Đề thi+Đáp án toán 9, Học sinh giỏi Thừa Thiên Huế

Sở GD&ĐT Thừa Thiên - Huế ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Trường THCS Nguyễn Tri Phương Môn Toán 9 - Thời gian : 120 phút


Câu 1/ (1đ) Cho x =
3 3
125 125
3 9 3 9
27 27
+ + − − + +
.Chứng minh rằng x là một số
nguyên .
Câu 2/ (1,5đ) Cho x > 0 , y > 0 , t > 0 .
Chứng minh rằng :
+ +
+
= =
xy 1 yt 1
xt 1
NÕu th× x= y= t hoÆc x.y.t =1
y t x
.
Câu 3/(1,5đ) Cho đa thức bậc hai f(x)= ax
2
+ bx + c có nghiệm dương x = m . Chứng
minh rằng đa thức g(x) = cx
2
+ bx + a (c≠0) cũng có nghiệm dương x = n và thỏa mãn
m +
n 2
≥

.
Câu 4/ (2đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d(m) có phương trình :
(m -1)x+ (m -2)y - 1 = 0 (m là tham số) .
Tìm m để khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d(m) có giá trị lớn nhất . Xác định
đường thẳng đó .
Câu 5/ (4đ) Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r) với R > r. Lấy A và E là
hai điểm thuộc đường tròn (O; r) , trong đó A di động , E cố định ( với A ≠ E) . Qua
E vẽ một đường thẳng vuông góc với AE cắt đường tròn (O; R) ở B và C . Gọi M là
trung điểm của đoạn thẳng AB .
a/ (1,5đ) Chứng minh EB
2
+EC
2
+ EA
2
không phụ thuộc vị trí điểm A .
b/ (1,5đ) Chứng minh rằng khi điểm A di động trên đường tròn (O; r) và A≠ E thì
đường thẳng CM luôn đi qua một điểm cố định ( gọi tên điểm cố định là K ) .
c/ (1đ) Trên tia AK đặt một điểm H sao cho AH =
3
2
AK . Khi A di động trên đường
tròn (O;r) thì điểm H di động trên đường nào ? Chứng minh nhận xét đó ?
ỏp ỏn v biu im chm Toỏn 9
Cõu Ni dung im
Cõu1
(1)
3 3
3 3
3 3 3

3 2
2
125 125
a 3 9 và b = 3 9
27 27
5
Thì a b 6 và a.b =
3
x a b x a b 3ab(a b)
x = 6 - 5x (x 1)(x x 6) 0
Mà x x 6 0(do ).Suy ra x 1.Vậy x Z
= + + + +
=
= =
+ + =
+ + > =
0,25
0,25
0,25
0,25
Cõu 2

(1,5)
T ng thc vi iu kin do bi ó cho suy ra :

1 1 1
x y z
y z x
+ = + = +
(1)

y z
1 1
x y
z y zy
1 1 z x
(1) y z
x z xz
x y
1 1
z x
y x xy


= =





= =





= =

(2)
(2)

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
y z z x x y
x y y z z x
zyzxxy

=
(3)
T (3)
= =


=

x y z
Học sinh chứng minh đ ợc rằng
xyz 1

0,25
0,5
0,25
0,5
Cõu 3
(1,5)
Ta cú : x = m l nghim ca a thc f(x)= ax
2
+ bx + c

+ + =
+ = +
+ + =
2
2 2
2
Suy ra am bm c 0 (1), mà m > 0 (gt)
b c 1 1
(1) a + 0 a + b( ) c( ) = 0 (2)
m m m m
1
Đẳng thức này chứng tỏ rằng x= là nghiệm của
m
1
đa thức g(x) = cx bx a 0 Vậy x= n = > 0 (do m > 0 ) (3)
m
Ta có

+
1 1
m+n = m + 2 m. (do )
m m
Hay m n 2

0,25
0,25

0,25
0,25
0,25

0,25
Cõu 4
(2)
Nu m =1 thỡ d(1) l ng thng y= -1 nờn khong cỏch t O n d(1) l 1
Nu m =2 thỡ d(2) l ng thng x = 1 nờn khong cỏch t O n d(2) l 1
(1)
0,25
0,25
Nếu m ≠1 và m≠ 2 thì d(m) cắt trục hoành tại A
1
;0
m 1
 
 ÷
−
 
và cắt trục tung tại
B
 
 ÷
−
 
1
0 ;
m 2
Gọi OH là khoảng cách từ O đến đường thẳng AB ta có :
2 2
2 2 2
2
2

2
2
lín nhÊt
1 1 1
(m 1) (m 2)
OH OA OB
1 3 1 1
2m 6m 5 2 m
OH 2 2 2
3
VËy OH 2 OH 2 OH 2 khi m (2)
2
= + = − + −
 
= − + = − + ≥
 ÷
 
≤ ⇔ ≤ ⇒ = =
Từ (1) và (2) và do 1 <
2
suy ra khoảng cách lớn nhất từ O đến d(m) là
2
Khi đó đường thẳng d có công thức là x - y- 2 = 0
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 5

Câu a
(1,5đ)
Câu b
(1,5đ)
G
K
D
M
A
C
B
O
E
Gọi G là trung điểm BC thì OG
⊥
BC (đl) suy ra
GB = GC và GE = GD (đl)
và OG là đường trung bình
∆
ADE nên OG=
1
2
AE hay AE = 2OG
Ta có EB
2
+EC
2
= (BG-EG)
2
+ (GC+ GD)

2
=(BG-EG)
2
+(BG+EG)
2

Suy ra EB
2
+EC
2
= 2(BG
2
+EG
2
)
Áp dụng định lý Pi ta go vào các tam giác vuông OGE và OGB ta có :
OG
2
+GE
2
= r
2
và OG
2
+GB
2
= R
2
Do đó EB
2

+EC
2
+EA
2
=2(BG
2
+EG
2
)+4OG
2
=2 (BG
2
+OG
2
)+2 (EG
2
+OG
2
)
= 2R
2
+2r
2
( không đổi)
Trường hợp đặc biệt :
G
D
M
A
C

B
O
E
G E D≡ ≡
Thì chứng minh trên vẫn đúng
Hai tam giác ABC và ADE có chung trung tuyến AG nên có chung trọng tâm
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
Câu c
(1đ)
Mà tam giác ADE có trung tuyến OE cố định ,
Nên điểm cố định K mà trung tuyến CM của
∆
ABC đi qua chính là trọng
tâm của
∆
ADE
Do H thuộc tia AK, mà K là trọng tâm
∆
ADE và AH
3
2
=
AK nên H trùng
với G ( là trung điểm chung của hai đoạn thẳng DE và BC )

Mà
OGE∆
vuông tại E ( chứng minh trên) , O,E cố định (theo gt) )
Vậy khi A di động trên đường tròn (O; r) thì H di động trên đường tròn
đường kính OE

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ