Bất đẳng thức và Bất phương trình
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (398.34 KB, 22 trang )
Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng
Trang 30
1. Tính chất
2. Một số bất đẳng thức thông dụng
a)
aa
2
0,
³"
.
abab
22
2
+³
.
b) Bất đẳng thức Cô–si:
+ Với a, b
³
0, ta có:
ab
ab
2
+
³ . Dấu "=" xảy ra Û a = b.
+ Với a, b, c
³
0, ta có:
abc
abc
3
3
++
³ . Dấu "=" xảy ra Û a = b = c.
Hệ quả: – Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất
Û
x = y.
– Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất
Û
x = y.
c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
d) Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác
Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có:
+ a, b, c > 0.
+
abcab
-<<+
;
bcabc
-<<+
;
cabca
-<<+
.
e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki
Với a, b, x, y
Î
R, ta có:
axbyabxy
22222
()()()
+£++. Dấu "=" xảy ra Û ay = bx.
CHƯƠNG IV
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
I. BẤT ĐẲNG THỨC
Điều kiện Nội dung
a < b
Û
a + c < b + c
(1)
c > 0
a < b
Û
ac < bc
(2a)
c < 0
a < b
Û
ac > bc
(2b)
a < b và c < d
Þ
a + c < b + d
(3)
a > 0, c > 0
a < b và c < d
Þ
ac < bd
(4)
a < b
Û
a
2n+1
< b
2n+1
(5a)
n nguyên dương
0 < a < b
Þ
a
2n
< b
2n
(5b)
a > 0
a < b
Û
ab
<
(6a)
a < b
Û
33
ab
<
(6b)
Điều kiện Nội dung
xxxxx
0,,
³³³-
xaaxa
£Û-££
a > 0
xa
xa
xa
é
£-
³Û
ê
³
ë
ababab
-£+³+
Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình
Trang 31
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia và tính chất cơ bản
· Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau:
– Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết.
– Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh.
· Một số BĐT thường dùng:
+
A
2
0
³
+
AB
22
0
+³
+
AB
.0
³
với A, B
³
0. +
ABAB
22
2
+³
Chú ý:
– Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức.
– Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra. Khi đó ta có
thể tìm GTLN, GTNN của biểu thức.
Bài 1. Cho a, b, c, d, e
Î
R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
abcabbcca
222
++³++
b)
ababab
22
1
++³++
c)
abcabc
222
32()
+++³++
d)
abcabbcca
222
2()
++³+-
e) abcaabac
4422
12(1)
+++³-++
f)
a
bcabacbc
2
22
2
4
++³-+
g)
abbccaabc
222222
(1)(1)(1)6+++++³ h)
abcdeabcde
22222
()
++++³+++
i)
abc
abbcca
111111
++³++
với a, b, c > 0
k)
abcabbcca
++³++ với a, b, c
³
0
HD: a)
Û
abbcca
222
()()()0
-+-+-³
b)
Û
abab
222
()(1)(1)0
-+-+-³
c)
Û
abc
222
(1)(1)(1)0
-+-+-³
d)
Û
abc
2
()0
-+³
e)
Û
abaca
22222
()()(1)0
-+-+-³
f)
Û
a
bc
2
()0
2
æö
³
ç÷
èø
g)
Û
abcbcacab
222
()()()0
-+-+-³
h)
Û
aaaa
bcde
2222
0
2222
æöæöæöæö
-+-+-+-³
ç÷ç÷ç÷ç÷
èøèøèøèø
i)
Û
abbcca
222
111111
0
æöæöæö
-+-+-³
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
k)
Û
( ) ( ) ( )
abbcca
222
0
-+-+-³
Bài 2. Cho a, b, c
Î
R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
abab
3
33
22
æö
++
³
ç÷
èø
; với a, b
³
0 b)
ababab
4433
+³+
c)
aa
4
34
+³
d)
abcabc
333
3++³
, với a, b, c > 0.
e)
ab
ab
ba
66
44
22
+£+; với a, b
¹
0. f)
ab
ab
22
112
1
11
+³
+
++
; với ab
³
1.
g)
a
a
2
2
3
2
2
+
>
+
h)
abababab
554422
()()()()
++³++; với ab > 0.
HD: a)
Û
abab
2
3
()()0
8
+-³
b)
Û
abab
33
()()0
³
Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng
Trang 32
c)
Û
aaa
22
(1)(23)0
-++³
d) Sử dụng hằng đẳng thức
abababab
33322
()33+=+
BĐT
Û
abcabcabbcca
222
()()0
éù
++++-++³
ëû
.
e)
Û
abaabb
2224224
()()0
-++³
f)
Û
baab
abab
2
22
()(1)
0
(1)(1)(1)
³
+++
g)
Û
a
22
(1)0
+>
h)
Û
ababab
33
()()0
³
.
Bài 3. Cho a, b, c, d
Î
R. Chứng minh rằng
abab
22
2
+³
(1). Áp dụng chứng minh các bất
đảng thức sau:
a)
abcdabcd
4444
4+++³
b)
abcabc
222
(1)(1)(1)8+++³
c)
abcdabcd
2222
(4)(4)(4)(4)256++++³
HD: a)
ababcdcd
44222222
2;2+³+³ ;
abcdabcd
2222
2+³
b)
aabbcc
222
12;12;12
+³+³+³
c)
aabbccdd
2222
44;44;44;44
+³+³+³+³
Bài 4. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu
a
b
1
<
thì
aac
bbc
+
<
+
(1). Áp dụng chứng
minh các bất đảng thức sau:
a)
abc
abbcca
2
++<
+++
b)
abcd
abcbcdcdadab
12
<+++<
++++++++
c)
abbccdda
abcbcdcdadab
23
++++
<+++<
++++++++
HD: BĐT (1)
Û
(a – b)c < 0.
a) Sử dụng (1), ta được:
aac
ababc
+
<
+++
,
bba
bcabc
+
<
+++
,
ccb
caabc
+
<
+++
.
Cộng các BĐT vế theo vế, ta được đpcm.
b) Sử dụng tính chất phân số, ta có:
aaa
abcdabcac
<<
++++++
Tương tự,
bbb
abcdbcdbd
<<
++++++
ccc
abcdcdaac
<<
++++++
ddd
abcddabdb
<<
++++++
Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm.
c) Chứng minh tương tự câu b). Ta có:
abababd
abcdabcabcd
++++
<<
++++++++
Cùng với 3 BĐT tương tự, ta suy ra đpcm.
Bài 5. Cho a, b, c
Î
R. Chứng minh bất đẳng thức:
abcabbcca
222
++³++
(1). Áp dụng
chứng minh các bất đảng thức sau:
a)
abcabc
2222
()3()
++£++ b)
abcabc
2
222
33
æö
++++
³
ç÷
èø
c)
abcabbcca
2
()3()
++³++ d)
abcabcabc
444
()
++³++
Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình
Trang 33
e)
abcabbcca
33
++++
³ với a,b,c>0. f)
abcabc
444
++³
nếu
abc
1
++=
HD:
Û
abbcca
222
()()()0
-+-+-³
.
a) Khai triển, rút gọn, đưa về (1) b, c) Vận dụng a)
d) Sử dụng (1) hai lần e) Bình phương 2 vế, sử dụng (1)
f) Sử dụng d)
Bài 6. Cho a, b
³
0 . Chứng minh bất đẳng thức:
ababbaabab
3322
()
+³+=+
(1). Áp
dụng chứng minh các bất đảng thức sau:
a)
abc
ababcbcabccaabc
333333
1111
++£
++++++
; với a, b, c > 0.
b)
abbcca
333333
111
1
111
++£
++++++
; với a, b, c > 0 và abc = 1.
c)
abbcca
111
1
111
++£
++++++
; với a, b, c > 0 và abc = 1.
d)
abbccaabc
333333
333
4()4()4()2()
+++++³++
; với a, b, c
³
0 .
e*)
ABC
ABC
333
333
sinsinsincoscoscos
222
++£++ ; với ABC là một tam giác.
HD: (1)
Û
abab
22
()()0
³
.
a) Từ (1)
Þ
ababcababc
33
()
++³++
Þ
ababc
ababc
33
11
()
£
++
++
.
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm.
b, c) Sử dụng a).
d) Từ (1)
Û
ababab
3322
3()3()
+³+
Û
abab
333
4()()
+³+ (2).
Từ đó: VT
³
abbccaabc
()()()2()
+++++=++
.
e) Ta có:
CABC
AB
sinsin2cos.cos2cos
222
-
+=£.
Sử dụng (2) ta được:
abab
33
3
4()
+£+.
Þ
CC
ABAB
33
3
33
sinsin4(sinsin)4.2.cos2cos
22
+£+£=
Tương tự,
A
BC
3 3
3
sinsin2cos
2
+£ ,
B
CA
33
3
sinsin2cos
2
+£
Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm.
Bài 7. Cho a, b, x, y
Î
R. Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki):
axbyabxy
222222
()()
+++³+++ (1)
Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:
a) Cho a, b
³
0 thoả
ab
1
+=
. Chứng minh: ab
22
115
+++³.
b) Tìm GTNN của biểu thức P =
ab
ba
22
22
11
+++
.
c) Cho x, y, z > 0 thoả mãn
xyz
1
++=
. Chứng minh:
xyz
xyz
222
222
111
82
+++++³ .
Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng
Trang 34
d) Cho x, y, z > 0 thoả mãn xyz
3
++= . Tìm GTNN của biểu thức:
P =
xyz
222
223223223
+++++
.
HD: Bình phương 2 vế ta được: (1)
Û
abxyabxy
2222
()()
++³+
(*)
·
Nếu
abxy
0
+<
thì (*) hiển nhiên đúng.
·
Nếu
abxy
0
+³
thì bình phương 2 vế ta được: (*)
Û
bxay
2
()0
-³
(đúng).
a) Sử dụng (1). Ta có: abab
2222
11(11)()5
+++³+++=.
b) Sử dụng (1). P
³
abab
abab
22
22
114
()()17
æöæö
+++³++=
ç÷ç÷
+
èøèø
Chú ý:
abab
114
+³
+
(với a, b > 0).
c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được:
xyzxyz
xyz
xyz
2
2222
222
111111
()
æö
+++++³+++++
ç÷
èø
³
xyz
xyz
2
2
9
()82
æö
+++=
ç÷
++
èø
.
Chú ý:
xyzxyz
1119
++³
++
(với x, y, z > 0).
d) Tương tự câu c). Ta có: P
³
( )
xyz
2
2
3223()2010
+++= .
Bài 8. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh:
a)
abbccaabcabbcca
222
+<2()
++£+++
b)
abcabcbcaacb
()()()
³+-+-+-
c)
abbccaabc
222222444
2220
++ >
d)
abcbcacababc
222333
()()()
-+-++>++
HD: a) Sử dụng BĐT tam giác, ta có:
abcabbcc
222
2
>-Þ>-+
.
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm.
b) Ta có:
aabcaabcabc
2222
()()()
> Þ>+ +
.
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm.
c)
Û
abcabcbcacab
()()()()0
+++-+-+->
.
d)
Û
abcbcacab
()()()0
+-+-+->
.
Bài 9.
a)
Trn S Tựng Bt ng thc Bt phng trỡnh
Trang 35
VN 2: Chng minh BT da vo BT Cụsi
1. Bt ng thc Cụsi:
+ Vi a, b
0, ta cú:
ab
ab
2
+
. Du "=" xy ra
a = b.
+ Vi a, b, c
0, ta cú:
abc
abc
3
3
++
. Du "=" xy ra
a = b = c.
2. H qu: +
ab
ab
2
2
ổử
+
ỗữ
ốứ
+
abc
abc
3
3
ổử
++
ỗữ
ốứ
3. ng dng tỡm GTLN, GTNN:
+ Nu x, y > 0 cú S = x + y khụng i thỡ P = xy ln nht
x = y.
+ Nu x, y > 0 cú P = x y khụng i thỡ S = x + y nh nht
x = y.
Bi 1. Cho a, b, c
0. Chng minh cỏc bt ng thc sau:
a)
abbccaabc
()()()8
+++
b)
abcabcabc
222
()()9++++
c)
( )
abcabc
3
3
(1)(1)(1)1++++ d)
bccaab
abc
abc
++++
; vi a, b, c > 0.
e)
abbccaabc
222222
(1)(1)(1)6+++++
f)
abbccaabc
abbcca 2
++
++Ê
+++
; vi a, b, c > 0.
g)
abc
bccaab
3
2
++
+++
; vi a, b, c > 0.
HD: a)
ababbcbccaca
2;2;2+++
ị
pcm.
b)
abcabcabcabc
3
222222
3
3;3++++
ị
pcm.
c)
ã
abcabcabbccaabc
(1)(1)(1)1
+++=+++++++
ã
abcabc
3
3++
ã
abbccaabc
3
222
3++
ị
( )
abcabcabcabcabc
3
3
22233
(1)(1)(1)1331++++++=+
d)
bccaabc
c
abab
2
22
+=
,
caababc
a
bcbc
2
22
+=
,
abbcabc
b
caac
2
22
+=
ị
pcm
e) VT
abbcca
222
2()
++
abcabc
3
333
66=.
f) Vỡ
abab
2+ nờn
ababab
ab
ab
2
2
Ê=
+
. Tng t:
bcbccaca
bcca
;
22
ÊÊ
++
.
ị
abbccaabbccaabc
abbcca 22
++++
++ÊÊ
+++
(vỡ
abbccaabc
++Ê++
)
g) VT =
abc
bccaab
1113
ổửổửổử
+++++-
ỗữỗữỗữ
+++
ốứốứốứ
=
[ ]
abbcca
bccaab
1111
()()()3
2
ổử
+++++++-
ỗữ
+++
ốứ
93
3
22
-=
.
ã
Cỏch khỏc: t x =b + c, y = c + a, z = a + b.
Khi ú, VT =
xyzxzy
yxxzyz
1
3
2
ộự
ổửổửổử
+++++-
ờỳ
ỗữ
ỗữỗữ
ốứ
ốứốứ
ởỷ
13
(2223)
22
++-=
.
Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng
Trang 36
Bài 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
abcabc
abc
3332
111
()()
æö
++++³++
ç÷
èø
b)
abcabcabc
333222
3()()()
++³++++ c)
abcabc
3333
9()()
++³++
HD: a) VT =
abbcca
abc
bacbac
333333
222
æöæöæö
++++++++
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
.
Chú ý:
ab
abab
ba
33
22
22
+³=. Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm.
b)
Û
(
)
(
)
(
)
abcabbabcbccaca
333222222
2()++³+++++.
Chú ý:
ababab
33
()
+³+
. Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm.
c) Áp dụng b) ta có:
abcabcabc
333222
9()3()()
++³++++ .
Dễ chứng minh được:
abcabc
2222
3()()
++³++
Þ
đpcm.
Bài 3. Cho a, b > 0. Chứng minh
abab
114
+³
+
(1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
a)
abcabbcca
111111
2
æö
++³++
ç÷
+++
èø
; với a, b, c > 0.
b)
abbccaabcabcabc
111111
2
222
æö
++³++
ç÷
+++++++++
èø
; với a, b, c > 0.
c) Cho a, b, c > 0 thoả
abc
111
4
++=
. Chứng minh:
abcabcabc
111
1
222
++£
++++++
d)
abbccaabc
abbcca 2
++
++£
+++
; với a, b, c > 0.
e) Cho x, y, z > 0 thoả
xyz
2412
++=
. Chứng minh:
xyyzxz
xyyzzx
284
6
2244
++£
+++
.
f) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:
papbpcabc
111111
2
æö
++³++
ç÷
èø
.
HD: (1)
Û
ab
ab
11
()4
æö
++³
ç÷
èø
. Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si.
a) Áp dụng (1) ba lần ta được:
ababbcbccaca
114114114
;;+³+³+³
+++
.
Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm.
b) Tương tự câu a).
c) Áp dụng a) và b) ta được:
abcabcabcabc
111111
4
222
æö
++³++
ç÷
++++++
èø
.
d) Theo (1):
abab
1111
4
æö
£+
ç÷
+
èø
Û
ab
ab
ab
1
()
4
£+
+
.
Cùng với các BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta được đpcm.
e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z thì
abc
12
++=
Þ
đpcm.
f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c.
Áp dụng (1) ta được:
papbpapbc
1144
()()
+³=
+-
.
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta được đpcm.
Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình
Trang 37
Bài 4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh
abcabc
1119
++³
++
(1). Áp dụng chứng minh các
BĐT sau:
a)
abcabc
abbcca
222
1113
()()
2
æö
++++³++
ç÷
+++
èø
.
b) Cho x, y, z > 0 thoả
xyz
1
++=
. Tìm GTLN của biểu thức: P =
xyz
xyz
111
++
+++
.
c) Cho a, b, c > 0 thoả
abc
1
++£
. Tìm GTNN của biểu thức:
P =
abcbaccab
222
111
222
++
+++
.
d) Cho a, b, c > 0 thoả
abc
1
++=
. Chứng minh:
abbcca
abc
222
1111
30
+++³
++
.
e*) Cho tam giác ABC. Chứng minh:
ABC
1116
2cos22cos22cos25
++³
++-
.
HD: Ta có: (1)
Û
abc
abc
111
()9
æö
++++³
ç÷
èø
. Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si.
a) Áp dụng (1) ta được:
abbccaabc
1119
2()
++³
+++++
.
Þ
VT
³
abcabc
abc
abcabc
222222
9()33()3
.()
2()22
++++
=³++
++++
Chú ý:
abcabc
2222
()3()
++£++ .
b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P như sau:
P =
xyz
xyz
111111
111
+-+-+-
++
+++
=
xyz
111
3
111
æö
-++
ç÷
+++
èø
Ta có:
xyzxyz
11199
11134
++³=
++++++
. Suy ra: P
£
93
3
44
-=
.
Chú ý: Bài toán trên có thể tổng quát như sau:
Cho x, y, z > 0 thoả
xyz
1
++=
và k là hằng số dương cho trước. Tìm GTLN
của biểu thức: P =
xyz
kxkykz
111
++
+++
.
c) Ta có: P
³
abcbcacababc
2222
99
9
222()
=³
+++++++
.
d) VT
³
abbcca
abc
222
19
+
++
++
=
abbccaabbccaabbcca
abc
222
1117
æö
+++
ç÷
++++++
++
èø
³
abbcca
abc
2
9797
30
1
1
()
3
+³+=
++
++
Chú ý: abbccaabc
2
11
()
33
++£++=
.
e) Áp dụng (1):
ABCABC
1119
2cos22cos22cos26cos2cos2cos2
++³
++-++-
Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng
Trang 38
³
96
3
5
6
2
=
+
.
Chú ý: ABC
3
cos2cos2cos2
2
+-£
.
Bài 5. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau:
a)
x
yx
x
18
;0
2
=+>
. b)
x
yx
x
2
;1
21
=+>
-
.
c)
x
yx
x
31
;1
21
=+>-
+
. d)
x
yx
x
51
;
3212
=+>
-
e)
x
yx
xx
5
;01
1
=+<<
-
f)
x
yx
x
3
2
1
;0
+
=>
g)
xx
yx
x
2
44
;0
++
=>
h) yxx
x
2
3
2
;0
=+>
HD: a) Miny = 6 khi x = 6 b) Miny =
3
2
khi x = 3
c) Miny =
3
6
2
-
khi x =
6
1
3
-
d) Miny =
301
3
+
khi x =
301
2
+
e) Miny =
255
+
khi x
55
4
-
= f) Miny =
3
3
4
khi x =
3
2
g) Miny = 8 khi x = 2 h) Miny =
5
5
27
khi x =
5
3
Bài 6. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của các biểu thức sau:
a)
yxxx
(3)(5);35
=+ ££
b)
yxxx
(6);06
=-££
c) yxxx
5
(3)(52);3
2
=+ ££
d) yxxx
5
(25)(5);5
2
=+ ££
e) yxxx
15
(63)(52);
22
=+ ££
f)
x
yx
x
2
;0
2
=>
+
g)
( )
x
y
x
2
3
2
2
=
+
HD: a) Maxy = 16 khi x = 1 b) Maxy = 9 khi x = 3
c) Maxy =
121
8
khi x =
1
4
-
d) Maxy =
625
8
khi x =
5
4
e) Maxy = 9 khi x = 1 f) Maxy =
1
22
khi x =
2
(
xx
2
222
+³
)
g) Ta có:
xxx
3
222
2113+=++³
Û
xx
232
(2)27
+³
Û
x
x
2
23
1
27
(2)
£
+
Þ
Maxy =
1
27
khi x =
±
1.
Bài 7.
a)
Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình
Trang 39
VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki
1. Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki: (B)
·
Với a, b, x, y
Î
R, ta có:
axbyabxy
22222
()()()
+£++. Dấu "=" xảy ra Û ay = bx.
·
Với a, b, c, x, y, z
Î
R, ta có:
axbyczabcxyz
2222222
()()()
++£++++
Hệ quả:
·
abab
222
()2()
+£+
·
abcabc
2222
()3()
++£++
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
ab
22
347
+³
, với
ab
347
+=
b) ab
22
735
35
47
+³ , với
ab
237
-=
c) ab
22
2464
711
137
+³ , với
ab
358
-=
d) ab
22
4
5
+³
, với
ab
22
+=
e)
ab
22
235
+³
, với
ab
235
+=
f) xyxy
22
9
(21)(245)
5
-++-+³
HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số
ab
3,4,3,4
.
b) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số
ab
23
,,3,5
35
-
.
c) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số
ab
35
,,7,11
711
-
.
d) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số
ab
1,2,,
.
e) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số
ab
2,3,2,3
.
f) Đặt a = x – 2y + 1, b = 2x – 4y + 5, ta có: 2a – b = –3 và BĐT
Û
ab
22
9
5
+³
.
Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 2; –1; a; b ta được đpcm.
Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) ab
22
1
2
+³
, với
ab
1
+³
. b) ab
33
1
4
+³
, với
ab
1
+³
.
c) ab
44
1
8
+³
, với
ab
1
+³
. d)
ab
44
2
+³
, với
ab
2
+=
.
HD: a)
abab
22222
1(11)(11)()
£+£++
Þ
đpcm.
b)
abbabaaaa
3323
11(1)133
+³Þ³-Þ³-=-+-
Þ
baa
2
33
111
3
244
æö
+³-+³
ç÷
èø
.
c) abab
2244222
1
(11)()()
4
++³+³
Þ
đpcm.
d) abab
22222
(11)()()4
++³+=
Þ
ab
22
2
+³
.
abab
2244222
(11)()()4
++³+³
Þ
ab
44
2
+³
Bài 3. Cho x, y, z là ba số dương và
xyz
1
++=
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Pxyz
111
=-+-+-
.
HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: P
£
xyz
111.(1)(1)(1)
++-+-+-
£
6
Bt ng thc Bt phng trỡnh Trn S Tựng
Trang 40
Du "=" xy ra
xyz
111
-=-=-
xyz
1
3
===
.
Vy Max P =
6
khi xyz
1
3
===
.
Bi 4. Cho x, y, z l ba s dng v
xyz
1
++Ê
. Chng minh rng:
xyz
xyz
222
222
111
82
+++++
HD: p dng BT (B), ta cú:
xx
x
x
2
222
2
19
(19)
ổửổử
+++
ỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ
ị
xx
x
x
2
2
119
82
ổử
++
ỗữ
ốứ
(1)
Tng t ta cú: yy
y
y
2
2
119
82
ổử
++
ỗữ
ốứ
(2),
zz
z
z
2
2
119
82
ổử
++
ỗữ
ốứ
(3)
T (1), (2), (3) suy ra:
P
xyz
xyz
1111
()9
82
ộự
ổử
+++++
ờỳ
ỗữ
ốứ
ởỷ
=
xyz
xyzxyz
1111180111
()
99
82
ộự
ổửổử
++++++++
ờỳ
ỗữỗữ
ốứốứ
ởỷ
xyz
xyzxyz
12111809
().
39
82
ộự
ổử
ờỳ
+++++
ỗữ
++
ờỳ
ốứ
ởỷ
82
.
Du "=" xy ra
xyz
1
3
===
.
Bi 5. Cho a, b, c
1
4
-
tho
abc
1
++=
. Chng minh:
abc
(1)(2)
741414121
<+++++Ê .
HD: p dng BT (B) cho 6 s:
abc
1;1;1;41;41;41
+++
ị
(2).
Chỳ ý:
xyzxyz
++Ê++. Du "=" xy ra
x = y = z = 0. T ú
ị
(1)
Bi 6. Cho x, y > 0. Tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau:
a) A
xy
41
4
=+ , vi x + y = 1 b)
Bxy
=+
, vi
xy
23
6
+=
HD: a) Chỳ ý: A =
xy
22
21
2
ổửổử
+
ỗữỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ
.
p dng BT (B) vi 4 s: xy
xy
21
;;;
2
ta c:
xyxy
xy
xy
2
252141
()
44
2
ổửổử
Ê+Ê++
ỗữỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ
Du "=" xy ra
xy
41
;
55
==
. Vy minA =
25
4
khi xy
41
;
55
==
.
b) Chỳ ý:
xyxy
22
2323
ổửổử
+=+
ỗữỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ
.
p dng BT (B) vi 4 s:
xy
xy
23
;;;
ta c:
Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình
Trang 41
( )
xyxy
xyxy
2
2
2323
() 23
æö
æö
++³+=+
ç÷
ç÷
ç÷
èø
èø
Þ
()
xy
2
23
6
+
+³ .
Dấu "=" xảy ra
Û
xy
23322332
;
6362
++
==
. Vậy minB =
( )
2
23
6
+
.
Bài 7. Tìm GTLN của các biểu thức sau:
a)
Axyyx
11
=+++
, với mọi x, y thoả xy
22
1
+=
.
HD: a) Chú ý: xyxy
22
2()2
+£+=.
A
£
xyyxxy
22
()(11)2
++++=++
£
22
+ .
Dấu "=" xảy ra
Û
xy
2
2
== .
Bài 8. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau:
a)
Axx
72
=-++
, với –2 £ x £ 7 b)
Bxx
6183
=-+-
, với 1 £ x £ 3
c)
Cyx
25
=-+
, với xy
22
36169
+=
d)
Dxy
22
=
, với
xy
22
1
49
+=
.
HD: a)
·
A
£
xx
22
(11)(72)32
+-++= . Dấu "=" xảy ra
Û
x
5
2
=
.
·
A
³
xx
(7)(2)3
-++=
. Dấu "=" xảy ra
Û
x = –2 hoặc x = 7.
Þ
maxA =
32
khi x
5
2
=
; minA = 3 khi x = –2 hoặc x = 7.
b)
·
B
£
xx
22
(68)(13)102
+-+-= . Dấu "=" xảy ra
Û
x =
43
25
.
·
B
³
xxx
6(1)(3)23
-+-+-
³
62
. Dấu "=" xảy ra
Û
x = 3.
Þ
maxB =
102
khi x =
43
25
; minB =
62
khi x = 3.
c) Chú ý:
xyxy
2222
3616(6)(4)
+=+. Từ đó:
yxyx
11
2.4.6
43
-=
Þ
( )
yxyxyx
22
11115
2.4.61636
431694
æö
-=-£++=
ç÷
èø
Þ
yx
55
2
44
-£-£
Þ
Cyx
1525
25
44
£=-+£ .
Þ
minC =
15
4
khi xy
29
,
520
==-
; maxC =
25
4
khi xy
29
,
520
=-=.
d) Chú ý:
( )
xy
xy
22
22
1
(3)(2)
4936
+=+. Từ đó:
xyxy
21
2.3.2
32
-=
Þ
( )
xyxyxy
22
2141
2.3.2945
3294
æö
-=-£++=
ç÷
èø
Þ
xy
525
-£-£
Þ
Dxy
7223
-£= £
.
Þ
minD = –7 khi xy
89
,
55
=-=
; maxD = 3 khi xy
89
,
55
==-
.
Bài 9.
a)
Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng
Trang 42
1. Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0
2. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ rồi
lấy giao các tập nghiệm thu được.
3. Dấu của nhị thức bậc nhất
VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0
Bài 1. Giải các bất phương trình sau:
a)
(
)
x
x
3327
2
53
-
-+> b)
x
x
213
3
54
+
->+
c)
xx
5(1)2(1)
1
63
-+
-< d)
xx
3(1)1
23
84
+-
+<-
Bài 2. Giải và biện luận các bất phương trình sau:
a)
mxmx
()1
-£-
b)
mxxm
623
+>+
c)
mxmm
(1)34
++<+
d)
mxmx
2
1
+>+
e)
mxxmx
(2)1
632
+
+> f) mxxmm
2
32()(1)
-< +
Bài 3. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:
a)
mxmxm
22
43+-<+
b)
mxmmx
2
1(32)
+³+-
c)
mxmmx
2
4
->-
d) mxxmm
2
32()(1)
-< +
Bài 4.
a)
f(x) = ax + b (a
¹
0)
x
Î
b
a
;
æö
-¥-
ç÷
èø
a.f(x) < 0
x
Î
b
a
;
æö
-+¥
ç÷
èø
a.f(x) > 0
II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
B
ẬC NHẤT MỘT ẨN
Điều kiện Kết quả tập nghiệm
a > 0
S =
b
a
;
æö
-¥-
ç÷
èø
a < 0
S =
b
a
;
æö
-+¥
ç÷
èø
b
³
0 S = Æ
a = 0
b < 0 S = R
Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình
Trang 43
VẤN ĐỀ 2: Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bài 1. Giải các hệ bất phương trình sau:
a)
x
x
xx
158
85
2
3
2(23)5
4
ì
-
->
ï
í
ï
->-
î
b)
x
x
x
x
45
3
7
38
25
4
ì
-
<+
ï
í
+
ï
>-
î
c)
xx
xx
41
12
32
432
23
ì
-£+
ï
í
ï
<
î
d)
x
x
xx
4
23
2919
32
ì
£+
ï
í
-+
ï
<
î
e)
( )
x
x
x
x
11
25
2
8
231
2
ì
-
³-
ï
í
-
ï
+³
î
f)
( )
xx
x
x
1
1522
3
314
24
2
ì
->+
ï
í
-
ï
-<
î
g)
xx
x
x
2331
45
5
38
23
ì
-+
<
ï
í
ï
+<-
î
h)
xxx
xxx
313(2)53
1
482
41145
3
18129
ì
>
ï
ï
í
ï
->-
ï
î
i)
xx
xx
3127
43219
ì
+³+
í
+>+
î
Bài 2. Tìm các nghiệm nguyên của các hệ bất phương trình sau:
a)
xx
x
x
5
647
7
83
225
2
ì
+>+
ï
í
+
ï
<+
î
b)
xx
x
x
1
1522
3
314
2(4)
2
ì
->+
ï
í
-
ï
-<
î
Bài 3. Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
a)
î
í
ì
>
>-+
023
01
xm
mx
b)
î
í
ì
>-
>-
03
01
mx
x
c)
xmmx
xx
2
421
3221
ì
+£+
í
+>-
î
d)
xx
xm
72419
2320
ì
-³-+
í
-+<
î
e)
mx
mxm
10
(32)0
ì
->
í
>
î
Bài 4.
a)
VẤN ĐỀ 3: Bất phương trình qui về bất phương trình bậc nhất một ẩn
1. Bất phương trình tích
·
Dạng: P(x).Q(x) > 0 (1) (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)
·
Cách giải: Lập bảng xét dấu của P(x).Q(x). Từ đó suy ra tập nghiệm của (1).
2. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu
·
Dạng:
Px
Qx
()
0
()
>
(2) (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)
·
Cách giải: Lập bảng xét dấu của
Px
Qx
()
()
. Từ đó suy ra tập nghiệm của (2).
Chú ý: Không nên qui đồng và khử mẫu.
3. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ
·
Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định
nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
·
Dạng 1:
gx
fxgx
gxfxgx
()0
()()
()()()
ì
>
<Û
í
-<<
î
Bt ng thc Bt phng trỡnh Trn S Tựng
Trang 44
ã
Dng 2:
gx
fxcoựnghúa
fxgx
gx
fxgx
fxgx
()0
()
()()
()0
()()
()()
ộ
ỡ
<
ớ
ờ
ợ
ờ
>
ỡ
ờ
ù
ờ
ộ
<-
ớ
ờ
ờ
ù
>
ở
ợ
ở
Chỳ ý: Vi B > 0 ta cú:
ABBAB
<-<<
;
AB
AB
AB
ộ
<-
>
ờ
>
ở
.
Bi 1. Gii cỏc bt phng trỡnh sau:
a)
xxx
(1)(1)(36)0
+ >
b)
xx
(27)(45)0
c) xxx
2
202(11)
>-
d)
xxx
3(27)(93)0
+-
e)
xxx
32
817100
+++<
f)
xxx
32
61160
+++>
Bi 2. Gii cỏc bt phng trỡnh sau:
a)
xx
x
(25)(2)
0
43
-+
>
-+
b)
xx
xx
35
12
-+
>
+-
c)
xx
xx
312
53
<
+-
d)
x
x
34
1
2
-
>
-
e)
x
x
25
1
2
-
-
-
f)
xx
25
121
Ê
g)
xx
43
312
-
<
+-
h)
xx
x
x
2
2
1
12
+
-
-
i)
xx
xx
2532
3225
-+
<
+-
Bi 3. Gii cỏc bt phng trỡnh sau:
a) x
327
->
b) x
5123
-<
c)
2x87
-Ê
d) x
3153
+
e)
x
x
1
1
2
+
-> f)
x
x 2
2
-<
g)
xx
251
-Ê+
h)
xx
21
+Ê
i)
xx
21
->+
Bi 4. Gii v bin lun cỏc bt phng trỡnh sau:
a)
xm
x
21
0
1
+-
>
+
b)
mxm
x
1
0
1
-+
<
-
c) xxm
1(2)0
+>
HD: Gii v bin lun BPT dng tớch hoc thng:
axbaxb
1122
()()0
++>
,
axbx
axbx
11
22
0
+
>
+
(hoc < 0.
0,
Ê
0)
t
bb
xx
aa
12
12
12
;
=-=-
. Tớnh
xx
12
-
.
Lp bng xột du chung
aaxx
1212
.,
-
.
T bng xột du, ta chia bi toỏn thnh nhiu trng hp. Trong mi trng hp ta
xột du ca
axbaxb
1122
()()
++(hoc
axbx
axbx
11
22
+
+
) nh qui tc an du.
a)
m
mS
m
mS
mSR
3
3:(;1);
2
3
3:;(1;)
2
3:\{1}
ộ
ổử
-
<=-Ơ-ẩ+Ơ
ỗữ
ờ
ốứ
ờ
ổử
-
ờ
>=-Ơẩ-+Ơ
ỗữ
ờ
ốứ
ờ
==-
ở
b)
m
mS
m
m
mS
m
mS
1
0:(;1);
1
0:;1
0:(;1)
ộ
ổử
-
<=-Ơẩ+Ơ
ỗữ
ờ
ốứ
ờ
ổử
-
ờ
>=
ỗữ
ờ
ốứ
ờ
==-Ơ
ở
c)
mS
mSm
3:(1;)
3:(2;)
ộ
<=+Ơ
ờ
=-+Ơ
ở
Bi 5. Gii cỏc bt phng trỡnh sau:
a)
Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình
Trang 45
1. Dấu của tam thức bậc hai
Nhận xét:
·
a
axbxcxR
2
0
0,
0
D
ì
>
++>"ÎÛ
í
<
î
·
a
axbxcxR
2
0
0,
0
D
ì
<
++<"ÎÛ
í
<
î
2. Bất phương trình bậc hai một ẩn
axbxc
2
0
++>
(hoặc ³ 0; < 0; £ 0)
Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.
VẤN ĐỀ 1: Giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai một ẩn
Bài 1. Xét dấu các biểu thức sau:
a)
xx
2
321
-+
b)
xx
2
45
-++
c)
xx
2
4129
-+-
d)
xx
2
328
e)
xx
2
21
-+-
f)
xx
2
275
-+
g) xxx
2
(3103)(45)
-+-
h) xxxx
22
(34)(21)
i)
xxx
xx
22
2
(3)(3)
43
+-
Bài 2. Giải các bất phương trình sau:
a)
xx
2
2520
-+<
b)
xx
2
54120
-++<
c)
xx
2
1640250
++>
d)
xx
2
2370
-+-³
e)
xx
2
3440
-+³
f)
xx
2
60
£
g)
xx
xx
2
2
34
0
35
+
>
++
h)
xx
xx
2
2
431
0
57
+-
>
++
i)
xx
xx
2
2
538
0
76
+-
<
-+
Bài 3. Giải và biện luận các bất phương trình sau:
a)
xmxm
2
30
-++>
b) mxmxm
2
(1)220
+-+£
c)
mxx
2
240
-+>
HD: Giải và biện luận BPT bậc hai, ta tiến hành như sau:
– Lập bảng xét dấu chung cho a và
D
.
– Dựa vào bảng xét dấu, biện luận nghiệm của BPT.
Bài 4. Giải các hệ bất phương trình sau:
a)
xx
xx
2
2
2970
60
ì
ï
++>
í
+-<
ï
î
b)
xx
xx
2
2
260
31030
ì
ï
+->
í
-+³
ï
î
c)
xx
xx
2
2
2540
3100
ì
ï
+<
í
+>
ï
î
d)
xx
xx
xx
2
2
2
430
2100
2530
ì
++³
ï
í
£
ï
-+>
î
e)
xx
xx
2
2
470
210
ì
ï
-+-<
í
³
ï
î
f)
xx
xx
2
2
50
610
ì
ï
++<
í
-+>
ï
î
g)
xx
x
2
2
27
41
1
-££
+
h)
xx
xx
2
2
122
1
13
57
££
-+
i)
xx
xx
2
2
1032
11
32
-<<
-+-
f(x) =
axbxc
2
++
(a
¹
0)
D
< 0 a.f(x) > 0,
"
x
Î
R
D
= 0
a.f(x) > 0,
"
x
Î
b
R
a
\
2
ìü
-
íý
îþ
a.f(x) > 0,
"
x
Î
(–∞; x
1
)
È
(x
2
; +∞)
D
> 0
a.f(x) < 0,
"
x
Î
(x
1
; x
2
)
III. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng
Trang 46
VẤN ĐỀ 2: Phương trình bậc hai – Tam thức bậc hai
Bài 1. Tìm m để các phương trình sau: i) có nghiệm ii) vô nghiệm
a) mxmxm
2
(5)420
+-=
b) mxmxm
2
(2)2(23)560
-+-+-=
c) mxmxm
2
(3)2(3)20
+++=
d) mxmxm
2
(1)220
+-+=
e) mxmxm
2
(2)4260
+-=
f) mmxmx
22
(23)2(23)30
-+-+ =
Bài 2. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:
a) xmxm
2
32(1)40
+-++>
b) xmxm
2
(1)270
++++>
c) xmxm
2
2(2)40
+ +>
d) mxmxm
2
(1)10
+-+-<
e) mxmxm
2
(1)2(1)3(2)0
++->
f) mxmxm
2
3(6)3(3)233
+-++->
Bài 3. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:
a) mxmx
2
(2)2(1)40
+ +<
b) mxmx
2
(3)(2)40
-++->
c) mmxmx
22
(23)2(1)10
+-+-+<
d) mxmx
2
2(1)40
+-+³
e) mxmxm
2
(3)2(25)250
+>
f) mxmxm
2
4(1)50
-++-<
Bài 4.
a)
VẤN ĐỀ 3: Phương trình – Bất phương trình qui về bậc hai
1. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng
định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
·
Dạng 1:
CC
fx
gx
fxgx
fxgx
fxgx
fx
fxgx
fxgx
12
()0
()0
()()
()()
()()
()0
()()
()()
é
ì
³
ì
³
í
ê
=
ï
î
=ÛÛ
ê
é
=
í
ì
<
ê
ê
ï
=-
í
ë
î
ê
=-
î
ë
·
Dạng 2:
fxgx
fxgx
fxgx
()()
()()
()()
é
=
=Û
ê
=-
ë
·
Dạng 3:
gx
fxgx
gxfxgx
()0
()()
()()()
ì
>
<Û
í
-<<
î
·
Dạng 4:
gx
fxcoùnghóa
fxgx
gx
fxgx
fxgx
()0
()
()()
()0
()()
()()
é
ì
<
í
ê
î
ê
>Û
ì
³
ê
ï
ê
é
<-
í
ê
ê
ï
>
ë
î
ë
Chú ý:
·
AAA
0
=Û³
;
AAA
0
=-Û£
·
Với B > 0 ta có:
ABBAB
<Û-<<
;
AB
AB
AB
é
<-
>Û
ê
>
ë
.
·
ABABAB
0
+=+Û³
;
ABABAB
0
-=+Û£
Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình
Trang 47
2. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta thường dùng phép nâng
luỹ thừa hoặc đặt ẩn phụ để khử dấu căn.
·
Dạng 1:
[ ]
gx
fxgx
fxgx
2
()0
()()
()()
ì
³
ï
=Û
í
=
ï
î
·
Dạng 2:
fxhoaëcgx
fxgx
fxgx
()0(()0)
()()
()()
ì
³³
=Û
í
=
î
·
Dạng 3:
tfxt
afxbfxc
atbtc
2
(),0
.().()0
0
ì
ï
=³
++=Û
í
++=
ï
î
·
Dạng 4:
fxgxhx
()()()
±=. Đặt
ufx
uv
vgx
()
;,0
()
ì
=ï
³
í
=
ï
î
đưa về hệ u, v.
·
Dạng 5:
[ ]
fx
fxgxgx
fxgx
2
()0
()()()0
()()
ì
³
ï
<Û>
í
ï
<
î
·
Dạng 6:
[ ]
gx
fx
fxgx
gx
fxgx
2
()0
()0
()()
()0
()()
é
ì
<
í
ê
³
î
ê
>Û
ì
³
ï
ê
í
ê
>
ï
î
ë
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) xxxx
22
5465
-+=++
b) xxx
22
128
-=-+
c) xx
22
2360
=
d) xx
233
=
e)
xx
2
11
-=-
f)
xx
xx
2
11
2
(2)
-++
=
-
Bài 2. Giải các bất phương trình sau:
a) xx
2
2530
<
b) xxx
2
834
->+-
c) xx
2
120
<
d) xxxx
22
4345
++>
e) xx
312
+<
f)
xxxx
22
322
-++>
g)
xx
xx
2
2
4
1
2
-
£
++
h)
x
x
25
10
3
-
+>
-
i)
x
xx
2
2
3
56
-
³
-+
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a)
xx
233
-=-
b)
xx
5108
+=-
c) xx
254
=
d)
xxx
2
242
++=-
e) xxx
2
3912
-+=-
f) xxx
2
3912
-+=-
g) xx
3712
+-+=
h) xx
22
972
+ =
i)
xx
x
xx
212121
2121
++-
=
+
Bài 4. Giải các phương trình sau: (nâng luỹ thừa)
a) xxx
333
56211
+++=+
b)
xxx
333
1311
+++=-
c) xx
33
112
++-=
d) xxx
333
1230
+++++=
Bài 5. Giải các phương trình sau: (biến đổi biểu thức dưới căn)
a) xxxx
225232572
-+-+++-=
b) xxxx
5412211
+-+++-+=
Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng
Trang 48
c) xxxxxx
22212234213286214
+ ++ =
Bài 6. Giải các phương trình sau: (đặt ẩn phụ)
a) xxxx
22
69466
-+=-+
b) xxxx
2
(4)(1)3526
++-++=
c) xxxx
22
(3)32237
-+-=-+
d) xxxx
2
(1)(2)34
++=+-
Bài 7. Giải các phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ)
a) xxxx
22
3583511
++-++=
b) xx
33
575131
+ =
c) xx
33
91714
-++++=
d) xx
33
2451
+-+=
e) xx
44
4723524
-++=
f)
xx
xxx
x
2
22
4356
43565
++
-+-=
Bài 8. Giải các bất phương trình sau:
a)
xxx
2
128
+-<-
b)
xxx
2
127
<-
c)
xxx
2
4213
+<+
d) xxx
2
3102
>-
e) xxx
2
31342
++³-
f)
xxx
2
2611
++>+
g) xxx
3728
+ >-
h)
xxx
2732
-> i) xx
2321
+++£
Bài 9. Giải các bất phương trình sau:
a)
xxxx
2
(3)(8)2611
+>-+ b) xxxx
(5)(2)3(3)0
+-++>
c) xxxx
2
(1)(4)5528
++<++
d) xxxx
22
3573521
++-++³
Bài 10. Giải các bất phương trình sau:
a)
xx
x
2
4
2
3
-
£
-
b)
xx
x
2
21517
0
3
+
³
+
c) xxx
22
(3)49
+-£-
d)
xxxx
xx
22
66
254
-++-++
³
++
Bài 11. Giải các bất phương trình sau:
a) xx
3
2
28
+£+
b) xx
33
22
2131
+³-
c) xx
3
13
+>-
Bài 12. Giải các phương trình sau:
a)
Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình
Trang 49
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
abcabc
333
++³++
, với a, b, c > 0 và xyz = 1.
b)
abcabcabc
abc
9
++++++
++³
, với a, b, c > 0.
c)
papbpcabc
111111
2
æö
++³++
ç÷
èø
, với a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác, p nửa chu vi.
d)
abbaab
11
-+-£
, với a
³
1, b
³
1.
HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: abcabc
3
333333
33
++³=
Þ
abc
333
2()6
++³
(1)
aaaa
3
333
11323
++³Þ+³
(2). Tương tự:
bb
3
23
+³
(3),
cc
3
23
+³
(4).
Cộng các BĐT (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được đpcm.
b) BĐT
Û
babcca
abcbac
6
æöæöæö
+++++³
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
. Dễ dàng chứng minh.
c) Áp dụng BĐT:
xyxy
114
+³
+
, ta được:
papbpapbc
1144
+³=
+-
.
Tương tự:
pbpcapcpab
114114
;
+³+³
. Cộng các BĐT
Þ
đpcm.
d) Áp dụng BĐT Cô–si:
aabaab
abaaba1.
22
+-
-=-£=.
Tương tự:
ab
ba1
2
-£ . Cộng 2 BĐT ta được đpcm. Dấu "=" xảy ra
Û
a = b = 2.
Bài 2. Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a) Ax
x
1
1
=+
-
, với x > 1.
b) B
xy
41
4
=+ , với x, y > 0 và xy
5
4
+=
.
c) Cab
ab
11
=+++
, với a, b > 0 và
ab
1
+£
.
d)
Dabc
333
=++
, với a, b, c > 0 và
abbcca
3
++=
.
HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: A = x
x
1
(1)1213
1
-++³+=
-
.
Dấu "=" xảy ra
Û
x = 2. Vậy minA = 3.
b) B =
xy
xy
41
445
4
+++-
³
xy
xy
41
2.42.455
4
+-=
.
Dấu "=" xảy ra
Û
xy
1
1;
4
==
. Vậy minB = 5.
c) Ta có
abab
114
+³
+
Þ
Babab
ababab
413
³++=+++
+++
³
ab
3
25
+³
+
.
Dấu "=" xảy ra
Û
a = b =
1
2
. Vậy minC = 5.
d) Áp dụng BĐT Cô–si:
abab
33
13
++³
,
bcbc
33
13
++³
,
caca
33
13
++³
.
Þ
abcabbcca
333
2()33()9
+++³++=
Þ
abc
333
3
++³
.
Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng
Trang 50
Dấu "=" xảy ra
Û
a = b = c = 1. Vậy minD = 3.
Bài 3. Tìm GTLN của các biểu thức sau:
a) Aab
11
=+++
, với a, b
³
–1 và
ab
1
+=
.
b)
Bxx
2
(12)
=-, với 0 < x <
1
2
.
c)
Cxx
(1)(12)
=+-
, với x
1
1
2
-<<
.
HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số
ab
1,1,1,1
++
ta được:
Aabab
1.11.1(11)(11)6
=+++£++++= . Dấu "=" xảy ra
Û
a = b =
1
2
.
Þ
maxA =
6
.
b) Áp dụng BĐT Cô–si: B =
xxx
xxx
3
121
.(12)
327
æö
++-
-£=
ç÷
èø
.
1
3
. Vậy maxB =
1
27
.
c) Áp dụng BĐT Cô–si: C =
xx
xx
2
1122129
(22)(12)
2228
æö
++-
+-£=
ç÷
èø
.
Dấu "=" xảy ra
Û
x =
1
4
-
. Vậy maxC =
9
8
.
Bài 4. Tìm m để các hệ bất phương trình sau có nghiệm:
a)
xmmx
xx
2
421
3221
ì
+£+
í
+>-
î
b)
xx
mx
2
340
(1)20
ì
£
í
³
î
c)
xx
xm
72419
2320
ì
-³-+
í
-+<
î
d)
xx
mx
212
2
ì
+>-
í
+>
î
Bài 5. Tìm m để các hệ bất phương trình sau vô nghiệm:
a)
mxxm
xx
2
93
416
ì
+<+
í
+<-+
î
b)
xx
mxm
2
10160
31
ì
++£
í
>+
î
Bài 6. Giải các bất phương trình sau:
a)
x
x
xx
2
251
3
67
-
<
-
b)
xxx
x
xx
2
2
561
56
-++
³
++
c)
x
x
xxx
23
2121
1
11
-
-³
+
-++
d)
xxx
211
0
11
+-£
-+
Bài 7. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
a) mxmxm
2
(1)2(3)20
+-+=
b) mxmxm
2
(1)2(3)30
-+-++=
Bài 8. Tìm m để các biểu thức sau luôn không âm:
a) mxmxm
2
(31)(31)4
+-+++
b) mxmxm
2
(1)2(1)33
+ +-
Bài 9. Tìm m để các biểu thức sau luôn âm:
a) mxmxm
2
(4)(1)21
-+++-
b) mmxmx
22
(45)2(1)2
+ +
Bài 10. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:
a)
xx
mxmxm
2
2
820
0
2(1)94
-+
<
++++
b)
xx
mxmxm
2
2
354
0
(4)(1)21
-+
>
-+++-
Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình
Trang 51
c)
xmx
xx
2
2
1
1
223
+-
<
-+
d)
xmx
xx
2
2
24
46
1
+-
-<<
-+-
Bài 11. Tìm m để các phương trình sau có:
i) Một nghiệm ii) Hai nghiệm phân biệt iii) Bốn nghiệm phân biệt
a) mxmxm
42
(2)2(1)210
++-=
b) mxmx
42
(3)(21)30
+ =
Bài 12. Giải các phương trình sau:
a) xxxx
(1)1617(1)(823)
++=+- b) xx
xx
2
2
21
460
410
-+-=
-+
c)
xx
xxxx
22
213
6
25323
+=
-+++
d)
x
x
x
2
2
1
1
æö
+=
ç÷
-
èø
Bài 13. Giải các phương trình sau:
a) xxxx
22
812812
-+=-+
b) xxxx
3418611
+ ++ =
c) x
22113
=
d) xxxx
1449144914
+-+ =
e) xxx
22
12(21)
+-=
Bài 14. Giải các bất phương trình sau:
a) xxx
2
45417
<-
b) xx
123
-++<
c) xxx
23315
+£+
d)
xx
x
2
2
54
1
4
-+
£
-
e)
x
xx
2
211
2
34
-
<
f) xxx
2
659
->-+
g) xxx
2
23221
>-
h)
xxx
21231
+<-++
Bài 15. Giải các phương trình sau:
a) xx
230
-+=
b) xxxxx
23132(23)(1)16
+++=+++-
c)
xxx
4112
+ =-
d) xxxx
14(1)(4)5
++-++-=
e) xx
2
41411
-+-=
f) xxxxx
2
321492352
-+-=-+-+
g)
xxxx
2
(5)(2)33
+-=+
h) xxxxx
22
(4)4(2)2
++-=
i) xx
22
1131
++=
k) xxxx
2
999
+-=-++
Bài 16. Giải các bất phương trình sau
a) xxx
2
8124
>+
b) xxx
2
56142
+<+
c)
xx
x
243
2
-+-
³
d)
x
x
x
2
2
3(49)
23
33
-
£+
-
e) xxx
22
(3)49
-+£-
f)
x
x
x
2
2
94
32
51
-
£+
-
Bài 17.
a)
