Đề thi thử vào chuyên TOÁN LQĐ-VT

Sở GD&ĐT tp.Vũng Tàu Minh Thiên 1
ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN THPT LÊ QUÝ ĐÔN
VŨNG TÀU 2010 -2011
Thời gian làm bài: 150’ (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1 điểm)
Giải hệ phương trình:



=−
=+
82
82
2
2
xy
yx
Bài 2: (2 điểm)
a) Giả sử x
1
, x
2
là 2 nghiệm dương của phương trình x
2
– 4x + 1 = 0.
Chứng minh rằng
5 5
1 2
x x+
là một số nguyên.
b) Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn a + 1 và b + 2007 đều chia

hết cho 6. Chứng minh rằng 4
a
+ a + b chia hết cho 6.
Bài 3: (1 điểm)
Chứng minh với mọi số thực
, ,x y z
luôn có:

( )
2x y z y z x z x y x y z x y z
+ − + + − + + − + + + ≥ + +
Bài 4: (2 điểm)
1. Tính giá trị của biểu thức:
P
=
x
3
y
3
3 x y( )
.
2004

Biết rằng:

x
3
3 2 2
3
3 2 2

;
y
3
17 12 2
3
17 12 2
2. Rút gọn biểu thức sau:
P
1
1 5
1
5 9
1
9 13

1
2001 2005
Bài 5: (4 điểm)
:Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và nội tiếp(O)(AB<AC). Các tiếp tuyến với(O)
tại B và C cắt nhau tại N. Kẻ AM song song với BC. MN cắt(O) tại M và P.
a) Cho . Tính BC.
b) Cm
c) Cm BC,ON,AP đồng quy.
Đề thi thử vào 10 chuyên Toán 2010 – 2011
ĐỀ THI THỬ
Sở GD&ĐT tp.Vũng Tàu Minh Thiên 2
LỜI GIẢI ĐỀ THI THỬ VÀO 10 CHUYÊN TOÁN LÊ QUÝ ĐÔN – VT
2010 – 2011
Bài 1:
Ta có :

( ) ( )
2 2
2 2 0x y y x+ − − =
.
Hay
( ) ( )
2 0x y x y+ − + =
.
+ Nếu
0x y+ =
, thay
y x= −
vào phương trình đầu thì:
2 2
2 8 2 8 0x x x x− = ⇔ − − =
Giải ra :
4; 2x x= = −
Trường hợp này hệ có hai nghiệm :
( ) ( )
; 4; 4x y = −
;
( ) ( )
; 2;2x y = −
+ Nếu
2 0x y− + =
, thay
2y x= +
vào phương trình đầu thì:
( )
2 2

2 2 8 2 4 0x x x x+ + = ⇔ + − =
.
Giải ra:
1 5 ; 1 5x x= − − = − +
.
Trường hợp này hệ có hai nghiệm:
( )
( )
; 1 5;1 5x y = − − −
;
( )
( )
; 1 5;1 5x y = − + +
Bài 2:
a)PT có 2 nghiệm và
Do đó là số nguyên đpcm
b) và a,b lẻ (1)
(2)
Từ(1)(2)=>đ.p.c.m
Bài 3:
)(2 zyxzyxyxzxzyzyx
++≥+++−++−++−+
(*)
Đặt:
,a x y z
= + −

,b y z x= + −
c z x y
= + −

. Trong ba số a, b, c bao giờ cũng có ít nhất hai số
cùng dấu, chẳng hạn:
0a b× ≥
.
Lúc này :
zyx −+
+
zxy −+
=
a
+
b
=
ba +
= 2
y
Ta có :
x y z a b c+ + = + +
;
2x a c= +
;
2z b c= +
. Do đó để chứng minh (*) đúng, chỉ cần chứng
tỏ :
c
+
cba ++
≥
ca +
+

cb +
(**) đúng với
0a b× ≥
.
Ta có:
(**)
( )
2 2
c a b c ab a c b c ca cb c ab ca cb c ab⇔ × + + + ≥ + × + ⇔ + + + ≥ + + +
(***)
Đặt:
2
ca cb c A+ + =
;
ab B
=
, ta có
B B=
(do a.b
≥
0) ta có: (***)
⇔
A
+
B
≥
BA +
⇔
A
.

B
≥
AB
⇔
AB
≥
AB .
Dấu đẳng thức xảy ra trong trường hợp các số: a, b, c, a + b + c chia làm 2 cặp cùng dấu. Ví
dụ:
0ab ≥
và
( )
0c a b c+ + ≥
.
Chú ý: Có thể chia ra các trường hợp tùy theo dấu của a, b, c (có 8 trường hợp) để chứng
minh(*)
Đề thi thử vào 10 chuyên Toán 2010 – 2011
Sở GD&ĐT tp.Vũng Tàu Minh Thiên 3
Bài 4 :
Học sinh tự giải
Bài 5 :
a)
b) Dễ thấy tứ giác là hình thang cân.
c) I~ đpcm
câu a) ko bàn
câu b) gọi K là giao điểm của AP và BC ta Cm được
câu c) gọi K' là giao diểm của ON và BC ta Cm được NPK~ NKM
(1)
kẻ Mx là tiếp tuyến tại M của(O)
ta có (2)

từ(1) và(2)
A,K',P thẳng hàng
Đề thi thử vào 10 chuyên Toán 2010 – 2011