De thi HSG Toan 8 2009-2010

phòng GD&ĐT thờng xuân
đề thi học sinh giỏi
trờng thcs lơng sơn năm học 2009 2010
môn: toán 8
(Thời gian làm bài: 120 phút)

Bài 1: (5 điểm)
Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
1.
2
7 6x x+ +
2.
4 2
2008 2007 2008x x x+ + +
Bài 2: (6điểm) Giải phơng trình:
1.
2
3 2 1 0x x x + + =
2.
( )
2 2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4 4x x x x x
x x x x

+ + + + + = +
ữ ữ ữ ữ

Bài 3: (2điểm) 1. CMR với a,b,c,là các số dơng ,ta có: (a+b+c)(
9)
111
++
cba
Bài 4: (7 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H

BC). Trên tia HC
lấy điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo
m AB=
.
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng
dạng. Tính số đo của góc AHM
3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:
GB HD
BC AH HC
=
+
.
Bài
1
Câ
u
Nội dung Điểm
1. 2,0
1.1
(0,75 điểm)
( ) ( )
2 2

7 6 6 6 1 6 1x x x x x x x x+ + = + + + = + + +

( ) ( )
1 6x x= + +
0.5
0,5
1.2
(1,25 điểm)
4 2 4 2 2
2008 2007 2008 2007 2007 2007 1x x x x x x x+ + + = + + + + +
0,25
( ) ( ) ( )
2
4 2 2 2 2 2
1 2007 1 1 2007 1x x x x x x x x= + + + + + = + + + +
0,25
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
1 1 2007 1 1 2008x x x x x x x x x x= + + + + + + = + + +
0,25
2.
2,0
2.1
2
3 2 1 0x x x + + =
(1)
+ Nếu
1x
: (1)
( )

2
1 0 1x x = =
(thỏa mãn điều kiện
1x
).
+ Nếu
1x
<
: (1)
( ) ( ) ( )
2 2
4 3 0 3 1 0 1 3 0x x x x x x x + = = =

1; 3x x = =
(cả hai đều không bé hơn 1, nên bị
loại)
Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là
1x
=
.
0,5
0,5
2.2
( )
2 2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4 4x x x x x

x x x x

+ + + + + = +
ữ ữ ữ ữ

(2)
Điều kiện để phơng trình có nghiệm:
0x

(2)
( )
2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4x x x x x
x x x x


+ + + + + = +

ữ ữ ữ ữ



( ) ( )
2
2 2
2

2
1 1
8 8 4 4 16x x x x
x x

+ + = + + =
ữ ữ

0 8x hay x = =
và
0x
.
Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm
8x
=
0,25
0,5
0,25
3
2.0
3.1 Ta có:
A=
111)
111
)(( ++++++++=++++
b
c
a
c
c

b
a
b
c
a
b
a
cba
cba
=
)()()(3
c
b
b
c
a
c
c
a
a
b
b
a
++++++
Mà:
2+
x
y
y
x

(BĐT Cô-Si)
Do đó A
.92223
=+++
Vậy A
9

0,5
0,5
3.2 Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
( ) 2 4 6 8 2008
10 16 10 24 2008
P x x x x x
x x x x
= + + + + +
= + + + + +
Đặt
2
10 21 ( 3; 7)t x x t t= + +
, biểu thức P(x) đợc viết lại:
( ) ( )
2
( ) 5 3 2008 2 1993P x t t t t= + + = +
Do đó khi chia
2
2 1993t t +
cho t ta có số d là 1993

0,5
0,5
4
4,0
4.1 + Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc C chung.

CD CA
CE CB
=
(Hai tam giác vuông CDE và
CAB đồng dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).
Suy ra:
ã
ã
0
135BEC ADC= =
(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo
giả thiết).
Nên
ã
0
45AEB =
do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra:
2 2BE AB m= =
1,0
0,5
4.2
Ta có:

1 1
2 2
BM BE AD
BC BC AC
= ì = ì
(do
BEC ADC

:
)
mà
2AD AH=
(tam giác AHD vuông vân tại H)
nên
1 1 2
2 2
2
BM AD AH BH BH
BC AC AC BE
AB
= ì = ì = =
(do
ABH CBA

:
)
Do đó
BHM BEC :
(c.g.c), suy ra:
ã

ã
ã
0 0
135 45BHM BEC AHM= = =
0,5
0,5
0,5
4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc
BAC.
Suy ra:
GB AB
GC AC
=
, mà
( ) ( )
//
AB ED AH HD
ABC DEC ED AH
AC DC HC HC
= = =:
0,5
Do đó:
GB HD GB HD GB HD
GC HC GB GC HD HC BC AH HC
= = =
+ + +
0,5