Một vài phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Các Chuyên Đề BĐT Thi Đại Học
VD1 với bài này có thể dùng phương pháp vectơ như trên các bạn tự làm nhé
. Cho x,y,z là 3 số dương và. Chứng minh rằng
Ta có
Tương tự tự với y,z ta cộng lại ta được
VD 2;Cho a,b>2 và: a+b=8. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Vì a>2; b>2 nên có a-2>0 và b-2>0.
Theo BDT Cosi ta có:
Tương tự ta cộng lại suy ra MIN là 320
VD3,cho x,y>0 và
1
=+
yx
tìm min của
Ta có
Cho a là 1 số dương cho trước và x,y dương thỏa mãn x+y=1 tìm min
Bài tập tự luyện
Bài 1 cho a,b,c dương thỏa mãn
Tìm Min của
Bài 2 cho a,b,c dương và
Tìm Min của
Bài 3 Cho a,b,c, là các số dương tìm Min của

Bài 4 cho a,b,c dương và
Tìm Min của
Bài 5 ,cho a,b,c dương và
Tìm Min
Bài 6 ;Cho a,b,c>0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
b)
c) Cho x,y>0 và x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức:

chuyên đề 2 sử dụng tam thức bậc 2 .
A Nội dung
Cơ sở của phương pháp là biến đổi BĐT ở giả thiết về dạng có chứa
Để xét dấu tam thức bậc hai , ta thường viết nó dưới dạng:

 Nếu:
 Nếu:
Trương hợp này
 Nếu:
Trong trường hợp này
Tóm lại, việc sử dụng các định lý thuận và đảo của tam thức bậc hai, xử lý điều kiện tồn tại nghiệm của biệt thức ,… tỏ ra tiện
lợi khi chứng minh một BĐT mà nó đã được nhận dạng.
Ở đây ta nhắc lại các tính chất sau để tiện sử dụng:
1/
2/
3/
4/
B Bài tập thí dụ
Bài 1: Cho x, y là hai số thực, CMR : [ct[\
3y^2 + x^2 + 2xy + 2x + 6y + 3 \ge 0
[/ct]
Bg :
Có thể xem VT là một tam thức bậc hai của x
Ta có :
Vậy Cho mọi x,y: [ct[\
3y^2 + x^2 + 2xy + 2x + 6y + 3 \ge 0
[/ct]

Bài 2: Cho a, b, c là các số thực thoả mãn: . CMR
Bg:

Thay . Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Để chứng minh (2) ta xét tam thức bậc hai:
Bài 3: Cho 2n số thực bất kì . CMR
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
(BĐT BunhiaCopski)
Bg:
Ta có, với mọi số thực x đều có:
Từ đó đa thức:
 Nếu thì hiển nhiên BĐT đã cho đúng.
 Nếu thì f(x) là một tam thức bậc hai của x. Do nên
Vậy BĐT đã cho được CM hoàn toàn.

C Bài tập tự luyện

Bài 1: CMR nếu a, b, c, d là các số thực thoả mãn: a+d=b+c và m là số không âm thoả mãn
thoả mãn với mọi x.
Bài 2: CMR BĐT
Bài 3: Giả sử A, B, C là ba góc của một tam giác không cân tại C. Biết rằng phương trình
Có đúng 1 nghiệm thực. CMR góc B nhở hơn 60
Trả lời bài này
Bài 1 ;Cho a,b,c là các số dương CMR;
Nếu trong a,b,c có 1 số lớn hơn 1 thi BDT luôn đúng
Với a,b,c nhỏ hơn 1 khi đó ta áp dụng BDT becnuli ta được

Suy ra tương tự với (a+c) và (a+b) ta cộng lại sẽ được điều
phải CM
Bài 2; cho a,b,c dương và xyz=1và a>2 CMR
Ta có suy ra
Tương tự vơi y,z sau đó ta cộng lại ta được
Ta phải

CM
Ta có và
Suy ra \
dpcm
Bài 3 cho a,b,c dương CMR
Ta CM <2 (1)
Ta có
suy ra \
à,
\
Suy ra
Bây gioe ta CM >2
Ta có tương tự với b.c ta cộng lại suy ra
\>2 (2)
Vậy từ 1 và 2 suy ra điều phải CM
Bài 4 cho a,b,c thảo mãn
CMR
Ta đăt
Ta có \
Tương tự ta có \
\
Theo BDT sosi ta có

điều phải CM
Bài tập tự luyện
Bài 1 cho a,b,c dương CMR

Bài 2 cho a,b,c dương và a+b+c=1
Tìm Min của
Bài 3 .cho a,b,c là các số thực thõa mãn điều kiện

Max của
Bài 4 cho à các số dương và
CMR
Bài 5 cho a,b,c dương thỏa mãn Tìm Max
Bài 6: Cho a,b,c>0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)

b)

c)
d)
e)
Bài 7 Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Chứng minh các bất đẳng thức sau
a)
b)
Bài 7 Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC, ta có:
c)
d)
e)
Bài 1. cho a,b,c, là các số dương thỏa mẵn CMR
Ta có suy ra
Ta xét ta có và
Vậy ta được tương tự với b,c sau đó công lại ta được điều phải CM
Bài 2;Cho a,b,c là các số dương chứng minh rằng
BDT
Ta xét hàm số với x>0 suy ra
Suy ra f(x) là hàm lồi với mọi x>0 .ta sử dụng BDT Jensen ta có
suy ra điều phải CM
Bài này có thể tổng quát lên như sau

Bài 3. cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác CMR
Ta xét hàm số f(x)=xlnx là hàm lồi với x>0 ta có
Ta chứng minh
Ta có còn ta dùng
BDT cosi các bạn thử nghĩ nha hay đấy !!!!!
Bài 4. cho a,b,c dương và
CMR (bài này có thể dùng bunhinha các bạn thử
nghĩ)
Ta xét hàm số xét bảng biến thiên với
Ta có ta có
Suy ra giá trị lớn nhất
Tương tự ta được và ,
Cộng kại ta được
Bìa 5;Cho a,b,c thảo mãn
CMR
Xét
Thoe định lí lagrange ta sẽ tồn tại sao cho
TM và
Suy ra nghiệm
Ta có suy ra điều phải CM

Bài tập tương tự
1, cho a,b,c dương và
CMR
2,cho a,b,c là các số dương
CMR
3,cho x,y là các số dương thỏa mãn
Tìm max min của

4, cho x,y,z là các số dương thỏa mãn

CMR
5,cho x,y là các số dương
Min

Chuyên đề 5 đồng bậc hoá
Sử dụng giả thiết để biến đổi BĐT về dạng đồng bậc để chứng minh.
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi a,b>0 và a+b=1, ta có:

Phân tích: - BĐT không đồng bậc
- Vai trò a,b giống nhau
- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b
- Sử dụng giải thiết để đồng bậc hoá
Hướng dẫn:


Bài 2: với mọi a,b,c>0 và a+b+c=1. Chứng minh rằng :

Phân tích: - BĐT không đồng bậc
- Vai trò a,b giống nhau
- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c=
- Sử dụng giải thiết để đồng bậc hoá
Hướng dẫn:

Bài tập:
1) Cho a,b,c>0, thoả điều kiện:
[
CMR
2) Cho a,b>0, thoả điều kiện:
a+b=2
Chứng minh rằng :

3) Chứng minh rằng với mọi a,b,c: a+b+c=0, ta có:


Chuyên đề 6: Phương pháp lượng giác chứng minh bất đẳng thức.

A Nội dung:
Phương pháp này thường được sử dụng trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức mà các
số bị ràng buộc với nhau bởi các điều kiện nhất định chẳng hạn:
 Nếu có hệ thức thì có thể đặt
 Nếu có hệ thức xy=1 thì có thể đặt: hoặc
Ghi chú: Ở đây không ngoại trừ bài toán sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác với các
quan hệ lượng giác.
B Bài tập thí dụ:
Bài 1: Cho bốn số thực x, y, u, v thoả mãn:
CMR:
Bg:
Đặt: và
Khi đó

Do đó

Nhiều bài toán chưa thấy ngay yếu tố để ta chuyển về dạng lượng giác, cần qua một quá trình
biến đổi và đặt ẩn phụ thích hợp mới có thể chuyển về dạng lượng giác thuận lợi cho quá trình giải.
Ví dụ :
Bài 2 : Cho 4 số dương a, b, c, d. CMR:
(1)
Bg:
Với bài này ta có thể sử dụng BĐT BunhiaCopski với 4 số , tuy nhiên chúng ta có
thể dùng phương pháp lượng giác để giải bài này.
Các yếu tố để chúng ta chuyển về dạng lượng giác vẫn chưa xuất hiện. Chúng ta cần biến đổi

để làm xuất hiện yếu tố đó.
Ta có : (1) tương đương với.
Để chứng minh (2), ta đặt :

Có thể lấy x, y là hai góc nhọn.
Khi đó :
[/ct] sinx.siny+cosx.cosy<1[/ct]
BĐT cuối đúng, do đó (2) được CM. Suy ra (1) được CM.
Nếu so sánh với cách giải này với cách dùng BĐT cổ điển thì quả thật cách này là khá dài và
hơi phức tạp. Tuy nhiên nó cho ta một hướng mới để nhìn nhận một bài toán.
Bài 1: Chứng minh rằng
Phân tích: - ĐK: -
Công thức lượng giác liên quan
- Lượng giác hoá
- Hướng dẫn:
Đặt: ;
VT=
Bài 2 Cho x,y,z>0; zy+yz+zx=1. Chứng minh rằng :

Phân tích: - Đẳng thức lượng giác liên quan
- Lượng giác hoá
Hướng dẫn:
Đặt: ;
ABC l à tam giác nhọn

Bài 3 ;cho a,b,c là các số dương thỏa nãm
CMR

Hướng dẫn:

Đặt
[,
Từ giả thiết ta có:
Suy ra,
với A,B,C là ba góc của một tam giác
Vậy



C Bài tập tự luyện

Bài 1:Cho x là số thực thoả mãn . CMR:
Bài 2: Cho x, y là hai số thực thoả mãn 5x+12y=13. CMR
Bài 3: Cho a, b, c là ba số dương. CMR

Bài 4: CMR với mọi số tự nhiên khác không ta có BĐT

: BÀI 6) Cho 0<a,b,c<1. Chứng minh rằng
Bài 7) Chứng minh rằng:
Bài 8) Chứng minh rằng:

Bài 9) Cho a,b,c>0 và abc+a+c=b. Tìm GTLN

Bài 10;Cho a,b,c, dương và 2006ac+ab+bc=2006
Tìm Max
Bài 12 ;cho a,b,c dương và
Tìm Min của
Bài 13, chho a,b, thỏa mãn
Bài 14 cho x,y thay đổi thảo mãn
Tìm Max ,Min của Z=y-2x+5

Bài 15 cho x,y thỏa mãn
Tìm Max , Min của
Bài 16 CMR
Với a,b thỏa mãn
Bài 17 cho x,y,x thõa mãn
Tìm Max,Min của
Chuyên đề 7: Phương pháp đổi biến

Phương pháp này lạ với 1 số bạn nhưng nó rất có ích trog một số bài toán BDT , nếu ta để ý và sử dụng
khéo néo ta có thể làm bài BDT đó đơn giản rất nhiều .Dưới đây là 1 số dạng có thể dung phương pháp này
mình biết pp này rất rộng và mình cũng chưa biết là còn cách đặt (đổi biến ) nào khác không nhưng nếu các
bạn thấy mình thiếu sót pp nào pos lên cho mình xem với nhé
Dạng 1 là với khi đó ta đặt hoặc
VD 1 cho và a,b,c là các số dương . CMR
Ta quy đồng lên ta được
Đăt khi đó ta được
đến đây sẽ dễ dành CM được
VD2; cho a,b,c dương có tích bằng 1 CMR

khi đó ta được
Ta dùng svac ta được
Ta phải CM
điều này luôn đúng với BDT nunhinha
Các bài tự luyện
Bài 1 cho a,b,c là các số dương và abc=1 CMR
Bài 2, cho a,b,c là các số dương và abc=1.CMR
Dạng 2
với 1 số bài cho a,b,c là các số dương và ab+bc+ac+2abc=1
Ta sẽ đặt
VD1.cho a,b,c là các số dương CMR

Ta đặt suy ra
Và xy+xz+zy+2xyz=1
bài tóan chở thành cho x ,y,z thảo mãn xy+xz+zy+2xyz=1 CMR
từ xy+xz+zy+2xyz=1 suy ra dùng cosi trực tiếp suy ra
VD2; cho xy+xz+zy+2xyz=1 CMR
Ta đặt
suy ra

Suy ra
bài tập tự luyện
cho x,y,z dương và xy+xz+zy+2xyz=1 CMR
1,
2,
3,
Dạng 3 cho a,b,c là các số thực dương và
Ta đặt
1.
2.
3.
chuyên đề 8: Phương pháp tuyết tuyến
tiếp tuyến chắc hẳn các bạn thấy lạ nó có gì mà có thể CM bất đẳng thức , Đừng
nói thế bạn , pp này rất hay và rất dể sử dụng và cố rất nhiều bài toán khó nếu dung nó
sẽ đơn giản đi rất nhiều sau đây là 1 số bài có thể dumhf phương pháp này .Những bài
toán này có thể dung các phương pháp khác các bạn nghĩ ra cứ pos lên cho mọi người
tham khảo nhé
VD1
Cho a,b,c d là các số dương thỏa mãn
CMR
Ta xét hàm ta có x phải thuộc trong khoảng (0,1)
Dễ dành nhận thấy dấu bằng sảy ra khi

Ta viết pt tiếp tuyến của f(x) tai
Ta được
Bây giờ ta CM
Tương tự với a,b,c ta cộng lại suy ra điều phải CM
VD2; cho a,b,c thỏa mãn và a+b+c=1
CMR
Dễ dành nhận thấy dấu bằng sảy ra khi
Ta xét với
Ta viết phương trình tiếp thuyến f(x) tai
Ta được
Ta xét
Tương tự với a,b,c ta công lại suy ra điều phải CM
Bài tập tự luyện
1,cho a,b,c dương và
CMR
2,cho a,b,c là các số dương và
CMR
3, cho a,b,c dương và a+b+c=1
CMR
4,cho a,b,c dương CMR
5,cho a,b,c dương và
CMR
6 cho a,b,c dương
CMR
Chuyên đề 14:xét phần tử cực biên

Theo mình nghĩ thế này được không nhé , mình nhận thấy BDT nhưng năm gần
đây mỗi năm có 1 dạng khác nhau , do vậy mình giởi thiệu cho 1 số bạn chưa biết về
phương pháp nó không khó nắm nhưng thật sự khi gặp lần đầu tiên thi ai cũng phai gán
nhưng bài toán như thế này các bạn xem rồi cho ý kiến với mình nhé!!

Bài 1;Cho a,b,c thỏa mãn
CMR
Ta giả sử khi đó
tương tự ta có

Ta cần CMR
Ta đặt giả sử ta có suy ra
Suy ra dpcm
Bài 2 cho a,b,c dương CMR
Ta có suy ra
Mặt khác ta áp dụng BDT BCS ta có
Suy ra dpcm
Bài 3 cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1
CMR
Ta đặt
Suy ra
Ta có abc=1
Ta cần CM
Ta có
dpcm
Bài tập tự luyện
1,Cho a,b,c dương thảo mãn
CMR a,
B,

1,Cho a,b,c dương thảo mãn
Tìm min của
Bài 2 cho và
CMR
Bài 3,cho a,b,c thỏa mãn

CMR
Chuyên đề 12: Phương pháp quy nạp chứng minh bất đẳng thức
A Nội dung.
Cơ sở của phương pháp quy nạp để chứng minh một bất đẳng thức đúng với
mọi số tự nhiên thuộc tập con D của tập số tự nhiên N, mà là phần tử nhỏ nhất
của tập con đó; ta thực hiện ba bước quy nạp như sau:
Chứng minh BĐT đúng với
Giả sử bất đẳng thức đúng với số tự nhiên , từ đó ta chứng minh
được bất đẳng thức cũng đúng với n= k+1
Kết luận: Bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên
B Bài tập ví dụ.
Bài 1: Cho n số thực không âm: thoả mãn: . CMR
Bg:
Với =1, suy ra (1) đúng với n=1.
Giả sử (1) đúng với . Cần chứng minh (1) cũng đúng với .
Cho k+1 số thực không âm thoả mãn ; Xét hai trường hợp:
 Nếu: thì suy ra (1) đúng.
 Nếu có ít nhất một số khác 1. Ví dụ thì ắt phải có 1 số nhỏ hơn 1, giả sử
Xét k số sau:
Ta có tích của k số này bằng 1, nên theo giả thiết quy nạp ta có:
(vì )
Vậy (1) đúng với mọi .

Bài 2 : Cho n số thực không âm : . CMR :