Sang kien kinh nghiem Toan 4

Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
Mục Lục
Phn mt: Nhng vn chung
Ni dung Trang
Lý do chn ti.3
Mc lc nghiờn cu 3
i tng nghiờn cu .3
Nhim v nghiờn cu 4
Phng phỏp nghiờn cu 4
Gi thuyt khoa hc 4
Phn hai: Ni dung nghiờn cu
H thng cỏc bi toỏn s v ch s.
cỏc bi toỏn thờm bt 5
Thờm ch s vo mt s t nhiờn.
Bt ch s.
Cỏc bi toỏn tỡm s lng cỏc s 10
Bi toỏn tỡm cỏc s t nhng s cho trc.
Bi toỏn tỡm cỏc s tha món yờu cu khỏc.
Cỏc bi toỏn tỡm s tha món iu kin cho trc 16
Bi toỏn tỡm hai s khi bit tng v hiu ca hai s ú.
Cỏc bi toỏn v s t nhiờn v tng, hiu, tớch, thng cỏc ch s ca nú.
Cỏc bi toỏn v s t nhiờn v cacỏ ch s to thnh.
Cỏc bi toỏn v tng ca s t nhiờn v cỏc ch s ca nú.
Bi toỏn v trung bỡnh cng.
Cỏc bi toỏn tỡm thnh phn cha bit trong phộp tớnh .30
Cỏc bi toỏn xột ch s tn cựng ca nú 34
Gii thiu mt s bi toỏn thi hc sinh gii 36
Phn ba: Kt lun v xut ý kin.
Ti liu tham kho
Năm học: 2009-2010

Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
Phn mt :
Những vấn đề chung
1. Lý do chn ti.
La tui hc sinh tiu hc bao gm cỏc em t 6 n 11, 12 tui. la tui
ny t duy ca cỏc em cũn mang tớnh trc quan c th. Do ú dy hc sinh gii toỏn
l mt vic khụng n gin chỳt no. Nú ũi hi hc sinh phi cú kh nng t duy
lụgớc, cú úc sỏng to, cỏch biu t v trỡnh by phi ngn gn v mch lc.
Ta cú th coi vic gii toỏn l mt hot ng trớ tu sỏng to, linh hot v cng
vụ cựng hp dn i vi hc sinh Tiu hc. Cỏc bi toỏn s v ch s l mt trong
nhng dng toỏn khú, thng hc sinh rt ngi gii loi toỏn ny, vỡ hu ht cỏc bi
toỏn s v ch s khụng nhng ũi hi hc sinh phi cú u úc phõn tớch, kh nng
tng hp vn m phi cú kh nng suy lun v khả nng t duy lụgớc. Nú yờu cu
cao hn so vi nhng loi toỏn khỏc. iu khú hn, gii toỏn loi ny cn phi s
dng nhiu kin thc, nhiu phng phỏp gii toỏn.
Trong quỏ trỡnh hc v nghiờn cu ti liu tôi thy cỏc bi toỏn s v ch s l
mt trong nhng dng tóan hay v lý thú. V ỡ vy tôi ó chn sáng kiến kinh nghiệm
Tỡm hiu mt s bi toỏn v s v ch s trong chng trỡnh toỏn Tiu hc lm
ti sáng kiến của mình.
Mc ớch nghiờn cu sang kiến kinh nghiệm này.
Mc ớch ca sáng kiến này l nhm h thng húa cỏc bi tp s v ch s
trong chng trỡnh toỏn tiu hc. i sõu vo nghiờn cu tỡm hiu cỏc bi toỏn dng
ny nhm nm vng kin thc dng vo gii toỏn mt cỏch hp lý. Qua ú bi
dng nng lc s phm cho bn thõn to c s cho vic tỡm tũi, sỏng to ra phng
phỏp dy hc cú hiu qu tham gia ging dy c tt hn.
3. Đi tng nghiờn cu.
Đi tng nghiờn cu ca ti l cỏc bi tp s v ch s trong chng trỡnh
toỏn ca Tiu hc
4. Nhim v nghiờn cu.

a. Tỡm hiu c s lý thuyt v s v ch s.
b. Phõn loi cỏc bi tp s v ch s.
c. Su tm cỏc bi tp nõng cao.
5. Phng phỏp nghiờn cu.
Tham kho ti liu, phõn tớch v tng hp ti liu.
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
6. Gi thuyt khoa hc.
Vic dy hc toỏn s v ch s cho hc sinh tiu hc s giỳp phỏt trin trớ
thụng minh, nng lc t duy linh hot sỏng to c bit l rốn luyn phng phỏp v
kh nng suy lun lụgớc. Nhn dng cỏc bi tp v la trn phng phỏp thớch hp
gii toỏn. ng thi rốn cho hc sinh tớnh tớch cc, c lp sỏng to trong suy
ngh v trong thc hnh. Rốn luyn cho hc sinh c tớnh cn cự, nhn ni trung
thc v vt khú trong hc tp..
Phn hai:
Nội dung nghiên cứu
H thng cỏc bi toỏn s v ch s
1. Cỏc bi toỏn thờm, bt ch s vo mt s t nhiờn
1.1. Bi toỏn thờm ch s vo mt s t nhiờn.
Mun nhõn mt s vi 10, 100, 1000,.ta ch vic vit thờm 1,2,3,ch s 0
vo bờn phi s ú.
T quy tc trờn ta suy ra:
+ Khi vit thờm 1,2,3 , ch s 0 vo bờn phi mt s t nhiờn khỏc 0 thỡ s
ú gp lờn 10, 100, 1000, .ln.
+ Khi vit thờm 1, 2, 3,. ch s khỏc 0 vo bờn phi mt s t nhiờn khỏc 0
ta c mt s mi gp lờn 10, 100, 1000, s ban u cng vi s n v va
vit thờm vo bờn phi s ú.
+ Khi vit thờm 1, 2, 3,. ch s khỏc 0 vo bờn trỏi mt s t nhiờn thỡ s ú
tng lờn s n v ỳng bng giỏ tr ch s ng hng y.

Bi toỏn 1: khi vit thờm mt ch s vo bờn phi mt s ó cho thỡ s ó cho
tng thờm 518 n v. Tìm s ó cho v ch s vit thờm.
Bi gii
Gi a l ch s vit thờm
Khi vit thờm a vo bờn phi s ó cho thỡ s y tng gp 10 ln v cng thờm
a n v.
Ta cú s :
S ó cho:
S mi: a
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý

518
T s ta cú: 518 bng 9 ln s phi tỡm cng vi a n v.
Vỡ 518 khụng chia ht cho 9 nờn ch s a khụng th l 9. Vy a < 9. Suy ra a
l s d phộp chia 518 cho 9.
Vỡ 518 : 9 = 57 d 5 nờn s phi tỡm l 57.
Ch s vit thờm l s 5.
Đáp số: 57 và 5
Bi toỏn 2. khi vit thờm s 12 vo bờn phi 1 s t nhiờn cú hai ch s ta
c mt s mi ln hn s ban u 4764 n v. Tỡm s cú hai ch s ú.
Bi gii
Gi s cn tìm
ab
(a, b < 10 ; a > 0)
Khi viết thêm số 12 vào bên phải ta đợc số mới là ab12.
Theo bài ra ta có:
12ab
-

ab
= 4764
(ab x 100 + 12) - ab = 4764 ( phân tích cấu tạo số)
(ab x 100 - ab) + 12 = 4764 (trừ một tổng đi một số)
ab x (100 - 1) +12 = 4764 (nhân một số với một hiệu)
ab x 99 = 4764 - 12 (tìm số hạng)
99 x ab = 4752
ab = 4752 : 99 (tìm thừa số)
ab = 48
Thử lại 4812 - 48 = 4764 (chọn)
Vậy số cần tìm là 48.
Đáp số : 48.
- Trên là các bài toán thêm chữ số vào bên phải một số tự nhiên, ngoài ra ta
còn gặp phải những bài toán thêm chữ số vào bên trái số một số tự nhiên.
Bài toán 3: Nếu viết thêm chữ số 2 vào bên trái một số tự nhiên có ba chữ số
thì nó tăng gấp 17 lần. Tìm số đó?
Bài giải
Gọi số cần tìm là
abc
(a,b,c < 10, a>o)
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
Khi viết thêm chữ số 2 vào bên trái số này ta đợc số
abc2
Theo bài ra ta có:
abc2
=
abc
x17

2000 +
abc
=
abc
x 17 (Phân tích cấu tạo số)

abc
x 17
abc
= 2000 (Tìm số hạng)
abc
x (17 1) = 2000 (Nhân một số với một hiệu)

abc
x 16 = 2000

abc
= 2000 : 16 (Tìm thừa số)

abc
= 125
Thử lại: 2125 : 125 = 17 (chọn)
Vậy số phải tìm là 125
Đáp số : 125.
Ngoài 2 dạng toán thêm chữ số vào bên phải, bên trái một số tự nhiên ta còn
gặp những bài toán thêm chữ số vào vị trí bất kỳ của một số tự nhiên.
Bài toán 4. Tìm số có ba chữ số, biết rằng viết thêm chữ số 0 xen giữa chữ số
hàng trăm và hàng chục ta đợc số mới gấp 7 lần số đó.
Bài giải
Gọi số cần tìm abc (a,b,c < 10, a> 0)

Viết chữ số 0 xen giữa chữ số hàng trăm và hàng chục đợc số mới có dạng
aobc.
Ta có aobc = 7 x abc
a x 1000 + bc = 7 x (a x 100 + bc)
a x 1000 + bc = 700 x a + 7 x bc
1000 x a 700 x a = 7 x bc bc
300 x a = 6 x bc
50 x a = bc (cùng chia cả hai vế cho 6) (1)
Từ (1) suy ra a chỉ có thể nhận giá trị là 1 (vì nếu a 2 thì a x 50 là một số có
ba chữa số nên bc = 50)
Vậy số cần tìm là 150.
Đáp số : 150.
1.2. Bớt chữ số.
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
Muốn chia một số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn cho 10, 100, 1000 ta
chỉ việc xóa đi 1,2,3 chữ số 0 ở bên phải số đó.
Bài toán 1: Chia số hàng nghìn của một số có bốn chữ số lớn gấp ba lần hiệu
giữa chữa số hàng trăm và hàng chục của nó. Nếu xóa đi chữ số hàng nghìn thì số đó
giảm đi 9 lần. Tìm số tự nhiên đó?
Bài giải:
Gọi số cần tìm là abcd (a,b,c,d <10, a > 0)
Khi xóa đi chữ số hàng nghìn ta đợc số bcd
Theo bài ra ta có
abcd = bcd x 9
a x 1000 + bcd = bcd x 9 (Phân tích cấu tạo số)
a x 1000 = bcd x 9 bcd (Tìm số hạng)
a x 1000 = 8 x bcd
bcd = a x (1000 : 8) (Tìm thừa số)

bcd = a x 125
Vì chữ số hàng nghìn gấp ba lần hiệu chữ số hàng trăm và hàng chục, nên a
chỉ có thể là 3, 6, 9.
Nếu a = 3 thì bcd = 375. ta đợc số abcd = 3375 (loại)
Nếu a = 6 thì bcd = 750 ta đợc số abcd = 6750 (thỏa mãn)
Nếu a = 9 thì bcd = 1125 (loại)
Vậy số cần tìm là 6750.
Đáp số : 6750.
Bài toán 2.Tìm hai số có tổng bằng 158, biết rằng nếu xóa đi chữ số 4 ở hàng
đơn vị của số lớn thì đợc số bé.
Bài giải
Khi xóa đi chữ số 4 ở hàng đơn vị của số lớn thì đợc số bé. Vậy số lớn bằng 10
làm số bé cộng thêm 4 đơn vị.
Ta có sơ đồ
Số bé
4 158
Số lớn
Từ sơ đồ ta có 11 lần số bé là : 158 4 = 154
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
Số bé là : 154 : 11 = 14
Số lớn là : 144
Đáp số : 144 và 14
Bài tập tơng tự
Bài 1. Nếu thêm số 23 vào bên trái số tự nhiên có hai chữ số thì số đó tăng gấp
26 lần. Tìm số đó ?
Bài 2. Nếu viết thêm chữa số 3 vào bên trái một số tự nhiên có 3 chữ số thì số
đó tăng thêm 5 lần. Tìm số đó?
Bài 3. Tìm số có ba chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 1 vào bên trái số đó

thì số đó tăng lên 9 lần?
Bài 4. Cho một số có hai chữ số. Nếu viết thêm bên phải số đó hai chữ số nữa
thì đợc số mới hơn số đã cho 1986 đơn vị. Hãy tìm số đã cho và hai chữa số viết
thêm.
Bài 5. Tìm một số có 5 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 1 vào tận cùng
bên trái hoặc tận cùng bên phải của số đó ta đợc hai số có 6 cha số mà số nọ gấp 3
lần số kia.
2. Các bài toán về tìm số lợng các số.
2.1. Bài toán tìm số các số từ những số cho trớc
Khi gặp các bìa toán tìm số các số từ những số cho trớc, nếu đếm trực tiếp
chúng ta phải viết tất cả các số thỏa mãn yêu cầu đầu bài, rồi đến từng số một. Cách
này rất dài dòng. Vậy khi gặp các bài toán dạng này ngoài cách giải trực tiếp là liệt
kê tất cả các trờng hợp ấy ra rồi đếm thì ta còn có cách giải khác bằng cách tính toán
dựa trên những đặc tính riêng bịêt của từng loại sự kiện. Sau đây là một số bài toán
cụ thể.
Bài toán 1. Với 4 chữ số 6,7,8,9 có thể viết đợc bao nhiêu số có 4 chữ số mà
các chữ số của nó khác nhau?
Bài giải
Cách 1. Gọi số phải tìm là abcd (a 0)
Nhận xét : có 4 cách chọn chữa số hàng nghìn (là một trong 4 chữ số 6,7,8,9)
ứng với mỗi cách chọn chữ số hàng nghìn thì có 3 cách chọn chữ số hàng trăm
(là một trong ba chữ số còn lại)
ứng với mỗi cách chọn chữ số hàng trăm thì có 2 cách chọn chữ số hàng chục
(là một trong hai chữ số còn lại)
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
ứng với mỗi cách chọn chữ số hàng chục thì có một cách chọn chữ số hàng
đơn vị.
Vậy số chữ số có thể viết đợc là : 4 x 3 x 2 x 1 = 24 (số)

Cách 2.
Ta có thể dùng sơ đồ cây để giải bài toán trên nh sau :
Đặt chữ số 6 ở hàng nghìn khi đó hàng trăm chỉ có thể là 1 trong 3 chữ số 7, 8,
9.
Nếu chữ số hàng trăm là 7 đơn vị thì chữ số hàng chục chỉ có thể là một trong
hai chữ số 8, 9.
Nếu chữ số hàng trăm là 8 thì ở hàng chục chỉ có thể là một trong hai chữ số :
7, 9
Nếu chữ số hàng trăm là 9 thì ử hàng chục chỉ có thể là một trong hai chữ số
7,8.
Nh vậy ta có sơ đồ sau:

8 9
7
9 8
7 9
6 8
9 7

7 8
9
8 7
Tơng tự ta có sơ đồ cây với các số 7, 8, 9 ở hàng nghìn.
Vậy ta có số các số có 4 chữ số khác nhau là : 6 x 4 = 24 (số)
Ngoài những bài toán tìm số các số mà chữ số khác nhau ra thì chúng ta còn
gặp những bài toán tìm số các số mà các chữ số không cần khác nhau.
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
Bài toán 2: cho 4 chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập đợc bao nhiêu số có hai chữ số từ

4 chữ số trên?
Bài giải
Sử dụng sơ đồ cây ta có: nếu đặt chữ số 1 ở vị trí hàng chục thì hàng đơn vị sẽ
là một số trong 4 chữ số: 1, 2, 3, 4 khi đó ta có sơ đồ sau:

1 1 1 1
2 2 2 2
1 2 3 4
3 3 3 3
4 4 4 4
Vậy số các số có hai chữ số là : 4 x 4 =16 (số)
2.2. Bài toán tìm số lợng các số thỏa mãn yêu cầu khác.
2.2.1. Bài toán tìm số lợng các số thỏa mãn tính chẵn, lẻ.
Bài toán 1: Với 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 em viết đợc bao nhiêu số có 4 chữ
số thỏa mãn một và chỉ một điều kiện trong các điều kiện sau :
a. là số chẵn
b. là số lẻ
Bài giải
a. Gọi số có 4 chữ số là abcd (a 0)
Vì abcd là số chẵn nên có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị (là một trong 3 chữ
số 2, 4, 6)
Số cách chọn chữ số hàng nghìn là 7 cách .
Số cách chọn chữ số hàng trăm là 7 cách.
Số cách chọn chữ số hàng chục là 7 cách.
Vậy các số có 4 chữ số và là số chẵn là :
3 x 7 x 7 x 7 =1029 (số)
b. Gọi số có 4 chữ số là: abcd (a 0)
Vì abcd là số lẻ nên số cách chọn chữ số hàng đơn vị là 4 cách (là một trong 4
chữ số 1, 3, 5, 7)
Năm học: 2009-2010

Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
số cách chọn chữ số hàng nghìn là 7 cách.
Số cách chọn chữ số hàng trăm là 7 cách.
Số cách chọn chữ số hàng chục là 7 cách.
Vậy tất cả số có các số có 4 chữ số và là số lẻ là :
4 x 7 x 7 x 7 =1372 (số)
2.2.2. Bài toán tìm số lợng các số thỏa mãn tính chất chia hết.
Bài toán. có 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 hỏi có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 4
chữ số khác nhau vì chia hết cho 5?
Bài giải
Gọi số có 4 chữ số klhác nhau và chia hết cho 5 là abcd (a 0, a b c d)
Vì abcd là số chia hết cho 5 suy ra chỉ có một cách chọn chữ số hàng đơn vị là
5 .
Số cách chọn chữ số hàng chục là 4 cách.
ứng với mỗi cách chọn chữ số hàng chục chỉ còn 3 cách chọn chữ số hàng
trăm.
ứng với mỗi cách chọn chữ số hàng trăm có 2 cách chọn chữ số hàng nghìn.
Vậy số các số thỏa mãn đề bài là.
1 x 4 x 3 x 2 =24 (số)
2.2.3. Bài toán tìm số các số mà các chữ số sắp xếp theo thứ tự tăng dần hoặc
giảm dần.
Bài toán 1: cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 hỏi có thẻ lập đợc bao nhiêu số có 3 chữ
số khác nhau mà các chữ số giảm dần theo thứ tự từ trái qua phải?
Bài giải
Gọi số có 3 chữ số sắp theo thứ tự giảm dần từ trái qua phải là abc (a 0, a >
b > c)
Vì abc có a > b > c nên a chỉ có thể là một trong 3 chữ số 3, 4, 5
Vậy ta đặt lần lợt chữ số 3, 4, 5 vào vị trí hàng trăm ta viết đợc các số sau thỏa
mãn yêu cầu:

543, 542, 541, 532, 531, 521, 432, 431, 421, 321
Vậy số các số có 3 chữ số thỏa mãn đề bài là 10 số.
2.2.4. Một số bài toán khác.
Bài toán 1. Có bao nhiêu số có bốn chữ số mà tổng của bốn chữ số đó là
chẵn?
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
Bài giải
Gọi abcd (a 0 ) là số gồm bốn chữ số mà a + b + c + d là số chẵn.
Có chín cách chọn chữ số a (là một trong những chữ số khác 0)
Có 10 cách chọn chữ số b (là một trong 10 chữ số)
Có 10 cách chọn chữ số c (là một trong 10 chữ số)
Vậy số cách chọn 3 chữ số a, b, c là 9 x 10 x 10 = 900 (cách)
Để tổng a + b + c + d là số chẵn :
Nếu a + b +c là số lẻ thì phải chọn d là chữ số lẻ, suy ra có 5 cách chọn chữ số
d (là một trong các chữ số : 1, 3, 5, 7, 9)
Nếu a + b + c + d là số chẵn thì phải chọn d là số chẵn, suy ra có 5 cách chọn
d (là một trong các chữ số 0, 2, 4, 6, 8)
Vậy mỗi cách chọn 3 chữ số a, b, c thì có 5 cách chọn chữ số d suy ra các số
gồm có 4 chữ số mà tổng các chữ số là một số chẵn là : 900 x 5 = 4500 (số)
3. Bài toán tìm số thoả mãn điều kiện cho trớc.
3.1. Bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó.
Bài toán 1. Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 55 và hiệu của chúng bằng
15?
Bài giải
Khi giải bài bài toán này thì ta cần phân tích bài toán nh sau :
- Nếu ta giả thiết số lớn giảm đi 15 đơn vị thì hai số sẽ bằng nhau (đều bằng số
bé). Bớc này thực chất ta biểu diễn số lớn theo số bé.
- Nh vậy tổng sẽ giảm đi 15 đơn vị và tổng này bằng hai lần số bé.

- Từ đây ta tìm đợc số bé
- Lấy số bé cộng với hiệu hai số ta đợc số lớn.
Tơng tự nếu ta giả thiết số bé tăng thêm 15 đơn vị thì ta sẽ đợc cách giải thứ
hai.
Từ phân tích trên ta đi đến lời giải của bài toán :
Cách 1. Ta có sơ đồ sau :
Số bé
15 55
Số lớn
Số bé là : (55 - 15) : 2 = 20.
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
Số lớn là 20 + 15 = 35.
Đáp số : 20 và 35.
Ngoài ra ta còn có nhiều cách giải khác.
Bài toán 2. Tổng của 3 số lẻ liên tiếp bằng 51. Tìm ba số đó?
Bài giải.
Phân tích : Nếu ta giải số thứ hai giảm đi hai đơn vị và số thứ ba (số lớn nhất)
giảm đi 4 đơn vị thì ba số sẽ bằng nhau (đều bằng số bé nhất). Bớc này thực chất là ta
biểu diễn số thứ hai và số thứ ba qua số bé nhất.
- Nh vậy tổng của ba số sẽ giảm đi 2 + 4 = 6 (đơn vị) và tổng này bằng 3 lần
số bé nhất.
- Từ đây ta tìm đợc số bé nhất.
Lấy số bé nhất cộng với hai ta đợc số thứ hai, cộng với 4 ta đợc số thứ ba.
Tơng tự ta giả thiết số thứ nhất tăng thêm 4 đơn vị, số thứ hai tăng thêm hai
đơn vị thì ta sẽ có cách giải thứ hai.
- Nếu ta giả thiết số thứ nhất tăng thêm 2 đơn vị, số thứ 3 giảm đi 2 đơn vị thì
dẫn đến cách giải thứ ba.
Từ cách phân tích trên ta có một trong những cách giải sau.

Ta có sơ đồ
Số thứ nhất :
2
Số thứ hai 51
2 2
Số thứ ba
Số bé nhất là : [ 51 (2 + 2 + 2)] : 3 = 15.
Số thứ hai là : 15 + 2 = 17.
Số thứ ba là : 17 + 2 = 19.
Đáp số : 15, 17 , 19.
3.2. Các bài toán về số tự nhiên tổng, hiệu, tích, thơng các chữ số của nó.
Bài toán 1. Tìm số có hai chữ số biết rằng số đó gấp 21 lần hiệu của chữ số
hàng chục trừ đi số hàng đơn vị.
Bài giải
Gọi số cần tìm ab ( a 0, a > b; a,b < 10)
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
Theo bài ra ta có : ab = 21 x (a b)
a x 10 + b = 21 x a 21 x b (cấu tạo số)
21 x a = a x 10 + b + 21 x b (tìm số bị trừ)
11 x a = b x 1 + 21 x b (cùng bớt đi a x 10)
a x 11 = 22 x b.
a = 2 x b (cùng chia cho 11)
Vậy các số thoả mãn đầu bài là : 21, 42, 63, 84.
Đáp số : 21, 42, 63, 84.
Bài toán 2. Tìm số có hai chữ số biết rằng số đó gấp 3 lần tích các chữ số của
nó?
Bài giải
Gọi số cần tìm là ab (a 0, b 0; a,b < 10)

Theo bài ra ta có : ab = a x b x 3
a x 10 + b = a x b x 3 (cấu tạo số)
Vì a x 10 + b > a x 10 nên a x b x 3 > a x 10; do đó b > 3.
Nếu b = 4 thì a x 10 + 4 = a x 4 x 3 = a x 12
a x 10 + 4 = a x 10 + a x 2.
4 = a x 2
a = 4 : 2.
a = 2
Khi đó ab = 24.
Thử lại : 2 x 4 x 3 = 24 (đúng với đầu bài)
Nếu b = 5 thì a x 10 + 5 = a x 5 x 3 = a x 15
a x 10 + 5 = a x 10 + a x 5
5 = a x 5.
a = 5 : 5
a = 1
Khi đó ab = 15
Thử lại 1 x 5 x 3 = 15 đúng với đầu bài.
- Nếu b = 6 thì a x 10 + 6 = a x 6 x 3 = a x 18
a x 10 + 6 = a x 10 + a x 8
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
6 = a x 8
a = 6 : 8
a = 6/8 không phải là số tự nhiên nên loại
- Nếu b = 7 thì a x 10 + 7 = a x 7 x 3
a x 10 + 7 = a x 21
11 x a = 7
a = 7/11 không phải là số tự nhiên nên loại
- Nếu b = 8 thì a x 10 + 8 = a x 8 x 3

a x 10 + 8 = a x 4
14 x a = 8
a = 8/14
8/14 không phải là số tự nhiên nên loại.
- Nếu b = 9 thì a x 10 + 9 = a x 9 x 3
a x 10 + 9 = a x 27
17 x a = 19
a = 9/17
9/17 không phải là số tự nhiên nên loại.
Vậy số phải tìm là 15 và 24.
Đáp số 15 và 24.
Ngoài ra còn nhiều cách giải khác.
3.3. Các bài toán về số tự nhiên và các chữ số tạo thành.
Bài toán 1. Tìm số có hai chữ số biết rằng số đó gấp 9 lần chữ số hàng đơn vị?
Bài giải
Gọi số phải tìm là ab (a 0; a,b < 10)
Theo bài ra ta có ab = b x 9
Cách 1 : Vì a 0 nên b 0
Vì b x 9 có tận cùng là b (b 0) nên b = 5.
Do đó ab = 5 x 9 = 45
Vậy số phải tìm là 45.
Cách 2 : Vì ab = b x 9 nên
ab = b x (10 1)
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
ab = b x 10 b (một số nhân một hiệu)
ab + b = b0 (tìm số bị trừ)
Vì b + b có tận cùng bằng 0 mà b 0 nên b = 5
Do đó ab = 50 5 = 45

Vậy số cần tìm là 45
Đáp số : 45.
Bài toán 2 :
Nếu một số có hai chữ số chia cho chữ số hàng đơn vị của nó thì đợc thơng là
6 d 5. Tìm số đó?
Bài giải
Gọi số cần tìm ab (a 0, a, b < 10) theo bài ra ta có :
ab = b x 6 + 5
Nhận xét : vì số d bé hơn số chia nên 5 < b. do đó b có thể lấy giá trị 6, 7, 8
hoặc 9.
Vì b x 6 là số chẵn nên b x 6 + 5 là số lẻ. Do đó ab là số lẻ, vì thế b = 7 hoặc b
= 9
Xét từng trờng hợp
- Nếu b = 7 thì 7 x 6 + 5 = 47.
- Nếu b = 9 thì 9 x 6 + 5 = 59
Vậy số cần tìm là 47 và 59.
Đáp số : 47 và 59.
Bài toàn này còn có nhiều cách giải khác
3.4. Các bài toán về tổng của số tự nhiên và các chữ số của nó.
Bài toán 1. Tìm số tự nhiên biết rằng số đó cộng với tổng các chữ số của nó
thì bằng 106?
Bài giải
Vì số phải tìm cộng với tổng các chữ số của nó thì bằng 106 nên số đó phải
nhỏ hơn 106. Số đó chỉ có thể gồm 3 chữ số hoặc hai chữ số.
- Giả sử số phải tìm là số có 3 chữ số : abc ( a 0; a,b,c < 10)
Theo bài ra ta có abc + a + b + c = 106.
Do đó a = 1. khi đó ta có
1bc + 1 + b + c = 106.
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:

Trần Thị Hải lý
101 + bc + b + c = 106
bc + b + c = 106 101 = 5
bb + c x 2 = 5 do đó b phải là số lẻ
Giả sử lấy giá trị nhỏ nhất của b là 1 thì :
11 + c x 2 = 5. không thể tìm giá trị thích hợp của c vì tổng lại nhỏ hơn một số
hạng của tổng (5 < 11)
Vậy không có số có ba chữ số phù hợp với đầu bài
- Giả sử số phải tìm là số có hai chữ số : ab ( a 0. a, b < 10)
Theo bài ra ta có : ab + a + b = 106
Nếu lấy giá trị lớn nhất của a + b là 9 x 2 = 18 thì giá trị nhỏ nhất của ab là
106 18 = 88 tức a 8
Từ ab + a + b = 106 ta có
aa
+ b x 2 = 106. Suy ra a chẵn vậy a = 8
Khi đó ta có : 88 + b x 2 = 106.
b = (106 88) : 2 = 9
Thử lại : 89 + 8 + 9 = 106
Vậy số cần tìm là 89.
Đáp số : 89.
Bài toán 2. Tìm số có 4 chữ số, biết rằng tổng các chữ số của nó thì bằng hiệu
của 1990 và số phải tìm?
Bài giải
Gọi số phải tìm là abcd (a 0; a,b,c,d < 10)
Theo bài ra ta có : 1990 abcd = a + b + c + d hay
abcd + a + b + c + d = 1990
Nhận xét vì a + b+ c + d + d < 9 x 5 = 45 nên nếu phép cộng có nhớ sang hàng
chục thì nhớ nhiều nhất là 4, do đó phép cộng này không thể nhớ sang hàng trăm.
Vậy ab = 19. khi đó ta có :
19cd + 1+ 9 + c +d = 1990

1910 + cc + d x 2 = 1990.
cc + d x 2 = 1990 1910 = 80
Vì 80 và d x 2 đều là số chẵn nên c là số chẵn và c < 8
Nếu lấy giá trị lớn nhất của d là 9 thì d x 2 = 9 x 2 = 18 thì giá trị nhỏ nhất của
cc là 80 18 = 62, hay giá trị nhỏ nhất của c là 6. Vậy c = 6.
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
Khi đó ta có d x 2 = 80 66 = 14
d = 14 :2 = 7
Thử lại 1967 + 1 + 9 + 6 +7 = 1990.
Vậy số phải tìm là 1967
Đáp số : 1967.
3.5. Bài toán về trung bình cộng.
Bài toán : Cho dãy số 1,2,3,5, 8, 13, 21.
a, Hãy xem số 8 là số trung bình cộng của năm số trong các số đã cho?
b, Hãy xem số 5 là số trung bình cộng của những số nào trong dãy đã cho?
Bài giải
Tổng của dãy số là : 1 + 2 + 3 +5 + 8 + 13 + 21 = 53
a, Tổng của năm số phải tìm là : 8 x 5 = 40.
Năm số phải tìm là : 1, 2, 3, 13, 21.
b, Vì cha biết số 5 là trung bình cộng của mấy số trong các số đã cho trong baì
toán ta làm nh sau :
Ta xét từng trờng hợp : số 5 là số trung bình cộng của hai số, ba số, bốn số ,
bảy số trong dãy số đã cho.
- Trờng hợp 1 : số 5 là số trung bình cộng của hai số :
Ta có : 5 x 2 = 10, ta thấy (2+ 8) : 2 = 5.
Số 5 là trung bình cộng của 2 và 8.
- Trờng hợp 2 : Số 5 là trung bình cộng của ba số.
Ta có : 5 x 3 = 15, ta thấy (2+ 8 + 5) : 3 = 5.

Số 5 là trung bình cộng của ba số 2, 8 và 5.
- Trờng hợp 3 : Số 5 là số trung bình cộng của bốn số
Ta có : 5 x 4 = 20, trong dãy số không có 4 số nào có tổng bằng 20 (loại)
- Trờng hợp 4 : Số 5 là số trung bình cộng của năm số
Ta có : 5 x 5 = 25. Không có năm số nào trong dãy số có tổng là 25 (loại)
- Trờng hợp 5 : Số 5 là số trung bình cộng của sáu số
Ta có : 6 x 5 = 30. Không có 6 số nào trong dãy số có tổng là 30 (loại)
- Trờng hợp 6 : Số 5 là số trung bình cộng của bảy số
Ta có : 7 x 5 = 35. mà bảy số trong dãy số có tổng là 53 (loại)
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
Vậy có các số thoả mãn điều kiện bài toán là :
Số 5 là số trung bình cộng của 2 và 8.
Số 5 là số trung bình cộng của 2, 5 và 8.
Bài tập áp dụng
Bài 1 : Trong một phép trừ biết tổng của hai số bì trừ, số trừ và hiệu bằng 6542
và hiệu lớn hơn số trừ 684. Tìm số bị trừ, số trừ và hiệu?
Bài 2 : Tổng của hai số lẻ liên tiếp là 284. Tìm hai số đó.
Bài 3 : Tìm số có 3 chữ số biết rằng khi chia số đó cho tổng các chữ số của nó
thì đợc thơng là 11?
Bài 4 : Có bao nhiêu số gồm 3 chữ số có tổng các chữ số là 5?
Bài 5 : Trung bình cộng của 3 số là 50. Tìm số thứ ba biết rằng nó bằng trung
bình cộng của hai số đầu?
Bài 6: Tìm số có hai chữ số sao cho nếu lấy 3 lần chữ số hàng chục trừ đi 1thì
bằng chữ số hàng đơn vị.
4. Các bài toán tìm thành cha biết trong một phép tính.
Bài toán 1 :
Xác định các chữ a,b,c, trong phép tính sau:
abc

x
bac
****
** a
***b
******
Bài giải
Xét tích riêng thứ hai : abc x a = **a. Tích này là số có 3 chữ số nên a chỉ có
thể là một trong các số 1, 2,3.
- Nếu a = 1 thì tích riêng thứ hai :
1bc x 1 = **1 suy ra c phải bằng 1 mà a c. Do đó a không thể bằng 1.
- Nếu a = 2 thì tích riêng thứ hai là : 2bc x 2 = **2.
Nên c chỉ có thể bằng 1 hoặc bằng 6.
Nếu c = 1 thì tích riêng thứ nhất là :
12b
x 1 =
12b
không thể là số có 4 chữ số nh yêu cầu (loại)
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
Nếu c = 6 thì tích riêng thứ nhất :
12b
2b6 x 6 hiển nhiên là số có bốn chữ số.
Nh vậy nếu a = 2 thì c = 6 ta xét tích riêng thứ ba :
2b6 x b = ***b, do đó b chỉ thể bằng 2,4,6,8.
Nhng do b c và b a nên b chỉ lấy các giá trị 4, 8.
Nếu b = 4 thì abc =246.
Xét tích riêng thứ ba abc x b = 246 x 4 = 984 (không thoả mãn yêu cầu bài
toán)

Vậy b = 8, khi đó ta có các thừa số 286 và 826.
Thực hiện nhân : 286
x
826
1716
572
2288
236236
- Nếu a = 3 thì tích riêng thứ hai : 3bc x 3 = **3.
Suy ra c phải bằng 1. Nhng khi đó tích riêng thứ nhất :
3b1 x 1 không phải là số có bốn chữ số (loại)
Vậy a không thể bằng 3.
Nh vậy ta có phép tính 286 x 826 = 236236.
Bài tập áp dụng
Bài 1 : Tìm số ab biết aba x aa = aaaa
Bài toán 2 : Thay mỗi chữ số trong phép tính sau bởi chữ số thích hợp để phép
tính đúng.
a, abab + ab = 8568
b, 12abc = abc x 97
c, 7ab : 26 = ab.
d, X + XA + XAN + XANH = 4321.
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
Bài 3. Thay các chữ a,b,c,d bằng các chữ số thích hợp :
(ab + 15) x cd = 1440.
(ba + 5) x cd = 680
Biết a = b + 1.
5. Các bài toán về xét chữ số tận cùng của số.
Để làm tốt dạng bài tập này học sinh cần nhớ các biểu thức sau :

- Chữ số tận cùng của một tổng (hay một tích) bằng chữ số tận cùng của tổng
(hay tích) các chữ số hàng đơn vị của các số hạng (các thừa số) trong tổng (tích) đó.
- Tổng của 1 + 2 + 3 + + 8 + 9 có tận cùng là 5.
- Tích của 1,3,5,7,9 có chữ số tận cùng là 5 (tích các số lẻ với 5 có tận cùng
bằng 5)
- Tích hai số giống nhau không có tận cùng bằng 2,3,7,8.
Bài toán 1. Không làm tính hãy cho biết kết quả mỗi phép tính sau có tận
cùng bằng chữ số nào?
a, (1999 + 2378 + 4545 + 7956) (315 + 598 + 736 + 89)
b, 6 x 16 x 116 x 1216 x 11996
c, 31 x 41 x 51 x 61 x 71 x 81 x 91.
d, 11 x 13 x 15 x 17 x 19 x 21 x 23 x 25.
Bài giải
a, Hiệu có tận cùng bằng 0 (vì các chữ số hàng đơn vị của số bị trừ giống các
chữ số hàng đơn vị của số trừ)
b, Chữ số tận cùng của tích bằng 6.
c, Chữ số tận cùng bằng 1.
d, Chữ số tận cùng của tích là 5 (vì tích của 5 số lẻ với số lẻ có chữ số tận cùng
là 5)
Bài toán 2 : Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 24024.
Bài giải
Vì tích tận cùng là 4 nên trong 4 thừa số không có thừa số nào tận cùng là 0
hoặc 5. bốn số đó chỉ có thể có tận cùng liên tiếp là 1,2,3,4 hoặc 6,7,8,9.
Tích 24024 > 10000; 10000 = 10 x 10 x 10 x 10
Tích 24024 < 160000; 160000 = 20 x 20 x 20 x 20.
Thử 11 x 12 x 13 x 14 = 24024 (thoả mãn)
16 x 17 x 18 x 19 = 93024 (loại)
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý

Vậy 4 số đó là : 11, 12, 13, 14.
Giới thiệu một số bài toán thi học sinh giỏi
Bài toán 1 (Hà NôI 2000)
Tìm tất cả các số chẵn có 3 chữ số mà khi chia mỗi số đó cho 9 ta đợc thơng là
số có 3 chữ số?
Bài toán 2 : (Bắc Giang 2001)
Tìm ba số lẻ liên tiếp có tổng bằng 111.
Bài toán 3 ; (Thái Bình 2001)
Có tất cả bao nhiêu số có 3 chữ số mà tổng các chữ số của nó bằng 3?
Bài toán 4 : (Vĩnh Phúc 2001)
Tìm tất cả các số có 3 chữ số, biết rằng mỗi số đó chia hết cho 5 và khi chia
số đó cho 9 ta đợc thơng là một sóo có 3 chữ số.
Bài toán 5 : (Hà Tĩnh 2002)
Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng số đó chia hết cho 9, chia hết cho 5 và
chia hết cho 2?
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
Phần Ba : Kết luận và đề xuất ý kiến
I. Kết luận.
Giải các bài toán số và chữ số là một nội dung kiến thức quan trọng trong ch-
ơng trình môn toán ở Tiểu học. Dạng toán này rất đa dạng và phong phú, mỗi bài
toán có nhiều cách giải khác nhau. Sự phong phú đó buộc ngời giáo viên phải có
những gợi ý, dẫn dắt, hớng dẫn cụ thể cho các em. Trong quá trình giải toán giáo
viên nên vận dụng các phơng pháp linh hoạt sao cho phù hợp với nhận thức của học
sinh, giúp học sinh nắm vững phơng pháp giải toán, tránh đợc sai lần trong giải các
dạng bài tập số và chữ số.
khi giải các bài toán số và chữ số giáo viên cần giúp học sinh phân biệt đợc bài
toán đó thuộc dạng toán nào đã học. Khi giải các bài toán đó càn phải sử dụng những
kiến thức, công thức nào để học sinh giải bài toán một cách tốt nhất.

Trong qúa trình giảng dạng tôi thấy các bài toán về số và chữ số là một dạng
toán hay và khó. Vì vậy tôi không ngừng sáng tạo trau rồi kiến thức. Để trong quá
trình giảng dạng giúp các em học sinh giải tốt các bài tập số và chữ số.
II. Đề xuất ý kiến.
Trong qúa trình giảng dậy tôi đã phát hiện những sai lần và khó khăn mà học
sinh thờng mắc phải :
- Học sinh không thất đợc mối quan hệ giữa điều kiện đã có và yêu cầu bài
toán.
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
- Học sinh không phát hiện bài toán thuộc dạng nào, mẫu nào để chọn phơng
pháp giải đúng.
- Học sinh không nắm chắc đợc mối quan hệ giữa các thành phần và kết quả
của phép tính nên hay lập biểu sai.
- Học sinh chỉ quen t duy đơn giản nên khi gặp bài toán khó thì học sinh lúng
túng.
- Học sinh hay bỏ sót nghiệm.
- Cách trình bày bài giải thờng thiếu phần lý luận hoặc hiểu nhng không diễn
đạt đợc.
Từ những sai lầm và khó khăn của học sinh, tôi đã mạnh rạn xin nêu ra một số
yêu cầu khi giải toán nh sau :
* Học sinh phải đọc kỹ đề bài, phân tích đợc đề bài.
* Học sinh phải biết tóm tắt đề bài.
* Trình bày bài chặt chẽ và lôgic.
* Thử lại kết quả sau khi giải xong, tìm cách giải khác (nếu có)
Để học sinh giải quyết tốt các bài toán thì giáo viên cần :
* Hớng dẫn học sinh phát hiện bài toán đó thuộc dạng nào để đa đến phơng
pháp giải dễ dàng.
* Hớng dẫn học sinh lựa chọn công thức và kiến thức hợp lý cho mỗi bài.

Xác nhận của BGH
Đồng ích, ngày 29 tháng 5 năm 2010
Ngời viết
Trần Thị Hải lý
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
Năm học: 2009-2010