Đề thi vào 10 Chuyên HÀ NAM - Môn TOÁN ( Đề Chuyên)

Sở giáo dục - đào tạo
hà nam
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam
Năm học : 1999-2000
Môn : Toán chuyên
(Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,0 đ):
Rút gọn biểu thức: A =
91229122 + xxxx
Bài 2: (2,0 đ)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = 2x
2
và điểm A thuộc (P) có
hoành độ bằng 2. Tìm tọa độ điểm M trên phần đồ thị của (P) từ O đến A sao cho diện
tích tam giác OAM đạt giá trị lớn nhất.
Bài 3: (2,0 đ) : Giải hệ phơng trình:

+=
+=
+=
+=
)
1
(
2
1
)
1
(
2
1

)
1
(
2
1
)
1
(
2
1
1
12000
2000
20001999

3
32
2
21
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx

Bài 4 (2,0 đ) :
Cho đờng tròn (O) đờng kính AH. I, K là 2 điểm thuộc 2 nửa đờng tròn khác phía
đối với AH sao cho AI, AK kéo dài cắt HK, HI lần lợt tại B, C.
a) Lấy H đối xứng với H qua BC. Chứng minh ABHC nội tiếp
b) Chứng minh các tiếp tuyến với đờng tròn đờng kính BC tại K và I và AH đồng
quy.
Bài 5 (2,0 đ).
Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R, bán kính OC AB. Vẽ đờng tròn tâm
O đờng kính OC. Dựng đờng tròn tâm K tiếp xúc trong với nửa đờng tròn (O), tiếp xúc
ngoài với đờng tròn (I) và tiếp xúc với đoạn thẳng OB.
1
Sở giáo dục - đào tạo
hà nam
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam
Năm học : 2000-2001
Môn : Toán chuyên
(Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (2,0 đ):
a) Tính:
322
32
322
32


+
++
+
b) Cho hàm số: y = f(x) =
( )
5353 ++ x
x , tính x
0
biết [f(x
0
)]
2
= 8+2
15
Bài 2 (2,0 đ). Cho phơng trình ẩn x tham số m R:

m
x
x
xxx =

+

++
3
1
)3(4)1)(3(

a) Giải phơng trình với m = -3
b) Giải và biện luận phơng trình theo tham số m
Bài 3 (2,0 đ)
Cho nửa lục giác đều ABCD nội tiếp đờng tròn (O) đờng kính AD, F là một điểm
trên đờng tròn sao cho BF và BD khác phía nhau đối với OB. BF, BD lần lợt cắt nhau tại
E và H
a) Chứng minh: BC
2
= BE.BF và tứ giác EHDE nội tiếp đợc đờng tròn.
b) Gọi J là điểm đối xứng của B qua O, AJ cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHD
tại K. Chứng minh góc AHK = 90
0
c) N là một điểm trên đờng tròn (O), (N khác B), NC cắt AD tại Q. Tìm tập hợp tâm
đờng tròn ngoại tiếp tam giác NBQ khi điểm N chuyển động trên đờng tròn (O).
Bài 4 (4,0 đ). Cho tam giác ABC với phân giác trong AD. Lấy E, F nằm giữa A, D (theo
thứ tự A, E, F, D) sao cho góc ABE = góc CBF. Chứng minh: góc BCF = góc ACE.
Sở giáo dục - đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam
2
hà nam
Năm học : 2001-2002
Môn : Toán chuyên
(Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2,0 đ): Cho biểu thức: Q=
1
2

1
2
+
+

+
+
x
xx
xx
xx
, với x > 0
a) Rút gọn biểu thức Q
b) Tìm x để Q = 2
c) Với 0 < x < 1 tính Q +
Q
Câu 2: (2,0 đ): Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P): y = x
2
và điểm A(1; 4)
a) Viết phơng trình đờng thẳng (D) qua A với hệ số góc k (k R). Chứng minh đ-
ờng thẳng (D) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
b) Tìm k để (D) cắt (P) tại 2 điểm M, N sao cho:
+) Tổng các tung độ của các giao điểm đạt giá trị nhỏ nhất
+) MA = 2AN, (Trong đó M là điểm có hoành độ âm, N là điểm có hoành độ d-
ơng).
Câu 3: (2,0 đ) :
a) Tìm những giá trị x 0 thỏa mãn:
)3(2)2()1( =+ xxxxxx
b) Cho x > 0, y > 0, x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

+








+=
2
2
2
2
11
y
x
x
y
A
Câu 4(3,0 đ): Cho đoạn thẳng AB và 1 điểm M trên AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ
AB vẽ 2 hình vuông AMED và BMCF. Các đờng tròn ngoại tiếp 2 hình vuông này cắt
nhau tại 2 điểm M, N
a) Chứng minh đờng thẳng AN đi qua C và đờng thẳng BE đi qua N
b) Chứng minh rằng đờng thẳng MN đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên

AB.
c) Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng O
1
O
2
khi M chuyển động trên AB (O
1
,
O
2
là tâm của 2 hình vuông nói trên)
Bài 5 (1,0 đ). Chứng minh có hay không một điểm P nằm trong tam giác có 3 cạnh là 5;
12; 13 mà khoảng cách từ P đến mỗi cạnh của tam giác đều nhỏ hơn 2.
3
Sở giáo dục - đào tạo
hà nam
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam
Năm học : 2002-2003
Môn : Toán chuyên
(Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2,5 đ). Gọi x
1
, x
2
là 2 nghiệm của phơng trình: x
2
+ x -1 = 0
a) Chứng minh: S = (x
1
10

+ x
2
10
) + (x
1
9
+ x
2
9
) - (x
1
8
+ x
2
8
) = 0
b) Tính A =x
1
7
+x
2
7

Câu 2: (2,5 đ): Cho 2 phơng trình: x
2
+ (m+1)x +1 = 0 (1) và x
2
+ x +m +1 = 0 (2) , (m
là tham số).
a) Tìm những giá trị của m để tổng các bình phơng các nghiệm của phơng trình (1)

đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tìm những giá trị của m để 2 phơng trình đã cho tơng đơng.
Câu 3: (2,0 đ):
a) Giải hệ phơng trình:





=+
=+
8
4
33
22
yx
yx
b) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x
1
4
+x
2
4
+x
3
4
+ +x
14
4
=2015

Câu 4: (3,0 đ): Cho góc xOy, các đờng tròn (O
1
; R
1
), (O
2
; R
2
) không cắt nhau lần lợt
tiếp xúc với Ox tại M
1
, M
2
, tiếp xúc với Oy tại N
1
, N
2
.
a) Tiếp tuyến chung trong của các đờng tròn tâm O
1
, O
2
cắt O
1
O
2
tại K. Chứng
minh: OO
1
.KO

2
= OO
2
.KO
1
b) Đờng thẳng M
1
N
2
cắt đờng tròn tâm O
1
tại P, cắt đờng tròn tâm O
2
tại Q. Chứng
minh: M
1
P = N
2
Q
c) Tìm tập hợp các điểm I nằm trong góc xOy sao cho tổng diện tích các tam giác
IN
1
N
2
, IOM
1
bằng N
1
N
2

.OM
1
.
4
Sở giáo dục - đào tạo
hà nam
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam
Năm học : 2003-2004
Môn : Toán chuyên
(Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,0 đ):
1) Chứng minh rằng:
73312518233125182
33
=++
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
22
)2004()2003( + xx
Bài 2 (2,0 đ):
1) Tìm a để phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
0
145
352)23(
2
22
=
+
+
xx
aaxax

.
2) Cho x, y là 2 số thỏa mãn các điều kiện sau:







+
042
022
022
xy
yx
yx
,
Chứng minh rằng: x
2
+ y
2

5
4
Bài 3 (2,5 đ)
1) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x
4
-2y
4
-x

2
y
2
-4x
2
-7y
2
-5=0
2) Giải hệ phơng trình:





+=+
+=+
)1(51
164
22
33
xy
xyyx

Bài 4 (3,5 đ). Gọi O là tâm, r là bán kính đờng tròn nội tiếp, AD là đờng cao (D thuộc
BC) là đờng cao xuất phát từ A của tam giác ABC, kéo dài AO cắt đờng tròn ngoại tiếp
tam giác ABC tại F.
1) Chứng minh tam giác FBO cân
2) Gọi M là trung điểm của BC, đờng thẳng MO cắt đờng cao AD tại . Chứng
minh AE = r.
5

Sở giáo dục - đào tạo
hà nam
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam
Năm học :2004-2005
Môn : Toán chuyên
(Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (1,5 đ). Rút gọn biểu thức:
137137
7474116116
+
+++
Bài 2 (2,5 đ): Cho phơng trình:
1
1
2
2
2
2
=

+
x
b
x
a
(1), (a, b là 2 số thực khác 0, x là ẩn)
1) Chứng minh phơng trình (1) luôn có 4 nghiệm phân biệt
2) Với b = 1, kí hiệu 4 nghiệm của phơng trình là x
1
, x

2
, x
3
, x
4
và đợc sắp xếp nh
vậy theo thứ tự tăng dần, tìm a để x
2
-x
1
= x
3
- x
2
= x
4
- x
3
Bài 3 (1,5 đ): Tìm mọi giá trị x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức:

10
3
2
131413 +++=+
x
xyy

Bài 4 (3,0 đ). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O), điểm B đối xứng với C
qua AB, điểm C đối xứng với B qua AC, H là giao điểm của BC và CB
1) Kí hiệu O

1
, O
2
lần lợt là tâm các đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABB, HAC.
Chứng minh: O
1
O
2
// BC
2) Đờng thẳng AH cắt đờng thẳng BC tại D. Chứng minh: BD.CD = AD.HD
3) Chứng minh 3 đờng thẳng AO, BB, CC đồng quy.
Bài 5 (1,5 đ). Cho tam giác ABC cố định, lần lợt lấy trên các cạnh AB, BC, CA các
điểm M, N, P sao cho:
k
PA
CP
NC
BN
MB
AM
===
, (k > 0). Tìm k để diện tích tam giác MNP
đạt giá trị nhỏ nhất.
6
Sở giáo dục - đào tạo
hà nam
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam
Năm học : 2005-2006
Môn : Toán chuyên
(Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (2,5 đ): Giải các phơng trình sau:
1) (1 - x - 2x
2
)
2
- 4x
3
(x + 1) + 7x +1 = 0
2)
52232
22
+=++ xxxx
Bài 2 (2,0 đ): Cho biểu thức: A =








+
+
+

+
+

+

+

65
2
3
2
2
3
:
1
1
xx
x
x
x
x
x
x
x
1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tìm m để có giá trị x thỏa mãn:
2)1()1( +=+ xmxA
Bài 3 (2,0 đ).

1) Cho x, y, z là các số dơng. Chứng minh:
)(
8
3
222
zyx
yx
z
xz
y
zy
x
++>
+
+
+
+
+
2) Gọi , là 2 nghiệm phân biệt của phơng trình x
2
+ x +k + 1 = 0.
Đặt



+
=
nn
n
a

với n là số tự nhiên. Tìm k để a
9
a
10
- a
8
a
11
= 1
Bài 4 (3,5 đ): Cho 2 điểm A, B và (AB) là đờng tròn đờng kính AB. Điểm M trên đờng
tròn (AB), (M khác A, B). Trên tia MA lấy C sao cho MC = MB. Gọi MH là đờng cao
của tam giác MAB (H thuộc AB)
1) Tìm K là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
2) Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MAB. Chứng minh ACIB là tứ giác
nội tiếp. Tìm quỹ tích điểm I khi M di chuyển trên (AB)
3) Gọi r, r
1
, r
2
lần lợt là bán kính đờng tròn nội tiếp các tam giác MAB, HAM,
HBM. Tìm vị trí của M để tổng r + r
1
+ r
2
đạt giá trị lớn nhất.
7
Sở giáo dục - đào tạo
hà nam
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam
Năm học : 2006-2007

Môn : Toán chuyên
(Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2,0 đ) :
1) Tính:
3241232426 +
2) Cho a = 1 -
5
, b = 1 +
5
. Tính a
3
+ b
3
Bài 2 (2,0 đ):
1) Giải phơng trình : (x 1)
3
+ (x + 2)
3
= 8x
3
+ 1
2) Cho hệ phơng trình:





=+++
=+
)2(0443

)1(
81
697
22
44
yxxyyx
yx
a. Nếu có x, y thỏa mãn (2), chứng minh: 1 y 7/3
b. Giải hệ phơng trình đã cho.
Bài 3 (2,0 đ ):
1) Cho a, b, c là độ dai 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh: a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2abc < 2
2) Cho x, y, z là các số thực dơng có tích xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: M =
)(
1
)(
1
)(
1
333
yxzzxyzyx +
+
+
+

+
Bài 4 (3,0 đ). Từ điểm C nằm ngoài đờng tròn (O
1
) kẻ tiếp tuyến CM, CN và cát tuyến
CAB với đờng tròn (O
1
) (M, N là các tiếp điểm, A nằm giữa C và B)
1) Chứng minh AM.BN = AN.BM
2) Vẽ đờng tròn (O
2
) đi qua A, B (2 điểm O
1
, O
2
khác phía đối với đờng thẳng
AB). Các đờng thẳng AM, AN cắt đờng tròn (O
2
) lần lợt ở P, Q (P, Q khác A).
Chứng minh đờng thẳng MN đi qua trung điểm I của PQ.
Bài 5 (1,0 đ). Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng phân giác trong góc B cắt cạnh AC
tại D, biết BD = 7, CD = 15. Tính độ dài AD.
8
Sở giáo dục - đào tạo
hà nam
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam
Năm học : 2007-2008
Môn : Toán chuyên
(Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (3,0 điểm)
1. Trên mặt phẳng toạ độ O xy cho ba điểm A( 2; -3), B( -2; 1) , C (4;-1)

a, Chứng minh tam giác ABC vuông.
b, Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm C cắt trục õ tại điểm M và cắt trục O y
tại điểm N thoả mãn diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác OMN.
2. Tìm các giá trị các số thực a, b để đa thức 3x
3
+ax
2
+bx a +4 chia hết cho đa thức
x
2
- 2x +3 .
Bài 2 (2.5 điểm)
1, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
2 2
4 12 9 4 4 1x x x x+ + + +
2, Gọi x
1
,x
2
là hai nghiệm của phơng trình x
2
2x + 1 -m= 0(m là tham số). Tính
giá trị của biểu thức P =
1 2 2 1
3 3x x x x+ + +
theo tham số m.
Bài 3 (3.5 điểm)
Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Tiếp tuyến tại B của đờng tròn ngoại
tiếp tam giác ABM cắt tiếp tuyến tại diềm C của đờng tròn ngoại tiếp ABM tại
điểm D.

a, Chứng minh tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp.
b, Gọi K là giao điểm của tia AM với đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD, chứng
minh KD//BC.
c, Gọi E là điểm đối xứng với điểm D qua đờng thẳng BC. Chứng minh 3 điểm M,
A, E thẳng hàng.
Bài 4( 1,0 điểm)
Cho f(x) = ax
2
+bx +c với a, b, clà các số nguyên và akhác 0. Biềt f(0) và f(10 là các số
lẻ, chứng minh rằng phơng trình f(x) = o không có nghiệm là số nguyên.
9
10
sở giáo dục - đào tạo
hà nam
kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên
Năm học 2008-2009
hớng dẫn chấm môn thi toán: đề chuyên
Bài 1(2,0điểm)
1)(1,0 điểm)
( )
2
x 1 x 1 6 0
+ + =
Đặt t =
x 1+
0
ta có p/t:
2
t t 6 0
=

t 3
=
hoặc t = -2 (loại)

0,50
Với t = 3
x 1 3 + =

x 2
=
hoặc x = - 4
0,50
2) (1,0điểm)
( ) ( )
2 3 5
P
2 3 5 3 2
+ +
=
+ + +
0,50

1
3 2
=
+
=
3 2
7

0,50
Bài 2(2,0điểm)
a)(1,0 điểm) Với
m 2
=
đờng thẳng
( )

có p/t:
( ) ( )
y 2 3 x 2 1 2= +
0,25
p/t:
( ) ( )
2
x 2 3 x 2 1 2 = +


( ) ( )
2
x 2 3 x 2 1 2 0+ + =
0,25
( )
2
2 1
= +

p/t có 2 nghiệm là x = 2 và
x 1 2
=
0,25
Vậy
( )

cắt (P) tại 2 điểm:
(2; 4) ; (1 2; 2 2 3)

0,25
b)(1,0 điểm)
Xét p/t:
( ) ( )
2
x m 3 x 2 1 m = +
( ) ( )
2
x m 3 x 2 1 m 0 + + =
(*)

0,25
( )

cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục Oy.

(*) có 2 nghiệm
1 2
x ;x
phân biệt và

1 2
x .x 0

0,25
( )
( )
2
m 1 0
P 2 1 m 0

= + >



=



m 1
m 1








m <-1 hoặc -1<m

1

0,50
Bài 3(2,0điểm)
1)(1,0 điểm) Q =
8 3
2x 3y 7
x y
+ + +
có
8
0
x
>
và 2x > 0

8
2x 8
x
+
;
3
0
y
>
và 3y > 0


3
3y 6

y
+

0,50
Do đó Q

8 + 6 7 = 7 0,25
dấu = xảy ra khi 8/x=2x và 3/y = 3y

x = 2 và y = 1.
Vậy giá trị bé nhất của Q là 7 0,25
2)(1,0 điểm) Với n = 1 ta có A = 3 không là hợp số
0,25
Với n >1 khi đó A =
( )
2009 2 2008 2
(n n ) n n (n n 1)
+ + + +
=
( ) ( ) ( )
2 3 669 3 669 2
n (n ) 1 n (n ) 1 n n 1
+ + + +

0,25
có
k k k 1 k 2 k 1 k
a b (a b)(a a b ab b )

= + + + +

với
*
k N


3 2
n 1 (n 1)(n n 1)
= + +
Do đó A = (n
2
+ n +1) f(n) với f(n) là đa thức của n

0,25
11
Với

n N

và n >1

n
2
+ n +1 >1, f(n) > 1 và là các số nguyên dơng.
Vậy A là hợp số
k/l: Giá trị thoả mãn của n là: n nguyên dơng và n >1.

0,25
Bài 4(3,0 điểm)
a) (1,0 điểm) Có góc AEC = gócABE + gócBAE
0,25

= gócHAC + gócHAE = gócEAC 0,25
Do đó

CAE cân đỉnh C mà CK là đờng phân giác của góc C

CK

AE 0,25
Có gócAHC = gócAKC = 90
0


AKHC là tứ giác nội tiếp 025
b) (1,0 điểm) có CI

AE

O
2
I

AO
1
, tơng tự có O
1
I

AO
2
0,25

Vậy I là trực tâm

AO
1
O
2


AI

O
1
O
2
0,25


AMN có AI

MN và góc MAI = góc IAN ( cùng bằng 45
0
)



AMN cân đỉnh A

AM = AN

0,50

c) (1,0 điểm)

KAO
2
vuông đỉnh K mà góc KAO
2
= 45
0
vậy

KAO
2
vuông
cân đỉnh K

KA

= KO
2
Gọi D là giao điểm của AI với đờng tròn (O). Ta có AI

O
1
O
2


góc KO
1
O

2
= góc O
2
ID

góc KO
1
O
2
= góc KIA


AKI =

O
2
KO
1


AI = O
2
O
1

0,50
có gócDIB = gócBAD + gócABI = góc CBD + gócCBI = góc DBI
vậy

DBI cân đỉnh D

DB = DI

0,25
BD cho trớc nên O
1
O
2
lớn nhất khiAD lớn nhất

A là điểm chính giữa cung BC 0,25
Bài 4(1,0 điểm)
+ Xét p/t:
x 2 x 2 3 x 3 0
+ + + =

x 2 1 x 3 0 + + =


0,25
Với
x 1

ta có p/t:
x 2 x 4 0
+ + =
Đặt
t x 2
= +

0 có p/t:
2
t t 6 0
+ =
t 2
=
hoặc t = -3 (loại)
x 2
=


0,25
Với
2 x 1
<
ta có p/t:
x 2 x 2 0
+ + =
. Đặt
t x 2
= +

0 có p/t:
2
t t 4 0
=

1 17
t
2

=
(loại) hoặc t=
1 17
2
+

2
1 17
x 2
2

+
=
ữ

(loại)
k/l: Phơng trình có 1 nghiệm x = 2


0,25
+ Hệ đã cho có một nghiệm (x; y) duy nhất

2
y 2(m 1)y 2(m 2) 1 0
+ + + + =
có một nghiệm y duy nhất
/ 2
m (2 2)m 2 2 0
= + =

m 2 =
hoặc m =
2


0,25
12
C
A
I
D
B
O
2
O
1
K
M
N
E
H
O
.

Sở giáo dục - đào tạo
hà nam
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam
Năm học : 2009-2010
Môn : Toán chuyên

(Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề)
13