Mẫu bài tập nguyên hàm

Gi ải tích 12 Chương trình chuẩn
TT DẠNG CƠ BẢN BÀI TẬP ÁP DỤNG
1
I =
( )
m
ax b dx+
∫
.Đặt t = ax + b =>dt = adx => dx =
dt
a
( )
3
1) 1 2x dx+
∫
2
I =
( )
1
p
n n
ax b x dx
−
+
∫
.Đặt t = ax
n
+ b => dt = anx
n – 1
dx
=>

1n
dt
x dx
na
−
=
( )
4
3 2
2) ) 2 1a x x dx+
∫
b)
( )
5
3 4
3 1x x dx− +
∫
c)
2
2
x
e xdx
∫
; d)
3
2
x
dx
x +
∫

e)
( )
3
2 2
5
x x
e e dx+
∫
;f)
( )
2
1x x dx−
∫
g)
4
ln x
dx
x
∫
; h)
3cos
sin
x
e xdx
∫
3
I =
1
dx
ax b+

∫
.Đặt
2
t ax b t ax b= + ⇒ = +
=> 2tdt = adx
=> dx =
2tdt
a
3)a)
1
3 1
dx
x +
∫
; b)
2
1
2x dx+
∫
4
I =
px q
a dx
+
∫
.Đặt t = px + q => dt = pdx =>
dt
dx
p
=

4)
2 3
5
x
dx
+
∫
5
ax b
e dx
+
∫
.Đặt t = ax + b => dt = adx => dx =
dt
a
5)
ln2
3
0
1
x
x
e
dx
e
+
∫
6
I =
sin cos

m
x xdx
∫
.Đặt t = sinx => dt = cosxdx => cosxdx = dt 6)
2
sin cosx xdx
∫
7
I =
cos sin
m
x xdx
∫
.Đặt t = cosx => dt = -sinxdx => sinxdx = -dt
7)
2
3
0
cos sinx xdx
π
∫
8
( ) ( )
2
1 1
sin 1 cos 2 1 cos 2
2 2
1 1
sin 2
2 2

I axdx ax dx ax dx
x ax C
a
= = − = −
 
= − +
 ÷
 
∫ ∫ ∫

8)
2 2
sin 3 sin
2
x
x dx
 
+
 ÷
 
∫
L ưu Lâm Quốc ( 1 )
CÁC DẠNG CƠ BẢN VỀ NGUYÊN HÀM
Gi ải tích 12 Chương trình chuẩn
9
( ) ( )
2
1 1
cos 1 cos2 1 cos2
2 2

1 1
sin 2
2 2
I axdx ax dx ax dx
x ax C
a
= = + = +
 
= + +
 ÷
 
∫ ∫ ∫
9)
2
cos 5xdx
∫
10
2
2
1
tan 1
cos
I xdx dx
x
 
= = −
 ÷
 
∫ ∫
10)

2
tan
3
x
dx
∫
11
2
2
1
cot 1
sin
I xdx dx
x
 
= = −
 ÷
 
∫ ∫
11)
( )
2
tan cotx x dx+
∫
12
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
cos .cos cos cos

2
1
sin .sin cos cos
2
1
sin .cos sin sin
2
I ax bxdx ax bx ax bx dx
M ax bxdx ax bx ax bx dx
N ax bxdx ax bx ax bx dx
= = − + + 
 
= = − − + 
 
= = − + +
 
 
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
12)a)
cos3 .cosx xdx
∫
b)
sin 2 .cos3x xdx
∫
c)
sin 2 .sin 7x xdx
∫
13

( )
sinI ax b mxdx= +
∫
.Đặt:
1
sin
cos
du adx
u ax b
dv mxdx
v mx
m
=

= +


⇒
−
 
=
=



13)
sin 2x xdx
∫
14
( )

cosI ax b mxdx= +
∫
.Đặt:
1
cos
sin
du adx
u ax b
dv mxdx
v mx
m
=

= +


⇒
 
=
=



14)
( )
4
0
1 cosx xdx
π
−

∫
15
( )
mx
I ax b e dx= +
∫
.Đặt:
1
mx
mx
du adx
u ax b
v e
dv e dx
m
=

= +


⇒
 
=
=



15)
( )
2 3

1 2
x
x x e dx+ −
∫
L ưu Lâm Quốc ( 2 )
Gi ải tích 12 Chương trình chuẩn
16
( )
lnI ax b xdx= +
∫
.Đặt:
( )
2
1
ln
2
du dx
u x
x
dv ax b dx
ax
v bx

=

=

 
⇒
 

= +



= +


16)
2
1
ln
e
x xdx
∫
17
( )
sinI ax b dx= +
∫
.Đặt t = ax + b=> dt = adx => dx =
dt
a
17)
2
0
sin
4
x dx
π
π
 

−
 ÷
 
∫
18
( )
cosI ax b dx= +
∫
.Đặt t = ax + b=> dt = adx => dx =
dt
a
18)
cos 2
3
x dx
π
 
−
 ÷
 
∫
19
( )
( )
( )
sin
tan
cos
ax b
I ax b dx dx

ax b
+
= + =
+
∫ ∫
.Đặt :
t = cos(ax+b) => dt = - asin(ax+b)dx =>
( )
sin
dt
ax b dx
a
−
+ =
19)
2 tan xdx
∫
20
( )
( )
( )
cos
cot
sin
ax b
I ax b dx dx
ax b
+
= + =
+

∫ ∫
t = sin(ax+b) => dt = acos(ax+b)dx =>
( )
cos
dt
ax b dx
a
+ =
20)
cot xdx
∫
21
I =
dx
ax b+
∫
. Đặt t = ax+ b => dt = adx => dx =
dt
a
=> I =
1 1 1
ln ln
dt
t C ax b C
a t a a
= + = + +
∫
21)a)
2 1
dx

x− +
∫
; b)
7
6
5
dx
x −
∫
22
( ) ( )
( )
1
1
m m
dx
I dx m
ax b ax b
= = ≠
+ +
∫ ∫
.
Đặt t = ax + b => dt = adx => dx =
dt
a
I =
( ) ( )
1
1
1 1 1 1

1
1
m
m
m
m
dt t
t dt C C
a t a a m
a m ax b
− +
−
−
 
= = + = +
 ÷
− +
− +
 
∫ ∫
22)
( )
4
1 2
dx
x−
∫
L ưu Lâm Quốc ( 3 )
Gi ải tích 12 Chương trình chuẩn
23

( ) ( ) ( ) ( )
1dx
dx
x a x b x a x b
=
+ + + +
∫ ∫
=
1 1 1
dx
a b x b x a
 
−
 ÷
− + +
 
∫
1 1
ln ln ln
x b
x b x a C C
a b a b x a
+
=  + − +  + = +
 
− − +
23)a)
2
4
dx

x −
∫
;
b)
( ) ( )
1
1
2
2 3
dx
x x
−
− +
∫
;
c)
0
2
1
3 2
dx
x x
−
− +
∫
24
2
2ax b
I dx
ax bx c

+
=
+ +
∫
.Đặt t = ax
2
+ bx + c => dt = (2ax+b)dx
=> I =
2
ln ln
dt
t C ax bx c C
t
= + = + + +
∫
24)a)
2
2 1
1
x
dx
x x
+
+ +
∫
;
b)
2
1
2 2

x
dx
x x
+
+ +
∫
25
Nguyên hàm có chứa
2 2
a x−
, đặt x = asint => dx = acostdt
(Lưu ý: sin
2
x + cos
2
x = 1 <=> 1 – sin
2
x = cos
2
x )
25)a)
1
2
0
1 x dx−
∫
; b)
1
2
2

0
1
dx
x−
∫
26
Nguyên hàm có chứa
2 2
1
a x+
.
Đặt: x = atant => dx = a
2
1
cos t
 
 ÷
 
dt = a(1 + tan
2
t)dt
(Lưu ý:
2
2
1
1 tan
cos
t
t
+ =

)
26)a)
1
2
0
1
1
dx
x+
∫
b)
( )
1
3
2
3
1
dx
x
−
+
∫
BÀI TẬP ÔN TẬP
1)Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) f(x) = xcos2x ; b) f(x) = (e
3x
– 1)e
3x
; c) f(x) = xsinxcosx; d) f(x) =
1

2 5x−
;
e) f(x) = cos
2
2
x
+ tan
2
x; f) f(x) =
2
1 x
x
+
2) Tìm nguyên hàm F(x) của các hàm số:
a) f(x) = 3x
2
–
1
x
+ 4e
x
biết F(0) = 1 ; b) f(x) = sin2xcos3x + 3tan
2
x biết F(
π
) = 0
3) Tìm:
a)
( )
5

1 3x dx−
∫
; b)
4
sin cosx xdx
∫
; c)
2
cos sinx xdx
∫
; d)
( )
1 2 sinx xdx−
∫
;
e)
( )
2 2
1
x
x e dx−
∫
; f)
2
16
dx
x −
∫
; g)
1

2
0
1
2 2
x
dx
x x
+
+ +
∫
; h)
1
3
1
2
x
dx
x
−
+
∫
;
4) Tính:
a)
2
3
1
1x
dx
x

−
∫
; b)
2
2
cos 2 .cos 7x xdx
π
π
−
∫
; c)
( ) ( )
1
1
2 3
e
dx
x x
−
+ +
∫
; d)
0
2
2 xdx
−
−
∫
;
e)

2
0
cos
4
x dx
π
π
 
−
 ÷
 
∫
; f)
( )
1
3
0
1x x dx−
∫
; g)
3
0
2 xdx−
∫
; h)
5
3
2 xdx−
∫
; k)

0
1
2 xdx
−
−
∫
;
L ưu Lâm Quốc ( 4 )
Gi ải tích 12 Chương trình chuẩn
l)
4
0
cosx xdx
π
∫
; m)
ln2
2
0
1
x
x
e
dx
e
+
∫
; n)
1
2

0
3 2
dx
x x+ +
∫
; o)
0
sin 2 .cos 4x xdx
π
∫
; p)
2
0
2
1
x
dx
x
−
+
∫
5) Tính:
a)
3
1
2
0
.3
x
e x dx

∫
; b)
3
2
3
9 x dx
−
−
∫
(HD: Đặt x = 3sint , KQ:
9
2
π
); c)
3
1
ln
e
x xdx
∫
; d)
3
3 2
0
1x x dx+
∫
;
6) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y = 2 – x
2

, x + y = 0 ; b) x = 3 , x = -1, y = 0 , y = x
4
+ 2x
2
+ 3 ;
c) y = x
2
– 2 , y = -3x + 2; d) y = x
2
– 12x + 36 , y = 6x – x
2

7) Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và para bol có phương trình
y = x(4 – x) quay quanh trục hoành
8) Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:
a) y = -x
2
+ 1 , y = 0 ; b) y = sin
2
x
, y = 0 , x = 0 , x =
4
π
; c) y = lnx , y = 0 , x = e
TRÍCH MỘT SỐ ĐỀ THI
1) Cho y =
1
3
x
3

– x
2
có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(3;0)
c) Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường y = 0 , x = 0 ,
x = 3 quay quanh trục Ox. (TN-2004, KQ: c) V =
81
35
π
(đvtt))
2) Tính: I =
( )
2
2
0
sin cosx x xdx
π
+
∫
(TN-2005, KQ: I =
2
2 3
π
−
)
3) Tính:
a) I =
( )
ln5

ln2
1
1
x x
x
e e
dx
e
+
−
∫
(TN PB – 2006, Ban KHTN, KQ: I =
26
3
);
b) I =
( )
1
0
2 1
x
x e dx+
∫
(TN PB – 2006, Ban KHXHNV, KQ: I = e + 1)
4) a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e
x
, y = 2 , x = 1
b) Tính I =
2
2

0
sin 2
4 cos
x
dx
x
π
−
∫
(TN-2006, KQ: a) S = e + 2ln2 – 4 ; b) I = ln
4
3
5) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = - x
3
+ 3x
2

b) Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình – x
3
+ 3x
2
– m = 0
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành
(TN PB – 2006, KQ: c) S =
27
4
(đvdt))
6) Tính:
2
2

1
2
1
xdx
J
x
=
+
∫
(TN-2007 PB – Ban KHTN, KQ: J =
( )
2 5 2−
L ưu Lâm Quốc ( 5 )
Gi ải tích 12 Chương trình chuẩn
7) Tính:
3
1
2 lnJ x xdx=
∫
(TN-2007 PB – Ban KHXHNV, KQ: J = 9ln3 – 4)
8) Tính
( )
1
4
2 3
1
1I x x dx
−
= −
∫

(TN 2008 PB- Ban KHTN , KQ: I =
32
15
)
9) Tính:
( )
2
0
2 1 cosJ x xdx
π
= −
∫
( TN 2008 PB – Ban KHXHNV , KQ: J =
π
- 3)
10) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = (e + 1)x , y = (1 + e
x
)x
(ĐH Khối A 2007, KQ: S =
1
2
e
−
)
11) Tính
3 2
1
ln
e
I x xdx=

∫
(ĐH-CĐ Khối D 2007, KQ:
4
5 1
32
e
I
−
=
)
12) Tính
2
3
1
ln x
I dx
x
=
∫
( ĐH-CĐ Khối D 2008, KQ:
3 2ln 2
16
I
−
=
)
13) Tính:
( )
0
1 cosI x x dx

π
= +
∫
(TN 2009, KQ:
2
4
2
I
π
−
=
)
L ưu Lâm Quốc ( 6 )