Tích phân và ứng dụng

TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12
BÀI 1: TÍCH PHÂN
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Khái niệm tích phân
1. Diện tích hình thang cong
Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a;b]. Hình phẳng giới hạn bởi
dồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được gọi là hình
thang cong.
2. Định nghĩa tích phân
Tích phân của hàm số f(x) từ a đến b là:

Trong đó, F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của f(x)
a: gọi là cận trên
b : gọi là cận dưới.
Chú ý : Trong trường hợp a = b hoặc a > b.

1
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = −
∫
a b x
y
A
B
y = f(x)
O
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12

Nhận xét:
a, Tích phân của hàm số f không phụ thuộc vào biến số mà chỉ phụ thuộc vào hàm f và
các cận a, b. Ta có thể kí hiệu tích phân của hàm số f là
( )
b
a
f x dx
∫
hay
( )
b
a
f t dt
∫
b, Ý nghĩa hình học của tích phân.
Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b], thì tích phân
( )
b
a
f x dx
∫
là diện
tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục Ox và hai đường thẳng
x = a, x = b.
Vậy :
( )
b
a
S f x dx=
∫

II. Tính chất của tích phân

Tính chất 2
Tính chất 3
III. Phương pháp tính tích phân.
1. Công thức đổi biến số

2
Tính chất 1
( ( ) ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx=
∫ ∫
[ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx a c b= + < <
∫ ∫ ∫
( ) 0
( ) ( )
a
a
b a
a b

f x dx
f x dx f x dx
=
= −
∫
∫ ∫
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12

[ ( )] '( ) ( )
b
a
f u x u x dx f u du
β
α
=
∫ ∫
Trong đó,
( ), ( )u a u b
α β
= =
B. BÀI TẬP
Ví dụ 1: Tính
Giải:
Đặt u = sinx
cosdu xdx
⇒ =
0 0, 1
2
x u x u
π

= ⇒ = = ⇒ =
Ta có:
Ví dụ 2: Tính
Giải:
Đặt x = tant, Ta có:
Khi x = 0 thì t = 0, x = 1 thì t =
4
π
Vậy :
2. Công thức tích phân từng phần
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x v x u x dx= −
∫ ∫

3
1
0
x
I xe dx=
∫
2
2
0
sin cosx xdx
π
∫

1
1
2 2 3
2
0
0 0
1 1
sin cos .
3 3
x xdx u du u
π
= = =
∫ ∫
1
2
0
1
1
dx
x+
∫
2 2
t
π π
−
< <
2
1
'( )
os

x t
c t
=
1
4
2 2 2
0 0
4
0
1 1
.
1 1 tan os
4
dt
dx
x t c t
dt
π
π
π
=
+ +
= =
∫ ∫
∫
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12
Ví dụ 1: Tính
Giải:
Đặt:
Ta có:

Ví dụ 2: Tính
Giải:
Đặt:
Ta có:

4
x x
u x du dx
dv e dx v e
= =
 
⇒
 
= =
 
( ) ( ) ( )
( )
1 1
1 1 1
0 0 0
0 0
1 1
x x x x x
I xe dx xe e dx xe e
e e
= = − = −
= − − =
∫ ∫
2
0

cosI x xdx
π
=
∫
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
= =
 
⇒
 
= =
 
( )
2 2
2
2
0
0 0
0
cos sin sin
cos 1
2 2
I x xdx x x xdx
x
π π
π
π
π π
= = −

= + = −
∫ ∫
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12
BÀI 2: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Tính diện tích hình phẳng.
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành.
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) liên tục, trục hoành và hai
đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức:
( )
b
a
S f x dx=
∫



Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng được xác định bởi đồ thị hàm số y = x
3
, trục hoành
và hai đường thẳng x = 1, x =2.
Giải:
Diện tích hình phẳng cần tìm:
2
2 2
4
3 3
1 1
1
15

4 4
x
S x dx x dx
 
= = = =
 ÷
 
∫ ∫
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong.

5
a b x
y
y = f(x)
O
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = f(x), y = g(x) , trục hoành và
các đườn thẳng x = a, x = b được tính theo công thức:
( ) ( ) (*)
b
a
S f x g x dx= −
∫
Chú ý:
Khi áp dụng công thức (*), cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân.
Muốn vậy ta giải phương trình f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a;b]. Giả sử phương trình có
hai nghiệm c, d (c<d). Khi đó: f(x) – g(x) không đổi dấu trên các đoạn [a;c], [c;d],
[d;b]. Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn đoạn [a;c], ta có:
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )

c c
a a
f x g x dx f x g x dx− = −
∫ ∫
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = 7 – 2x
2
và
y = x
2
+ 4.
Giải:
Ta có:
( )
2 2 2
7 2 4 0 3 3 0 1x x x x− − + = ⇔ − + = ⇔ = ±
Vậy diện tích hình phẳng cần tính:
( )
1 1 1
2 2 2 2
1 1 1
1
3
1
7 2 ( 4) 3 3 ( 3 3)
3 4
S x x dx x dx x dx
x x
− − −
−
= − − + = − + = − +

= − + =
∫ ∫ ∫
II. Thể tích
1. Thể tích của một vật thể
Cắt một vật thể (
S
) bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x =
a, x =b (a<b). Gọi S(x) là diện tích thiết diện của (
S
) khi cắt bởi một mặt phẳng tùy ý
vuông góc với trục Ox tại điểm x (
a x b≤ ≤
). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a;b].

6
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12
Thể tích V của phận vật thể (
S
) giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) được tính theo
công thức:
( )
b
a
V S x dx=
∫
Ví dụ 1
Tính thể tích khối lăng trụ, biết diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h .
Giải:
Chọn trục Ox song song đường cao của khối lăng trụ,
còn hai đáy nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với

Ox tại x = 0 và x = h .
Cho mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox. Cắt lăng trụ
theo thiết diện có diện tích không đổi bằng B(S(x) = B
với 0 ≤ x ≤ h ).
Áp dụng công thức (5) có :

7
x
a
bx
P
Q
S(x
)
O
x
h
x
S(x) = B
( )
0 0
h h
V S x dx Bdx= =
∫ ∫
0
.
h
B x Bh= =
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12
2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt :

a) Cho khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B.
Chọn trục Ox vuông góc với mặt phẳng đáy tại điểm I. Sao cho điểm O trùng với
đỉnh của khối chóp và hướng xác định bởi véc tơ
OI
uur
Lúc đó OI = h
Một mặt phẳng (α) vuông góc với Ox tại x(0≤x≤h) cắt khối chóp theo thiết diện có
diện tích là S(x) . .
Ta có :
Và thể tích V của khối chóp là :
b) Cho khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S, có diện tích đáy là B, B’ và đường cao
h.
Chọn trục Ox vuông góc với mặt phẳng đáy lớn (P) tại điểm I. Mp đáy nhỏ (Q) tại
I’ .
Đặt đỉnh S trùng với O. OI = b; OI’ = a ( a < b)

8
( )
2
2
.
x
S x B
h
=
2
2
0
.
h

x
V B dx
h
=
∫
3
2
0
3
h
B x
h
 
=
 ÷
 
3
Bh
=
B
S ≡ O
x
I
h
Q
I’
B’
P
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12
Gọi V là thể tích khối chóp cụt , ta có :

Nên:
III. Thể tích của khối tròn xoay.
Thể tích khối tròn xoay do đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox, hai đường thẳng x = a, x = b
quay quanh trục Ox được tính theo công thức:
2
( )
b
a
V f x dx
π
=
∫
Ví dụ 1: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = sinx, trục hoành và hai đường
thẳng x = 0, x =
π
. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục Ox.
Giải:
Ta có:
( )
2
2
0 0
0
1
sin 1 os2 sin 2
2 2 2 2
V xdx c x dx x x
π
π π
π π π

π
 
= = − = − =
 ÷
 
∫ ∫
B. BÀI TẬP
DẠNG 1: Sử dụng định nghĩa
Bài 1: Tính các tích phân:
a,
2
4
2
1
x dx
x
 
+
 ÷
 
∫
2
1
3
,
1 2
b dx
x−
∫

9
2
2
.
b
a
x
V B dx
b
=
∫
( )
3 3
2
3
B
b a
b
= −
Vì :
2
2
' .
a
B B
b
=
và h = b – a
( )
' '

3
h
V B B BB= + +
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12
c,
1
2
0
3
1
x
e dx
x
 
+
 ÷
+
 
∫
d,
2
0
( )x x x dx−
∫
e,
( )
1
0
1
x

e dx+
∫
f,
2
2
1
4
x
dx
e
∫
g,
( )
2
2 4
1
3x x dx
−
−
∫
Hướng dẫn giải
4
2
3
4 4
2
2
2 2
2
1 1 1 275

, 2 2
3 12
x
a x dx x dx x
x x
x
 
   
+ = + + = + − =
 ÷
 ÷  ÷
   
 
∫ ∫
2
2
1
1
3 3 3ln 3
, ln 1 2
1 2 2 2
b dx x
x
−
= − =
−
∫
c,
1
2 2

1
2
0
0
3 1
3ln 1 3ln 2
1 2 2 2
x
x
e e
e dx x
x
 
 
+ = + + = + −
 ÷
 ÷
+
 
 
∫
d,
2
3 5
2
2 2
2 2
0 0
0
2 8 2

( ) . 2
5 2 5
x
x x x dx x x dx x
   
− = − = − = −
 ÷  ÷
   
∫ ∫
e,
( ) ( )
1
1
0
0
1
x x
e dx e x e+ = + =
∫
f,
2 2
2
2 2 2 4
2
1
1 1
4
4. 2 2( )
x x
x

dx e dx e e e
e
− − − −
= = − = −
∫ ∫
g,
( )
2
3
2
2 4
3
1
1
1 35
3
3 24
x
x x dx
x
−
 
− = + =
 ÷
 
∫
Bài tập 2: Tính các tích phân sau

10
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12

11
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12

12
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12
Dạng 2: Sử dụng công thức đổi biến số:
Bài tập 1:Tính các tích phân sau:
a,
5
4
2
(3 4)x dx−
∫
2
2
1
, 3b x x dx+
∫
Hướng dẫn giải
a,
5
4
2
(3 4)x dx−
∫
Đặt u = 3x – 4
3
3
du

du dx dx⇒ = ⇒ =
2 2, 5 11x u x u= ⇒ = = ⇒ =
11
5
5 11
4 4
2 2
2
161 019
1 1
(3 4) .
3 3 5 15
u
x dx u du⇒ − = = =
∫ ∫
2
2
1
, 3b x x dx+
∫

13
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12
Đặt:

2
u x 3, 2
2
1 4, 2 7
du

du xdx xdx
x u x u
= + = ⇒ =
= ⇒ = = ⇒ =
7
1 3
2 7
2
2 2
1 4
4
1 1 7 7 8
3 .
2 3 3
x x dx u du u
−
⇒ + = = =
∫ ∫
Bài tập 2: Tính các tích phân sau:
a,I =
∫
−
1
0
5
)1( dxxx
Đặt t = 1 – x => dt = -dx
Đổi cận: x = 0 => t = 1;x = 1=> t = 0
I =
∫ ∫

−=−−
0
1
1
0
655
)()()1( dtttdttt
=
∫ ∫
=−=−
1
0
7
6
1
0
65
42
1
0
1
t
0
1
6
t
dttdtt
b. I =
dxx1x
9

1
3
∫
−
Đặt: t =
dxx1
3
−
=> t
3
= 1 – x
3t
2
dt = -dx
x = 1 => t = 0
x = 9 => t = -2
I =
∫∫
−
−
−=−−
0
2
63
2
0
23
dt)t3t3(dtt3.t)t1(
=
7

468
2
0
7
3
2
0
4
3
33
74
0
2
6
0
2
3
−
=
−
−
−
=−
∫∫
−−
tt
dttdtt
c. I =
∫
−

++
+
1
1
2
dx
1xx
1x2
Đặt: t =
1xx
2
++
1
22
++=⇒ xxt
=> 2tdt = (2x+1)dx
x = -1 => t = 1

14
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12
x = 1 => t =
3
I =
∫∫
−==
3
1
3
1
)13(2dt2dt

t
t2
d. I =
∫
+
+
1
0
x
x
dx
xe1
)x1(e
Đặt: t = 1 + x.e
x
=> dt = (e
x
+ xe
x
)dx = e
x
( 1 + x) dx
x = 0 => t = 1
x = 1 => t = 1 + e
I =
∫
+
−+=
+
=

e1
1
1lne1ln
1
e1
tln
t
dt
= ln(1+e)
e. I =
∫
+
1
0
3
2
dx
1x
x2
Đặt: t = x
3
+1 => dt = 3x
2
dx
=> x
2
dx =
3
dt
x = 0 => t = 1

x = 1 => t = 2
I =
∫
==
2
1
2ln
3
2
tln
3
2
dt
t3
2
Bài tập 3: Tính các tích phân sau:
1. I =
dxx1
1
0
2
∫
−
(x = sint)
Đặt: x = sint => dx = cost.dt
x = 0 => sint = 0=> t = 0
x = 1 => sint = 1=> t =
2
π
I =

dt.tcos.tcosdt.tcos.tsin1
2
π
0
2
2
π
0
2
∫∫
=−
=
dt.tcosdt.tcos.tcos
2
π
0
2
2
π
0
∫∫
=

15
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12
=
4
π
0
2

π
t2sin
4
1
2
π
.
2
1
dt.
2
1t2cos
2
π
0
=+=






+
∫
2. I =
∫
−
1
0
22

dx.x1.x
(x = sint)
Đặt: x = sint => dx = cost.dt
x = 0 => sint = 0 => t = 0
x = 1 => t =
2
π
I =
∫∫
=−
2
π
0
222
2
π
0
2
dt.tcos.tsindt.tcos.tsin1.tsin
=
∫∫
=−=−=
2
0
2
0
2
16
0
2

4sin
32
1
2
.
8
1
)4cos1(
8
1
4
2sin
ππ
π
π
π
tdttdt
t
Dạng 3: Sử dụng công thức tích phân từng phần
Bài tập1: Tính các tích phân sau:
2
0
, (2 1)cosa x xdx
π
−
∫
3
0
, sin xb x dx
π

∫
2
0
, (2 1)cosc x xdx
π
−
∫
Hướng dẫn giải:
2
0
, (2 1)cosa x xdx
π
−
∫
Đặt:
2 1 2u x du dx
= − ⇒ =

cos sinxdv xdx v
= ⇒ =
2 2
2 2 2
0 0 0
0 0
(2 1)cos (2 1)sinx 2 sin x (2 1)sinx 2cos 3x xdx x dx x x
π π
π π π
π
⇒ − = − − = − + = −
∫ ∫

16
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12
3
0
, sin xb x dx
π
∫
Đặt u = x
3

2
3du x dx⇒ =

sin cosdv xdx v x
= ⇒ = −
3 3 2 3
0
0 0
sin x cos 3 cosx dx x x x xdx K
π π
π
π
⇒ = − + = +
∫ ∫
Tính
2
0
3 cosK x xdx
π

=
∫
Đặt u = x
2

2du xdx
⇒ =

cos sinxdv xdx v
= ⇒ =
2 2
0
0 0 0
3 cos 3 sinx 6 sin 0 6 sinK x xdx x x xdx x xdx
π π π
π
⇒ = = − = −
∫ ∫ ∫
Đặt u = x
du dx⇒ =

sin x cosdv dx v x= ⇒ = −
0 0
0 0
6 sin 6 cos 6 cos 6 sinx 6K x xdx x x xdx
π π
π π
π π
⇒ = − = − + = − + = −
∫ ∫

Vậy:
3 3
0
sin x 6x dx
π
π π
= −
∫
Bài tập 2:Tính các tích phân sau:

17
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12

18
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12
5. I =
∫
−
−
+
0
1
.)32( dxex
x
Đặt: u = 2x + 3 => du = 2dx

19
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12
dv = e
-x

dx => v = -e
-x
I = -(2x + 3)
dxe2
1
0
e
0
1
xx
∫
−
−−
+
−
=
1
0
2)23()30.2(
10
−
−−++−
−x
eee
= - 3 + e - 2 + 2e = 3e – 5
6. I =
inxs)xπ(
π
0
∫

−
.dx
Đặt: u = π - x => du = - dx
dv = sinxdx => v = -cosx
I = - (π - x )cosx
0
π
+
∫
−
π
0
)dx(xcos
= -(π - π) cosπ + (π - 0)cos0 - sinx
0
π
= π
7. I =
∫
e
1
xdxlnx
Đặt: u = lnx => du =
x
1
dx
dv =
x
dx => v =
2

3
x
3
2
I =
2
3
x
3
2
lnx
dx.
x
1
.x
3
2
1
e
e
1
2
3
∫
−
=
2
3
e
3

2
lne -
1
.
3
2
.
3
2
3
2
.
3
2
2
3
1
e
xeedxx
e
−=
∫
=
)2ee(
9
2
9
4
e
9

4
ee
3
2
2
3
+=+−

20
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính các tích phân sau
1)
∫
−=
1
0
19
;.)1( dxxxA
2)
∫
+++=
1
0
102
;.)321)(31( dxxxxI
3)
∫
−=
1

0
635
;.)1( dxxxI

4)
( )
1+
∫
1
3
2
0
I = 2x xdx
5)
2
2
1
3
= +
∫
I x x dx
6)
2
2
3
0
1
=
+
∫

x
I dx
x

7)
3
2
0
4
1
=
+
∫
x
I dx
x
8)
2
3
2 3
1
1
= +
∫
I x x dx
9)
2
2 3
0
2.= +

∫
I x x dx

10)
2
3
2
2
( 1)
−
= −
∫
x x
I x e dx
11)
2
1
0
.
−
=
∫
x
I e xdx
12) I =
tan
4
2
0
cos

π
∫
x
e
dx
x

13)
ln 3
3
0
( 1)
=
+
∫
x
x
e
I dx
e
14)
1
1 ln+
=
∫
e
x
I dx
x
15)

2
1
ln
=
∫
e
x
I dx
x

16)
1
1 ln
+
=
∫
e
x
I dx
x
17) I =
3
1
(1 ln )
.
+
∫
e
x
dx

x
. 18)
2
0
1 3cos .sin
π
= +
∫
I x xdx

19)
2
0
sin 2
.
1 cos
π
+
∫
x
dx
x
20)
2
2
0
sin 2 .sin
π
=
∫

I x xdx
21) I =
2
2
3
sinx(2cos 1)
π
π
−
∫
x dx

22) I=
3
2
0
2 os
1 sin
π
+
∫
c xdx
x
23) I =
4
0
sin 2
1 cos 2
π
+

∫
x
dx
x
. 24)
2
sin
0
.cos
π
=
∫
x
I e xdx
Bài 2 : Tính các tích phân sau
1. I =
∫
−
+
1
1
2
dx
1x
x2
; 2. I =
∫
−+
+
12

10
2
dx
2xx
1x2
; 3. I =
∫
−
+
1
1
4
dx)2x3(
;
4. I =
∫
+
2
1
2
dx3xx
5. I =
∫
+
3
0
2
3
dx
1x

x
; 6. I =
∫
+
1
0
32
dx1xx
;
7. I =
∫
+
1
0
2
dx)1x2(x
; 8. I =
∫
−






+
−
4
2
2

dx
3x
2x
(t = x + 3) 9. I =
dx
x
x4
5
2
∫
+
(
x4t +=
)

21
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12
10. I =
dx
31x
21x
3
0
∫
++
++
(
1xt +=
) 11. I =
∫

+
2
1
3x2
dx
(
3x2t +=
)
12. I =
dx
xsin1
xcos
2
π
0
∫
+
13. I =
inxdxscos
2
π
0
3
∫
BÀI TẬP ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a, y = x
2
, y = x + 2
b, y =

ln x
, y = 1
c, y = (x – 6)
2
, y = 6x – x
2
Giải:
a, Ta có :
Vậy diện tích hình phẳng cần tính là :
b, Ta có :
Vậy diện tích hình phẳng cần tính là :
c, Ta có :
Vậy diện tích hình phẳng cần tính là :

22
2
1
2 0
2
x
x x
x
= −

− − = ⇔

=

2 2
2 2

1 1
2
3 2
1
2 ( 2)
9
2
3 2 2
S x x dx x x dx
x x
x
− −
−
= − − = − −
 
= − − =
 ÷
 
∫ ∫
ln 1
ln 1 0 ln 1
1
ln 1
x e
x
x x
x
x
e
=


=


− = ⇔ = ⇔ ⇔


= −
=


( )
( ) ( )
1 1
1
1
1
1
1
1
ln 1 ln 1
1
( ln 1) (ln 1) ln ln 2 2
e e
e e
e
e
e
e
S x dx x dx

x dx x dx x x x x x e
e
= − = −
= − − + − = − + − = + −
∫ ∫
∫ ∫
2 2 2
3
( 6) (6 ) 0 2 18 36 0
6
x
x x x x x
x
=

− − − = ⇔ − + = ⇔

=

6 6
2 2 2
3 3
6
3
6
2 2
3
3
( 6) (6 ) 2 18 36
2

(2 18 36) 9 36 9
3
S x x x dx x x dx
x
x x dx x x
= − − − = − +
 
= − + = − + =
 ÷
 
∫ ∫
∫
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12
Bài 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 2x, trục
hoành, trục tung và đường thẳng x = 3.
Giải :
Diện tích hình phẳng cần tìm :
3 1 2 3
3 2 3 2 3 2 3 2
0 0 1 2
1 2 3
4 4 4
3 2 3 2 3 2
0 1 2
3 2 ( 3 2 ) ( 3 2 ) ( 3 2 )
11

( ) ( ) ( )
4 4 4 4
S x x x dx x x x dx x x x dx x x x dx
x x x
x x x x x x
= − + = − + − − + + − +
= − + − − + + − + =
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x
3
, trục hoành và
đường thẳng x =2.
Giải :
Ta có
3
0 0x x= ⇔ =
Diện tích hình phẳng cần tìm :
2
2
4
3
0
0
4
4
x
S x dx= = =
∫
Bài 4 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4 – x
2

và trục hoành
Giải :
Ta có giao điểm của đồ thị hàm số y = 4 – x
2
và trục hoành là :
2
2
4 0
2
x
x
x
=

− = ⇔

= −

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm :
( )
2
2 2
3
2 2
2 2
2
32
4 4 4
3 3
x

S x dx x dx x
− −
−
 
= − = − = − =
 ÷
 
∫ ∫

23
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12
Bài 5 :Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e
x
+ 1, trục tung, trục
hoành và đường thẳng x = 1.
Giải
Diện tích hình phẳng cần tính :
1
1
0
0
( 1) ( )
x x
S e dx e x e= + = + =
∫
Bài 6 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e
2x
– 1, trục hoành và
hai đường thẳng x = 1, x = 2.
Giải

Diện tích hình phẳng cần tính :
2
2
2 4 2
2
1
1
( 1) 1
2 2
x
x
e e e
S e dx x
 
−
= − = − = −
 ÷
 
∫
Bài 7 : Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y =
1- x
2
, y = 0 khi quay quanh trục hoành.
Giải :

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm :
Bài 8 :Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
y = cosx, y = 0, x = 0, x =
π
khi quanh trục Ox.

24
2
ó : 1 1Ta c x x− ⇔ = ±
( )
1 1
2 2 2 4
1 1
1
3 5
1
(1 ) 1 2
2 1 16
3 5 15
V x dx x x dx
x x x
π π
π
π
− −
−
= − = − +
 
= − + =
 ÷
 
∫ ∫
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12
Giải :
Thể tích khối tròn xoay cần tìm :

Bài 9 :Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
y = tanx, y = 0, x = 0, x =
4
π
Giải :
Thể tích khối tròn xoay cần tìm :
Bài 10 : Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
y = x(4 - x) và trục hoành.
Giải :
Ta có :
0
(4 ) 0
4
x
x x
x
=

− = ⇔

=

Thể tích khối tròn xoay cần tìm :
[ ]
( )
4 4 4
2
2
2 2 3 4
0 0 0

4
3 4 5
0
(4 ) 4 (16 8 )
16 1 512
2
3 5 15
V x x dx x x dx x x x dx
x x x
π π π
π
π
= − = − = − +
 
= − + =
 ÷
 
∫ ∫ ∫
Bài 11 : Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
1
y
x
=
, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3.

25
( )
2
4 4
2

0 0
4
0
1
tan 1
os
t anx 1
4
V xdx dx
c x
x
π π
π
π π
π
π π
 
= = −
 ÷
 
 
= − = −
 ÷
 
∫ ∫
2
0 0
2
0
1 os2

os
2
1 1
sin 2
2 4 2
c x
V c xdx dx
x x
π π
π
π π
π
π
+
 
= =
 ÷
 
 
= + =
 ÷
 
∫ ∫