I(1; 2)
* Ta cã: S
∆
IAB
=
2
1
. IA. IB=
63.212
1
6
2
1
0
0
==−⋅
−
⋅
x
x
(®vdt)
0,25
12

Câu Nội dung Điểm
* IAB vuông có diện tích không đổi => chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA=

IB (HS tự chứng minh).




=
+=
=

31
31
12
1
6
0
0
0
0
x
x
x
x
* Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện
M
1
(
32;31 ++
)
M
2

(
32;31
)
0,5
13

C©u Néi dung §iÓm
Khi ®ã chu vi ∆AIB =
6234 +
II.1
Gi¶i ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
x2sin
2
1
xcos2)
2
x
cos
2
x
(sin3
33
+=−
( )
xcosxsin2
2
x
cos
2
x

sin1
2
x
cos
2
x
sin3
+=






+






−⇔
( )






+







−+=






+






−⇔
2
x
sin
2
x
cos
2
x
sin

2
x
cosxsin2xsin
2
1
1
2
x
cos
2
x
sin3
14

C©u Néi dung §iÓm
0
2
3
2
x
cos
2
x
sin)xsin2(
2
x
sin
2
x
cos =







+++






−⇔
1,00
15

C©u Néi dung §iÓm
*
x x x x
sin cos 0 sin 0 k x k2 (k )
2 2 2 4 2 4 2
π π π
 
− = ⇔ − = ⇔ − = π ⇔ = + π ∈
 ÷
 
Z
*
2xsin0xsin2

−=⇔=+
(v« nghiÖm)
0,5
16

C©u Néi dung §iÓm
*
22
3
4
xsin
2
3
42
x
sin2
2
3
2
x
cos
2
x
sin −=







π
+⇔−=






π
+⇔−=+
(v« nghiÖm) VËy
nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ:
( )
x k2 k
2
π
= + π ∈Z
0,5
17

C©u Néi dung §iÓm
II.2
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:






=−++

=+−+−
0222
0964
22
224
yxyx
yyxx

* HÖ ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi





=−++
=−+−
022)2(
4)3()2(
22
222
xyx
yx
2 2 2
2 2
( 2) ( 3) 4
( 2 4)( 3 3) 2 20 0
x y
x y x

− + − =



− + − + + − − =


1,00
0,25
0,25
0,25
18

C©u Néi dung §iÓm
Dat
2
2
3
x u
y v

− =

− =

* Thay vµo hÖ ph¬ng tr×nh ta cã:
2 2
4
. 4( ) 8
u v
u v u v


+ =

+ + =


2
0
u
v
=


=

hoÆc
0
2
u
v
=


=

thÕ vµo c¸ch ®Æt ta ®îc c¸c nghiÖm cña hÖ lµ :
2
3
x
y
=



=

;
2
3
x
y
= −


=

;
2
5
x
y

=


=


;
2
5
x

y

= −


=


;

0,25
19

C©u Néi dung §iÓm
III.1
( )
( )
( )
( )
( )
2
0
2 2 2
0 0 0
2
2
0
0
sinx cos 2 2 cos sinx 2
sinx cos 2

cos sinx
2 2
sinx cos 2
sinx cos 2
2ln sinx cos 2 2
2
2 os( ) 1
4
x x
I dx
x
x
dx
dx dx
x
x
dx
x
c x
π
π π π
π
π
π
π
+ + − − −
=
+ +
−
= − −

+ +
+ +
= − + + −
 
− +
 ÷
 
∫
∫ ∫ ∫
∫
0,25
0,25
0,25
20

C©u Néi dung §iÓm
III.2 1,00
21
Cho
0 x y z< ≤ ≤
: Chứng minh rằng
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
3
2 2 2 2 2 4 2 2
2 4 2
2

2
z y z x y z x z x z z x y xy x y
z z x y xy
x y
x y
 
+ − − + + − + + + + +
 
 
+ + +
 
≤ + +
+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
3
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2
z y z x x y z x z y x y
z y z x
z y z x x y x y
x y
⇔ + + − + + + + − + +
+ +
+ + + ≤ + +
+

(1)
Đặt a=(2z+y); b=2z+x; c=2x+y
Từ (1)
3
2
2
ab
a b c b a c abc c
c
⇔ − + − + ≤ +
(2)
Ta có:

Tương tự:

Cộng (3); (4); (5) ta được: đpcm
Dấu bằng xảy ra khi: a=b=2c
a. 2z+y=2z+x=4x+2y
b. x=y=
0,25
0,25
0,25
0,25

C©u Néi dung §iÓm
IV TÝnh thÓ tÝch khèi chãp
22
Cho
0 x y z< ≤ ≤
: Chứng minh rằng

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
3
2 2 2 2 2 4 2 2
2 4 2
2
2
z y z x y z x z x z z x y xy x y
z z x y xy
x y
x y
 
+ − − + + − + + + + +
 
 
+ + +
 
≤ + +
+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
3
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2

2
z y z x x y z x z y x y
z y z x
z y z x x y x y
x y
⇔ + + − + + + + − + +
+ +
+ + + ≤ + +
+
(1)
Đặt a=(2z+y); b=2z+x; c=2x+y
Từ (1)
3
2
2
ab
a b c b a c abc c
c
⇔ − + − + ≤ +
(2)
Ta có:

Tương tự:

Cộng (3); (4); (5) ta được: đpcm
Dấu bằng xảy ra khi: a=b=2c
a. 2z+y=2z+x=4x+2y
b. x=y=
0,25
0,25

0,25
0,25

C©u Néi dung §iÓm
S
A
C
B
M
N
I
K
23

C©u Néi dung §iÓm
Ta cã c¸c tam gi¸c SMN vµ AMN c©n t¹i S vµ A. Gäi I lµ trung ®iÓm cña MN suy ra SI
⊥ MN vµ AI ⊥ MN. Do (SBC) ⊥ (AMN) nªn SI ⊥ (AMN).
Do ®ã
MN.AI.SI
6
1
S.SI
3
1
V
AMNAMN.S
==
1,00
Gäi K lµ trung ®iÓm cña BC suy ra I lµ trung ®iÓm cña SK, mµ AI ⊥ SK nªn tam gi¸c
ASK c©n t¹i A. Do ®ã

2
3a
AKSA ==
0,5
0,5
24

C©u Néi dung §iÓm
MN =
4
a
MN
2
1
NI,
2
a
BC
2
1
===
,
4
3a
2
SA
2
SC
SN ===

4
2a
16
a
16
a3
NISNSI
22
22
=−=−=
1,00
25