Dau hieu nhan biet PT bac 2 có nghiem P5

Các dấu hiệu nhận biết phơng trình bậc hai có nghiệm:
Thí dụ 9: Chứng tỏ tập hợp A có phần tử cố định với mọi m.
Tìm m để A có đúng 2 phần tử. Với:
{ }
( )
( ){ }
03231|)2
01|)1
2223
3
=+++++=
=+=
mmxmmxmxRxA
mmxxRxA
Lời giải
Câu 1: Viết lại: x
3
-mx+1-m = 0 x
3
+ 1-m(x+1) = 0 (1)
Tập hợp A có phần tử cố định với mọi m Phơng trình (1) có nghiệm
không phụ thuộc m. Điều đó xảy ra khi và chỉ khi.
1
01
01
3
=



=+

=+
x
x
x
Vậy khi m thay đổi, tập hợp A luôn có một phần tử cố định là x = -1
Từ kết quả trên suy ra (1)
( )
( )
011
2
=+++ mxxx
(2)
Gọi f(x) = x
2
x + 1 + m
A có đúng 2 phần tử tập nghiệm của phơng trình (1) có đúng 2 giá trị

( )




=
=

=






=
4
3
3
1
2
;0
1;01
m
m
a
b
a
c
f
f

Vậy tập hợp các giá trị phải tìm của m






==
4
3
;3 mm
Câu 2: Xem phơng trình x
3
-(m+1)x
2
+ (m
2
+ m-3)x-m
2
+ 2m + 3 = 0 (3)
( )
( )
03321
2322
=+++ xxxmxxmx
Xét hệ:
1
033
02
01

23
2
=





=+
=+
=
x
xxx
xx
x
Suy ra phơng trình (3) có nghiệm x = 1 không phụ thuộc m Tập hợp A có một
phần tử cố định (x = 1) với mọi m (đpcm)
Từ kết quả đó suy ra: (3)
( )
( )
0321
22
=+ mmmxxx
Gọi
( )
32
22
+= mmmxxxf
A có đúng 2 phần tử Tập nghiệm của phơng trình (3) có đúng 2 giá trị

( )







=

=












=++

=














=






=

3
132
2
173
2
01283

042
023
1
2
;0
1;01
2
2
2
m
m
m
mm
mm
mm
a
b
a
c
f
f
Vậy tập hợp các giá trị phải tìm của m là:







=

=
3
132
;
2
173
mm
Thí dụ 10: Tìm a để phơng trình (a + 1)x
2
-(8a+1)x + 6a = 0 có đúng 1 nghiệm
thuộc (0; 1).
Lời giải
Trờng hợp 1: a + 1 = 0 a = -1
Phơng trình đã cho trở thành 7x 6 = 0
( )
11;0
7
6
== ax
là giá trị phải
tìm. (1)
Trờng hợp 2: a -1, ta phải có f(0).f(1) = -6a
2
0 a
+ a = 0, phơng trình đã cho trở thành x
2
x = 0 x = 0; x = 1 (loại)
a = 0 cũng không phải là giá trị phải tìm (2)
+ a

( ) ( )
01.00 < ff

Phơng trình đã cho có đúng một nghiệm thuộc (0; 1) (3)
Từ (1), (2), (3)

Phơng trình đã cho có đúng 1 nghiệm (0; 1) khi và chỉ khi a0
Thí dụ 11: Cho m - 1. Tìm nghiệm lớn của phơng trình:
x
2
+ (2m-6)x +m-11 = 0 (1)
Lời giải
Viết lại
( ) ( ) ( )( )
( )
'22
101281210116121 =+++=++ xxxmxxxm
Thấy rằng
2
1
=x
không phải là nghiệm của phơng trình (1)
Chia hai vế của phơng trình (1

) cho 2x + 1 ta có:
(1

)
12
128

1
2
+
++
=+
x
xx
m
. Bởi thế
0
12
128
011
2

+
++
+
x
xx
mm
( )( )
( )
20
12
724724

+
+

x
xx
Dấu vế trái (2): + +

- -

724

2
1


724 +
Căn cứ vào dấu vế trái (2) suy ra tập nghiệm của bất phơng trình (2) là
(
]






+ 724;
2
1
724;x
(3)
Gọi x
0
là nghiệm của phơng trình (1) với m -1

Từ (3) suy ra
( )
74max
01
+=

x
m
. Nói cách khác, với m -1, nghiệm lớn nhất có
thể của phơng trình (1) là x =
74 +
Bài tập
Bài 1: Chứng minh tập hợp nghiệm của tập hợp các phơng trình sau đây khác
rỗng:
1) Hai phơng trình: x
2
+ ax +b = 0; x
2
+ bx + a = 0 trong đó a, b là các số thực
thoả mãn:
2
111
=+
ba
2) Ba phơng trình: x
2
+ ax + b -1=0; x
2
+ bx + c-1=0; x
2

+ cx + a-1 = 0 trong đó
a, b, c là các số thực bất kỳ.
Bài 2: Cho tập hợp A =
( ) ( ){ }
0237|
223
=+ mmxmmxRx
1) Chứng tỏ tập hợp A có phần tử cố định với mọi m. Tìm m để a có đúng 2 phần
tử.
2) Tìm hệ thức độc lập với tham số liên hệ giữa các phần tử không cố định của
A.
Bài 3: Tìm a để cả hai nghiệm của phơng trình g(x) = 0 đều nằm trong khoảng 2
nghiệm của phơng trình f(x) = 0, với g(x) = x
2
-2x-a
2
+ 1, f(x) = (x
2
-2a+1)x +
a(a+1)
Bài 4: Tìm m biết rằng phơng trình: x
2
+ 2mx +2m
2
-1=0 có hai nghiệm thoả mãn
|x
1
| < 1 < |x
2
|