Bai Tap Phu dao-Tu chon Toan Dai so Khoi 11

Chủ đề HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số.
a.
y=f(x)=x.Cos3x
.
b.
1+Cosx
y=f(x)=
Cosx
.
c.
1+Cosx
y=f(x)=
1-Cosx
.
d.
2
1+Cos x
y=f(x)=
1+Cosx
.
Bài giải.
a. f(x) có nghĩa với mọi x thuộc R. Nên tập xác định D=R.
b. f(x) có nghĩa khi Cosx ≠0, suy ra
π
x +k2π, k Z
2
≠ ∈
. Nên tập xác định là
π
D=R\ +k2π,k Z

2
 
∈
 
 
.
c. f(x) có nghĩa khi 1-Cosx≠0
osx 1 x k2 , C k Z
π
⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈
. Nên tập xác định
là
{ }
D=R\ k2π,k Z∈
.
d. f(x) có nghĩa khi 1+Cosx≠0
osx 1 x k2 , C k Z
π π
⇔ ≠ − ⇔ ≠ + ∈
. Nên tập xác
định là
{ }
D=R\ +k2π,k Z
π
∈
.
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y=f(x) trên D
0 0
, ( )

, ( )
x D f x M
x D f x M
∀ ∈ ≤

⇔

∃ ∈ =

.
- Số m dược gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên D
0 0
, ( )
, ( )
x D f x m
x D f x m
∀ ∈ ≥

⇔

∃ ∈ =

a. y=f(x)=2+3Cosx.
b. y=f(x)=3-4Sin
2
x.Cos
2
x.
c. y=f(x)=2.Sin
2

x-2Cos2x.
Bài giải.
a.
1 osx 1 3 3. osx 3 1 2 3. osx 5C C C− ≤ ≤ ⇒ − ≤ ≤ ⇔ − ≤ + ≤
.
+
2 3. osx 1 2C x k
π π
+ = − ⇔ = +
. Suy ra
( ) ( 2 ) 1
R
Min f x f k
π π
= + = −
.
+
2 3. osx 5 2C x k
π
+ = ⇔ =
. Suy ra
ax ( ) ( 2 ) 5
R
M f x f k
π
= =
.
b. y=f(x)=3-Sin
2
2x.

2 2 2
0 2 1 0 2 1 3 3 2 2Sin x Sin x Sin x≤ ≤ ⇔ ≥ − ≥ − ⇔ ≥ − ≥
.
+
2
3 2 2
4 2
Sin x x k
π π
− = ⇔ = +
. Suy ra
( ) 2
4 2
R
Min f x f k
π π
 
= + =
 ÷
 
+
2
3 2 3
2
Sin x x k
π
− = ⇔ =
. Suy ra
ax ( ) 3
2

R
M f x f k
π
 
= =
 ÷
 
.
Trang 1
c. y=f(x)=1-3Cos2x
1 os2x 1 3 3. os2x -3 4 1 3. os2x -2C C C− ≤ ≤ ⇔ ≥ − ≥ ⇔ ≥ − ≥
.
+
1 3. os2x=-2 x=kC
π
− ⇔
. Suy ra
( )
( ) 2
R
Min f x f k
π
= = −
.
+
1 3. os2x=4 x= +k
2
C
π
π

− ⇔
. Suy ra
ax ( ) 4
2
R
M f x f k
π
π
 
= + =
 ÷
 
.
Chủ đề PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
* Dạng cơ bản.
-
x= +k2
Sinx=Sin
x= - +k2
α π

α ⇔

π α π

-
x= +k2
Cosx=Cos
x=- +k2
α π


α ⇔

α π

-
Tanx=Tan x= +kα ⇔ α π
-
Cotx=Cot x= +k
α ⇔ α π
Bài 1. Giải các phương trình
a.
3
Sinx=-
2
.
b. Sin2x = -1.
c.
2
1
Sin x=
4
.
Bài giải.
a.
2
3
3
Sinx=Sin
4

2 3 3
2 2
3 3
x k
Sin
x k k
π
π
π π
π π
π π π

= − +

   
− = − ⇒ − ⇒

 ÷  ÷
   

= + + = +


b.
3
3 3
4
1 Sin2x=Sin
2 2
4

x k
Sin
x k
π
π
π π
π
π

= +

   
− = ⇒ ⇒

 ÷  ÷
   

= − +


c.
2
1
inx=
1
6
2
Sin x=
1 5
4

inx=-
2 6
x k
S
S x k
π
π
π
π


= +


⇔ ⇔




= +




Bài 2. Giải các phương trình:
a.
Sinx
=0
Cosx-1
.

b. Cos3x-Sin2x=0.
Bài giải.
a. Điều kiện
x k2π≠
Sinx
=0 Sinx=0 x=k
Cosx-1
π
⇔ ⇔
.
Trang 2
Mà
x k2π≠
nên nghiệm là
x= +k2π
π
.
b.
2
10 5
os3x=Sin2x=Cos 2
2
2
2
x k
C x
x k
π π
π
π

π

= +

 
− ⇔

 ÷
 

= − +


.
Bài 3. Giải các phương trình.
a. Sin 3x + Sin5x =0.
b. tanx.tan2x=-1 .
Bài giải.
a.
4
Sin3x=-Sin5x=Sin(-5x)
2
x k
x k
π
π
π

=


⇔


= − +


.
b. Điều kiện
2
4 2
x k
x k
π
π
π π

≠ +




≠ +


-1
tanx.tan2x=-1 tanx= 2
tan2x 2
Cot x x k
π
π

⇔ = − ⇔ = +
.
Mà
2
x k
π
π
≠ +
nên phương trình vô nghiệm.
* Dạng: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a. Sinx+Cos
2
x=1.
b.
1
4.Sinx=
Sinx
.
Bài giải.
a.
( )
2
inx=0
inx+Cos 1 inx 1-Sinx 0
Sinx=1
2
2
x k
S

S x S
x k
π
π
π
=



= ⇔ = ⇔ ⇔


= +


.
b. Điều kiện
0Sinx x k
π
≠ ⇔ ≠
.
2
1
inx=
1 1
6
2
4.Sinx= Sin x=
1 5
Sinx 4

inx=-
2 6
x k
S
S x k
π
π
π
π


= +


⇔ ⇔ ⇔




= +




.
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a. 2.Sin
2
x-5Sinx+3=0.
b. 2.Sin

2
x-3Cosx=0
Bài giải.
a. Đặt
t=sinx, t 1.≤
Trang 3
Ta có phương trình theo t: 2t
2
-5t+3=0
1
2
t =1
3
t =
2


⇒


.
t
2
loại, với t
1
=1 ta có
2
2
x k
π

π
= +
.
b. 2.Sin
2
x-3.Cosx=0 ta suy ra 2Cos
2
x+3Cosx-2=0.
Đặt t=Cosx, điều kiện |t|≤1. ta có phương trình theo t là: 2.t
2
+3t-2=0. Giải ra được
t=-2
1
t=
2




.
Ta nhận
2
1
3
2
2
3
x k
t
x k

π
π
π
π

= +

= ⇒


= − +


* Dạng: Phương trình bậc nhất đối với sin và cos.
- Cách giải:
2 2 2 2 2 2
b c
.sinx+bcosx=c .sinx+ cosx=
a
a
a b a b a b
⇔
+ + +
.
Đặt
2 2 2 2
os ;
a b
C Sin
a b a b

α α
= =
+ +
.
Ta có phương trình cơ bản
2 2
c
sinx.cos +cosx.sin =
a b
α α
+
⇔
( )
2 2
Sin x+ =
c
a b
α
+
.
- Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a.
3.Sin2x-Cos2x=1
.
b.
Cos2x- 3Sin2x= 2
.
c.
Cos2x-Sin2x= 2
.

d.
Cos2x- 3Sin2x=1
.
e.
3Cosx+3Sinx=3
Bài giải.
a.
2 2
a= 3;b=1;c=1
a +b =2
3 1 1
Sin2x- Cos2x=
2 2 2
Trang 4
π
x= +kπ
π 1 π
6
Sin 2x- = =Sin
π
6 2 6
x= +kπ
2


   
⇔

 ÷  ÷
   




.
b.
2 2
a=1;b= 3;c= 2
a +b =2
1 3 3
Cos2x- Sin2x=
2 2 2
π
x=- -kπ
π 2 π
24
Sin -2x = =Sin
7π
6 2 4
x=- -kπ
24


   
⇔

 ÷  ÷
   




c.
2 2
a=1;-b=1;c= 2
a +b = 2
1 1
Cos2x- Sin2x=1
2 2
π π π
Sin -2x =1=Sin x= +kπ
4 2 8
   
⇔
 ÷  ÷
   
d.
2 2
a=1;b= 3;c=1
a +b =2
1 3 1
Cos2x- Sin2x=
2 2 2
x=kπ
π 1 π
Sin -2x = =Sin
6 2 6
x=-
3
k
π
π


   

⇔
 ÷  ÷

+
   

e.
Đưa về dạng
Cosx+ 3Sinx= 3
2 2
a=1;b= 3;c= 3
a +b =2
1 3 3
Cos2x+ Sin2x=
2 2 2
Trang 5
x= +k2π
π 3 π
6
Sin +x = =Sin
6 2 3
x= k2
2
π
π
π



   
⇔

 ÷  ÷
   

+


Dạng. Phương trình thuần nhất bậc hai.
dạng: .
Để giải phương trình dạng này ta có thể sử dụng phương pháp hạ bậc hoặc chia 2
trường hợp khác nhau của cosx ( thầy sẽ hướng dẫn lại trong ví dụ)
a.
• nếu
thay vào phương trình trên ta có:
2.1 + 0 – 3.0 – 0 vô lý, vậy không phải là nghiệm của phương trình.
• nên chia hai vế của phương trình cho ta có:
b.
lưu ý: bài này khác bài trên ở chỗ có số 2 ở vế phải đấy.
pt
* nếu
lúc đó pt nên cosx = 0 k là nghiệm.
* chia 2 vế co , ta được phương trình:
, phương trình này vô nghiệm
vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

c.
chỉ cần quy đồng 2 vế lên, sau đó làm y hệt các bài trên.

d.
*
thay vào phương trình ta thấy 0 = 0 nên là một nghiệm.
*
chia hai vế cho ta có phương trình:
vậy nên
Kết luận: phương trình có hai nghiệm hoặc
Chú ý. Các phương trình sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tổng thành tích, tích thành
tổng và hạ bậc công thức biến đổi tổng thành tích, tích thàng tổng, hạ bậc
•
•
•
Trang 6
•
•
•
•
•
•
Áp dụng các công thức ở trên giải các phương trình sau đây:
a.
pt
( vì )
b.
pt
c.
Tới đây biết giải rồi chứ? cos6x = 0 hoặc
d.
gép cos3x + cos7x và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích. Đặt nhân tử chung
sau khi xuất hiện nhân tử.

e.
Dùng công thức biến đổi tích thành tổng.
f.
Đây là bài toán mà các số hạng đều là bậc hai nên ta sẽ hạ bậc nó.
lưu ý:
pt
( bỏ mẫu)

pt
Trang 7
( biến tổng thành tích)
BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO
1. Giải phương trình
Giải khác.
Phương trình đã cho tương đương với:




Trang 8
(Tm)
2. Giải phương trình : .
Phương trình
.
3. Giải phương trình :

a)
b) vô nghiệm
Đáp số :
Trang 9

4. Giải phương trình : .
Phương trình đã cho tương đương với:
.
5. Giải phương trình lượng giác
Đáp số:
6. Giải phương trình
Điều kiện :
a) ( thỏa mãn điều kiện )
b)
Đáp số:
7. Giải phương trình : .
Điều kiện :
Trang 10
Khi đó phương trình

Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm là
8. Giải phương trình
Điều kiện : (*). Khi đó
.
Kết hợp điều kiện (*) ta được nghiệm của phương trình là
9. Giải phương trình
Điều kiện
Ta có
( ) (thỏa mãn điều kiện)
10. Giải phương trình
Trang 11
Điều kiện có nghĩa :
và
PT
11. Giải phương trình

.
12. Giải phương trình :

13. Giải phương trình :
Phương trình đã cho tương đương với
Trang 12
*
* .
Giải khác.
14. Giải phương trình : .
.
15. Giải phương trình lượng giác sau:
Trang 13

16. Giải phương trình : .
Phương trình đã cho tương đương với :
17. Giải phương trình :
.
Từ phương trình đã cho ta có :




18. Giải phương trình : .



Trang 14

19. Giải phương trình :
Phương trình đã cho
20. Giải phương trình :
Phương trình đã cho tương đương với :

Vậy
21. Giải phương trình :
Trang 15

22. Giải phương trình :
<=>
<=>
<=>
<=>
<=>
<=>
<=>
23. Giải phương trình
24. Giải phương trình lượng giác sau:
Trang 16
(*)
(**)
Nhận xét: không phải là nghiệm của phương trình
Xét chia cả 2 vế của (**) cho
(**)
(**) vô nghiệm
Vậy (*) vô nghiệm
25. Giải phương trình lượng giác sau:
26. Giải phương trình lượng giác sau:

(*)
Điều kiện : (**)
(*)
Trang 17
Ta có
Thử các điều kiện:
+) Xét:
Do đó
Kết hợp ta có thoả mãn điều kiện (**)
+) Xét
Do đó
Kết hợp và (**) ta có:
Kết luận: (*)
27. Giải phương trình

Trang 18
28. Giải phương trình :
<=>
<=>
<=>
<=>
29. Giải phương trình :
(1)
Nhan thay Khong phai la nghiem cua phuong trinh. Vay
(2)




Vay tap nghiem cua pt la (1)

(2)
30. Giải phương trình :
Ta có:
Biết
Nên
Trang 19
Do đó phương trình (1) tương tương:
*Với suy ra
*Với
Do nên ta có:
*
*
31. Giải phương trình :
Trang 20
32. Giải phương trình :
.
Đặt
Ta được :
Đáp số : với là góc mà
33. Giải phương trình lượng giác :
Phương trình đã cho tương đương với
Đáp số :
34. Giải phương trình :
pt <=>
Chia cả 2 vế cho 2:
<=>
Trang 21
<=>
<=>
35. Giải phương trình :

Các nghiệm số là
Chủ đề XÁC SUẤT
Bài 1. Gieo hai con súc sắc.
a) mô tả không gian mẫu
b) gọi A là biến cố “tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hoặc
bằng 7″. Liệt kê các kết quả thuận lợi cho A. Tính P(A).
c) Cũng câu hỏi trên cho các biến cố B: ” có ít nhất một con súc sắc xất hiện mặt 6
chấm” và C: “có đúng một con xuất hiện mặt 6 chấm”
Giải:a) vậy khôg gian mẫu có 36 phần tử.
Hay . ( có thể liệt kê như thường làm)
b) A ={(6;1),(5;1),(5;2),(4;1),(4;2),(4;3),(3;1),(3;2),(3;3),(3,4),(2;1),(2;2),(2;3)
,(2;4),(2;5),(1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(\1;6)}
vậy n(A) = 21 nên P(A) =
c) giống như trên n(B) = và n(C) =
B ài 2.
Chọn ngẫu nhiên 5 người có tên trong danh sách 20 người, đánh số từ 1 đến 20. Tính
xác suất để 5 người được chọn có số thứ tự không lớn hơn 10.
Giải:
Trang 22
chọn 5 trong số 20 người nên
Số thứ tự không vượt quá 10 nên ta chọn 5 người trong tập những người có số thứ tự từ
1 đến 1 Vậy
số trường hợp thuận lợi là:
vậy xác suất cần tìm là
Bài 3. Chọn ngẫu nhiên ba bạn từ một tổ có 6 nam và 4nữ để làm trực nhật. Tính xác
suất sao cho trong đó:
a) cả 3 đều nam.
b) có đúng hai bạn nam
c) có ít nhất 1 nam
Hướng dẫn – đáp án.

( chọn 3 nam trong số 6 nam)
( chọn 2 nam trong số 6 nam và 1 nữ trong số 4 nữ)
Dùng biến cố đối để tính C:”có ít nhất một bạn nam” lúc đó “không có bạn nam
nào” ( tức là 3 nữ)
( chọn 3 nữ trong số 4 nữ), suy ra xác suất từ đó suy ra P(C).
Bài 4 . Gieo ba đồng xu cân đối. Tính xác suất để :
a) cả 3 đồng xu đều sấp
b) có ít nhất 1 đồng xu sấp
c) có đúng 1 đồng sấp.
Giải:
Có thể giải bằng cách liệt kê hoặc dùng các quy tắc tính xác suất để tính.
ở đây giải bằng cách liệt kê
từ đó ta dễ dàng suy ra các câu a,b,c
hai bài sau đây coi như để kiểm tra lại xem những gì đã học lại nhé.
B ài 5 . Cho một cỗ bài tú lơ khơ có 52 lá. Lấy ngẫu nhiên 4 lá. Tính xác suất để:
a. 4 lá đều là át.
b. Có hai con át
c. Có ít nhất 1 con át.
d. Có hai con át và hai con K.
Bài 6 . Hai hộp chứa các quả cầu. hộp 1 chứa 3 đỏ và 2 xanh. Hộp 2 chứa 4 đỏ và 6
xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả. Tính xác suất sao cho:
a. Cả hai quả đều đỏ.
b. Hai quả cùng màu.
c. hai quả khác màu.
Chủ đề PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC.
Các bước quy nạp:
- Kiểm tra lại với giá trị khởi đầu. Thông thường là 0 hoặc 1. Tuy nhiên trong một số
bài có thể là các giá trị khác.
- Giả sử đúng khi n = k
- Chứng minh đúng với n = k+1

Bài tập: Chứng minh rằng:
a.
Trang 23
b.
c.
d.
e.
f. Với mỗi số nguyên dương n, đặt . Chứng minh rằng luôn chia
hết cho 19.
Chủ đề DÃY SỐ.
* Dãy số cho công thức của số hạng tổng quát.
Bài 1. Viết 3 số hạng đầu và xét tính tăng, giảm, bị chặn của dãy số (u
n
) khi số hạng
tổng quát:
a.
2
n
2.n -3
u =
n
.
b. u
n
=(-1)
n
.2
n
.
c. u

n
=3
n
-7.
d.
n
2
2n+1
u =
n
Bài giải.
a.
2
1
2
2
2
3
2.1 -3
u = =-1
1
2.2 -3 5
u = =
2 2
2.3 -3 15
u = =
3 3
2
n+1 n
2n +2n+3

u -u = = >0
n(n+1)
với mọi n thuộc N*. Nên dãy số là dãy số tăng.
(u
n
) là dãy số tăng nên
*
n 1
u u , n N≥ ∀ ∈
vậy u
n
≥-1. Dãy số bị chặn dưới.
b.
1
2
3
u =-2
u =4
u =-8
Nên dãy số là dãy số không tăng và cũng không giảm.
(u
n
) là dãy số không bị chặn.
n
n
u
u
→ −∞



→ +∞

.
c.
1
2
3
u =-4
u =2
u =20
Trang 24
n
n+1 n
u -u = =2.3 >0
với mọi n thuộc N*. Nên dãy số là dãy số tăng.
(u
n
) là dãy số tăng nên
*
n 1
u u , n N≥ ∀ ∈
vậy u
n
≥-4. Dãy số bị chặn dưới.
d.
1
2
3
u =3
5

u =
4
7
u =
9
2
n+1 n
2 2
-2n -4n-1
u -u = = 0
n (n+1)
<
với mọi n thuộc N*. Nên dãy số là dãy số giảm.
(u
n
) là dãy số tăng nên
*
n 1
u u , n N≤ ∀ ∈
vậy u
n
≤
3. Dãy số bị chặn trên.
* Dãy số cho dưới dạng hệ thức truy hồi.
Bài 2. Viết 3 số hạng đầu và xét tính tăng, giảm, bị chặn của dãy số (u
n
) khi cho dãy số
dưới dạng hệ thức truy hồi.
a.
1

2
n n-1
u =1
u = u +1





.
b.
1
n-1
n
n-1
u =1
u
u =
1+u





.
c.
1
n n-1
u =1
u =u 1



−

.
d.
1
n n-1
1
u =
2
u =3.u





.
Bài giải:
a.
1
2
3
u =1
u = 2
u = 3
n
u >0, n∀
2
n n-1 n n-1

n n-1
1
u = u +1 u u 0
u +u
⇒ − = >
n n-1
u -u >0
với mọi n thuộc N*. Nên dãy số là dãy số tăng.
(u
n
) là dãy số tăng nên
*
n 1
u u , n N≥ ∀ ∈
vậy u
n
≥1. Dãy số bị chặn dưới.
Trang 25