Khảo sát trong các đề thi đại học

KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bài 1 Cho hàm số y =
2 3
2
x
x
−
−
có đồ thị là (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm
số trên.
2. Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại
M của (C) cắt 2 tiệm cận của (C) tại A, B sao cho
AB ngắn nhất.
AB min =
2 2
⇔
0
3 (3;3)
1 (1;1)
o
x M
x M
= →


= →

Bài 2:
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x
4

– 4x
2
+
3
2. Tìm m để phương trình
4 2
2
4 3 logx x m− + =
có đúng 4 nghiệm.
m = 1 hay 2 < m < 8
Bài 3: Cho hàm số y = -
3
x
3
+ x
2
+ 3x -
3
11
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị © của
hàm số đã cho.
2. Tìm trên đồ thị © hai điểm phân biệt M, N
đối xứng nhau qua trục tung
M(3;
3
16
), N(-3;
3
16
)

Bài 4: Cho hàm số
1
12
−
+
=
x
x
y
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
2. Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp
tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B. Gọi I là giao
hai tiệm cận, tìm vị trí của M để chu vi tam giác
IAB đạt giá trị nhỏ nhất.
M
1
(
32;31
++
) ; M
2
(
32;31
−−
)
Bài 5: Cho hàm số
2
32
−

−
=
x
x
y
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm
số.
2. Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C)
tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B.
Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận.Tìm
điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp ∆ IAB có
diện tích nhỏ nhất.
M(1; 1) và M(3; 3)
Bài 6: Cho hàm số
3 2
2 ( 3) 4y x mx m x= + + + +
có
đồ thị là (C
m
)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C
1
) của
hàm số trên khi m = 1.
2. Cho (d) là đường thẳng có phương trình y = x
+ 4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của tham số m
sao cho (d) cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt A(0; 4),
B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng

8 2
.
1 137
m
2
±
=
Bài 7: Cho hàm số y =
1x
3x
−
+
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số đã cho.
2. Cho điểm M
o
(x
o
;y
o
) thuộc đồ thị (C). Tiếp
tuyến của (C) tại M
o
cắt các tiệm cận của
(C) tại các điểm A và B. Chứng minh M
o
là
trung điểm của đoạn thẳng AB.
Bài 8: Cho hàm số
1

x
y
x
=
−
(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
của hàm số đã cho
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
(C) , biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của (C)
đến tiếp tuyến là lớn nhất.
y = – x ; y = – x + 4
Bài 9: Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số
3 2
(2 1) 1y x m x m= − + + − −
(1) m là tham số
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
khi m = 1.
2.Tìm để đồ thị (C
m
) tiếp xúc với đường thẳng
2 1y mx m= − −
Bài 10: 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y =
2 4
1
x
x
−

+
.
2. Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường
thẳng MN biết M(- 3;0) và N(- 1; - 1).
A(0; -4) ; B(2;0)
Bài 11: Cho hàm số
4 3 2
x 2x 3 x 1 (1)y x m m
= + − − +
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số (1) khi m = 0.
2. Định m để hàm số (1) có hai cực tiểu.
m ≠ ±
4
3
Bài 12: Cho hàm số y = x
3
+ (1 – 2m)x
2
+ (2 – m)x
+ m + 2 (m là tham số) (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm
số (1) khi m = 2
2. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1)
có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời
hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
M < – 1 hay
4
5

< m <
5
7
Bài 13: Cho hàm số y =
1
3
x
3
– mx
2
+(m
2
– 1)x + 1 (
có đồ thị (C
m
) )
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm
số khi m = 2.
2. Tìm m, để hàm số (C
m
) có cực đại, cực tiểu và
y
CĐ
+ y
CT
> 2 .
Bài 14: Cho hàm số : y = (x – m)
3
– 3x (1)
1. Xác định m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại điểm

có hoành độ x = 0.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm
số (1) khi m = 1.
m = – 1
Bài 15: Cho hàm số
4 2
2 1y x mx m= − + −
(1) ,
với
m
là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
(1) khi
1m =
.
2. Xác định
m
để hàm số (1) có ba điểm cực
trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo
thành một tam giác có bán kính đường tròn
ngoại tiếp bằng
1
.
. m = 1 hoặc m =
5 1
2
−
Bài 16: Cho hàm số y = –x
3
+ 3x

2
+ mx – 2 (1), m
là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m
= 0.
2. Tìm các giá trị của m để hàm số (1) nghịch biến
trên khoảng (0; 2).
M ≤ – 3
Bài 17: Cho hàm số:
4 2
y x (2m 1)x 2m= − + +
(m
là tham biến).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm
số khi m = 2.
2. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt
trục Ox tại 4 điểm phân biệt cách đều nhau.
m > 0 và m ≠
1
2
Bài 18: Cho hàm số y = 2x
3
– 3(2m + 1)x
2
+ 6m(m
+ 1)x +1 có đồ thị (C
m
).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của
hàm số khi m = 0.

2. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
( )
+∞
;2
m ≤ 1
Bài 19: 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
của hàm số
3 2
1
2 3 .
3
y x x x= − +

2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
(C), biết tiếp tuyến này đi qua gốc tọa độ O.
y = 0 hay y = 3x
Bài 20: Cho hàm số
y x mx x
3 2
3 9 7= − + −
có đồ thị
(C
m
).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
khi
m 0=
.
2. Tìm
m

để (C
m
) cắt trục Ox tại 3 điểm phân
biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
m
1 15
2
− −
=
Bài 21: Cho hàm số
2 3
2
−
=
−
x
y
x
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số.
2) Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến
của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C)
tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường
tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường
tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ
nhất.
M(1; 1) và M(3; 3)
Bài 22: Cho hàm số
3 2
2 ( 3) 4y x mx m x= + + + +

có đồ thị là (C
m
)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của
hàm số trên khi m = 1.
2) Cho đường thẳng (d): y = x + 4 và điểm
K(1; 3). Tìm các giá trị của tham số m sao cho
(d) cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B,
C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng
8 2
.
1 137
2
±
=m
Bài 23: Cho hàm số
4 2 2
2y x mx m m= + + +

(1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
khi m = –2.
2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực
trị lập thành một tam giác có một góc bằng
0
120
.

m=
3
1
3
−