Nhị thức Newton trong các đề thi đại học

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (91.63 KB, 2 trang )

Chuyên đề
Nhị thức NewTon
A. LÝ THUYẾT
1. Giai thừa: n!= n.(n−1)!=n.(n−1).(n−2). … .3.2.1, n≥0.
2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
( )
!
!
kn
n
A
k
n
−
=
, n≥k>0.
3. Số tổ hợp chập k của n phần tử:
( )
!!
!
knk
n
C
k
n
−
=
, n≥k≥0.
4. Quy ước n!=0!=1.
5. Nhị thức Newton
( )

nn
n
nn
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
bCabCbaCbaCbaCaCba ++++++=+
−−−−−− 11222222110

.
Công thức số hạng tổng quát:
kknk
nk
baCT
−
+
=
1
, 0≤k≤n.
B. BÀI TẬP
1. (CĐ_Khối D 2008)
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của
18

5
1
2








+
x
x
, (x>0).
ĐS: 6528
2. (ĐH_Khối D 2008)
Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức
2048
12
2
3
2
1
2
=+++
−n
nnn
CCC 
. (

k
n
C
là số tổ hợp chập k của n
phần tử).
ĐS: n=6
3. (ĐH_Khối D 2007)
Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(1−2x)
5
+x2(1+3x)
10
.
ĐS: 3320
4. (ĐH_Khối D 2005)
Tính giá trị biểu thức
( )
!1
3
34
1
+
+
=
+
n
AA
M
nn
, biết rằng
14922

2
4
2
3
2
2
2
1
=+++
++++ nnnn
CCCC
(n là số nguyên
dương,
k
n
A
là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử)
ĐS:
4
3
=M
5. (ĐH_Khối D 2004)
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của
7
4
3

1








+
x
x
với x>0.
ĐS: 35
6. (ĐH_Khối D 2003)
Với n là số nguyên dương, gọi a
3n
−
3
là hệ số của x
3n
−
3
trong khai triển thành đa thức của (x
2
+1)
n
(x+2)
n
.

Tìm n để a
3n
−
3
=26n.
ĐS: n=5
7. (ĐH_Khối D 2002)
Tìm số nguyên dương n sao cho
2048242
210
=++++
n
n
n
nnn
CCCC 
.
ĐS: n=5
8. (ĐH_Khối B 2008)
Chứng minh rằng
k
n
k
n
k
n
CCC
n
n 111
2

1
1
11
=








+
+
+
+
++
(n, k là các số nguyên dương, k≤n,
k
n
C
là số tổ hợp chập k
của n phần tử).
9. (ĐH_Khối B 2007)
Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)
n
, biết:
3

n
C
n
0
−3
n
−
1
C
n
1
+3
n
−
2
C
n
2
−3
n
−
3
C
n
3
+ … +(−1)
n
C
n
n

=2048 (n là số nguyên dương,
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n
phần tử).
1
ĐS: 22
10. (ĐH_Khối B 2006)
Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2
phần tử của A. Tìm k∈{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất.
ĐS: k=9
11. (ĐH_Khối B 2003)
Cho n là số nguyên dương. Tính tổng
n
n
n
nnn
C
n
CCC
1
12
3
12
2
12
1
2
3

1
2
0
+
−
++
−
+
−
+
+

, (
k
n
C
là số tổ hợp chập
k của n phần tử).
ĐS:
1
23
11
+
−
++
n
nn
12. (ĐH_Khối B 2002)
Cho đa giác đều A
1

A
2
…A
n
(n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh
là 3 trong 2n điểm A
1
A
2
…A
n
nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A
1
A
2
…A
n
,
tìm n.
ĐS: n=8
13. (ĐH_Khối A 2008)
Cho khai triển (1+2x)
n
=a
0
+a
1
x+ … +a
n
x

n
, trong đó n∈N* và các hệ số a
0
, a
1
,…a
n
thỏa mãn hệ thức
4096
2
2
1
0
=+++
n
n
a
a
a 
. Tìm số lớn nhất trong các số a
0
, a
1
,…a
n
.
ĐS: a
8
=126720
14. (ĐH_Khối A 2007)

Chứng minh rằng
1
2
2
12
2
5
2
3
2
1
2
12
12
2
1
6
1
4
1
2
1
n
n
n
nnnn
C
n
C
n

CCC
+
−
=++++
−

, (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần
tử).
15. (ĐH_Khối A 2006)
Tìm số hạng chứa x
26
trong khai triển nhị thức Newton của
n
x
x






+
7
4
1
, biết rằng

12
20
12
2
12
1
12
−=+++
+++
n
nnn
CCC 
, (n nguyên dương và
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: 210
16. (ĐH_Khối A 2005)
Tìm số nguyên dương n sao cho
( )
20052.122.42.32.2
12
12
24
12
33
12
22
12

1
12
=+++−+−
+
+++++
n
n
n
nnnn
CnCCCC 
, (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: n=1002
17. (ĐH_Khối A 2004)
Tìm hệ số của x
8
trong khai triển thành đa thức của [1+x
2
(1−x)]
8
.
ĐS: 238
18. (ĐH_Khối A 2003)
Tìm số hạng chứa x
8
trong khai triển nhị thức Newton của
n