Giới hạn hàm số ( phần 2 ) vô cùng bé, vô cùng lớn

GiỚI HẠN HÀM SỐ
(phần 2)
Vô cùng bé – vô cùng lớn
ĐỊNH NGHĨA
•
α(x) là vô cùng bé khi x → x
o
nếu giá trị của
α(x) rất bé khi x gần x
o
.
0
lim ( ) 0
x x
x
α
→
⇔ =
•
α(x) là vô cùng lớn khi x → x
o
nếu giá trị của |
α(x)| rất lớn khi x gần x
o
.
0
lim ( )
x x
x
α
→

⇔ = +∞
Ví dụ
0
1 / 0, lim 0
x
x
α
α
→
> =
2 / 0, lim
x
x
α
α
→+∞
> = +∞
1
5 / limln 0
x
x
→
=
3 / lim ln
x
x
→+∞
= +∞
0
4 / lim ln

x
x
+
→
= −∞
x
α
, α > 0 là VCB khi x→ 0
x
α
, α > 0 là VCL khi x→ +∞
lnx là VCB khi x→1
là VCL khi x →+∞, 0
TÍNH CHẤT CỦA VÔ CÙNG BÉ
1.Tổng, hiệu, tích các VCB là VCB.
2.c ≠ 0, α(x) là VCB ⇒ c×α(x) là VCB.
3.
với α(x) là VCB khi x → x
o
.
0
lim ( ) ( ) ( ),
x x
f x a f x a x
α
→
= ⇔ = +
SO SÁNH BẬC CÁC VÔ CÙNG BÉ
α(x) và β(x) là 2 VCB khi x → x
o

, đặt
0
( )
lim
( )
x x
x
K
x
α
β
→
=
1.K=0, α(x) là VCB bậc cao hơn β(x),
ký hiệu: α(x) = o(β(x)) .
2.K≠ 0,∞ : α(x) và β(x) đồng bậc.
K= 1: α(x) và β(x) tương đương: α(x) ~ β(x)
SO SÁNH BẬC CÁC VÔ CÙNG BÉ
α(x) và β(x) là 2 VCB khi x → x
o
, nếu tồn tại n>0
sao cho:
[ ]
0
( )
lim 0,
( )
n
x x
x

K
x
α
β
→
= ≠ ≠ ∞
(tức là α(x) đồng bậc với [β(x)]
n
)
Thì α(x) được gọi là VCB bậc n đối với β(x)
VÍ DỤ
3
3 4
( ) 2
1 /
( )
x x x
x x
α
β


= +

=


( )
( )
x

x
α
β
( ) ( )x x
α β
⇒ :
là 2 VCB khi x → 0
3
3 4
2x x
x
+
=
3 4
3
3
2x x
x
+
=
0
1
x→
→
( ) ln(cos )
2 /
( )
x x
x x
α

β
=


=

là 2 VCB khi x → 0
( )
( )
x
x
α
β
( ) ( ( ))x o x
α β
⇒ =
ln(cos )x
x
=
ln(1 cos 1)x
x
+ −
=
0
1 ( 1 / 2) 0 0
x→
→ × − × =
2
ln(1 cos 1) cos 1
cos 1

x x
x
x
x
+ − −
= × ×
−
α(x) bậc cao hơn β(x)
( ) ln(cos )
3 /
( )
x x
x x
α
β
=


=

là 2 VCB khi x → 0
[ ]
2
( )
( )
x
x
α
β
2

ln(cos )x
x
=
2
ln(1 cos 1) cos 1
cos 1
x x
x
x
+ − −
= ×
−
0
1 ( 1 / 2) 1/ 2
x→
→ × − = −
α(x) là VCB bậc 2 đối với β(x).
Các vcb tương đương cơ bản
2
sin
1 cos
2
tan
arcsin
arctan
x x
x
x
x x
x x

x x
−
:
:
:
:
:
ln(1 )
1
1 ln
(1 ) 1
x
x
x x
e x
a x a
x x
α
α
+
−
−
+ −
:
:
:
:
Khi x →0
Ví dụ
sin 2 2 , 0 khi x x x →:

2 4
1
1 cos , 0
2
khi x x x− →:
tan(ln(1 )) ln(1 ) , 0 khi x x x x+ + →: :
ln 1, 1 khi x x x− →:
1 1
arctan , khi x
x x
 
→ ±∞
 ÷
 
:
Nguyên tắc thay tương đương VCB
1 / ( 1) sin
x
e x− ×
(
)
3
5
3
2 / 1 2 1 ( 1) tan
x
x e x− − − ×
1 1 0
( ) ( ), ( ) ( ) khi x x x x x x
α α β β

→: :
1 1
( ) ( ) ( ) ( )x x x x
α β α β
⇒ ×× :
1.Chỉ được thay tương đương qua tích các VCB
VD:
5
3
1
( 2 )
3
x x x− × ×:
2
,x x x× =:
0khi x →
16
3
2
3
x= −
2.Nguyên tắc ngắt bỏ VCB bậc cao: tổng các VCB
khác cấp tương đương với VCB bậc thấp nhất
với α
i
là VCB bậc thấp nhất
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
n i
x x x x

α α α α
+ + +L :
VD: khi x → 0
2 3
2 3x x x− +
3 2
sin 2x x−
3x:
2
2x−:
Nguyên tắc thay tương đương VCB
3. α(x) ~ α
1
(x), khi x→x
o
,
0
lim ( ) 0
x x
f x a
→
= ≠
( ) ( )f x x
α
×
( )a x
α
×:
1
( )a x

α
×:
Nguyên tắc thay tương đương VCB
VD: khi x → 0
1 / ( 1) ln( 1)x x+ × +
2
2
2 /
x x
e e−
11 ln( )x x× +: :
( )
2 2
2
1
x x x
e e
−
= −
( )
2
20
1
x x
e e
−
−:
( )
2
1 2x x× −:

2x:
1 1 0
( ) ( ), ( ) ( ) khi x x x x x x
α α β β
→: :
4.Nguyên tắc thay tương đương trong tính giới hạn
0 0
1
1
( ) ( )
lim lim
( ) ( )
x x x x
x x
x x
α α
β β
→ →
⇒ =
VD:
2
0 0
sin 3 sin
1 / lim lim 1
ln(1 )
x x
x x x
x x
→ →
−

= =
+
2
0
( 1)arctan
2 / lim
ln(cos )
x
x
e x
x
→
−
2
0
lim
ln(1 cos 1)
x
x x
x
→
=
+ −
3
0
lim
cos 1
x
x
x

→
=
−
3
2
0
lim 0
2
x
x
x
→
= =
−
5.Phép thay qua hiệu 2 VCB
1 1
0
( ) ( ), ( )
( ) ( )
( )
khi
x x x x
x
x
x
x
α
α α β β
β


/
→


: :
:
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) x x x x
α β α β
⇒ − −:
(chỉ thay tương đương qua hiệu nếu 2
VCB ban đầu không tương đương)
Nguyên tắc thay tương đương VCB
Cách thực hiện
Thay α và β qua các tương đương trung gian
(chẳng hạn x
p
khi x→0), đến khi không còn thay
được nữa, nếu hiệu triệt tiêu thì α và β là 2 VCB
tương đương ⇒ không thay qua hiệu trong trường
hợp này
VÍ DỤ
2
x
2
1/ arctan sinx x−
x
3 / ( 1)( 1) sin
x
e x x− + −

2
4 / ln( 1) sinx x x− + −
x
1x ×
2
x
x
x
x
x
:
x
x x
2 / tan sinx x−
Lưu ý
1.Không chuyển vế trong tương đương cơ bản.
2.Không thay tương đương qua hàm số ngoại
trừ hàm lũy thừa dương(chỉ thay tương
đương cho VCB, VCL.)
3.Tính triệt tiêu trong tương đương tổng hiệu
chỉ xét cho từng cặp hàm
ln(1 sin ) sinx x x+ : :
sin
1 1
x x
e e x− −: :
ln(1 sin ) ln(1 )x x x+ +: :
sin
1 si n
x

e x x− : :
1
x
e x+:
Ví dụ
2 2
sin x x:
Xét tính đúng, sai trong các tương đương sau
Khi x → 0
2 2
sin x x
− −
:
Đ
Đ
Đ
VÍ DỤ TỔNG HỢP
1.Tìm các hằng số a và p sao cho
, 0 khi
p
x ax x
α
→:
2.So sánh bậc các VCB
3.Tính giới hạn
Tìm các hằng số a và p sao cho
, 0 khi
p
x ax x
α

→:
2
1/ ( ) sin( 2 )x x x
α
= −
2
2x x−:
2x−:
2
2 / ( ) sin( tan 2 )x x x
α
= −
2
tan 2x x−:
2
2x x−:
⇒ a = -2, p = 1
⇒ a = -2, p = 1
Tìm các hằng số a và p sao cho
, 0 khi
p
x ax x
α
→:
3 / ( ) sin tan 2x x x
α
= −
2x x−:
x= −
⇒ a = -1, p = 1

3
4 / ( ) ln 1 sin ( 1)
x
x e
α
 
= + −
 
3
sin ( 1)
x
e −:
3
( 1)
x
e −:
3
x:
⇒ a = -1, p = 3
Tìm các hằng số a và p sao cho
, 0 khi
p
x ax x
α
→:
5 / ( ) 2 2x x
α
= + −
2 2
x

x
=
+ +
2 2
x
:
1
, 1
2 2
a p⇒ = =
So sánh bậc các VCB khi x → 0
2
3
2
( ) sin( 2 )
1/
( ) 1 3 1
x x x
x x
α
β

= −


= − −


2
( ) 2

1
( ) ( 3 )
3
x x
x x
α
β
−



−


:
:
( ) ( ( ))x o x
β α
⇒ =
(β(x) bậc cao hơn α(x))
Bậc 1 theo x
Bậc 2 theo x