HÌNH KHÔNG GIAN ÔN THI

BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Bài 1:
Cho tứ diện .Trên lần lượt lấy các điểm sao cho không song song với
. TÌm giao điểm của và
Bài 2:
Cho hình chóp . lần lượt là trung điểm và .
a/ Tìm giao tuyến của và
b/ Tìm thiết diện của với hình chóp .
Bài 3:
Cho tứ diện Gọi lần lượt là trung điểm của và . là điểm trên cạnh sao
cho . Xác định thiết diện và
Bài 4:
Cho tứ diện , gọi là điểm lần lượt nằm trên cạnh sao cho cắt
tại cắt tại . CMR: đồng qui.
Bài 5:
Cho tứ diện . TRên lần lượt lấy các điểm sao cho
CMR:
CMR: giao tuyến của và
Bài 6: Cho hình chóp , đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm
của
a/CMR:
b/ Gọi là trung điểm của song song
c/ Gọi lần lượt là trọng tâm của các tam giác . CMR:
Bài 7:
Cho hình hộp và cạnh song song nhau.
a/ CMR:
b/ CMR: đường chéo đi qua trọng tâm của tam giác
Bài 8:
Cho hình bình hành và một điểm ở ngoài sao cho và tam giác
vuông tại . Trên cạnh lấy điểm và Mặt phẳng qua song song
với và cắt lần lượt tại

a/ Thiết diện là hình gì?
b/Tính diện tích thiết diện đó theo và
c/ Gọi là giao điểm của và . CMR: khi biến thiên trong khoảng điểm luôn thuộc
đường tròn cố định.
Bài 9:
Cho hình vuông và một điểm ở ngoài sao cho . Mặt
phẳng qua cắt tại . CMR: là hình thang cân.
Bài 10:
Cho mặt phẳng một tam giác vuông tại . Trên vuông góc mặt tại lấy điểm , trên
lấy điểm , trên lấy .
a/ CMR: Tứ diện có các cạnh đối vuông góc nhau.
b/ Từ vẽ vuông góc tại . CMR: là trực tâm của tam giác .
c/ CMR:
Bài 11:
1
Tứ diện có tam giác vuông góc ở vuông góc hạ vuông góc
tại và lấy điểm trên sao cho
a/ CMR: vuông góc vuông góc
b/ CMR: vuông góc .
Bài 12:
Lấy điểm ở ngoài mặt phẳng hình thoi sao cho cắt
tại .
a/ CMR: vuông góc suy ra vuông góc và vuông góc b/ Tính
diện tích hình thoi khi vuông góc , góc độ.
Bài 13:
Cho nữa đường tròn đường kính nằm trong mặt , thuộc ( không trùng và ).
Trên đường thẳng vuông góc tại với mặt lấy điểm . CMR: vuông góc
Bài 14:
Cho hình chữ nhật có Trên đường thẳng vuông góc với tại
lấy một điểm sao cho CMR: điểm cùng thuộc một mặt cầu. Xác định tâm

và bán kính mặt cầu đó.
Bài 15:
Cho hình vuông có tâm cạnh và điểm ở ngoài sao cho
và góc Tìm để điểm cùng thuộc mặt
cầu.
Bài 16:
Cho tam giác đều cạnh và một số điểm ở ngoài mặt sao cho
a/ Tính khoảng cách từ đến
b/ Tính góc giữa và
Bài 17:
Cho tứ diện có góc độ, , vuông góc và
Gọi là trung điểm của
a/ Tính góc giữa mặt và
b/ Tính đường cao của tam giác .
c/ Tính góc giữa mặt và
d/ Tính khoảng cách từ đến
Bài 18:
Cho hình vuông và tam giác đều cạnh nằm trong mặt phẳn vuông góc nhau. Gọi
là trung điểm của
a/ CMR: vuông góc )
b/ Tính góc giữa và mặt
c/ Gọi là trung điểm của . CMR: vuông góc Tính khoảng cách từ đến
Bài 19:
Tứ diện có vuông góc góc độ,
a/ Tính góc giữa 2 mặt và
b/ Tình diện tích tam giác .
Bài 20:
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Cạnh , và vuông góc với mặt
Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của :
2

a/ và
b/ và
c/ và
Bài 21:
Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật là mặt phẳng cùng vuông góc
với đáy ( cạnh tạo với đáy góc (độ)) và tạo với góc
độ, Tính .
Bài 23:
Cho hình chóp có cạnh bên đáy là tam giác đều có độ dài bằng
. Tính
Bài 24:
Cho tam giác vuông tại , là hình chiếu vuông góc của trên
Trên nữa đường thẳng vuông vuông góc lấy một điểm và đặt
a/ Tính theo
CMR: Mọi điểm thuộc ta có
Bài 25:
Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , các cạnh bên của hình
chóp cùng tạo với đáy một góc
CMR:
Bài 26:
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành có tâm với Tính thể tích biết
độ, các mặt bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng
Bài 27:
Cho hình chóp có đáy là hình thang cân với diện tích và góc nhọn . Các mặt
bên của hình chóp tạo với mặt đáy các góc nhọn bằng nahu và bằng góc . Tính thể tích hình chóp
.
Bài 28:
Cho hình chóp có các cạnh còn lại đều bằng .
a/ Tính thể tích hình chóp theo
b/ Tìm x,y để thể tích hình chóp lớn nhất.

Bài 29:
Cho tam giác cân tại có góc . Trên đường thẳng qua và
vuông góc với mặt lấy điểm sao cho . Gọi là trung điểm của . Hạ
vuông góc .
a/ CMR: vuông góc . Tính theo
b/ Gọi là điểm thay đổi trên đoạn , đặt mặt phẳng qua và vuông góc với cắt
lần lượt các cạnh tại . Tính diện tích tứ giác này
Bài 30:
Trên các cạnh của tam diện , lấy lần lượt điểm . với
. Gọi là trực tâm của tam giác
a/ Tính và diện tích tam giác
b/ Khi thay đổi sao cho Tìm gia 1trị lớn nhất của , diện tích tam
giác
c/ CMR:
Bài 31:
Trong mặt phẳng cho hình vuông cạnh có tâm Trên các nữa đường thẳng
vuông góc và về cùng phía đối với ta lần lượt lấy điểm Đặt .
3
a/ Tính độ dài Từ đó chứng minh rằng : điều kiện cần và đủ để tam giác vuông tại là
b/ Giả sử thay đổi sao cho tam giác vuông tại . Tính thể tích tứ diện . Tìm
để thể tích tứ diện này bằng
Bài 32:
Cho hình chóp có là đường cao và đáy là tam giác vuông tại , độ,
Tìm để góc nhị diện bằng độ.
Bài 33:
Chi hình chóp có cạnh vuông góc nhau từng đôi một tại và
a/ Tính chiều cao của hình chóp xuất phát từ theo
b/ Tính khoảng cách giửa đường chéo
Bài 34:
Cho tam giác vuông cân tại với là trung điểm của . Từ và

kẻ các tia , về cùng một phái của mặt phẳng và vuông góc với mặt phẳng
. Trên lấy điểm , trên lấy điểm sao cho Gọi là hình chiếu
vuông góc của trên
CMR:
vuông góc
Bài 35:
Cho góc tam diện vuông góc lần lượt là các điểm di động trên thỏa mãn
CMR: luôn qua điểm cố định.
Bài 36:
Cho tứ diện có các cạnh đôi một vuông góc nhau và
. Gọi lần lượt là trung điểm .
CMR: vuông góc
Bài:37:
Cho hình lăng trụ tam gíac . Gọi và lần lượt là trung điểm cuả các cạnh
.
a/ Chứng minh rằng:
b/ Tìm giao tuyến của mặt và
Tuyển sinh đại học
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM QUY NHƠN ( KHỐI A )
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A .Biết AB=AC=AA’ ;
AA’//BB’//CC’ . Điểm M di động trên đoạn thẳng AC’ , điểm N di động trên đoạn BC sao cho M khác A
và AM=BN .
a,Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với mp (ABB’A’).
b,Xác định vị trí của các điểm M , N để cho độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất .
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH
Cho tam diện ba góc vuông Oxyz .Trên ba cạnh Ox, Oy, Oz ta lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho
OA=a , OB=b , OC=c , trong đó a,b,c là 3 số dương .
a,Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mp (ABC) . Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác
ABC .Tính OH theo a,b,c.
4

b,Chứng tỏ rằng với lần
lượt là diện tích của tam giác ABC ,OAB , OBC , OCA .
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN (KHỐI D)
Cho hệ phương trình (I) ;a là tham số
a,Giải hệ phương trình (I) với a=2
b,Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F =x.y+2(x+y),trong đó x,y là nghiệm của hệ phương trình
(I).
ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI
Trong không gian với hệ trục toạ độ trực chuẩn Oxyz cho đường thẳng (D) có phương trình :
a,Chứng minh rằng đường thẳng (D) song song với mp :
b,Gọi (D’) là hình chiếu vuông góc của (D) trên mp (xOy) . Chứng minh rằng khi thay đổi , đường
thẳng (D’) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định .
ĐẠI HỌC THUỶ SẢN
Cho tứ diện SPQR với .Gọi A, B, C theo thứ tự là trung điểm các đoạn
PQ, QR, RP .
a,Chứng minh rằng các mặt của khối tứ diện SABC là các tam giác bằng nhau
b,Tính thể tích khối tứ diện SABC khi cho SP=a , SQ=b , SR=c.
ĐẠI HỌC VĂN HOÁ –HÀ NỘI ( KHỐI D )
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , với AB = AD = a;DC =
2a . Cạnh bên SD vuông với mp đáy và (a là số dương cho trước ) . Từ trung điểm E của
DC dựng EK vuông góc với SC (K thuộc SC ).
a,Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a và chứng minh SC vuông góc với mp (EBK).
b,Chứng minh rằng nếu điểm S ,A ,B ,E ,K ,D cùng thuộc một mặt cầu . Xác định tâm và tính bán
kính mặt cầu theo a .
c,Tính khoảng cách từ trung điểm M của đoạn thẳng SA đến mp (SBC) theo a.
ĐẠI HỌC DÂN LẬP VĂN LANG
Cho AB là đoạn thẳng vuông góc chung của hai nửa đường thẳng Ax và By vuông góc với nhau . Cho
AB= a . Lấy M di động trên Ax và điểm N di động trên By sao cho đoạn MN có độ dài không đổi .
a,Đặt AM= x ; BN= y .Tính thể tích của tứ diện ABMN theo a,x và y .
b,Tính thể tích lớn nhất của thể tích ấy

c,Xác định quỹ tích trung điểm I của đoạn MN .
ĐẠI HỌC VINH ( KHỐI A , B )
Trong mp (P) trong nửa đường tròn ( C) đường kính AC ; B là một điểm thuộc ( C) .Trên nửa đường
thẳng Ax vuông góc với (P) ta lấy điểm S sao cho AS = AC . Gọi H , K lần lượt là chân đường vuông
góc hạ từ A xuống các đường thẳng SB, SC .
a,Chứng minh rằng tam giác SBC và AHK là tam giác vuông
b,Tính độ dài đoạn HK theo AC và BC
c,Xác định vị trí của B trên ( C) sao cho tổng diện tích hai tam giác SAB và CAB lớn nhất . Tìm giá trị
lớn nhất
ĐẠI HỌC VINH (KHỐI D ,T ,M)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a .Hai điểm M , N di động trên hai đoạn thẳng BD
và B’A tương ứng sao cho BM=B’N=t . Gọi lần lượt là các góc tạo bởi đường thẳng MN với các
đường BD và B’A .
a,Tính độ dài đoạn MN theo a và t .Tìm t để độ dài đoạn MN đạt giá trị nhỏ nhất .
b,Tính khi độ dài đoạn MN đạt giá trị nhỏ nhất
5
c,Trong trường hợp tổng quát , chứng minh hệ thức :
ĐẠI HỌC Y HÀ NỘI
Cho tứ diện ABCD trong đó BC=a ,AB=AC=b , DB=DC=c , là góc phẳng nhị diện cạnh BC .
Với điều nào với BC thì đường thẳng nối điểm giữa E của BC với điểm giữa F của AD là đường vuông
góc chung của BC và AD ? với điều kiện vừa tìm được , hãy chứng minh hình cầu đường kính CD đi
qua E,F và tính thể tích tứ diện đã cho .
BAI LAM THEM
Bài 1
Cho tứ diện ABCD
1/ Chứng tỏ rằng các đường thẳng nối mỗi đỉnh với trọng tâm của mặt đối tứ diện đồng quy tại điểm
G
2/ Nếu điểm G trùng với tâm hình cầu nội tiếp, chứng tỏ rằng các mặt cầu của tứ diện là bằng nhau
Bài 2
Cho tứ diện OABC. Trong ta giác ABC ta lấy một điểm M. Các đường thẳng qua M song song với OA,

OB, OC lần lượt cắt các mặt (OBC), (OCA), (OAB) tại A' , B' ,C'. chứng minh
Bài 3
Cho tứ diện OABC vuông ở O. Đặt OA=a; OB=b;OC=c
1/ Gọi A, B, C là ba góc trong tam giác ABC. chứng minh
2/ Nếu có a+b=c thì hãy chứng minh:
Bài 4
Cho tứ diện ABCD có AB=CD=2x và bốn cạnh còn lại có độ dài bằng 1
1/ Tính diện tích toàn phần của tứ diện
2/ Xác định x để diện tích toàn phần đạt giá trị lớn nhất
Bài 5
Cho tứ diện ABCD. Gọi A', B' ,C' ,D' lần lượt là trọng tâm của các tam giác :
. Chứng minh rằng các đường thẳng AA', BB', CC', DD' cùng đi qua 1 điểm
G và ;
Bài 6
6
Cho tứ diện ABCD có AB=CD=2x và AC=AD=BC=BD=1; Gọi I, J lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB và CD
1/ Chứng minh và IJ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD
2/ Tính thể tích tứ diện ABCD theo x. Tìm x để thể tích này lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó
Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB=2a. Trên d đi qua A và vuông góc với mp(ABC) lấy S
khác A.
1) CM: tứ diện SABC chỉ có một cặp đối diện vuông góc với nhau.
2) Xác định tâm mặt câù ngoại tiếp tứ diện SABC. Tính bán kính mặt câù này trong trường hợp
mp(SBC) taọ với mp(ABC) một góc bằng
3) Tìm qũy tích tâm mặt câù ngoại tiếp tứ diện SABC khi S chạy trên d ( S#A)
4) Lấy S' đối xứng với S qua A, gọi M là trung điểm cuả SC. Xác định thiết diện taọ bởi mp di qua S',
M và song song với BC cắt tứ diện SABC. Tính diện tích cuả thiết diện đó khi
( Trích đề thi vaò DHSP Vinh năm 1997).
1. Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' với cạnh bằng a.
a. Tính khoảng cách giưã 2 dt AA' và BD'.

b. CM: BD' vuông góc với mp(DA'C').
( Trích đề thi vaò học viện quan hệ quốc tế năm 1998, khối A)
2. Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' cạnh a và một điểm M trên AB, AM=x,0<x<a. Xét mp(P) qua M
và chưá A'C' cuả A'B'C'D'.
a. Tính diện tích thiết diện cuả hình lập phương cắt bởi mp(P).
b. mp(P) chia hình lập phương thành 2 khối đa diện, hãy tìm x để thể tích cuả 1 trong 2 khối đa diện
đó gấp đôi thể tích khối đa diện kia.
( Trích đề thi vaò học viện ngân hàng, khối D, K năm 1999.)
1. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm I(A đối diện với C). Các nưả đường thẳng Ax, Cy vuông góc với
mp(ABCD) và ở về cùng một phiá đối với mặt phẳng đó. Cho điểm M không trùng với A trên Ax, cho
điểm N không trùng với C trên Cy. Đặt AM=m, AN=n.
a. Tính thể tích hình chóp BAMNC ( đỉnh B, đáy AMNC).
b. Tính MN theo a, m, n và tìm điêù kiện đối với a, m, n để góc MIN vuông.
(Trích đề thi vaò DHQG HN, năm 1997, khối D.)
2. Cho tứ diện ABCD. Một mp() song song với AD và BC cắt các cạnh AB, AC, CD, DB lần lượt tại M,
N, P, Q.
7
a. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b. Xác định vị trí cuả () để diện tích MNPQ đạt giá trị lớn nhất.
(Trích đề thi vaò khối B, E cuả DHSP Vinh năm 1999).
1. Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy,
SA=AB=a.
a. Tính diện tích tam giác SBD theo a.
b. Chứng minh BD vuông góc với SC.
c. Tính góc giưã SC và mp(SBD).
(trích đề thi vaò khối G cuả DHSP Vinh năm 1999)
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nưả lục giác đêù với AD=2a, AB=BC=CD=a và đường cao
trong đó O là trung điểm cuả AD.
a. Tính thể tích cuả S.ABCD.
b. Gọi () là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SD. Hãy xác định thiết diện cuả hình chóp khi cắt

bởi mp().
(trích đề thi vaò DHSP Quy Nhơn năm 1999).
1. Trên các cạnh Ox, Oy, Oz cuả tam diện vuông Oxyz, lấy lần lượt 3 điểm A, B, C với OA=a, OB=b,
OC=c. Gọi H là Trực tâm cuả tam giác ABC.
a. Tính OH và diện tích tam giác ABC.
b. Khi a, b, c thay đổi sao cho với k là hằng số dương, tìm giá trị lớn nhất của OH
và cuả diện tích tam giác ABC.
c. Chứng minh
(Trích đề thi vaò trường DHNN Tp.HCM năm 1995).
2. Cho góc tam diện Sxyz với . Trên các tia Sx, Sy, Sz theo thứ
tự lấy các điểm A, B, C sao cho : SA=SB=SC=a.
a. CM: tam giác ABC vuông. Xác định hình chiêú vuông góc H cuả S lên mp(ABC).
b. Tính bán kính hình câù nội tiếp tứ diện SABC theo a.
c. Tính góc phẳng cuả nhị diện (SAC,BAC).
(Trích đề thi vaò trường DHSP Tp.HCM năm 1995).
8
1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đêù cạnh a, SA vuông góc mp(ABC) và
SA=a. Gọi M là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Đặt , hạ SH vuông góc với CM.
a. Tìm qũy tích điểm H. Suy ra giá trị lớn nhất cuả thể tích tứ diện SAHC.
b. Hạ AH vuông góc SC, AK vuông góc SH. Tính độ dài SK, AK và thể tích tứ diện SAIK.
( Trích đề thi vaò DHQG tp.HCM đợt 1 năm 1999, khối A.)
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hính chữ nhật. Lấy M, N lần lượt trên các cạnh SB, SD sao
cho :
a. Mp(AMN) cắt SC tại P. Tính tỉ số .
b. Tính thể tích hình chóp S.AMPN theo thể tích V cuả hình chóp S.ABCD.
( Trích đề thi vaò DH Cần Thơ, khối A, năm 1998).
1. Cho ba tia Ox, oy, oz vuông góc với nhau từng đôi một. Xét tam diện Oxyz. Điểm M cố định nằm
trong góc tam diện.Một mặt phẳng đi qua M cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C. Gọi khoảng cách từ M
đến các pm(OBC), (OCA), (OAB) lần lượt là a, b ,c.
a. CM: tam giác ABC không phải là tam giác vuông.

b. CM: .
c. Tính OA, OB, OC theo a, b, c để tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất.
(Trích đề thi vaò trường DH Y-Dược Tp.HCM năm 1995).
2.Cho một tam diện vuông đỉnh O. Trên 3 cạnh cuả tam diện đó lấy 3 điểm A, B, C sao cho: AC=2OB,
BC=2OA.
a. M, N là chân các đường vuông góc kẻ từ O xuống AC và BC. Chứng minh rằng MN vuông góc với
OC.
b. Tính cos góc MON.
c. Gọi D là trung điểm cuả AB. CM: .
(Trích đề thi vaò trường DH Kinh Tế Tp.HCM năm 1995.)
9
1. Trên mặt phẳng () cho góc xOy. SO=a vuông góc với mp(). Các điểm M, N chuyển động trên Ox,
Oy sao cho ta luôn có: OM+ON=a.
a. Xác định giá trị lớn nhất cuả thể tích tứ diện SOMN.
b. Tìm qũy tích tam I cuả mặt câù ngoại tiếp SOMN. CM rằng khi tứ diện có thể tích lớn nhất thì nó lại
có bán kính mặt câù ngoại tiếp nhỏ nhất.
(Trích đề thi vaò trường DH ngoại thương Tp.HCM năm 1995)
2. Trong mp(P) cho hình vuông ABCD cạnh a có tâm là O. Trên các nưả đường thẳng Ax, Cy vuông
góc với (P) và ở về cùng một phiá đối với (P) lần lượt lấy 2 điểm M, N. Đặt AM=x, CN=y.
a. Tính độ dài MN. Từ đó chứng minh rằng điêù kiện cần và đủ để tam giác OMN vuông tại O là
.
b. Giả sử M, N thay đổi sao cho tam giác OMN vuông tại O. Tính thể tích tứ diện BDMN. Xác định x, y
để thể tich tứ diện này bằng
(Trích đề thi vaò DHQG, Tp.HCM đợt 2 năm 1999, khối D.)
1. Cho tam giác đêù OAB với AB=a>0. Trên đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mp(OAB) lấy M
với OM=x. Gọi E, F lần lượt là các hình chiêú vuông góc cuả A lên MB và OB. EF cắt d tại N.
a. CM: AN vuông góc với BM.
b. Xác định x để thể tích tứ diện ABMN nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
( Trích đề thi vaò trường DH tổng hợp Tp.HCM năm 1995).
2.Cho hình vuông ABCD cạnh a trong mp(P). Hai điểm M và N di động trên BC và CD. Đặt CM=x,

CN=y. Trên đường thẳng At vuông góc với mp(P) lấy điểm S. Tìm hệ thức giưã x, y để:
a. (SAM) và (SAN) taọ thành góc
b. (SAM) và (SAN) vuông góc với nhau.
(Trích đề thi vaò trường DH kiến trúc Tp.HCM năm 1994)
1. Cho đường tròn tâm O bán kính R. Xét các hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mp đáy( S và A
cố định), SA=h cho trước, đáy ABCD là một tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn đã cho mà các đường
cheó AC và BD vuông góc với nhau.
a. Tính bán kính cuả mặt câù ngoại tiếp hình chóp(Đi qua 5 đỉnh cuả hình chóp).
b. Hỏi đáy ABCD là hình gì để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn nhất?
( Trích đề thi vaò trường DHQG Hn năm 1998, khối B.)
2. Trong mp(P) cho d và điểm A ngoài d. di động quanh A, cắt d tại B và C. Trên đường thẳng
qua A và vuông góc với (P) lấy một điểm S. Gọi H và K là các hình chiêú vuông góc cuả A lên SB và
SC.
10
a. CM: A, B, C, H, K thuộc một mặt câù.
b. Tính bán kính mặt câù trên biết AB=2, AC=3, .
c. Giả sử tam giác ABC vuông tại A. Chứnh minh rằng mặt câù ngoại tiếp khối đa diện ABCHK luôn
luôn đi qua một đường tròn cố định khi S thay đổi.
(Trích đề thi vaò trường DH Y-dược Tp.HCM năm 1994).
1. Cho tứ diện SABC có các góc phẳng ở đỉnh S vuông.
a. CM: .
b. Biết rằng SA=a, SB+SC=k. đặt SB=x.Tính thể tích tứ diện SABC theo a, k, x và xác định SB, SC để
thể tích tứ diện SABC lớn nhất.
(Trích đề thi vaò DHQG Tp.HCM năm 1996, khối A.)
2. Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với mp(ABC), nhị diện cạnh SB là nhị diện vuông. Cho biết
.
a.CM: BC vuông góc với SB. Xác định tâm và bán kính hình câù ngoại tiếp tứ diện SABC.
b. Tính thể tích tứ diện SABC. Với giá trị naò cuả thì thể tích đó lớn nhất.
c. Xác định để góc phẳng cuả nhị diện cạnh SC bằng
(Trích đề thi vaò trường DHSP năm 1994).

1. Cho 2 đường thẳng , ' cheó nhau nhận AA' làm đường vuông góc chung. Gọi (P) là mp qua A và
vuông góc với A' và d là hình chiêú cuả lên (P). Đặt AA'=a, góc nhọn giưã và d là . Mp(Q) song song
với mp(P) cắt và ' lần lượt tại M và M'. Gọi là hình chiêú cuả M lên mp(P).
a. CM: A, A', M, M', cùng nằm trên mặt câù (S). Xác định tâm O cuả (S). Tính bán kính cuả (S)
theo a, và khoảng cách x giưã mp(P) và mp(Q).
b. Khi x thay đổi, hãy tìm qũy tích cuả O, tâm cuả mặt câù (S). CM: khi (S) thay đổi, mặt câù (S)
luôn đi qua một đường tròn cố định.
( Trích đề thi vaò trường DH kinh tế Tp.HCM năm 1994).
2. Bên trong hình trụ tròn xoay có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà hai đỉnh liên tiếp A, B
nằm trên đường tròn đáy thứ nhất cuả hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ 2 cuả
hình trụ. Mặt phẳng hình vuông taọ với đáy cuả hình trụ góc . Tính diện tích xung quanh và thể
tích cuả hình trụ đó.
( Trích đề thi vaò trường DH ngoại ngữ năm 1999, theo chương trình chua phân ban.)
1. Cho hình chóp S.ABC có SA là đường cao và đáy là tam giác ABC vuông tại B.Cho Gọi
11
, tìm để góc nhị diện (SC) bằng .
(Trích đề thi vaò trường DH y khoa Hn năm 1999).
2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, AB=AC=a, mp(SBC) vuông góc với mp(ABC) và
SA=SB=a.
a. Chứng tỏ rằng SBC là tam giác vuông tại S.
b. Xác định tâm và bán kính hình câù ngoại tiếp hình chóp biết SC=x.
(Trích đề thi vaò trường DH tổng hợp năm 1994, khối D.)
Cho hình hộp chữ nhật ABCDA'B'C'D' và điểm M trên cạnh AD. Mp(A'BM) cắt đường cheó AC' cuả hình
hộp tại H.
1. CM : khi M thay đổi trên AD thì MH cắt AB tại 1 điểm cố định.
2. Tính tỉ số thể tích cuả hai khối đa diện được taọ bởi mp(A'BM) cắt hình hộp trong trường hợp M là
trung điểm AD.
3. Giả sử AA'=AB và MB vuông góc với AC. CM: mp(A'BM) vuông góc với AC' và H là trực tâm cuả
tam giác A'BM.
( Trích đề thi vaò trường DH ngoại ngữ năm 1999, theo chương trình phân ban.)

lấy từ sách giaó khoa Lê Hồng Phong
bài 1:Hình chữ nhật ABCD . chứa BD ; vuông góc mp (ABCD )
chứa CD ; vuông góc mp (ABCD)
Đường tròn đường kính BD ; thuộc
M chuyển động trên đường tròn
1, CMR :
2, Xác định vị trí M để
3,AM cắt tại
vuông góc CD tại
CMR : ( k= const)
Bài 2.
Cho tứ diện ABCD. M trong tứ diện ;
12
; CMR :
Bài 3.
Cho hình chóp ; là trọng tâm tam giác ; cắt tại
CMR:
/Cho hình chóp đáy vuông tại , biết rằng mặt bên cũng là những tam giác vuông
đỉnh không ở .Giả sử vuông góc đáy , tam giác vuông cân.Tính góc sao cho
số đo góc nhị diện cạnh bằng .
2/Bài này lấy từ Mnf
Cho tứ diện ABCD thể tích V
1/ la diện tích 2 mặt nào đó, a là chiều dài cạnh chung, là góc nhị diện chung
2/a,b là 2 cạnh đối, d là khoảng cách , là góc giữa nó thì
3/ S là diện tích toàn phần r là bk cầu nội tiếp
4/ với
Bài 1
Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác đều cạnh a, các mặt (SAB); (SBC) và (SCA) hợp với (ABC) các
góc bằng nhau và bằng
1/ Chứng minh rằng: hình chiếu H của S lên (ABC) là tâm đường tròn nội tiếp

2/ Tính tổng diện tích 4 mặt của tứ diện S.ABC
Bài 2
Cho tứ diện ABCD có AB=CD; BC=BD còn AC=AD. Dựng
1/ Chứng minh H nằm trên trung tuyến BI của
2/ Xác định
Bài 3
Cho một tứ diện đều SABC có cạnh là a
13
1/ Hãy tính chiều cao SO xuất phát từ đỉnh S và thể tích V của tứ diện SABC
2/ Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Chứng minh MN là đoạn vuông góc chung của SA
và BC. Tính độ dài của MN theo a
Bài 4
Cho một khối tứ diện đều SABC. Gọi SH là đường cao của khối tứ diện đó và I là trung điểm của SH
1/ Chứng minh rằng điểm I, trọng tâm T của tam giác ABC và tâm hình cầu ngoại tiếp khối tứ diện
IABC thẳng hàng
2/ Tính bán kính của hình cầu nội tiếp khối tứ diện IABC theo canh a của tứ diện đều SABC
3/ Chứng minh rằng ba đường thẳng AI, BI và CI từng đôi môt vuông góc với nhau
Bài 5
Cho ba nửa đường thẳng Ox, Oy, Oz không cùng nằng trong một mặt phẳng và một điểm A nằm trên
Oz. Hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (Oxy), Ox, Oy lần lượt là A', B, C
1/ Chứng minh rằng nếu thì OA' là đường phân giác của góc và BC là trực
giao với OA
2/ Cho biết và
Gọi là góc hợp bởi đường thẳng Oz và mặt phẳng (Oxy); là góc nhọn hợp bởi mp (ABC) và (Oxy).
Tìm hệ thức liên hệ giữa và ; giữa và . Suy ra biểu thức của theo . Tính
nếu
3/ Cùng giả thiết như ở phần 2, hãy xác định tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC và xác định tiếp
diện của hình
4/Cho tứ diện ,gọi và là tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện.
gọi lần lượt là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện

CMR:
Cho tứ diện ABCD có và CD=2a.
1) Chứng minh rằng AB vuông góc CD. Hãy xác định đường vuông góc chung của AB và CD.
2) Tính thể tích tứ diện ABCD.
3) Xác định tâm I cuả mặt câù ngoại tiếp tứ diện ABCD.
4) Gọi H là hình chiêú vuông góc cuả điểm I trên mp(ABC). Chứng minh H là trực tâm cuả tam giác
ABC.
(Trích đề thi vaò DHSP Quy Nhơn năm 1997)
Đây là một bài toán khá cơ bản nhưng rất thú vị .
1/ Gọi I, K lần lượt là trung điểm cuả CD và AB. Khi đó ta thấy AB (ADK)nên AB IK. Mà KC=KD nên
KI CD . Vậy IK là đường vuông góc chung cuả AB và CD.
14
2/
3/ Tam giác IBC vuông có IB = a. Trong tam giác IAD vuông cũng có IA = a. Nên IA = IB= IC = ID =
a . Vậy I là tâm mặt câù ngoại tiếp tứ diện ABCD.
4/ IA = IB= IC = ID = a ( câu 3). Gọi H = hc I/(ABC) thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC đêù nên H cũng là trực tâm tam giác ABC.
1. Cho hình chóp tam giác đêù SABC có đường cao SO=1 và đáy ABC có cạnh bằng . Điểm M, N
là trung điểm cuả cạnh AC, AB tương ứng. Tính thể tích hình chóp SAMN và bán kính hình câù nội tiếp
hình chóp đó.
(Trích đề thi vaò trường DH kinh tế Quôc dân HN năm 1997)
2.Cho hình chóp tam giác SABC có SA=x, BC=y, các cạnh còn lại đêù bằng 1.
a. Tính thể tích hình chóp theo x, y.
b. Với x, y naò thì thể tích hình chóp là lớn nhất.
(Trích để thi vaò DH An ninh năm 1999)
3. Cho một hình chóp tứ giác đêù SABCD, tất cả các cạnh đêù bằng a.
a. Tính thể tích hình chóp SABCD.
b. Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy ABCD đêù các mặt bên cuả hình chóp.
( Trích đề thi vaò DH Đà Nẵng, nam 1997, khối D.)
Vì tam giác ABC đêù nên tam giác AMN cũng đêù cạnh bằng

Vì hình chóp cho là hình chóp đêù nên O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Trong tam giác vuông AOM có
Trong tam giác vuông SAM có . Do đó .
Tương tự ta cũng tính được
2/a.Trước hết ta cần để ý tam giác BAS cân tại B, tam giác CAS cân tại C và SA (BMC)
b Dùng BĐT cô si ngược dâú . dâú "=" xảy ra khi
15
3/a/Gọi O là tâm hình vuông thì SO (ABCD)
b/ Gọi I là trung điểm CD. Tam giác SOI vuông có SO.OI = OK.SI; OK SI tại K. Tính được
Ta có OI CD; SI CD; OK CD . do vậy OK là khoảng cách từ tâm mặt đáy đến mặt bên hình chóp . từ
đây tính OK ?
Chú ý : có thể dùng phương pháp tọa độ để giải
16