Bài tập tiếp tuyến của hàm số ppsx

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Từ điểm M trên đường thẳng
1x 
kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị
3 2
( ) : 3C y x x 
?
(1; ) 1M m x 
; đường thẳng (d) qua M v à có hệ số góc k có phương trình :
( 1)y k x m  
.
(d) tiếp xúc với ( C ) khi hệ
3 2
2
3 ( 1) (1)
(*)
3 6 (2)
x x k x m
x x k

   


 


có nghiệm
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra
3 2 2 3 2 3 2
3 (3 6 )( 1) 2 6 6 ( ) ; ( ) 2 6 6x x x x x m x x x m f x m f x x x x               
2 2

'( ) 6 12 6 6( 1) 0; ( )f x x x x x f x       
tăng trên R ; do đó phương tr ình
( )f x m 
có đúng
1 nghiệm
m
, do đó hệ
(*)
có 1 nghiệm
m
.
Vậy từ M kẻ đúng 1 tiếp tuyến đến ( C ) .
Cho hàm số
3 2
3 1y x x  
có đồ thị là
( )C
1. Từ điểm M trên đường thẳng
1y 
mà từ đó kẻ đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị
( )?C
Định m để
( )C
cắt
( ) : 9d y x p 
tại 3 điểm phân biệt .
1. Giả sử
( ;1) 1M m y 
. Đường thẳng
( )d

qua
M
có hệ số góc
k
có phương trình
( ) 1y k x m  
.
( )d
tiếp xúc
( )C
khi hệ
3 2
2
3 1 ( ) 1 (1)
(*)
3 6 (2)
x x k x m
x x k

    


 


có nghiệm.
Thay
k
từ
(2)

vào
(1)
, ta được
3 2 2 3 2
3 1 (3 6 )( ) 1 2 3(1 ) 6 0x x x x x m x m x mx          
2
2
0
[2 3(1 ) 6 ] 0
( ) 2 3(1 ) 6 0
x
x x m x m
f x x m x m


     

    


Từ
M
kẻ đúng 2 tiếp tuyến đến
( )C
khi hệ
(*)
có đúng 2 nghiệm ; khi đó phương trình
( ) 0f x 
có
nghiệm kép khác

0
hoặc có 2 nghiệm phân biệt m à trong đó có 1 nghiệm bằng
0
.
2
2
2
[3(1 )] 48 0
3 ( 3;1)
3 10 3 0
3(1 )
0
1 1
1
( ;1)
4
3 3
[3(1 )] 48 0
1
0 (0;1)
(0) 0
m m
m M
m m
m
m
m M
m m
m
m M

f m


    
 

  



  



 


 


 


      




 




    


 




 

 



2. Phương trình hoành độ giao điểm
( )C
và
( )d
:
3 2 3 2
3 1 9 3 9 1 (**)x x x p x x x p        
Đặt
3 2 2
3 ( 3) 28
( ) 3 9 1 '( ) 3 6 9; '( ) 0
1 (1) 4
x k
k x x x x k x x x k x

x k

    
         

   


( )C
cắt
( )d
tại 3 điểm phân biệt khi ph ương trình
(**)
có 3 nghiệm
4 28m   
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Bài tập :
1. Cho hàm số
3 2
6 9 1y x x x   
có đồ thị là ( C )
a. Tìm những điểm trên đường thẳng
2x 
kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến ( C ) ?.
b. Tìm những điểm trên đường thẳng
1x 
mà từ đó kẻ đúng 1 tiếp tuyến đến ( C ) ?.
c. Tìm những điểm trên đường thẳng
1y x 
mà từ đó kẻ đúng 2 tiếp tuyến đến ( C ) ?.

2. Cho hàm số
1
1
y x
x
 

có đồ thị là ( C )
a. Tìm trên đường thẳng
1y 
những điểm mà từ đó kẻ đúng 1 tiếp tuyến đến ( C ) ?.
b. Tìm trên đường thẳng
1y 
những điểm mà từ đó kẻ đúng 2 tiếp tuyến đến ( C ) ?.
c. Tìm trên đường thẳng
1y 
những điểm mà từ đó kẻ đúng 3 tiếp tuyến đến ( C ) ?.
d. Tìm trên đường thẳng
1y 
những điểm mà từ đó kẻ đúng 2 tiếp tuyến đến ( C ) m à trong đó có
2 tiếp tuyến vuông góc nhau ?.