đề thi hsg toán 8 hay

PGD&ĐT BÌNH SƠN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN TOÁN LỚP 8
NĂM HỌC 2008 – 2009
THỜI GIAN 150 PHÚT
Bài 1: (3 điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử: x
4
+ 2009x
2
+ 2008x + 2009
Bài 2: (3 điểm)
Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức:
2 2
2 2 2 2
(y z) (x z)
A
y z x z
+ +
= −
+ +
, trong đó x, y, z là
các số thực thoả mãn điều kiện x > y; z > 0 và z
2

≥
xy.
Bài 3: (3 điểm)
Cho
a b≥
, ta có:

a b
2009 a 2009 b
≥
+ +
.
Chứng minh rằng
x y x y
2009 x 2009 y 2009 x y
−
+ ≥
+ + + −
với các số x, y bất kì.
Bài 4: (3 điểm)
Chứng minh 21
30
+ 39
21
chia hết cho 45
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ đường phân giác AT. Gọi M là trung điểm của
AB, đường vuông góc với AB ở M cắt AT tại N. Trên đường kéo dài AN lấy
một điểm D sao cho N là trung điểm của AD. Gọi P là trung điểm của ND.
Chứng minh:
a) Tứ giác MNDB là hình thang vuông.
b) Tam giác MPB cân.
c) Tứ giác AMPC có tổng các góc đối bằng
0
180
Bài 6: (4 điểm)
Cho đoạn thẳng AB và một điểm M nằm giữa hai điểm A và B. Trong cùng

một nửa mặt phẳng bờ AB, kẻ hai tia Ax và By vuông góc với AB. Trên Ax
lấy một điểm C, tia vuông góc với MC ở M cắt By tại D.
a) Chứng minh AC. DB = MA.MB.
b) Cho ba điểm A, B, C cố đònh, xác đònh vò trí của M để diện tích tứ
giác ABDC đạt giá trò lớn nhất.
Giải:
Bài 1:
x
4
+ 2009x
2
+ 2008x + 2009 = x
4
- x + 2009x
2
+ 2009x + 2009
= x(x -1)(x
2
+ x + 1) + 2009(x
2
+ x + 1) = (x
2
+ x + 1)(x
2
- x + 2009).
Bài 2:
2 2
2 2 2 2
(y z) (x z)
A

y z x z
+ +
= −
+ +
= 1 +
2 2
2yz
y z+
- 1 -
2 2
2xz
x z+
= 2z
2 2 2 2
y x
y z x z
 
−
 ÷
+ +
 
Nhận xét: 2z > 0
2 2 2 2
y x
y z x z
 
−
 ÷
+ +
 

≤
0.
Thật vậy:
2 2 2 2
y x
y z x z
 
−
 ÷
+ +
 

≤
0
⇔
y(x
2
+ z
2
) - x(y
2
+ z
2
)
≤
0
⇔
( x - y)(xy - z
2

)
≤
0 (Luôn đúng vì x > y; z
2

≥
xy)
Vậy A
≤
0. Hay giá trò lớn nhất của A là 0 khi z
2
= xy.
Bài 3:
x y x y x y
2009 x 2009 y 2009 x y 2009 x y 2009 x y
+
+ ≥ + =
+ + + + + + + +
=
x y x y
2009 x y 2009 x y
+ + −
=
+ + + + −
Ta có
x y x y+ − ≥ −
nên theo gợi ý trên ta có
x y
x y
2009 x y 2009 x y

+ −
−
≥
+ + − + −
suy ra
x y x y
2009 x 2009 y 2009 x y
−
+ ≥
+ + + −
.
Bài 4:
Ta có 21
M
3
⇒
21
30

M
9 và 39
M
3
⇒
39
21

M
9
Suy ra 21

30
+ 39
21
c 9 (1)
Ta có 21
30

≡
1
30
≡
1 (mod 5) và 39
21

≡
(-1)
21

≡
-1 (mod 5)Suy ra 21
30
+ 39
21

≡
1 +
(-1)
≡
0 (mod 5) hay 21
30

+ 39
21

M
5 (2)
Lại có (9; 5) = 1 nên tứ (1) & (2)
⇒
21
30
+ 39
21

M
45.
Bài 5:
a) MN là đường trung bình của tam giác nên MN//BD
Ta có
·
0
BMN 90=
Suy ra tứ giác MNDB là hình thang vuông.
b) Gọi Q là trung điểm của MB
Ta có QP là đường trung bình của hình thang MNDB
nên PQ//MN mà MN
⊥
BM nên QP
⊥
BM.
Do đó QP là đường trung trực của tam giác MPB
⇒

Tam giác MPB cân tại P.
c) Tam giác MPB cân tại P
⇒
·
·
QMP QBP=
mà
·
·
ACP QBP=
Suy ra
·
·
0
AMP ACP 180+ =
từ đó suy ra
·
·
0
MAC MPC 180+ =
Bài 6:
a)AMC BDM
⇒
AC.DB = MA.MB
b) AC.DB = MA.MB
⇒
BD =
MA.MB
AC

Do MA + MB không đổi
nên tích MA.MB đạt giá trò lớn nhất khi
MA = MB.
Ta có S
ABCD
=
AB(AC BD)
2
+

Do AB, AC không đổi nên S
ABCD
lớn nhất khi BD lớn nhất
⇔
M là trung điểm của AB.

A
B
C
M
N
T
D
Q
P
s
A
B
M
C

D
y
x