DAP AN- HINH HOC KHONG GIAN

1.Hd:
1. ThiÕt diÖn lµ h×nh thang vu«ng
MNCB, vu«ng t¹i B vµ M.
1
( )
2
MNCB
S MN CB MB= +
* BM
2
=BA
2
+AM
2
⇒BM=
2 2
a x+
* ∆SMN ®ång d¹ng ∆SAD,
⇒
. (2 ).
2
SM AD a x b
MN
SA a
−
= =
VËy
2 2 2 2
1 2
. (4 )
2 2 4

MNCB
ab bx b
S b a x a x a x
a a
−
 
= + + = − +
 
 
2. XÐt hµm sè
2 2
( ) (4 )
4
b
f x a x a x
a
= − +
(0≤x≤2a)
2 2
2 2
2 4
'( )
4
b x ax a
f x
a
a x
 
− + −
=

 
+
 
f'(x)=0 ⇔
1
(1 )
2
1
(1 )
2
x a
x a

= +



= −


Ta cã: f(0)=ab.
f(2a)=
5
1,118
2
ab ab≈
f(
1
(1 )
2

a +
)=
2
1 1 1
.(3 ) 1 (1 ) 1,134
4
2 2
ab ab− + + ≈
f(
1
(1 )
2
a −
)=
2
1 1 1
.(3 ) 1 (1 ) 0,96
4
2 2
ab ab+ + − ≈
⇒
[ ]
2
0;2
1 1 1
( ) . .(3 ) 1 (1 )
4
2 2
a
Max f x ab= − + +

khi
1
(1 )
2
x a= +
KÕt luËn: VËy víi
1
(1 )
2
x a= +
th× diÖn tÝch cña thiÕt diÖn lín nhÊt.
3. Gäi V lµ thÓ tÝch khèi chãp S.ABCD ⇒
2
.
1 2
. .
3 3
S ABCD
ABCD
a b
V SA V
S
= = =
Gäi V1 lµ thÓ tÝch khèi S.MNCB
V1=V
(SMBC)
+V
(SMNC)
1 Chóc thµnh c«ng !!! Vò phóc
S

A
M N
D
C
B
Ta có
. . 2
. . 2
SMBC
SABC
V
SM SB SC SM a x
V SA SB SC SA a

= = =
V
SABC
=
2
1 1
. ( ) .2
3 6 2
V
SA dt ABC a b= =

2
2 2 (2 )
. .
2 2 2 3 6
SMBC

a x V a x a b a x ab
V
a a

= = =
* Ta có:
2
2
2
. . (2 )
.
. . 4
SMNC
SACD
V
SM SN SC SM SN MN a x
V SA SC SD SA SD AD a


= = = =
ữ

V
SACD
=
2
2 3
V a b
=
V

SMNC
=
2 2 2
2
(2 ) (2 ) .
.
4 3 12
a x a b a x b
a

=
V
1
= V
SMNCB
=
2
(2 ) (2 )
6 12
a x ab a x b
+
Ycbt V
1
=
2
2 3
V a b
=

2 2

(2 ) (2 )
6 12 3
a x ab a x b a b
+ =
x
2
-6ax+4a
2
=0

(3 5) 2 ( )
(3 5) ( / )
x a a loai
x a t m

= + >

=


Kết luận: Vậy x=
(3 5)x a=
thì (MBC) chia khối chóp thành 2 phần tơng đơng.
2. Hd:
Gọi V
1
=
1
.C MNC
V

; V
1
=
1 1 1
.C MNB A
V
V
3
=
.C MNBA
V
; V
4
=
1 1
MNABB A
V
Gọi V là thể tích của lăng trụ.
1 1 1
. 1 2C A B C
V V V= +
Mặt khác:
1 1 1
1 1
. 1 1 1
. . 1
. . 4
C A B C
V CM CN CC
V CA CB CC

= =

1 2
1 1
. ; .
4 3 12 3 12 4
V V V V
V V V= = = =
1 1 1 1 1 1
3 2
3
4 1 2 3
4
5
12
C ABC CMNC CA B C CMNC
V V V V V V
V
V
V
V V V V V
= = =
=
= =
Vậy V
1
: V
2
: V
3

: V
4
= 1:3:3:5
3. Hd:
2 Chúc thành công !!! Vũ phúc
A B
C
M
N
A'
B'
C'
1. Ta có
SA(ABCD)
() (ABCD)
SA // ()
()(SAB)=MN // SA
()(SAC)=OK // SA
()(SABCD)=NH qua O
()(SCD)=KH
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNHK.
Ta có MN// OK // SA MN (ABCD); OK (ABCD)
S
td
=S
ht MKON
+ S
KOH
=
1 1

( ). . .
2 2
MN KO ON OK OH+ +
MN=BN=x; KO=SA/2; NH=
2
2 2 2 2 2
(2 )
2
a
IN IH x a a x ax+ = + = +
Std=
2
2
1
( ).
2 2
a
a x x ax+ +
2. Để thiết diện là hình thang vuông MK// MO// BC N là trung điểm
AB x=a/2.
V=
3
1
. . ( )
3 3
a
SA dt ABCD =
V1=V
SOECH
+V

KOE.MNB
3
3
.
1 1
. . ( )
3 3 2 24
S OECH
a a
V OK dt OECH

= = =
ữ

2
3
.
1
. ( ) .
2 2 2 16
KOE MNB
a a a
V ON dt MNB

= = =
ữ

3 3 3 3
1 2 1
5 11

24 16 48 48
a a a a
V V V V= + = = =
Vậy
2
1
11
5
V
V
=
4. Hd:
Đặt
(0 1)
SM
x x
SA
= < <
3 Chúc thành công !!! Vũ phúc
S
A
D
C
B
M
K
N
O
H
E

S
A
D
C
B
M
K
N
O
H
S
A
D C
B
N
M
Gọi thể tích của hình chóp S.ABCD là V
2
.
.
.
.
. .
(1)
. .
. .
(2)
. .
S MNC
S ABC

S MCD
S ACD
V
SM SN SC
x
V SA SB SC
V
SM SC SD
x
V SA SC SD
= =
= =
Ta có CD=4AB
S
ADC
=4.S
ABC
S
ADC
=
3
4
ABCD
S

. . .
3 3
. ;
4 4 4
S ADC S ABCD S ABC

V
V V V V= = =
Ta có
2
3
. ; .
4 4
SMNC SNCD
V V
V x V x= =
V
1
=V
SMNC
+V
SNCD
=
2
( 3 )
4
V
x x+
2
2
1
3 17
( / )
3 1
2
3 2 0

4 2
3 17
( )
2
x t m
V x x
x x
V
x loai

+
=

+

= = + =


=


KL: Vậy
3 17
2
x
+
=
5. Hd:
1. * Ta chứng minh đợc AH SC.
*

4
2 2 2 2
. .
. .
.
SAHK
SACB
V
SH SH SH SC SK SB SA
V SC SB SC SB SB SC
= = =
* V
ABC
=
2
2
1 1 .sin 2
( ). .cos .sin .
3 6 3
R h
dt ABC SA AB SA


= =
*
2 5
2 2 2 2 2
.sin 2
3( 4 )( 4 cos )
SAHK

R h
V
h R h R


=
+ +
2. Đặt P=
2 2 2 2
sin 2
( 2 2 cos )h R R


+ +
MaxP=
2 2 2
1
4 .h R h+
Dấu bằng xảy ra
4 Chúc thành công !!! Vũ phúc

B
C
H
K
S

2
2 2 2 2
2

2
2 2
cos2
sin 2
2
1 cos ( 2 2 cos 2 )
sin 2
2 sin 2
2
cos2 0
2
R P
h R R
R
R
h R
α
α
α α
α
α
α
=
−
+ +
= −
= − <
+
⇒ 2α tï ⇒α>
4

π
KL: VËy α
0
=
4
π
II
1. Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta
có:
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0;
0; c).
d[M, (OAB)] = 3
Þ
z
M
= 3.
Tương tự
Þ
M(1; 2; 3).
pt(ABC):
x y z
1
a b c
+ + =
1 2 3
M (ABC) 1
a b c
Î Þ + + =
(1).

O.ABC
1
V abc
6
=
(2).
3
1 2 3 1 2 3
(1) 1 3 . .
a b c a b c
Þ = + + ³

1
abc 27
6
Þ ³
.
(2)
min
1 2 3 1
V 27
a b c 3
Þ = Û = = =
.
2. Hướng dẫn giải
5 Chóc thµnh c«ng !!! Vò phóc
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ,
ta có:
A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0),
S(0; 0; 4) và H(1; 0; 0).

mp(P) qua H vuông góc với SB tại
I cắt đường thẳng SC tại K, dễ
thấy
[H, SB, C] =
( )
IH, IK
uur uur
(1).
SB ( 1; 3; 4)= - -
uur
,
SC (0; 3; 4)= -
uur
suy ra:
ptts SB:
x 1 t
y 3 3t
z 4t
ì
ï
= -
ï
ï
ï
ï
= -
í
ï
ï
ï

=
ï
ï
î
, SC:
x 0
y 3 3t
z 4t
ì
ï
=
ï
ï
ï
ï
= -
í
ï
ï
ï
=
ï
ï
î

và (P): x + 3y – 4z – 1 = 0.
( ) ( )
5 15 3 51 32
I ; ; , K 0; ;
8 8 2 25 25

Þ
IH.IK
cos[H, SB, C]
IH.IK
Þ =
uur uur
= …
Chú ý: Nếu C và H đối xứng qua AB thì C thuộc (P), khi đó ta không cần phải tìm
K.
6 Chóc thµnh c«ng !!! Vò phóc
Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz
sao cho O A; B Ox; D Oy
và A' Oz Giả sử hình lập phơng
ABCD A'B'C'D' có cạnh là a đơn vị
A(0;0;0), B (a;0;0), D(0;a;0), A' (0;0;a) C'(1;1;1) Phơng trình
đoạn chắn của mặt phẳng (A'BD):
x + y + z = a hay x + y + z a = 0
Pháp tuyến của mặt phẳng (A'BC): n
(A'BC)
= (1;1;1) mà AC' = (1;1;1)
Vậy AC' vuông góc (A'BC)
III
1. Lời giải:
Chọn hệ trục Oxyz sao cho O là gốc tọa độ
AOx, S Oz, BC//Oy
7 Chúc thành công !!! Vũ phúc
A'
D'
C'
C

B
A
D
B'
I
O
I'
Z
Y
X
Tọa độ các điểm:
3
( ;0;0)
3
A
;
3 1
( ; ;0)
6 2
B
;
3 1
( ; ;0)
6 2
C
;
6
(0;0 )
3
S

;
6
(0;0; )
6
I
Ta cú:
(0;1;0)=
uuur
BC
;
3 1 6
( ; ; )
6 2 6
=
uur
IC
;
6 3
, ( ;0; )
6 6

=

uuur uur
BC IC
Phơng trình mặt phẳng (IBC) là:
6 3 6
( 0) 0( 0) ( ) 0
6 6 6
+ + =x y z

Hay:
6
2 0
6
+ =z
m ta li cú:
3 6
( ;0; ) // (1;0; 2)
3 3
=
uur uur r
SA
SA SA u
Phơng trình đờng thẳng SA:
3
;
3
= +x t
0; 2= = y z t
.
+ Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
3
(1)
3
0 (2)
2 (3)
6
2 0(4)
6

= +


=



=



+ =


x t
y
y t
x z
Thay (1) (2) (3) vào (4)
có:
3 6 3 6
; 0; ( ;0; )
12 4 12 4
= = = x y z M
;
3 6
( ;0; ) 4
12 12
= =
uuur uur uuur

SM SA SM
M nằm trên đoạn SA và
1
4
=
SM
SA
( )
1
( ) 4
=
SBCM
SABC
V
V
.
2. Do G là trọng tâm của ASC
SG đi qua trung điểm N của AC
GI (SNB) GI và SB đồng phẳng (1)
Ta lại có tọa độ G
3 1 6
( ; ; )
18 6 9
3 1 6
( ; ; )
18 6 18
=
uur
GI
3 1 6

( ; ; )
18 6 18
=
uur
GI
. 0 (2) =
uur uur
GI SB GI SB
Từ (1) và (2)
=GI SB H

8 Chúc thành công !!! Vũ phúc
2. Lêi gi¶i:
+ Chän hÖ trôc täa ®é Oxyz sao cho A ≡ O; B ∈ Oy; A
1
∈ Oz. Khi ®ã.A(0;0;0),
B(0;a;0); A
1
(0;0;2a)
1
3
( ; ;2 )
2 2
a a
C a
vµ D(0;a;a)
Do M di ®éng trªn AA
1
, täa ®é M (0;0;t)víi t ∈ [0;2a]
Ta cã :

1
1
1
,
2
∆
 
=
 
uuur uuuur
DC M
S DC DM
Ta có:
1
3
( ; ; )
2 2
(0; ; )
= −
= − −
uuur
uuuur
a a
DC a
DM a t a
,
 
⇒ =
 
uuur uuuur

DG DM
( 3 ; 3( ); 3)
2
−
= − −
a
t a t a a
2 2 2
, ( 3 ) 3( ) 3
2
 
⇒ = − + − +
 
uuur uuuur
a
DG DM t a t a a
1
2 2
2 2
4 12 15
2
1
. . 4 12 15
2 2
∆
= − +
= − +
DC M
a
t at a

a
S t at a
9 Chóc thµnh c«ng !!! Vò phóc
z
x
y
I
O
H
A
C
S
G
N
z
x
C
C
1
M
A
A
1
B
1
B
D
Gi¸ trÞ lín nhÊt hay nhá nhÊt cña
1
DC M

S
tïy thuéc vµo gi¸ trÞ hµm sè
XÐt f(t) = 4t
2
– 12at + 15a
2
f(t) = 4t
2
– 12at + 15a
2
(t ∈[0;2a])
f'(t) = 8t – 12a
3
'( ) 0
2
= ⇔ =
a
f t t
Lập BBT gi¸ trÞ lín nhÊt cña
1
2
15
4
=
DC M
a
S
khi t =0 hay M≡ A
10 Chóc thµnh c«ng !!! Vò phóc