Dau hieu nhan biet PT bac 2 có nghiem P4

Thí dụ 7: Các phần tử của A sơn xanh, các phần tử của B sơn đỏ. Ngời ta xếp
các phần tử của A và B lên một trục số. Tìm m để A B có 4 phần tử và 2 phần
tử cùng màu của chúng không đứng kề nhau, với:
1)
( ) ( )
2}05|{;1}06|{
22
===+= mxxRxBmxxRxA
2)
}02|{};02|{
22
=++==+= mxxRxBmxxRxA
Lời giải
Câu 1:
Cách 1: (Định lý đảo của tam thức bậc 2)
Gọi f
1
(x) = x
2
-6x + m; g
1
(x) = x
2
5x-m.
( ) ( )

=
2111
xfxf
Rõ ràng f
1

(x) = g
1
(x)-x + 2m
Hai phơng trình có nghiệm xen kẽ phơng trình g
1
(x) = 0 có 2 nghiệm phân
biệt x
1
; x
2
thoả mãn
( ) ( )

=
2111
xfxf
< 0
Ta có:
( ) { }
2;1;2.
4
25
0.425
1
=<>+= ixmxfmm
iig
( )( ) ( )

++==
2

212121
4222 mxxmxxxmxm
(3)
Thay x
1
x
2
= -m; x
1
+ x
2
= 5 vào (3) có:

= mm 114
2
Bởi thế:

<<<<
4
11
001140
2
mmm
Cách 2: (Dùng đồ thị để tìm miền gía trị)
Viết lại
( ) ( )
xxxfm 61
2
+==
( ) ( )

xxxhm 52
2
==
Vẽ các parabol (P): y = f(x); (Q): y = h(x)
Thấy rằng (P) ( Q) =
( )
}
4
11
;
2
11
,0;0{






AO
Căn cứ vào đồ thị suy ra tập hợp giá trị phải tìm của m là 0 < m <
4
11
Cách 3: (Tung độ giao điểm 2 parabol âm)
Vẽ các parabol (P): y = x
2
-6x + m;
(Q): y = g(x) = x
2
5x-m (4)

Phơng trình hoành độ giao điểm của (P) và (Q) là:
x
2
-6x + m = x
2
-5x-m x = 2m
Thay vào (4) có tung độ giao điểm là y = 4m
2
-11m
(P) và (Q) đều lõm nên 2 phơng trình có nghiệm xen kẽ
Tung độ giao điểm của (P) và (Q) có giá trị âm h(2m) < 0

4
11
00114
2
<<< mmm
Câu 2:
Gọi
( ) ( ) ( ) ( )

=+=++=
2111
2
1
2
1
;2;2 xfxfmxxxgmxxxf
Rõ ràng
( ) ( )

22
11
++= mxxgxf
Hai phơng trình có nghiệm xen kẽ Phơng trình g
1
(x) = 0 có 2 nghiệm phân
biệt x
1
; x
2
thoả mãn
( ) ( )

=
2111
xfxf
< 0
Ta có
( ) { }
2;1;22.
8
1
0.81
1
+=<>= imxxfmm
iigg
( )( ) ( )( ) ( )
2
212121
22242222 +++=++=

mxxmxxmxmx
(3)
Thay x
1
x
2
= 2m; x
1
+ x
2
= 1 vào (3) có: = m
2
-6m
Bởi thế:

<<<< 60060
2
mmm
Thí dụ 8:
1. Tìm a để phơng trình
02||24
2
=++ aaxxx
có đúng 2 nghiệm phân biệt.
2. Tìm a để phơng trình
01|2| =++ aaxx
có 1 nghiệm duy nhất.
Lời giải
Câu 1:

02||24
2
=++ aaxxx
(1)
Tập xác định: R
( )
( )
( )













<
=++




=+

<
=++




=+++

ax
ax
ax
ax
ax
ax
x
ax
axx
3

7
3
3
1
11
0
3
2
2
3
022
1
2
2
2
2
Vẽ các parabol
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
7
3
3
1
:
;11:
2
2
2
1

+==
+==
xxgyP
xxfyP
Thấy rằng (P
1
) (P
2
) = {A; B}, trong đó A = (-2; -2), B = (-1; -1)
Căn cứ vào đồ thị suy ra phơng trình có đúng hai nghiệm phân biệt



>
<

2
7
a
a
Câu 2:
01|2| =++ aaxx
TXĐ: R
Ta có
( )

<
=+




=++

ax
aaxx
ax
aaxx
2
012
2
012
1
2
2
Gọi
( ) ( ) ( )
;1;12;12;1|2|
2'
1
2

2
2
1
+=+=++=++= aaaxxxfaxxxfaaxxxf
aaaa >+=

== ,0,1,
2
51
0
'
2
2'
2
'
1
Ta có f(-2a) = f
1
(-2a) = f
2
(-2a)= 1 a
Hoành độ đỉnh của các parabol (P
1
): y = f
1
(x), (P
2
): y = f
2
(x) đều bằng a.

Ta có bảng biến thiên của các hàm số f(x), f
1
(x), f
2
(x) trong từng trờng hợp nh
sau:
Trờng hợp 1: a < 0 ( -a < -2a)
x
- -a -2a +
f
1
(x)
f
2
(x)
f(x)
-
'
1

+
1- a
Bảng biến thiên cho thấy phơng trình có đúng một nghiệm duy nhất khi và
chỉ khi
;00
'
1
'
1
<>

<<
+

+
<<
+




<
<+
0
2
51
2
51
2
51
0
01
2
ma
a
aa
( )
2

Trờng hợp 2:
( )
.20 aaa <>
do
a<> ,0,0
'
2
'
2
x
- -2a -a +
f
1
(x
)
f
2
(x
)
f(x)
1-a +
+
'
2

Bảng biến thiên cho thấy phơng trình có đúng một nghiệm duy nhất.
Trờng hợp 3:
( )
101||:,0 ==+= xxxxfa
(3)

a = 0 là một giá trị phải tìm. (4)
Từ (2), (3), (4) suy ra:
Tập hợp các giá trị phải tìm của a là a > -
2
51+