Bất đẳng thức và bất phương trình
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.69 MB, 50 trang )
Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa
ĐẠI SỐ 10
Chương 4.
Bất Đẳng Thức
Bất Phương Trình
SAVE YOUR TIME&MONEY
SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILL
SUIT YOUR PACE
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình
www.saosangsong.com.vn
2
Chương 4 . Bất Đẳng Thức . Bất Phương Trình
§ 1. Bất đẳng thức
A. Tóm tắt giáo khoa .
1. A > B Ù A – B > 0 ; A < B Ù A – B < 0
A ≥ B Ù A – B ≥ 0 ; A ≤ B Ù A – B
≤
0
2. Tính chất :
(a) A > B và B > C => A > C
(b) A > B Ù A + C > B + C
(c) A > B Ù
A.C B.C
A.C B.C
>
⎧
⎨
<
⎩
(d) Nếu A, B > 0 : A > B Ù AB>
A > B Ù
33
AB>
(e)
AB
ACBD
CD
>
⎧
=> + > +
⎨
>
⎩
(f)
AB0
CD0
>>
⎧
⎨
>>
⎩
=> AC > BD
3. Bất đẳng thức Cô-si :
* Định lí : Với mọi a , b
0≥
:
ab
ab
2
+
≤
Đẳng thức xảy ra
Ù a = b
* Hệ quả :
•
1
a2
a
+≥
•
Nếu a , b ≥ 0 và a + b = s thì giá trị lớn nhất của ab là s
2
/ 4 khi a = b
•
Nếu a , b ≥ 0 và ab = p thì giá trị nhỏ nhất của a + b = 2 p khi a = b
4.Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối.
* |x| ≤ a
Ù - a ≤ x ≤ a
* |x| ≥ a
Ù
xa
xa
≥
⎡
⎢
≤−
⎣
* |a + b| ≤ |a| + |b| ; |a - b| ≥
||a| - |b||
B. Giải toán .
Dạng 1 : Chứng minh bất đẳng thức bằng phép biến đổi tương đương.
Các phép biến đổi tương đương (b) , (c) , (d) thừơng được dùng để biến đổi bất đẳng thức
cần chứng minh A ≥ B tương đương với C ≥ D , cuối cùng dùng định nghĩa :C ≥ D
Ù
C – D ≥ 0
.
Ví dụ : Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a)
2(a
3
+ b
3
) ≥ (a + b)(a
2
+ b
2
)
∀
a , b và a + b > 0
b)
4x
2
+ y
2
≥ 4x + 4y - 5 ,
∀
x, y
c)
x
2
– 4xy + 5y
2
+ 2x – 8y + 5 ≥ 0 ,
∀
x, y
d)
x1 9x 4−+ − ≤ , ∀ x
∈
[1 ; 9]
nếu C > 0
nếu C < 0
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình
www.saosangsong.com.vn
3
Giải :a) Bất đẳng thức cần CM Ù 2(a
3
+ b
3
) – (a + b)(a
2
+ b
2
) ≥ 0 (định nghĩa) \
Ù (a + b)[2(a
2
+ b
2
– ab) - (a
2
+ b
2
)] ≥ 0
Ù (a + b)(a
2
+ b
2
– 2ab) ≥ 0
Ù (a + b)(a – b)
2
≥ 0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì a + b > 0 và (a – b)
2
≥ 0
b) Bất đẳng thức cần CM
Ù (4x
2
– 4x + 1) + (y
2
– 4y + 4) ≥ 0
Ù (2x – 1)
2
+ (y – 2)
2
≥ 0 ( bất đẳng thức đúng )
c)
Bất đẳng thức cần CM Ù x
2
– 2(2y – 1)x + 5y
2
– 8y + 5 ≥ 0
(
viết thành đa thức bậc 2 theo x , với hệ số là y)
Ù [x
2
– 2(2y - 1)x + (2y – 1)
2
] – (2y – 1)
2
+ 5y
2
– 8y + 5 ≥ 0 (thêm bớt số hạng để
đưa về hằng đẳng thức a
2
– 2ab + b
2
)
Ù [x – 2y + 1]
2
+ y
2
– 4y + 4≥ 0 ( rút gọn )
Ù ( x – 2y + 1)
2
+ (y – 2)
2
≥ 0 ( bất đẳng thức đúng )
d) Hai vế đều dương , bình phương hai vế , ta được bất đẳng thức tương đương :
2
(x1 9 x) 16−+ − ≤ Ù(x – 1) + (9 – x) + 2 (x 1)(9 x) 16
−
−≤ ( khai triển)
Ù 2
2
(x 10x 9)
−
+−
≤
8 ( rút gọn )
Ù
2
x10x9
−
+−
≤
4 ( nhân hai vế cho ½ )
Ù - x
2
+ 10x – 9
≤
16 ( bình phương hai vế )
Ù x
2
– 10x + 25 ≥ 0 ( rút gọn )
Ù (x – 5)
2
≥ 0 ( bất đẳng thức đúng )
Dạng 2 : Chứng minh bất đẳng thức bằng bất đẳng thức Cô- si
Sử dụng một trong các dạng :
ab
ab
2
+
≤ ; a + b ≥ 2 ab
Hoặc các dạng tương đương : a
2
+ b
2
≥ 2ab ; ab
≤
2
ba
22
+
(2 bất đẳng thức này đúng với
mọi a, b )
Ví dụ 1 : CMR :
a)
(x 1)(5 x)−−
≤
2 ,
∀
x
∈
[1 ; 5] b)
x4
x5
−
+
≤
1
6
, ∀
x
≥
4
c) x +
9
x1−
≥ 7 , ∀
x > 1
d)
2
4x 8x 1
x
+
+
≥ 12 , ∀
x > 0
Giải a) Vì x ∈ [ 1 ; 5] nên x – 1 ≥ 0 và 5 – x ≥ 0 . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không
âm x – 1 và 5 – x , ta có :
(x 1)(5 x)−−
≤
(x 1) (5 x)
2
2
−+ −
=
Ghi chú : Có thể sử dụng pp biến đổi tương đương bằng cách bình phương hai vế rồi chuyển
vế như trong dạng toán 1.
b) Ta có :
1
x4 (x4)9
3
−= −
(
nhân và chia cho 3 =
9
để đưa về dạng
ab
)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm x – 4 và 9 :
x4−
=
9)4x(
3
1
−
≤
1(x 4) 9 x 5
.
32 6
−
++
=
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình
www.saosangsong.com.vn
4
Chia hai vế cho x + 5 > 0 , ta được bất đẳng thức :
x4 1
x5 6
−
≤
+
( đpcm)
Ghi chú : Có thể sử dụng pp biến đổi tương đương bằng cách nhân hai vế cho x + 5 > 0 rồi
chuyển vế như trong dạng toán 1.
c) Ta có :
x +
9
x1−
= ( x – 1) +
9
x1
−
+ 1 ( thêm 1 bớt 1 để đưa về dạng a +
9
a
) . Áp dụng
bất đẳnghức Cô – si cho hai số dương : x – 1 và
9
x1
−
, ta được :
(x – 1) +
9
x1−
≥ 2.
9
(x 1). 2. 9 6
x1
−==
−
Suy ra : x +
9
x1−
≥ 6 + 1 ( cộng hai vế cho 1 )
≥ 7 ( đpcm)
Ghi chú : Có thể sử dụng pp biến đổi tương đương bằng cách nhân hai vế cho x - 1 > 0 rồi
chuyển vế như trong dạng toán 1.
d) Ta có :
2
4x 8x 1
x
++
= 4x +
1
x
+ 8 (
Chia tử và mẫu )
Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho 4x và
1
x
, ta được :
4x +
1
x
≥
1
2. 4x. 4
x
≥
Suy ra :
2
4x 8x 1
x
++
≥ 4 + 8 = 12 ( đpcm)
Ghi chú : (1) Có thể sử dụng pp biến đổi tương đương như trong dạng toán 1 .
(2) Đặc trưng của phưong pháp chứng minh bất đẳng thức bằng bất đẳng thức Cô – si là ta
chỉ phân tích một vế rồi sử dụng bất đẳng thức Cô- si cho hai số thích
hợp , kết hợp với tính chất của bất đẳng thức, để so sánh với vế còn lại .
(3) Trong 4 bài toán này , nếu ta dấu giá trị của vế phải , ta được bài toán đi tìm giá trị lớn
nhất ( bài a , b ) hay giá trị nhỏ nhất ( bài c , d) của một biểu thức
Ví dụ 2 : CM các bất đẳng thức sau :
a)
222
222
abcacb
b
cacba
++≥++ , với mọi a , b, c
≠ 0 .
b) (a + b)(b + c) (c + a) ≥ 8abc với mọi a , b, c ≥ 0 .
c) (a + b + c) (
111
abc
++) ≥ 9 , (a , b , c > 0 ).
Khi nào đẳng thức xảy ra ?
Giải a) Trong bài này , ta sử dụng bất đẳng thức Cô - si kết hợp với tính chất (e) . Áp dụng bất
đẳng thức Cô- si cho các cặp số không âm , ta có :
22 22
22 22
ab ab
2.
b
cbc
+≥ = 2
a
c
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình
www.saosangsong.com.vn
5
22 22
22 22
b
cbc
2.
ca ca
+≥ = 2
b
a
22 22
22 22
ca ca
2.
ab ab
+≥ = 2
c
b
Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều vế với vế , rồi chia hai vế cho 2 , ta được
đpcm .
b) Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho các cặp số không âm , ta có :
a + b ≥ 2
ab > 0
b + c ≥ 2
b
c > 0
c + a ≥ 2
ca > 0
Nhân ba bất đẳng thức cùng chiều vế với vế , ta được đpcm .
c) Ta có : (a + b + c) (
111
abc
++) = 1 + 1 + 1 + (
ab
b
a
+
) + (
ac
ca
+
) + (
b
c
cb
+ )
Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho các cặp số trong dấu ngoặc , ta được :
ab
b
a
+
≥ 2 .
ab
.2
ba
=
(1) ,
ac bc
2(2); 2(3)
ca cb
+≥ +≥
Suy ra : (a + b + c) (
111
abc
++) ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 (4) ( đpcm)
Đẳng thức xảy ra ở (4)
Ù Đẳng thức xảy ra đồng thời xảy ra ở (1) , (2) , (3)
Ù
abacbc
;;
b
ac a c b
== =
Ù a
2
= b
2
= c
2
Ù a = b = c
Dạng 3 : Chứng minh bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối .
Ta thường sử dụng các công thức trong phần 4 để chứng minh bất đẳng thức có chứa giá trị
tuyệt đối hay giải bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối .
Ví dụ : a) CM : |5 – x| + |x + 10| ≥ 15 với mọi x .
b) Giải bất phương trình : |x – 3|
≤
5
c) Giải bất phương trình : |2x – 3| ≥ x
2
Giải
a) Áp dụng bất đẳng thức |a| + |b| ≥ |a + b| , ta có :
|5 – x| + |x + 10| ≥ | 5 – x + x + 10 | = 15 : đpcm .
Vậy bất đẳng thức đúng với mọi x .
b) Ta có phép biến đổi tương đương :
|x – 3|
≤
5 Ù - 5
≤
x – 3
≤
5
Ù 3 – 5
≤
x
≤
3 + 5 ( chuyển vế số 3 )
Ù - 2
≤
x
≤
8
c) Ta có phép biến đổi tương đương :
|2x – 3| ≥ x
2
Ù
2
2
2x 3 x
2x 3 x
⎡
+≥
⎢
+
≤−
⎣
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình
www.saosangsong.com.vn
6
Ù
2
2
x2x30(1)
x2x30(2)
⎡
−−≤
⎢
++≤
⎣
(1)
Ù (x + 1)(x – 3) ≤ 0 Ù
x10
x30
x10
x30
⎡
+≥
⎧
⎨
⎢
−
≤
⎩
⎢
⎢
+
≤
⎧
⎢
⎨
−
≥
⎢
⎩
⎣
Ù
1x3
x
−
≤≤
⎡
⎢
∈∅
⎣
Ù - 1 ≤ x ≤ 3
(2)
Ù (x + 1)
2
+ 2 ≤ 0 Ù x ∈
∅
Vậy bất phương trình có nghiệm : - 1
≤
x
≤
3 .
Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất ( GTLN) , giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức số T .
Cách 1 ( Phân tích ) :
• Để tìm GTNN của T , ta viết T dưới dạng : T = f
2
(x) + m trong đó m là
giá trị không đổi .Thế thì : T ≥ m ,
∀
x
Tìm x để T = m ( đẳng thức xảy ra)
Kết luận : GTNN của T là m .
• Để tìm GTLN của T , ta viết T dưới dạng : T = - f
2
(x) + M trong đó M
giá trị không đổi .Thế thì : T ≤ M ,
∀
x
Tìm x để T = M ( đẳng thức xảy ra)
Kết luận : GTLN của T là M .
Cách 2 ( Dùng bất đẳng thức Cô- si)
Tương tự như trên , tìm M ( hay m) sao cho : T
≤
M ( hay T ≥ m )
Ví dụ 1 : a) Tìm GTNN của biểu thức T = 2x
2
+ y
2
– 2xy – 4x
b) Tìm GTLN của biểu thức T = 2x + x
2
– x
4
Giải a) Ta có : T = (x
2
– 2xy + y
2
) + (x
2
– 4x + 4) – 4
= (x – y)
2
+ (x – 2)
2
– 4
Vì (x – y)
2
≥ 0 và (x – 2)
2
≥ 0 , ∀
x , y , do đó : T
≥
- 4 ,
∀
x, y
Đẳng thức xảy ra
Ù
2
2
(x y) 0
xy2
(x 2) 0
⎧
−=
⎪
<=> = =
⎨
−=
⎪
⎩
Vậy GTNN của T là – 4 .
b) Ta có : T = 2 - (1 – 2x + x
2
) – (1 - 2x
2
+ x
4
)
= 2 – (1 – x)
2
– (1 – x
2
)
2
Vì - (1 – x)
2
≤ 0 và - (1 – x
2
)
2
≤ 0 ,
∀
x , do đó : T
≤
2 ,
∀
x .
Đẳng thức xảy ra
Ù
2
2
22
x1
(1 x ) 0
x1
(1 x ) 0
=
⎧
−=
⎧
⎪
<=>
⎨⎨
=
−=
⎪
⎩
⎩
Ù x = 1
Vậy GTLN của T là 2 .
Ví dụ 2 : a) Tìm GTNN của T =
42
2
4x 3x 9
x
−+
( x ≠ 0 )
b) Tìm GTLN của T = (2x 3)(5 3x)+− ( - 3/2
≤
x
≤
5/3 )
c) Cho a , b , c > 0 và a + b + c = 1 , tìm GTNN của biểu thức :
T =
111
(1)(1)(1)
abc
−−−
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình
www.saosangsong.com.vn
7
Giải a) Ta có : T = 4x
2
– 3 +
2
9
x
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số 4x
2
và
2
9
x
, ta có :
4x
2
+
2
9
x
≥ 2.
2
2
9
4x . 12
x
=
=> T ≥ 12 – 3 = 9
Đẳng thức xảy ra
Ù 4x
2
=
2
9
x
Ù x
4
=
9
4
Ù x
2
=
3
2
Ù a =
2
3
±
Vậy GTNN của T là 9 .
b) Ta có : T =
35 35
2(x).3(x) 6.(x)(x)
23 23
+−= +−
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho (x +
3
2
) và (
5
3
- x) , ta có :
T
≤
35
xx
23
6.
2
++−
=
19
6.
12
=
19
26
Đẳng thức xảy ra
Ù x +
3
2
=
5
3
- x
Ù x =
1
12
Vậy GTLN của T là
19
26
Ta có : T =
1a1b1c
abc
−−−
=
(b c)(c a)(a b)
abc
+++
(thế 1 – a = b + c , 1 – b = c + a ….)
Dùng bất đẳng thức Cô-si , CM được : (b + c)(c + a)(a + b) ≥ 8abc ( Xem dạng toán 2. Ví dụ 2 .(b))
, suy ra : T
≥ 8 .
Đẳng thức xảy ra
Ù a = b = c = 1/3
Vậy GTNN của T là 8
C. Bài tập rèn luyện
4.1. CM các bất đẳng thức sau bằng pp biến đổi tương đương :
a) x
2
+ y
2
+ z
2
≥ xy + yz + zx ,
∀
x, y , z
Suy ra : x
4
+ y
4
+ z
4
≥ xyz(x + y + z)
b) 3a
2
+ b
2
+ 4c
2
+ 9d
2
≥ 2a(b + 2c + 3d) ,
∀
a , b , c, d
c) 4a
2
+ 9b
2
+ 5 ≥ 4(a + 3b) ,
∀
a , b
d) x
2
– 4xy + 7y
2
+ 2x – 10y + 4 ≥ 0 ,
∀
x , y
4.2. CM các bất đẳng thức sau bằng pp biến đổi tương đương :
a)
22
22
xxyy 1
xxyy 3
−+
≥
++
, ∀ x, y > 0
b)
3
22
a2ab
aabb 3
−
≥
++
,
∀
a, b > 0
c) ab +
22
(1 a )(1 b) 1−−≤
, ∀ a , b
∈
[ - 1 ; 1]
d)
11 1 11
y( ) (xz)(xz)( )
xz y xZ
++ +≤+ +
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình
www.saosangsong.com.vn
8
4.3 . CM :
22 22 2 2
ab cd (ac)(bd)++ +≥ + ++ ,
∀
a , b, c, d
Khi nào đẳng thức xảy ra .
Áp dụng : Tìm GTNN của biểu thức y =
22
x2x2 x4x8
+
++ − +
4.4. CM :
∀
a, b, x , y , ta có : |ax + by|
≤
2222
(a b)(x y)++ ( bđt B.C.S)
Áp dụng : a) CMR
∀ a , b , |a + b|
≤
22
2(a b )+
b) Cho 3a + 4b = 5 , CM : a
2
+ b
2
≥ 1
c) Cho 2a
2
+ 3b
2
= 5 , CM : 2a + 3b
≤
5
4.5. CM các bất đẳng thức sau bằng bất đẳng thức Cô-si :
a) (a + b)(
11
)
ab
+
≥ 4 , ∀ a , b > 0
b)
4x 5
x1
+
+
≥ 4 ,
∀
x > - 1 c) 8x +
2x 4
x1
+
+
≥ 2 ,
∀
x > - 1
d)
4
2ab
ab
ab
≤
+
,
∀
a , b > 0
* 4.6. CM các bất đẳng thức sau bằng bất đẳng thức Cô-si :
a)
ab bc ca
abc
cab
++≥++
, ∀ a , b, c > 0
b) (a +
22
11
)(b )
b
a
++
≥ 8 , ∀ a , b > 0
c)
(y 2) x 1 (x 1) y 4
(x 1)(y 2)
+−++−
++
≤
26
412
+
,
∀
x > 1 ,
∀
y > 4
d) 8(p – a)(p – b)(p – c)
≤ abc với a , b , c là 3 cạnh tam giác và p là nửa chu vi .
* 4.7. Tìm GTNN của các biểu thức sau :
a) A = x
4
– 2x
3
+ 2x
2
– 2x + 5 b) B =
2
x4x5
,x 1
x1
++
>−
+
c) C = (x + 1)
2
(
2
14
1
xx
++
) ; x > 0 d) D =
22
ab
b
1a1
+
−
−
với a > 1 , b > 1
* 4.8. Tìm GTLN của các biểu thức sau :
a) A =
(4 x)(4x 15)−− b) B = (x + 1)(x - 1)(x + 3)(3 - x)
c) C = | |x + 3| - | 4 – x | | d) D =
22
22
ab 1+a + b
(1 a )(1 b )++
e) E =
2
42
x
xx9++
* 4. 9 .
a) Cho x , y > 0 và x + y = xy , tìm GTNN của x + y
b) Cho x , y > 0 và x
2
+ y
2
+ xy
≤
3 , tìm GTNN của T =
xyy2
1
xyx2
1
22
+
+
+
c) Cho x , y > 0 và x + y = 1 . Tìm GTNN của biểu thức : T =
)
y
1
1)(
x
1
1(
22
−−
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình
www.saosangsong.com.vn
9
4.10.Người ta có 100m rào để rào một miếng đất hình chữ nhật để thả gia súc biết
một cạnh của miếng đất là bờ sông ( không phải rào ) . Hỏi kích thước miếng
đất có diện tích lớn nhất có thể rào được ?
* 4.11. CMR những hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ( có 1 cạnh nằm trên một
cạnh tam giác và hai đỉnh kia thuộc hai cạnh còn lại của tam giác ) có diện
tích không lớn hơn nửa diệ
n tích tam giác .
4.12. Chọn câu đúng : Nếu có a > b > c > 0 , các bất đẳng thức nào sau đây là
đúng : I.
ac bc
b
aba
−−
>
−−
II. ab > ac III.
b
b
ac
>
a) Chỉ I b) Chỉ II c) I và II
d) II và III
4.13. Chọn câu đúng : Biết a
2
< b
2
và a, b đều khác 0 , các bất đẳng thức nào sau
đây là đúng :
I.
22
ab
aa
<
II.
22
11
ab
>
III. (a + b)(a – b) < 0
a) Chỉ II b) I và II c) II và III d) I
và III
4.14. Chọn câu đúng : GTNN của biểu thức A = 2 x
2
- 4xy + 5y
2
– 4x – 2y + 2
là : a) – 3 b) – 2 c) – 1
d) 0
4.15. Chọn câu đúng : GTNN của biểu thức :
2
2x 4x 3
x1
−
+
+
(x > - 1)
∈
:
a) (0,4 ; 0, 5) b) (0,5; 0,6) c) (0,6 ; 0, 7) d) (0,7) ; 0,8)
4.16 Chọn câu đúng : GTLN của biểu thức :
2
2
x2 2x
2x
−
−
( 0 < x < 1 ) là :
a) một số nguyên dương b) một số nguyên âm
c) một số hữu tỉ d) một số vô tỉ
D. Hướng dẫn hay đáp số .
4.1. a) Ù 2 ( x
2
+ y
2
+ z
2
) ≥ 2(xy + yz + zx )
Ù (x – y)
2
+ (y – z)
2
+ (z – x)
2
≥ 0
Suy ra : x
4
+ y
4
+ z
4
≥ (x
2
y
-2
+ y
2
z
2
+ z
2
x
2
) ≥ xy.yz + yz.zx + zx.xy = xyz(x + y + z)
b) Ù (a – b)
2
+ (a – 2c)
2
+ (a – 3d)
2
≥ 0
c) Ù (2a – 1)
2
+ (3b – 2)
2
≥ 0
d) Ù (x – 2y + 1)
2
+ 3(y – 1)
2
≥ 0
4.2 . a) Ù 3(x
2
– xy + y
2
) ≥ x
2
+ xy + y
2
Ù 2(x – y)
2
≥ 0
b) Ù 3a
3
≥ (2a – b)(a
2
+ ab + b
2
) Ù (a
3
+ b
3
) – (a
2
b + ab
2
) ≥ 0
Ù (a + b)(a – b)
2
≥ 0
4.3 . Bình phương hai vế và rút gọn :
2222
(a b )(c d ) ac bd
+
+≥+
* Nếu ac + bd < 0 thì bất đẳng thức đúng.
* Nếu ac + bd
≥ 0 , bình phương lần nữa và rút gọn : (ad – bc)
2
≥ 0 ( đúng )
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình
www.saosangsong.com.vn
10
Đẳng thức xảy ra khi ad = bc và ac + bd ≥ 0
Áp dụng : y =
22 2 2
(x 1) 1 (2 x) 2+++ − +≥
22
(x 1 2 x) (1 2)++ − + +
≥
22
33 32+=
Dấu “=” xảy ra khi
(x1)21.(2x)
(x 1)(2 x) 2 0
+= −
⎧
⎨
+−+≥
⎩
Ù x0
=
4.4. Bình phương hai vế , BPT Ù (ay – bx)
2
≥ 0
Áp dụng : a) Với x = y = 1 , ta có |a + b|
≤
22
2(a b )+
b) 5 = 3a + 4b ≤ |3.a + 4. b |
≤
2222 2
(3 4 )(a b ) 5 a b
+
+= +
2
Suy ra :
22 22
ab1 ab+ ≥ <=> + ≥ 1
c) 2a + 3b
≤ |
2
. a
2
+ 3 .b 3 |
≤
22
(2 3)(2a 3b )++= 5
4.5. a) a + b
≥ 2 ab 0>
11 11
2. . 0
ab ab
+≥ >
Nhân hai bất đẳng thức vế với vế , ta được đpcm
CM các bất đẳng thức sau bằng bất đẳng thức Cô-si :
b) 4x + 5 = 4(x + 1) + 1
≥ 24(x1).1 4x1+= +
=>
4x 5
x1
+
+
≥ 4
c) f(x) = 8x +
2(x 1) 2
x1
++
+
= 8(x + 1) +
2
x1
+
- 6 ≥ 2 6
1x
2
).1x(8 −
+
+ = 2
d) Ta có :
4
ab2a.b2ab+≥ = => đpcm
4.6. a) Dùng bất đẳng thức từng cặp một ba lần , rồi cộng lại.
b) Khai triển : ( a
2
+
2
1
a
2
2
1ab
)(b )2( )
b
ba
++ + +
≥ 2 + 2 + 4 = 8
c) Chia VT =
y4
x1
x1 y2
−
−
+
+
+
.
d) Áp dụng bất đẳng thức Côsy cho ba cặp số :
(p a)(p b), (p b)(P c), (p c)(p a)
−
−−−−−
rối
nhân vế với vê .
4.7. a) A = (x
2
– x)
2
+ (x – 1)
2
+ 4 ≥ 4 . GTNN là 4 khi x = 1
b) B = x + 3 +
2
x1
+
= (x + 1) +
2
2
x1
+
+
≥ 2 2 + 2
=> GTNN là 2
2 + 2 khi x + 1 =
2
x1+
Ùx = -1 + 2
c) Nhân ra , rúy gọn : C = x
2
+
2
11
6(x ) 10 2 6.2 10 24
xx
+
++≥+ +=
GTNN là 24 khi x = 1
d) D
≥ 2.
22
ab a b
b1a1
a1 b1
=
−−
−−
≥
2 + 2 = 4
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình
www.saosangsong.com.vn
11
GTNN là 4 Ù
22
ab
ab2
b1 a1
ab2
⎧
=
⎪
<=> = =
−−
⎨
⎪
==
⎩
4.8. a) 15/4
≤ x ≤ 4 , GTLN là ¼ khi x = 31/8
b) B = (x
2
– 1)(9 – x
2
). GTLN là 16 Ù x =
±
5
c) C
≤ |x + 3 + (4 - x| = 7 . GTLN là 7 Ù (x + 3)(4 – x)
≤
0 Ù x
≤
- 3 hay x ≥ 4
d) Dùng Côsi ở tử : ab
22 2 2 2 2
22
ab 1a b (1a)(1b)
1a b
22
++ + + +
++ ≤ =
=> C
≤ ½ . GTLN là ½ khi a
2
b
2
= 1 + a
2
+ b
2
Ù a
2
=
2
2
b
1
b
1
+
−
( có vô số giá trị a, b)
e) x = 0 : E = 0
x ≠ 0 : E =
2
2
1
9
x1
x
++
( Chia tử và mẫu cho x
2
)
≤
1/ 7
GTLN là 1/7 Ù x
2
= 9/x
2
Ù x = ± 3
* 4.9 . a) x + y = xy
≤
2
2
yx
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=> 1
≤
4
yx
+
Ù x + y ≥ 4
GTNN của x + y là 4 khi x = y = 2
b) Áp dụng bất đẳng thức : (a + b)(
b
1
a
1
+
) ≥ 4 ( bài 4. 5)
=> T
≥
3
2
xyyx
2
)xyy2()xyx2(
4
2222
≥
++
=
+++
GTNN của T là 2/3 khi x = y = 1
c) T = 1 -
222
)xy(
1
y
1
x
1
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
= 1 -
xy
2
1
)xy(
1
yx
xy2)yx(
222
2
+=+
−+
Mà : xy
≤ 4/1
2
yx
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
, suy ra : T ≥ 1 + 8 = 9
Vậy GTNN của T là 9 khi x = y = ½
4.10. Gọi x là cạnh sát bờ sông , y là cạnh còn lại , ta có : x + 2y = 100 (m)
Diện tích miếng đất : S = xy = ½ (x . 2y)
≤
½ .
2
x2y
2
+
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
= 1250
m
2
4.11. MQ // AH =>
MQ BM
AH AB
=
MN // BC =>
MN AM
BC AB
=
Diện tích hình chữ nhật : S = MQ.MN =
2
BM.AM
AH.BC.
AB
A
C
M
N
P
Q
B
H
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình
www.saosangsong.com.vn
12
Ta có : BM.AM ≤
2
2
AM BM AB
24
+
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
=> S
≤
¼. AH.BC = ½ .S
ABC
(đpcm)
4.11. (b)
4.12. (d)
4.13. (c)
4.14. (a) A = (x – 2y)
2
+ (x – 2)
2
+ (y - 1)
2
– 3 ≥ - 3
GTNN là – 3 khi x = 2 , y = 1
4.14. (a) A = 2(x + 1) +
9
8
x1
−
+
≥ 2 18 8
−
= 6 2 - 8 = 0, 4825. . .
GTNN là 6
2 - 8 khi 2(x + 1) =
9
x1
<
=>
+
x = - 1 +
3
2
4.15 (c) Ta có :
222
22 2
x22x 2x
x22x x(2 2x)
22
+
−−
−= − ≤ =
=> A
≤ ½ . GTNN là ½ khi x
2
= 2 – 2x
2
Ù x = 2/3
§ 2. Bất phương trình
A. Tóm tắt giáo khoa .
1. Bât phương trình một ẩn có dạng : f(x) < g(x) ( hay > ,
≤
, ≥ )
trong đó f(x) và g(x) là các biểu thức , x là ẩn số
Nghiệm là những giá trị x làm bất đẳng thức trên là đúng
Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó
2. Hai bất phương trình
tương đương khi chúng có tập nghiệm bằng nhau .
3. Giải một bất phương trình thường là biến đổi tương đương bất phương trình
về thành một bất phương trình đơn giản hơn .
4. Các phép biến đổi tương đương thường dùng cho bất phương trình
f(x) < g(x) có điều kiện A là :
•
f(x) < g(x) Ù f(x) ± h(x) < g(x)
±
h(x) nếu h(x) xác định trên A.
•
f(x) < g(x) Ù f(x) – g(x) < 0
•
f(x) < g(x) Ù h(x) . f(x) < h(x). g(x) Ù
f(x) g(x)
h(x) h(x)
<
nếu
h(x) > 0 với mọi x thuộc A .
f(x) < g(x)
Ù h(x) . f(x) > h(x). g(x) Ù
f(x) g(x)
h(x) h(x)
> ( đổi chiều bất đẳng thức )
nếu
h(x) < 0 với mọi x thuộc A .
B. Giải toán .
Ví dụ 1 : Biến đổi tương đương để giải các bất phương trình sau :
a) 2x + 5 +
22
x1 x1
3x
x1 x1
++
<−+
++
(1)
b)
2
2x x 1 3x 1
xx
++ +
> (2)
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình
www.saosangsong.com.vn
13
Giải : a) Vì bất phương trình có nghĩa với mọi x , do đó :
(1)
Ù 2x + 5 < 3 – x ( Đơn giản cho
2
x1
x1
+
+
)
Ù 2x + x < 3 – 5 ( Chuyển vế )
Ù 3x < - 2 Ù x < - 2/3
b) (2)
Ù
2
2x x 1 3x 1
xxxx
+
+> +
Ù 2x + 1 +
1
x
> 3 +
1
x
Ù 2x + 1 > 3 ( điều kiện x ≠ 0 )
Ù x > 1
Ví dụ 2 : Biến đổi tương đương để giải các bất phương trình sau :
a) x
3
+ x
2
+ x + 1 > 5x
2
+ 5
b)
22
2x 3 9 x
x 2x3 x 2x3
−−
>
−+ − −+ −
Giải a) BPT Ù (x
2
+ 1)(x + 1) > 5(x
2
+ 1)
Chia hai vế cho x
2
+ 1 > 0 với mọi x , ta có bất phương trình tương đương :
x + 1 > 5
Ù x > 4
b) Vì – x
2
+ 2x – 3 = - (x – 1)
2
– 2 < 0 với mọi x nên nhân hai vế cho ( - x
2
+ 2x – 3) < 0 ,
ta được bất phương trình tương đương :
2x – 3 < 9 – x
Ù 3x < 9 + 3
Ù 3x < 12 Ù x < 4
Ví dụ 3 : Biến đổi tương đương để giải các bất phương trình sau :
a)
2x 5
4x
4x
−
>−
−
b) 2x 1 x 1
−
>+
Giải :a) Điều kiện : 4 – x > 0 Ù x < 4
Với điều kiện này
4x 0−>
, nhân hai vế cho
4x
−
> 0 , ta được :
BPT
Ù 2x – 5 > 4 – x Ù 3x > 9
Ù x > 3
So với điều kiện , ta được nghiệm : 3 <x < 4
b) Điều kiện :
2x 1 0 x 1/2
x1/2
x10 x 1
−≥ ≥
⎧⎧
<=> <=> ≥
⎨⎨
+≥ ≥−
⎩⎩
Với điều kiện này , hai vế đều không âm , bình phương hai vế , ta được :
BPT
Ù 2x – 1 > x + 1 Ù x > 2
Soi với điều kiện , ta được nghiệm : x > 2
§ 3. Dấu nhị thức bậc nhất
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình
www.saosangsong.com.vn
14
A. Tóm tắt giáo khoa .
1. Nhị thức bậc nhất là biểu thức có dạng : f(x)= ax + b , a ≠ 0
Nghiệm của nhị thức là x
o
= -
b
a
, giá trị thỏa f(x
0
) = 0
2. Nhị thức f(x) = ax + b :
•
cùng dấu với a khi x > - b/a
•
trái dấu với a khi x < - b/a
x -
∞
- b/a +
∞
ax + b trái dấu với a 0 cùng dấu với a
3. Bất phương trình bậc nhất 1 ẩn :
ax + b > 0
• a > 0 : x > - b/a
•
a < 0 : x < - b/a
•
a = 0 :
* b > 0 : x
∈ R
* b ≤ 0 : x ∈
∅
4. Hệ bất phương trình bậc nhất 1 ẩn :
Giải từng bất phương trình để tìm tập nghiệm S
1
, S
2
Tập nghiệm của hệ là S = S
1
∩
S
2
B. Giải toán .
Dạng toán 1 : Xét dấu nhị thức , tích hay thương của hai nhị thức .
Ví dụ 1 : Xét dấu các nhị thức sau :
a) f(x) = 2x – 6 b) f(x) =
53x
2
−
Giải a) f(x) = 0 Ù x = 3 ; hệ số a = 2 > 0
b) f(x) = 0 Ù x = 5/3 ; hệ số a = - 3/2 < 0
Ví dụ 2 : Xét dấu các biểu thức sau :
a) y = (2x 4)(5 x)−− b) y =
2x 1
3x 5
+
+
c) y = (2x
2
- x + 5)
2
– (x
2
– x – 5)
2
Giải : a) y là tích của hai nhị thức :
2x – 4 , có nghiệm x = 2 ; a = 2 > 0
5 – x , có nghiệm x = 5 ; a = - 1 < 0
x -
∞
3 +
∞
2x - 6
- 0 +
x -
∞
5/3 +
∞
5 -3x
2
+ 0 -
x
-
∞
2 5 +
∞
2x – 4 - 0 + +
5 – x + + 0 -
y - 0 + 0 -
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình
www.saosangsong.com.vn
15
Dùng tính chất dấu của tích hai số ( tích hai số cùng dấu là + , tích hai số trái dấu là - ) , ta
được bảng xét dấu sau
b) y là thương của hai nhị thức :
2x + 1 , có nghiệm là - 1/2 , a = 2 > 0
3x + 5 , có nghiệm là – 5/3 , a = 3 > 0
Qui tắc dấu của thương cũng như của tích , chỉ khác thương không xác định khi mẫu bằng 0 , kí
hiệu bằng || .
x
- ∞ - 5/3 -1/2 +
∞
2x + 1 - - 0 +
3x + 5 - 0 + +
y + || - 0 +
c) Biến đổi ra tích dùng hằng đẳng thức a
2
– b
2
= (a + b)(a – b)
y = (2x
2
- x + 5)
2
– (x
2
– x – 5)
2
= (3x
2
– 2x )(x
2
+ 10)
Vì x
2
+ 10 > 0 với x , nên dấu của y là dấu của : 3x
2
– 2x = x( 3x – 2) .
x
-
∞
0 2/3 +
∞
x - 0 + +
3x - 2 - - 0 +
y + 0 - 0 +
Dạng toán 2 : Giải bất phương trình f(x) > g(x) ( f(x) < g(x) … )
Phương pháp chung là :
• Chuyển vế , biến đổi tương đương về dạng : P(x) > 0 ( < 0 ,. . . ) trong đó P(x) là tích hay
thương các nhị thức bậc nhất .
• Lập bảng xét dấu của P(x) .
• Dựa vào bảng xét dấu ta rút ra được tập nghiệm của bất phương trình .
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
a) (2x + 5)
2
≥ (3x – 4)
2
b)
2
x1
3x
x1
+
+
>
+
c) x
4
≤ (2x - 3)
2
d)
2
)1x(
2
3x
1
1x
1
−
>
+
−
+
Giải a) BPT Ù (2x + 5)
2
– (3x – 4)
2
≥ 0
Ù (2x + 5 + 3x – 4)(2x + 5 – 3x + 4) ≥ 0
Ù (5x + 1)(- x + 9) ≥ 0 (1)
Lập bảng xét dấu của biểu thức ở vế trái (VT) , ta được :
x
- ∞ - 1/5 9 +
∞
5x + 1 - 0 + +
- x + 9 + + 0 -
VT - 0 + 0 -
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình
www.saosangsong.com.vn
16
Căn cứ vào bảng xét dấu , bất phương trình có nghiệm : - 1/5
≤
x
≤
9
Ghi chú : Nếu không muốn lập bảng thì giải như sau :
(1)
Ù
5x 1 0 5x 1 0
hay
x90 x90
+≥ +≤
⎧⎧
⎨⎨
−+≥ −+≤
⎩⎩
Ù
- 1/5
≤
x
≤
9
Tập nghiệm là S = [- 1/5 ; 9 ] .
b) BPT
Ù
2
x1
3x 0
x1
+
+− >
+
( chuyển vế )
Ù
2
x1(x1)(3x)
x1
++ + −
+
> 0 (
qui đồng và rút gọn )
Ù
2x 4
x1
+
+
> 0 (
rút gọn tử thức )
Lập bảng xét dấu của VT :
x
- ∞ - 2 - 1 +
∞
2x + 4 - 0 + +
x + 1 - - 0 +
VT + 0 - || +
Căn cứ vào bảng xét dấu , bất phương trình có nghiệm : x
< - 2 hay x > - 1
Tập nghiệm là S = (-
∞ ; - 2 ) ∪ ( - 1 ; +
∞
)
c) BPT
Ù x
4
-
(2x - 3)
2
≤ 0
Ù (x
2
+ 2x – 3)(x
2
– 2x + 3)
≤
0
Vì x
2
– 2x + 3 = (x – 1)
2
+ 2 > 0 , ∀ x , do đó :
BPT
Ù x
2
+ 2x – 3 ≤ 0 Ù ( x – 1)( x + 3)
≤
0
Lập bảng xét dấu hay giải trực tiếp , ta được nghiệm : - 3
≤
x
≤
1
d) BPT
Ù
2
(x 3) (x 1) 2
(x 1)(x 3) (x 1)
+−+
>
++ −
(
tính gọn VT )
Ù
2
22
(x 1)(x 3) (x 1)
>
++ −
(
rút gọn )
Ù
2
2
2(x 1) 2(x 1)(x 3)
0
(x 1)(x 3)(x 1)
−− + +
>
++−
( chuyển vế , qui đồng , tính )
Ù
2
2( 6x 2)
0
(x 1)(x 3)(x 1)
−−
>
++−
( rút gọn VT)
Ù
6x 2
0
(x 1)(x 3)
−−
>
++
với x
≠ 1
( Chia hai vế cho
2
2
0
(x 1)
>
−
,
∀
x ≠ 1). Lập bảng xét dấu của VT :
x - ∞ - 3 - 1 - 1/3 + ∞
- 6x - 2 + + + 0 -
x + 1 - - 0 + +
x + 3 - 0 + + +
VT + || - || + 0 -
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình
www.saosangsong.com.vn
17
Căn cứ vào bảng xét dấu , BPT có nghiệm :
x3
1x 1/3
<−
⎡
⎢
−< <−
⎣
(*) ( x
≠ 1 ) . Vì điều kiện x ≠ 1 thỏa
trong tập hợp (*) , do đó tập nghiệm là :
S = ( - ∞ ; - 3) ∪ ( - 1 ; - 1/3)
Dạng toán 3 : Giải hệ bất phương trình 1 ẩn
Ví dụ 1 : Giải các hệ bpt sau :
a)
2
2x 1 x 1
1(1)
32
113x1
(2)
x1 x xx
−+
⎧
>−
⎪
⎪
⎨
−
⎪
−<
⎪
⎩− −
b)
2
2
11
(1)
x3 x2
2x 2x 5
3(2)
x1
⎧
>
⎪
⎪
+−
⎨
+−
⎪
<
⎪
⎩−
Giải a) * Giải (1) : Nhân hai vế cho 6 ( mẫu số chung ) , ta được :
BPT
Ù 2(2x – 1) > 6 – 3(x + 1)
Ù 7x > 5 Ù x > 5/7
* Giải (2) :
(2)
Ù
13x1
(x 1)x x(1 x)
−
<
−−
Ù
3x
0
x(1 x)
>
−
(
Chuyển vế , rút gọn )
Ù
3
0
1x
>
−
và x
≠ 0 ( Đơn giản )
Ù x < 1 và x ≠ 0
Vậy hệ có nghiệm :
x5/7
x1 5/7x1
x0
>
⎧
⎪
<<=><<
⎨
⎪
≠
⎩
b) * Giải (1) : (1)
Ù
11
0
x3x2
−>
+−
Ù
5
0
(x 3)(x 2)
−
>
+−
Ù (x + 3)(x – 2) < 0 Ù - 3 < x < 2
* Giải (2) : (2)
Ù
22
2
(2x 2x 5) 3(x 1)
0
x1
+−− −
<
−
Ù
2
2
x2x2
0
x1
−+ −
<
−
Vì – x
2
+ 2x – 2 = - (x
2
– 2x + 2) < 0 ,
∀
x nên :
(2)
Ù x
2
– 1 > 0 Ù x > 1 hay x < - 1
* Trên trục số biểu diễn các tập nghiệm S
1
của (1) và S
2
của (2) , và lấy phần giao
S
1
∩ S
2
, ta được nghiệm của hệ : - 3 < x < - 1 hay 1 < x < 2
- ∞ - 3 - 1 1 2
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình
www.saosangsong.com.vn
18
Ghi chú : Cách làm như sau:
* Vẽ trên trục số các đầu mút khoảng theo thứ tự tăng dần : - 3 < - 1 < 1 < 2 .
* Biểu diễn S
1
bằng cách gạch bỏ tập hợp
1
R
S
C
( gạch //// theo qui tắc “ lấy trong bỏ
ngoài “ . Tương tự biểu diễn S
2
bằng cách gạch bỏ tập hợp
2
R
S
C
( gạch \\\\\\\\ theo qui tắc “ lấy
ngoài bỏ trong” . Phần không bị gạch bỏ là tập
nghiệm của hệ bất phương trình
* Ví dụ 2 : Giải các bất phương trình sau :
a)
2
x4x3
x1(2x3)
x1
++
−+>
−
b)
22
3x 1
x9 xx9
x5
−
⎛⎞
−
≤−
⎜⎟
+
⎝⎠
Giải :a) Điều kiện : x – 1 > 0 Ù x > 1 (1)
Nhân hai vế cho x10−>, ta được :
BPT
Ù (x – 1)(2x – 3) > x
2
+ 4x + 3
Ù 2x
2
– 5x + 3 > x
2
+ 4x + 3
Ù x(x – 9) > 0 Ù x < 0 hay x > 9 (2)
Từ (1) và (2) , ta được : x > 9 . Bất phương trình có nghiệm x > 9 .
b) Điều kiện : x
2
– 9 ≥ 0 Ù x
≤
- 3 hay x ≥ 3 .
Chú ý x = ± 3 là nghiệm của bất phương trình . Với x < - 3 hay x > 3 (1) , chia hai vế của bất
phương trình cho
2
x90−>, ta được :
BPT
Ù
3x 1
x
x5
−
≤
+
Ù
3x1x(x5)
x5
−− +
+
≤
0
Ù
2
(x 1)
x5
−+
+
≤ 0
Ù x + 5 > 0 hay x + 1 = 0
Ù x > - 5 (2)
Từ (1) và (2) , ta được : - 5 < x < - 3 hay x > 3 .
Kết luận : bất phương trình có nghiệm – 5
< x
≤
- 2 hay x ≥ 3
*
Ví dụ 3 :
a)
Định m để hệ :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤+
≤
+
−
m1x2
1
2x
1x
có nghiệm
b)
Định m để đoạn [ 0 ; 1] thỏa hệ :
⎩
⎨
⎧
−>−
−<−
mx)2x(2
)1x(mx)1m(
Giải :
a) Giải
2x02x0
2x
3
1
2x
1x
−><=>>+<=>≤
+
−
<=>≤
+
−
: S
1
= ( - 2 ; + ∞ )
Giải 2x +1 ≤ m
Ù x
≤
2
1m −
: S
2
= ( -
∞
;
2
1m
−
]
Hệ có nghiệm khi :
∅≠
∩
21
SS Ù - 2 <
2
1m
−
Ù m > - 3
b) Giải (m – 1)x < m(x - 1)
Ù - x < - m Ù x > m
Giải 2(x – 2) > x – m
Ù x > 4 – m
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình
www.saosangsong.com.vn
19
Vậy hệ có tập nghiệm S = (m ; 4 – m )
Để đoạn [ 0 ; 1] thỏa hệ thì [0 ; 1] ⊂ S
Ù m < 0 < 1 < 4 – m
Ù 0 < m < 3
Dạng 4 : Bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối .
• Nếu là dạng cơ bản đã biết thì giải theo công thức :
¾ |f(x)| < g(x)
Ù
- g(x) < f(x) < g(x)
¾ |f(x)| > g(x)
Ù
f(x) g(x)
f(x) g(x)
>
⎡
⎢
<−
⎣
¾ |f(x)| < |g(x)|
Ù
f
2
(x) < g
2
(x)
• Trong các trường hợp khác , dạng chứa nhiều dấu trị tuyệt đối chẳng hạn , thì ta khử dấu trị
tuyệt theo qui tắc :
A khi A 0
|A|
A khi A 0
≥
⎧
=
⎨
−<
⎩
, rồi giải bất phương trình trên các khoảng dấu .
Cuối cùng hợp các tập nghiệm .
Ví dụ 1 : Giải các BPT sau :
a) |2x – 1| < 2x + 3 b)
2x 1
1
x
−
<
c)
x4
x
x1
−
>
−
Giải a) (Dạng |f(x)| < g(x) ) BPT Ù
(2x 3) 2x 1
2x12x3
−
+< −
⎧
⎨
−< +
⎩
Ù
x1/2
13
>−
⎧
⎨
−<
⎩
Ù x > - ½
Tập nghiệm là ( - ½ ; +
∞
)
b)
( Dạng |f(x)/ < g(x )) BPT Ù
2x 1
1
x
2x 1
1
x
−
⎧
<
⎪
⎪
⎨
−
⎪
−<
⎪
⎩
Ù
x1
0
x
3x 1
0
x
−
⎧
<
⎪
⎪
⎨
−
⎪
>
⎪
⎩
Ù
0x1
x0hayx1/3
<<
⎧
⎨
<>
⎩
Ù 1/3 < x < 1
Tập nghiệm là (1/3 ; 1 )
c)
( Dạng /f(x)/ > g(x) ) BPT Ù
x4
x
x1
x4
x
x1
−
⎡
>
⎢
−
⎢
−
⎢
<
−
⎢
⎣−
Ù
2
x2x4
0(1)
x1
(x 2)(x 2)
0(2)
x1
⎡
−+ −
>
⎢
−
⎢
−+
⎢
<
⎢
⎣−
* Giải (1) : Vì tử thức < 0 ,
∀
x , nên : (1) Ù x – 1 < 0 Ù x < 1
* Giải (2) : Lập bảng xét dấu của VT , ta được nghiệm :
1x2
x2
<
<
⎡
⎢
<
−
⎣
* Vậy nghiệm của BPT là :
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−<
<<
<
2x
2x1
1x
Ù x < 2 và x ≠ 1
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình
www.saosangsong.com.vn
20
( Chú ý dấu [ (“ hoặc”) chớ không { ( “ và “) . BIều diễn các tập nghiệm và lấy phần hội của các
tập nghiệm )
*Ví dụ 2 : Giải các BPT sau :
a)
|x 1| 2
1
x
−+
> b) |x – 3| + |x – 4| < x + 4
Giải : a) Ta có : |x – 1| =
x 1 khi x 1
(x 1) khi x 1
−≥
⎧
⎨
−− <
⎩
, do đó ta giải BPT trong hai trường hợp :
* x ≥ 1 : BPT Ù
x12 x1
110
xx
−
++
><=> −>
Ù
1
0
x
>
Ù x > 0
Kết hợp với x ≥ 1 , ta được nghiệm x ≥ 1
* x < 1 : BPT
Ù
1x2 3x
110
xx
−
+−
> <=> − >
Ù
32x
0
x
−
>
Ù 0 < x < 3/2
Kết hợp với x < 1 , ta được nghiệm 0 < x < 1
Nghiệm của BPT :
x1
x0
0x1
≥
⎡
<=> >
⎢
<<
⎣
Ghi chú : Hợp của hai tập nghiệm chớ không phải giao !
b) |x – 3| + |x – 4| < x + 4 (1)
Để khử đồng thời hai dấu trị tuyệt , ta thường lập bảng sau :
x
- ∞ 3 4 +
∞
|x - 3|
- x + 3 0 x – 3 | x – 3
|x – 4|
- x + 4 | - x + 4 0 x – 4
VT
- 2x + 7 | 1 | 2x – 7
Ta giải lần lượt trong các trường hợp sau :
* x < 3 : (1)
Ù - 2x + 7 < x + 4 Ù x > 1
Kết hợp với x < 3 , ta được : 1 < x < 3
* 3 ≤ x ≤ 4 : (1)
Ù 1 < x + 4 Ù x > - 3
Kết hợp với 3 ≤ x ≤ 4 , ta được : 3 ≤ x
≤
4 .
* x > 4 : (1)
Ù 2x – 7 < x + 4 Ù x < 11
Kết hợp với x > 4 , ta được : 4 < x < 11 .
BPT có nghiệm :
1x3
3x4 1x11
4x11
<<
⎡
⎢
≤≤ <=><<
⎢
⎢
<<
⎣
1 3 4 11
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình
www.saosangsong.com.vn
21
*Dạng toán 5 : Giải và biện luận bất pt bậc nhất ax > b ( ax ≥ b , ax < b . . . ) đơn giản
Xét các trường hợp a > 0 , a < 0 , a = 0 ( Xem A . mục (3) )
Ví dụ 1 : Giải và biện luận các BPT sau theo tham số m :
a) (m – 3)x + m
2
– 3m > 0 b) m
2
(x – 1)
≤
4( x + m + 1)
c) (m
2
+ 1)(x + 1) > m (x - 1)
Giải : a) BPT Ù (m – 3)x > - m( m - 3) (1)
* m – 3 > 0 Ù m > 3 : (1) Ù x >
m(m 3)
m
m3
−
−
=
−
−
* m – 3 < 0
Ù m < 3 : (1) Ù x <
m(m 3)
m
m3
−
−
=
−
−
* m – 3 = 0
Ù m = 3 : (1) Ù 0. x > 0 : BPT vô nghiệm
Kết luận : m > 3 : x > - m
m < 3 : x < - m
m = 3 : x
∈
∅
b) Chuyển vế rút gọn , đưa về dạng ax
≤
b :
(m
2
– 4)x ≤ m
2
+ 4m + 4 Ù (m – 2)(m + 2)x
≤
(m + 2)
2
(1)
Lập bảng xét dấu của a = (m – 2)( m + 2) nếu cần :
* m > 2 hay m < - 2 : a > 0 , (1)
Ù x
≤
2
(m 2) m 2
(m 2)(m 2) m 2
+
+
=
−
+−
* - 2 < m < 2 : a < 0 , (1)
Ù x ≥
m2
m2
+
−
* m = 2 : (1)
Ù 0 .x ≤ 16 Ù x
∈
R
* m = - 2 : (1)
Ù 0. x ≤ 0 Ù x
∈
R
Kết luận :
m > 2 hay m < - 2 : x ≤
m2
m2
+
−
- 2 < m < 2 : x ≥
m2
m2
+
−
m = ± 2 : x
∈
R .
c) BPT Ù (m
2
– m + 1) x > - m
2
- m – 1 ( dạng ax > b)
Vì m
2
– m + 1 > 0 với mọi m , nên BPT có nghiệm :
x >
1
m
m
1mm
2
2
+−
−−−
, ∀ m
Ví dụ 2 : Định m để hàm số : y =
(m 3)x 2m 5
−
+−
xác định với mọi x ≥ - 3
m - ∞ - 2 2 +
∞
m – 2 - | - 0 +
m + 2 - 0 + | +
a + 0 - 0 +
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình
www.saosangsong.com.vn
22
Giải Hàm số xác định khi f(x) = (m – 3)x + 2m – 5 ≥ 0 (1)
YCBT
Ù [- 3 ; + ∞ ) ⊂ S ( tập nghiệm của (1))
Ta xét các trường hợp sau :
•
m – 3 = 0 Ù m = 3 : (1) Ù 6 – 5 ≥ 0 Ù x
∈
R . Vậy S = R và YCBT thỏa : nhận m = 3
•
m – 3 > 0 Ù m >3 : (1) Ù x ≥
52m
m3
−
−
.
S =
52m
[;)
m3
−
+
∞
−
.
Vậy YCBT
Ù
m3 m3
52m m4
30
m3 m3
>>
⎧⎧
⎪⎪
<=>
−−
⎨⎨
≤− ≤
⎪⎪
−−
⎩⎩
Ù
m3
3m4
m40
>
⎧
<
=> < ≤
⎨
−≤
⎩
Kết luận : 3
≤
m
≤
4
C. Bài tập rèn luyện .
4. 16. Xét dấu các biểu thức sau :
a) A =
2x 5
1
x3
−
−
+
b) B = (x
2
– 4x)(x
2
+ 2x + 3)
c) C =
x5x2
x1 x1
++
−
−+
d) D = | 2x – 4| + x – 8
e) E =
3
2
(3 2x) (x 2)
(x 5) (4 3x)
−+
−−
4. 17. Giải các bpt sau :
a)
3x 6
x5
x2
−
−<
+
b)
2
x4x6 3x1
x2x2 x 4
+
++
−≥
−
+−
c) (2x
2
– 6x + 7)
2
≤ (x
2
+ x + 7)
2
d)
1111
x52x5 x4 2x4
+<+
+
−− +
4. 18. Giải các hệ bất phương trình sau :
a)
xx
2x 1 3
⎧≥
⎪
⎨
−>
⎪
⎩
b(
22
11
x1 x3
(x 4) (x 2)
⎧
>
⎪
−+
⎨
⎪
+>+
⎩
c)
2x 4 x 3
2x 1 x 1
x2 x2
−>−
⎧
⎪
⎨
−−
>
⎪
⎩− −
d)
2
(2x 1)(x 4) (x 2)(x 2)
11 2x5
x1 x2 x x2
−
+≥− +
⎧
⎪
⎨
−
+<
⎪
⎩− + +−
4. 19. Giải các bất phương trình sau :
(5-2m)/(m-3)
- 3
•
m – 3 < 0 Ù m < 3 :
(1)
Ù x
≤
2m
m3
5
−
−
=> S = ( -
∞
;
2m
m3
5
−
−
]
Vậy YCBT không thỏa.
(5-2m)/(m-3)
- 3
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình
www.saosangsong.com.vn
23
a) |2x + 7|
≤
| 4 – x| b) | x
2
+ 3|
≤
(x – 3)(x + 2)
c)
2x x 3
5
x1
−+
≥
−
d)
2x 5
2
x2
−
≤
+
* 4. 20. Giải các bất phương trình sau :
a) |2x – 5| - x
≥ | x + 2 | - 4 b) || x – 4| + 6| ≥ x c)
x3 x1
x2 x1
−+
≤
+−
* 4. 21. Giải và biện luận các bất phương trình sau :
a) m(x + m) > 2m(x + 1) b) 2(x – m) – (m + 1)
2
≥ 3 – mx
c)
m
x
1x
≥
−
* 4. 22. Cho (m + 1)x > 2m – 3 (1)
a) Định m để (1) thỏa với mọi x .
b) Định x để (1) thỏa với mọi m .
* 4. 23 . Định m để hàm số : y =
mx m 6
−
+ :
a) có miền xác định là [ - 1 ; +
∞
)
b) xác định với mọi x < 1
* 4.24.
a) Tìm giá trị lớn nhất của m để bất phương trình :
3x 2 4x 5
3x m 2 0
−≥− +
⎧
⎨
++≤
⎩
có
nghiệm
b) Định m để hệ
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≠>
−
<−
)0m(0
m
mx
x|1x2|
vô nghiệm
c) Định m để hệ
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−−−
>
−
−
)m1x)(2x(
x
5x
x73
2
có nghiệm .
4 25. Chọn câu đúng : Độ dài của khoảng (a ; b) là b – a .
Khoảng dương của biểu thức y = (2x + 8)(1 - x) có độ dài là :
a) 3 b) 5 c) 9
d) vô giới hạn
4. 26. Chọn câu đúng : Bất phương trình
2x 9
1
x3
+
<
−
có bao nhiêu nghiệm nguyên
dương
a) 2 b) 3 c) 11
d) vô số
4.27 . Chọn câu đúng : Bất phương trình : x
4
≤
4x
3
có bao nhiêu nghiệm nguyên
a) 5 b) 4 c) 2 d) vô số
4. 28. Chọn câu đúng : Nghiệm của bất phương trình :
21
2x 1 3 x
x1
⎧
≤
⎪
−
+
⎨
⎪
<
⎩
là :
a) – 1< x < ½ b) ½ < x < 1 c) – 1 < x < 1 d) x
∈
∅
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình
www.saosangsong.com.vn
24
4.29. Chọn câu đúng : Tập hợp những số x sao cho có y thỏa :
4y
2
+ 4xy + x + 6 = 0 là :
a) x
≤ - 2 hay x ≥ 3 b) x
≤
2 hay x ≥ 3
c) x
≤ - 3 hay x ≥ 2 d) – 3
≤
x ≤ 2
4.30. Chọn câu đúng : Nếu x là số sao cho :
2
x
1
< và 3
x
1
−> , thế thì :
a)
2
1
x
2
1
<<− b) x >
2
1
c)
0x
3
1
hay
2
1
x <<−> d) x >
3
1
xhay
2
1
−<
4.31. Chọn câu đúng : Nghiệm của bất phương trình :
3x
x
1x2
+>
−
là :
a) mọi x b) x
∈
∅
c) x > 0 d) x < 0
4.32. Chọn câu đúng : Giá trị lớn nhất của m để bất phương trình
2(x – m)
≥ m
2
( 3 - x) thỏa với mọi x ≥ 3 là một :
a) số nguyên lẻ b) số nguyên chẵn
c) số hữu tỷ không nguyên d) số vô tỉ
C. Hướng dẫn giải hay đáp số .
4. 16. a) A =
x8
x3
−
+
b) Vì x
2
+ 2x + 3 > 0 với mọi x nên dâu của B là dâu của x(x – 4)
c) C =
5x 7
(x 1)(x 1)
+
−+
d) D =
3x 12 ; x 2
x4;x2
−≥
⎧
⎨
−− <
⎩
e) Dấu của E là dấu của biểu thức :
(3 2x)(x 2)
(x 5)
43x
−
+
≠
−
4.17. a)
2
x4x16
0x20x2
x2
++
><=>+><=>>−
+
b)
x19
(x 2)(x 2) 0
−+
−+≥
c) (3x
2
– 5x + 14)(x
2
– 7x)
≤
0 Ù x(x – 7)
≤
0
( vì 3x
2
– 5x + 14 > 0 , với mọi x )
d)
11 1 1
0
x5x4 2x52x4
⎛⎞⎛ ⎞
−+ − <
⎜⎟⎜ ⎟
+− − +
⎝⎠⎝ ⎠
4. 19. a)
22
(2x 7) (4 x)+≤− b)
2
x 3 (x 3)(x 2)
+
≤− + vì x
2
+ 3 > 0 , với mọi x.
c) Giải khi x
≥ 0 và giải khi x < 0
d) – 2
≤
2x 5
2
x2
−
≤
+
4.20. a) Giải khi x < - 2 , - 2
≤ x ≤ 5/2 và x > 5/2
b) * Xét x
≥ 4 : | x + 2 | ≥ x Ù x + 2 ≥ x ( đúng )
x -
∞ - 4 2 4 + ∞
D + 0 - | - 0 +
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình
www.saosangsong.com.vn
25
* Xét x < 4 : | 10 – x | ≥ x Ù 10 – x ≥ x Ù x
≤
5 . Vậy x < 4
Bất phương trình có tập nghiệm là R .
b) BPT Ù
0
1x
1x
2x
3x
1x
1x
2x
3x
≤
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
Ù
0
)1x()2x(
)1x7)(5xx2(
22
2
≤
−+
+−+−
Ù x ≥ 1/7 và x ≠ - 2 ; 1
4. 21. a) mx < m
2
– 2m
• m = 0 : VN
• m > 0 : x < m – 2
• m < 0 : x > m – 2
b) (m + 2)x
≥ m
2
+ 4m + 4 = (m + 2)
2
• m = - 2 : x
∈
R
• m > - 2 : x
≥ m + 2
• m < - 2 : x
≤ m + 2
c)
0
x
1x)m1(
≥
−−
• m = 1 : x < 0
• m ≠ 1 : Tử có nghiệm x
1
= 1/(1 – m) , mẫu có nghiệm x
2
= 0
¾ m > 1 : x
1
< x
2
. Lập bảng xét dấu , BPT có nghiệm
0x
m
1
1
<<
−
¾ m < 1 : x
1
< x
2
. Lập bảng xét dấu , BPT có nghiệm
x < 0 hay x >
m
1
1
−
4. 22. a) m + 1 = 0 và 2m – 3 < 0 Ù m = 1
b) Viết lại (1) : (x – 2)m > - x – 3 : thỏa với mọi m Ù x – 2 = 0 và – x – 3 < 0
Ù x = 2
4. 23 . a) Hàm số xác định khi f(x) = mx – m + 6
≥ 0 (1)
* Xét m > 0 : D =
m6
[;
m
−
+ ∞ )
* Xét m < 0 : D = ( -
∞ ;
m6
]
m
−
* Xét m = 0 : D = R
Hàm số có miền xác định là [ 1 ; +
∞
) Ù
m6
1
m
−
=
− và m > 0 Ù m = 3
b) Hàm số xác định với mọi x < 1 Ù
m0
m0
m6
1
m
=
⎡
⎢
<
⎧
⎢
⎪
⎢
⎨
−
≤
⎢
⎪
⎩
⎣
Ù m
≤
0
4. 24. a) Giải (1) : x
≥ 1
Giải (2) : x
≤
m2
3
−−
Để hệ có nghiệm thì
m2
1
3
−
−
≤
Ù m ≤ - 5
Vậy GTLN để bất phương trình có nghiệm là m = - 5 .
b) BPT (1) Ù - x < 2x – 1 < x
