tài liệu Giới hạn dãy số

GIỚI HẠN DÃY SỐ
DÃY SỐ THỰC
Dãy số là tập hợp các số được đánh chỉ số
từ nhỏ đến lớn trong tập hợp số tự nhiên N.
VD:
1/ x
n
= n
2
, n = 0, 1, 2, …
2/ x
n
= 1/n, n = 1, 2, …
3/ {x
n
} là cấp số cộng: a, a+d, a+2d, …
Các cách cho dãy số
2
1, /
n n
x n x n= =
1/ Dạng liệt kê:
VD: dãy 1, 2, 3,…; dãy 1, 1/2, 1/3,…
2/ Dạng tường minh:
{x
n
} cho dạng biểu thức giải tích của biến n.
3/ Dạng quy nạp:
Số hạng đi sau tính theo các số hạng đi trước
VD:
VD:

dãy
2
1 1
1 1,
n n n
x x x x
+
= = − +
dãy
1
1 2 1
1 1
2
, ,
n n
n
x x
x x x
−
+
−
= = =
Dãy đơn điệu
{x
n
} là dãy tăng ⇔ x
n
≤ x
n+1
, với mọi n đủ lớn

{x
n
} là dãy giảm ⇔ x
n
≥ x
n+1
, với mọi n đủ lớn
Dãy tăng và dãy giảm gọi chung là dãy đơn điệu.
Bỏ dấu “ = “ trong định nghĩa ta gọi là tăng
(giảm) ngặt.
1.Xét hiệu số: x
n+1
– x
n
(so với “0”)
2.Xét thương số: x
n+1
/x
n
(so với “1”)
(dùng cho dãy số dương)
3.Xét đạo hàm của hàm số f(x), với f(n) = x
n
Phương pháp khảo sát dãy đơn điệu:
Ví dụ
1 1
1
2
= + + +K/ :
n

a x
n
1 1
/ 1 1 :
2
n
b x
n
   
= − −
 ÷  ÷
   
K
⇒ giảm
1
1
1
1
+
= −
+
n
n
x
x n
1
1
1
+
− =

+
n n
x x
n
0>
⇒
tăng
2 3
/ :
3 4
n
n
c x
n
−
=
−
Biểu thức giống hàm số, xét đạo hàm
2
2 3 1
( ) , ( ) 0
3 4
(3 4)
x
f x f x
x
x
−
′
= ⇒ = >

−
−
⇒ f(x) tăng ⇒ {x
n
} tăng.
Dóy b chn
{x
n
} l dóy b chn trờn M : x
n
M, n N
0
{x
n
} l dóy b chn di m : x
n
m, n N
0
{x
n
} b chn {x
n
} b chn trờn v b chn di
VD: Xeựt tớnh bũ chaởn cuỷa caực daừy
( )
{ }
/ 1
n
c n
{ }

/ 3
n
b
{ }
2
1
/a
n
•
Các chỉ số của dãy con cũng kéo dài ra ∞
{ }
{ }
1 2 3 4 5 6 7 8
, , , , , , , , , ,
n n
x x x x x x x x x x
=
L L
DÃY CON
Cho {x
n
}, chọn ra các số hạng từ dãy này
1cách tùy ý theo thứ tự chỉ số tăng dần ta
được 1 dãy con của {x
n
}.
VD:
{x
2n – 1
}

{x
2n
}
{x
2n-1
} = {x
1
, x
3
, x
5
, …}
{x
2n
} = {x
2
, x
4
, x
6
, …}
GiỚI HẠN DÃY SỐ
Định nghĩa đơn giản: {x
n
} có giới hạn là a
khi n ra ∞ tức là x
n
≈ a khi n đủ lớn
Dãy hội tụ ⇔
0 0

0, : ,
ε ε
⇔ ∀ > ∃ ∈ − < ∀ ≥
n
N N x a n N
0 0
0, :
n
N a x a n N
ε ε ε
⇔ ∀ > ∃ − < < + ∀ ≥
: lim höõu haïn
n
n
a x a
→∞
∃ =
a
0
N
x
0
( )
n
x n N
>
a
ε
−
a

ε
+
Định nghĩa chặt chẽ:
1
x
2
x
3
x
Ví dụ
lim 1
1
n
n
n
→∞
=
+
1
1
1 1
n
n
x a
n n
− = − =
+ +
1 1
1 1
1

n
x n
n
ε ε
ε
− < ⇔ < ⇔ + >
+
Chứng minh
0
1 1
1 1
n
n N n n x
ε
ε ε
≥ ⇒ ≥ ⇒ + > ⇒ − <
Chọn N
0
≥ 1/ε , với ε > 0 (đủ bé)
* Với ε = 10
-3
, tìm N
0
?
Tính chất dãy hội tụ
•
Dãy hội tụ thì bị chận.
•
a
n

≥ 0 và a
n
→ a thì a ≥ 0
•
a
n
→ a và a < c thì a
n
< c với n ≥ N
0
a
a - ε a + ε
c
a
n
, n ≥ N
0
a
a - ε a + ε
a
n
, n ≥ N
0
0
Các phép toán trên dãy hội tụ
( )
(
)
(
)

lim , lim
lim lim lim
lim lim lim lim 0
lim lim 0 & lim 0
n
ÑK :
ÑK :
n n
n n
n n n n
n n n
n n n n n
n n n n
n n n
n n n
x y
x y x y
x y x y y
x x x x
→∞ →∞
→∞ →∞ →∞
→∞ →∞ →∞ →∞
→∞ →∞ →∞
∃

± = ±


⇒ = ≠




= ≥ ≥

lim tổng (hiệu, tích, thương, căn,…)
= tổng (hiệu…) lim
(hữu hạn)
SỰ HỘI TỤ VÀ DÃY CON
VD: dãy {x
n
} = {(–1)
n
} phân kỳ
2
2 1
1 1
1 1
Vì 2 dãy con
n
n
x
x
−
= →


= − → −

lim x
n

= a ⇔ Mọi dãy con của {x
n
} đều → a
Dãy {x
n
} phân kỳ ⇔
1 dãy con phân kỳ
2 dãy con co ùlim nhau
∃


∃ ≠

2
2 1−
→

⇔ →

→

n
n
n
x a
x
x a
a
Hệ quả:
GIÔÙI HAÏN KEÏP

Cho 3 dãy {x
n
}, {y
n
}, {z
n
}
0
lim lim
n n n
n n
n n
x y z n N
x z a
→∞ →∞
≤ ≤ ∀ ≥



= =


lim
→∞
⇒ =
n
n
y a
n n n
x y z

≤ ≤
a
Hệ quả:
0 & lim 0 lim 0
n n n n
n n
x y n y x
→∞ →∞
≤ ≤ ∀ = ⇒ =
Dãy phân kỳ ra vô cùng
Giới hạn = ± ∞ : không thể xét | x
n
– a | !
Dãy không hội tụ gọi là dãy phân kỳ:
Không có giới
hạn
Phân kỳ ra vô
cùng
0 0
lim , : , > 0
n n
n
x M N N x M n N
→ ∞
= +∞ ⇔ ∀ ∃ ∈ > ∀ ≥
0 0
lim , : , > 0
n n
n
x M N N x M n N

→ ∞
= −∞ ⇔ ∀ ∃ ∈ < − ∀ ≥
Ví dụ
lim 2
n
n→∞
= +∞
2
2 log
n
M n M> ⇔ >
Chứng minh
Với M > 0 (lớn) tùy ý,
Chọn N
0
> log
2
M + 1, ta có :
0 2
log 2
n
n N n M M≥ ⇒ > ⇒ >
Các phép toán trên dãy phân kỳ ra ∞
0
lim 0
0( 0),
n
n
n
a

a n N
→∞
=



> < ∀ ≥


1
lim 0
n
n
a
→∞
=
lim
n
n
a
→∞
= ∞
1/ Nếu
thì
2/ Nếu thì
lim
n
n
a
→∞

= +∞
(−∞)
lim
n
n
a
→∞
= ∞ , lim
n
n
b c
→∞
=
lim
n
n
a
→∞
= +∞
lim( )
lim ,
n n
n
n n
n
a b
a b
→∞
→∞
+ = ∞



⇒

= ∞ ≠


neáu c 0
, lim
n
n
b
→∞
= +∞ lim( )
n n
n
a b
→∞
⇒ + = +∞
lim
n n
n
a b
→∞
⇒ = ∞lim
n
n
a
→∞
= +∞

, lim
n
n
b
→∞
= +∞
3/
GIỚI HẠN CƠ BẢN
3 / lim 1,
n
n
n
α
α
→∞
= ∀
lim 0, 1
n
n
n
a
a
α
→∞
= ∀ >
4 / lim 1, 0
n
n
a a
→∞

= ∀ >
1 lim
1 1 lim 0
n
n
n
n
a a
a a
→∞
→∞

> ⇒ = ∞


− < < ⇒ =


0 lim
0 lim 0
n
n
n
n
α
α
α
α
→∞
→∞


> ⇒ = ∞


< ⇒ =


2/. Hàm mũ:
1/. Lũy thừa:
lim 0, 0
!
n
n
a
a
n
→∞
= ∀ >
ln
5 / lim 0, 0
p
n
n
n
α
α
→∞
= ∀ >
ln
p n

n n a
α
= =
2
/ lim 1
−
→∞
=
n
n
e n
2
/ lim
→∞
= ∞
n
a n
1 2
1
/ lim lim 0
n n
b n
n
−
→∞ →∞
= =
/ lim 2
→∞
= +∞
n

n
c
1
/ lim 0
2
→∞
 
=
 ÷
 
n
n
d
2
/ lim 0
3
→∞
=
n
n
n
f
Ví dụ
7 DẠNG VÔ ĐỊNH
0
,0 , ,
0
∞
∞−∞ ×∞
∞

0 0
1 ,0 ,
∞
∞
•
Đối với 4 phép toán cộng, trừ, nhân, chia:
•
Đối với dạng mũ
( )
n
b
n
a
2
sin
2 / lim
1
n
n n
n
→∞
+
1000
3 / lim
n
n
n
→∞
 
 ÷

 
!
1 / lim
n
n
n
n
→∞
! 1 2 1
0 0
n
n n
n n n n
n
×
< = ≤ →
×
K
K
2 2
sin
0 0
1 1
n n n
n n
≤ ≤ →
+ +
Với n ≥ 2000:
1000 1
0 0

2
n n
n
   
< ≤ →
 ÷  ÷
   
Ví dụ tổng hợp
Tổng cấp số nhân
( )
1
1
2
1 1
lim 1 lim
1 1

n
q
n
n n
q
q q q
q q
+
<
→∞ →∞
−
+ + + + = =
− −

K
( )
( )
1
1
0
0
0 0 0
1
lim lim
1 1
n
q
n
n n
u q
u
u u q u q
q q
+
<
→∞ →∞
−
+ + + = =
− −
K
1 1 1
4 / lim 1
2 4
2

→∞
 
+ + + +
 ÷
 
K
n
n
1
1 1 2 1
lim 2
1 1 2 1 1 2
n
n
+
→∞
−
= = =
− −
2 1 3 9
lim ,
3 2 8 32
→∞
 
= − + − +
 ÷
 
K
n
5/ S

0
1 3 3 2 8
,
2 2 4 3 21
q u S
= − × = − = ⇒ =