Giới hạn hàm số phần 1

GiỚI HẠN HÀM SỐ
Khái niệm giới hạn hàm số
Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận x
0
( có thể
không xác định tại x
0
). Nếu giá trị của f(x) rất gần với
a khi x đủ gần x
0
thì a gọi là giới hạn của f tại x
0.
Xem 2 VD số sau đây:
sin
1 / ( ) ,
x
f x
x
=
khi x ≈ 0



























0.1000 0.8415
0.01000 0.9588
0.001000 0.9816
0.0001000 0.9896
0.00001000 0.9935
x f(x)
f(x) không xác định tại 0,
nhưng khi x ≈ 0 thì f(x) ≈ 1
Đồ thị của hàm số
sin
( ) ,
x
f x
x
=

không bị đứt tại x ≈ 0
Lúc này coi như f(0) ≈ 1
(giới hạn của f tại x = 0 là 1)
2 / ( ) sin ,f x
x
π
=
khi x ≈ 0
f(x) không xác định tại 0,
nhưng khi x ≈ 0 thì f(x) ≈ 0
SAI vì
2
2 ,
4 1 2
x k k Z
k x
π π
π
= ⇒ = + ∈
+
⇒ f(x) = 1
1 0
0.5 0
0.1 0
0.0001 0
0.000001 0
 
 
 
 

 
 
 
 
x f(x)
Có vô số giá trị x gần 0 mà f(x) = 0, hoặc f(x)=1
ĐỊNH NGHĨA GiỚI HẠN HÀM SỐ
0
lim ( )
x x
f x a
→
=
0
0, 0 : ( )x x f x a
ε δ δ ε
⇔ ∀ > ∃ > − < ⇒ − <
X
0
a
ε
δ
( )
0
&x D x x∈ ≠
(hữu hạn)
x
f(x)
Hạn chế của đn:
Phải chia nhiều trường hợp

tùy thuộc vào giá trị của x
o

và a là vô hạn hay hữu hạn
ĐỊNH NGHĨA GiỚI HẠN HÀM SỐ QUA DÃY
0
lim
n
n
x x
→∞
=
0
lim ( )
x x
f x a
→
=
{ }
0
& ,
n n
x D x x⇔ ∀ ⊂ ≠
nếu thì
lim ( )
n
n
f x a
→∞
=

Tiện ích của đn:
1.Áp dụng chung cho cả trường hợp a hay x
o
là ∞.
2.Các tính chất và phép toán của giới hạn dãy vẫn
còn đúng cho giới hạn hàm số.
3.Dễ dàng trong việc chứng minh hàm số không
có giới hạn.
Giới hạn cho hàm mũ
[ ]
( )
( ) ( )
v x
f x u x=
0
0
lim ( ) 0
lim ( )
x x
x x
u x a
v x b
→
→
= >



=



0
lim ( )
b
x x
f x a
→
⇒ =
Xét hàm số có dạng:
Chứng minh:
[ ]
0
( )
lim ( )
v x
x x
u x
→
0
( ) ln ( )
lim
v x u x
x x
e
×
→
=
lnb a b
e a
×

= =
Phép biến đổi thường dùng
Phương pháp chứng minh hàm không có giới hạn
0
lim lim
lim ( ) lim ( )
n n
n n
n n
n n
x x x
f x f x
→∞ →∞
→∞ →∞
′
= =



′
≠


1
( )f x
x
=
1
1
n

n
x
n
x
n
=
′
= −
Chọn 2 dãy {x
n
} và
{x’
n
} sao cho:
Ví dụ:
1.Chứng minh
không có gh khi x → 0
Chọn
0,
0,
n →∞
( )
n
f x n=
( )
n
f x n
′
= −
n →∞

n →∞
n →∞
+ ∞
−∞
lim ( ) lim ( )
n n
n n
f x f x
→∞ →∞
′
⇒ ≠
2.Chứng minh:
( ) sinf x x=
Không có gh khi x → + ∞
Chọn
n →∞
( ) sin( ) 0
n
f x n
π
= =
( ) sin 2 1
2
n
f x n
π
π
 
′
= + =

 ÷
 
n →∞
n →∞
n →∞
2
2
n
n
x n
x n
π
π
π
=
′
= +
(x
o
= + ∞)
+ ∞
+ ∞
0
1
lim ( ) lim ( )
n n
n n
f x f x
→∞ →∞
′

⇒ ≠
GiỚI HẠN MỘT PHÍA
x
o
0
lim
n
x x=
0
lim ( )
x x
f x a
−
→
=
{ }
0
& ,
n n
x D x x⇔ ∀ ⊂ <
nếu thì
lim ( )
n
f x a=
•
Giới hạn trái
tại x
o
:
•

Giới hạn phải tại x
o
:
0
lim ( )
x x
f x a
+
→
=
(Xét x
n
>x
o
và x
n
→ x
o
)
GiỚI HẠN MỘT PHÍA
0
lim ( )
x x
f x a
+
→
=
0
lim ( )
x x

f x a
→
=
0
lim ( )
x x
f x a
−
→
=
⇔
VD:
1
, 1,
1/ ( )
2 1 , 1,


x
f x
x
x x

≥

=


− <


Xét gh của f(x) tại x
o
= 1
1
lim ( )
x
f x
+
→
1
1
lim
x
x
+
→
=
1=
1
lim ( )
x
f x
−
→1
lim (2 1)
x
x
−
→
− =

1
lim ( ) 1
x
f x
→
⇒ =
=
1
2 / ( ) ,f x
x
=
Xét gh của f(x) tại x
o
= 0
0 0
1
lim ( ) lim ,
x x
f x
x
+ +
→ →
= = +∞
0 0
1
lim ( ) lim
x x
f x
x
− −

→ →
= = −∞
⇒ f(x) không có gh khi x → 0.
0
3 / lim
x
x
x
→
GiỚI HẠN CƠ BẢN
( )
1
0
2 / lim 1
x
x
x e
→
+ =
0
ln(1 )
3 / lim
x
x
x
→
+
0
1
4 / lim 1,

x
x
e
x
→
−
=
1/ Các hàm log, mũ, lũy thừa: xem lại bài HÀM SỐ
1
0
lim ln(1 )
x
x
x
→
= + ln 1e= =
vì với phép đặt : e
x
– 1 = u, ta có
0 0
1
lim lim
ln( 1)
x
x u
e u
x u
→ →
−
=

+
0
1
lim 1
ln( 1)
u
u
u
→
= =
+
GiỚI HẠN CƠ BẢN
0
(1 ) 1
6 / lim
x
x
x
α
→
+ −
0
1
5 / lim
x
x
a
x
→
−

ln
0
1
lim ln
ln
x a
x
e
a
x a
→
−
= ×
lna=
ln(1 )
0
1 ln(1 )
lim
ln(1 )
x
x
e x
x x
α
α α
α
+
→
− +
= =

+
BẢNG TÓM TẮT CÁC GH HÀM SƠ CẤP
lim 0( 0) lim ( 0)
x x
x x
α α
α α
→+∞ →+∞
= < = +∞ >
1: lim & lim 0 ;
0 1: lim 0 & lim
x x
x x
x x
x x
a a a
a a a
→+∞ →−∞
→+∞ →−∞

> = +∞ =


< < = = +∞


0
lim ln , lim ln
+
→+∞

→
= −∞ = +∞
x
x
x x
BẢNG TÓM TẮT GH CƠ BẢN
ln
8 / lim 0, 0
p
x
x
x
α
α
→+∞
= ∀ >
( )
1
0
1/ lim 1
x
x
x e
→
+ =
0
ln(1 )
2 / lim 1
x
x

x
→
+
=
0
1
3 / lim 1,
x
x
e
x
→
−
=
0
(1 ) 1
5 / lim
x
x
x
α
α
→
+ −
=
0
1
4 / lim ln
x
x

a
a
x
→
−
=
0
sin
6 / lim 1,
x
x
x
→
=
2
0
1 cos 1
lim
2
x
x
x
→
−
=
0
lim 1,
tan
x
x

x
→
=
0
arcsin
7 / lim 1,
x
x
x
→
=
0
lim 1,
arctan
x
x
x
→
=
lim 0, 1
x
x
x
a
a
α
→+∞
= ∀ >
LƯU Ý KHI TÍNH GiỚI HẠN
1.Nhớ kiểm tra dạng vô định trước khi lấy giới hạn.

2.Tùy theo dạng vô định, chọn gh cơ bản thích hợp.
3.Nếu dạng VĐ là 0 ×∞, ∞ − ∞, chuyển về 0/0 hoặc
∞/∞
4.Nếu là dạng VĐ mũ, biến đổi theo các cách sau:
a. lấy lim của lnf(x)
b.[u(x)]
v(x)
= e
v(x)lnu(x)
c. Dạng 1
∞
, dùng gh (1+x)
1/x
→ e
VÍ DỤ
0
1 cos5
1/ lim
1 cos2
x
x
x
→
−
−
2
0
2
1 cos5
(5 )

lim
1 cos2
(2 )
x
x
x
x
x
→
−
=
−
1/ 2 25
1/ 2 4
= ×
ln
8 / lim 0, 0
p
x
x
x
α
α
→+∞
= ∀ >
( )
1
0
1 / lim 1
x

x
x e
→
+ =
0
ln(1 )
2 / lim 1
x
x
x
→
+
=
0
1
3 / lim 1,
x
x
e
x
→
−
=
0
(1 ) 1
5 / lim
x
x
x
α

α
→
+ −
=
0
1
4 / lim ln
x
x
a
a
x
→
−
=
0
sin
6 / lim 1,
x
x
x
→
=
2
0
1 cos 1
lim
2
x
x

x
→
−
=
0
lim 1,
tan
x
x
x
→
=
0
arcsin
7 / lim 1,
x
x
x
→
=
0
lim 1,
arctan
x
x
x
→
=
lim 0, 1
x

x
x
a
a
α
→+∞
= ∀ >
Dạng 0/0
25
4
=
2
2
(5 )
(2 )
x
x
×
ln
8 / lim 0, 0
p
x
x
x
α
α
→+∞
= ∀ >
( )
1

0
1/ lim 1
x
x
x e
→
+ =
0
ln(1 )
2 / lim 1
x
x
x
→
+
=
0
1
3 / lim 1,
x
x
e
x
→
−
=
0
(1 ) 1
5 / lim
x

x
x
α
α
→
+ −
=
0
1
4 / lim ln
x
x
a
a
x
→
−
=
0
sin
6 / lim 1,
x
x
x
→
=
2
0
1 cos 1
lim

2
x
x
x
→
−
=
0
lim 1,
tan
x
x
x
→
=
0
arcsin
7 / lim 1,
x
x
x
→
=
0
lim 1,
arctan
x
x
x
→

=
lim 0, 1
x
x
x
a
a
α
→+∞
= ∀ >
2
cos
2 / lim
2
x
x
A
x
π
π
→
=
−
0
cos
2
lim
2
x
u

A
u
π
→
 
+
 ÷
 
=
−
0
sin
lim
2
u
u
u
→
=
Dạng 0/0
1
2
=
Đặt:
0
2
u x x x
π
= − = −
ln

8 / lim 0, 0
p
x
x
x
α
α
→+∞
= ∀ >
( )
1
0
1 / lim 1
x
x
x e
→
+ =
0
ln(1 )
2 / lim 1
x
x
x
→
+
=
0
1
3 / lim 1,

x
x
e
x
→
−
=
0
(1 ) 1
5 / lim
x
x
x
α
α
→
+ −
=
0
1
4 / lim ln
x
x
a
a
x
→
−
=
0

sin
6 / lim 1,
x
x
x
→
=
2
0
1 cos 1
lim
2
x
x
x
→
−
=
0
lim 1,
tan
x
x
x
→
=
0
arcsin
7 / lim 1,
x

x
x
→
=
0
lim 1,
arctan
x
x
x
→
=
lim 0, 1
x
x
x
a
a
α
→+∞
= ∀ >
sin
0
1
3 / lim
x
x
e
x
→

−
sin
0
1 sin
lim
sin
x
x
e x
x x
→
−
= ×
1 1 1= × =
Dạng 0/0
ln
8 / lim 0, 0
p
x
x
x
α
α
→+∞
= ∀ >
( )
1
0
1 / lim 1
x

x
x e
→
+ =
0
ln(1 )
2 / lim 1
x
x
x
→
+
=
0
1
3 / lim 1,
x
x
e
x
→
−
=
0
(1 ) 1
5 / lim
x
x
x
α

α
→
+ −
=
0
1
4 / lim ln
x
x
a
a
x
→
−
=
0
sin
6 / lim 1,
x
x
x
→
=
2
0
1 cos 1
lim
2
x
x

x
→
−
=
0
lim 1,
tan
x
x
x
→
=
0
arcsin
7 / lim 1,
x
x
x
→
=
0
lim 1,
arctan
x
x
x
→
=
lim 0, 1
x

x
x
a
a
α
→+∞
= ∀ >
2
0
3
4 / li m
x x
x
e
x
→
−
Dạng 0/0
2
0
1 (3 1)
lim
x x
x
e
x
→
− − −
=
2

0
1 3 1
lim 2
2
x x
x
e
x x
→
 
− −
= −
 
 
2 ln3= −
Có thể biến đổi như sau:
( )
2
2
3 1
3
3
x
x x
x
e
e
x x
−
−

=
2
0
1 ln
3
x
e
→
 
→ ×
 ÷
 
ln
8 / lim 0, 0
p
x
x
x
α
α
→+∞
= ∀ >
( )
1
0
1 / lim 1
x
x
x e
→

+ =
0
ln(1 )
2 / lim 1
x
x
x
→
+
=
0
1
3 / lim 1,
x
x
e
x
→
−
=
0
(1 ) 1
5 / lim
x
x
x
α
α
→
+ −

=
0
1
4 / lim ln
x
x
a
a
x
→
−
=
0
sin
6 / lim 1,
x
x
x
→
=
2
0
1 cos 1
lim
2
x
x
x
→
−

=
0
lim 1,
tan
x
x
x
→
=
0
arcsin
7 / lim 1,
x
x
x
→
=
0
lim 1,
arctan
x
x
x
→
=
lim 0, 1
x
x
x
a

a
α
→+∞
= ∀ >
3
0
tan sin
5 / lim
x
x x
x
→
−
Dạng 0/0
2 2
0
1 tan 1 sin
lim
x
x x
x x
x x
→
 
= −
 
 
2 2
0
1 1

lim 0
x
x x
→
 
= − =
 
 
SAI
ln
8 / lim 0, 0
p
x
x
x
α
α
→+∞
= ∀ >
( )
1
0
1 / lim 1
x
x
x e
→
+ =
0
ln(1 )

2 / lim 1
x
x
x
→
+
=
0
1
3 / lim 1,
x
x
e
x
→
−
=
0
(1 ) 1
5 / lim
x
x
x
α
α
→
+ −
=
0
1

4 / lim ln
x
x
a
a
x
→
−
=
0
sin
6 / lim 1,
x
x
x
→
=
2
0
1 cos 1
lim
2
x
x
x
→
−
=
0
lim 1,

tan
x
x
x
→
=
0
arcsin
7 / lim 1,
x
x
x
→
=
0
lim 1,
arctan
x
x
x
→
=
lim 0, 1
x
x
x
a
a
α
→+∞

= ∀ >
3
0
tan sin
5 / lim
x
x x
x
→
−
Dạng 0/0
3
0
tan (1 cos )
lim
x
x x
x
→
−
=
2
0
tan 1 cos
lim
x
x x
x
x
→

−
= ×
1
1
2
= ×
ln
8 / lim 0, 0
p
x
x
x
α
α
→+∞
= ∀ >
( )
1
0
1 / lim 1
x
x
x e
→
+ =
0
ln(1 )
2 / lim 1
x
x

x
→
+
=
0
1
3 / lim 1,
x
x
e
x
→
−
=
0
(1 ) 1
5 / lim
x
x
x
α
α
→
+ −
=
0
1
4 / lim ln
x
x

a
a
x
→
−
=
0
sin
6 / lim 1,
x
x
x
→
=
2
0
1 cos 1
lim
2
x
x
x
→
−
=
0
lim 1,
tan
x
x

x
→
=
0
arcsin
7 / lim 1,
x
x
x
→
=
0
lim 1,
arctan
x
x
x
→
=
lim 0, 1
x
x
x
a
a
α
→+∞
= ∀ >
4 3
2 3

6 / lim
2 1
x
x
x
x
+
→+∞
+
 
 ÷
−
 
(Dạng 1
∞
)
2 1
4
4
lim 1
2 1
x
x
x
−
→+∞
 
 
 
= +

 ÷
 
−
 
 
 
4 3
4
lim 1
2 1
x
x
x
+
→+∞
 
= +
 ÷
−
 
0
4
2 1x−
(4 3)x +
16 2 8
e e= =
ln
8 / lim 0, 0
p
x

x
x
α
α
→+∞
= ∀ >
( )
1
0
1 / lim 1
x
x
x e
→
+ =
0
ln(1 )
2 / lim 1
x
x
x
→
+
=
0
1
3 / lim 1,
x
x
e

x
→
−
=
0
(1 ) 1
5 / lim
x
x
x
α
α
→
+ −
=
0
1
4 / lim ln
x
x
a
a
x
→
−
=
0
sin
6 / lim 1,
x

x
x
→
=
2
0
1 cos 1
lim
2
x
x
x
→
−
=
0
lim 1,
tan
x
x
x
→
=
0
arcsin
7 / lim 1,
x
x
x
→

=
0
lim 1,
arctan
x
x
x
→
=
lim 0, 1
x
x
x
a
a
α
→+∞
= ∀ >
5
2
3
1
1
7 / lim
1
x
x
A
x
→

−
=
−
Dạng 0/0
Đặt:
0
1u x x x= − = −
2
5
3
0
( 1) 1
lim
1 1
u
u
A
u
→
+ −
=
+ −
2/5
1/3
0
( 1) 1
lim
( 1) 1
u
u

u
→
+ −
=
+ −
2/5
1/3
0
( 1) 1
lim
( 1) 1
u
u u
u
u
→
+ −
= ×
+ −