Toán 10 Tích vô hướng của 2 vecto

Vấn đề 1: tính tích vô hớng của hai véc tơ
Phơng pháp 1
Sử dụng định nghĩa : đa hai véc tơ
a
r
và
b
r
về cùng gốc để xác định góc (
a
r
,
b
r
) rồi tính
a
r
.
b
r
=
a
r
.
b
r
cos(
a
r
,
b

r
)
Phơng pháp 2
Sử dụng các tính chất của tích vô hớng, các hằng đẳng thức véc tơ và thờng phối hợp với
phơng pháp 1.
Phơng pháp 3
Sử dụng định lý hình chiếu : cho hai véc tơ
AB
uuur
và
CD
uuur
, ta có :

AB
uuur
.
CD
uuur
=
AB
uuur
.
' 'C D
uuuuur
=
.AB CD
Trong đó C,D là hình chiếu của C và D trên đờng thẳng chứa véc tơ
AB
uuur

.
Phơng pháp 4
Sử dụng biểu thức tọa độ.
Ví dụ 1: Cho tam giác cân ABC tại A,Â= 120 , AB=AC=a,
I là tâm đờng tròn nội tiếp .
a) tính
AB
uuur
.
CA
uur
;
AB
uuur
.
IH
uur
.
b) tính
AB
uuur
.
BC
uuur
+
BC
uuur
.
CA
uur

+
CA
uur
.
AB
uuur

giải: A
a)
AB
uuur
.
CA
uur
=a
2
cos(
AB
uuur
,
CA
uur
)=a
2
cos60=
1
2
a
2

BC=2BH=2ABsin60=
3a
I

B H C
áp dụng công thức: IH=
2
sin120
2(2 3)
ABC
S
a
r
p
a a
= =
+
o
V
=
2
3
4 (2 3)
a
a +

Vậy
AB
uuur

.
IH
uur
=a.
3
4(2 3)
a
+
cos
60
o
2
3
8(2 3)
a
=
+
b)
AB
uuur
+
BC
uuur
+
CA
uur
=
0
r
(

AB
uuur
+
BC
uuur
+
CA
uur
)
2
=0
AB
2
+BC
2
+CA
2
+2(
AB
uuur
.
BC
uuur
+
BC
uuur
.
CA
uur
+

CA
uur
AB
uuur
)=0

AB
uuur
.
BC
uuur
+
BC
uuur
.
CA
uur
+
CA
uur
.
AB
uuur
=
2
5
2
a
-
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BC=a, AB=c, CA=b

a) tính
AB
uuur
.
AC
uuur
theo a, b, c.
b) suy ra
AB
uuur
.
BC
uuur
+
BC
uuur
.
CA
uur
+
CA
uur
.
AB
uuur
c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính độ dài AG và cos(
AG
uuur
,
BC

uuur
)
Giải:
a) Ta có BC
2
=
2
BC
uuur
=(
AC
uuur
-
AB
uuur
)
2
=AC
2
+AB
2
-2
AC
uuur
.
AB
uuur
Do đó
AC
uuur

.
AB
uuur
=
2 2 2
1
( )
2
AC AB BC+ -
=
1
2
(b
2
+c
2
-a
2
) (1)
A D

I

B C

Ghi nhớ công thức (1)
b) Từ (1) :
CA
uur
.

AB
uuur
=
1
2
(a
2
-b
2
-c
2
)
Tơng tự:
AB
uuur
.
BC
uuur
=
1
2
(b
2
-c
2
-a
2
)
Và
BC

uuur
.
CA
uur
=
1
2
(c
2
-a
2
-b
2
)

AB
uuur
.
BC
uuur
+
AB
uuur
.
BC
uuur
+
BC
uuur
.

CA
uur
=
1
2
(a
2
-b
2
-c
2
)+
1
2
(b
2
-c
2
-a
2
)+
1
2
(c
2
-a
2
-b
2
)=-

1
2
(a
2
+b
2
+c
2
)
Chú ý : có thể làm theo cách nh ví dụ 1 (Câu b)
c)
AG
uuur
=
1
3
(
AB
uuur
+
AC
uuur
)
AG
2
=
AG
uuur
2
=

1
9
(
AB
uuur
+
AC
uuur
)
2
=
1
9
(AB
2
+AC
2
+2
AB
uuur
.
AC
uuur
)=
1
9
(c
2
+b
2

+ b
2
+c
2
-a
2
)
=
1
9
(2b
2
+2c
2
-a
2
) AG=
1
3
2 2 2
2 2b c a+ -
.
Cos(
AG
uuur
,
BC
uuur
)=
.

.
AG BC
AG BC
uuur uuur
uuur uuur
(1)
AG
uuur
.
BC
uuur
=
1
3
(
AB
uuur
+
AC
uuur
).(
AC
uuur
-
AB
uuur
)=
1
3
(b

2
-c
2
) (2)
Thay (2) vào (1) : Cos(
AG
uuur
,
BC
uuur
)=
2 2
2 2 2
. 2 2
b c
a b c a
-
+ -
Ví dụ 3 : Cho hình thang vuôngABCD, đờng cao AB=2a, đáy lớn BC = 3a, đáy nhỏ
AD= a.
a) Tính các tích vô hớng
AB
uuur
.
CD
uuur
,
BD
uuur
.

BC
uuur
và
AC
uuur
.
BD
uuur
.
b) Gọi I là trung điểm của CD, tính
AI
uur
.
BD
uuur
. Suy ra góc của AI và BD.
Giải :
a)
BA
uuur
là hình chiếu của
CD
uuur
lên đờng
thẳng chứa
BA
uuur
.
Ta có
AB

uuur
.
CD
uuur
=
AB
uuur
.
BA
uuur
=-
AB
uuur
2
=-4a
2

BD
uuur
.
BC
uuur
=
BH
uuur
.
BC
uuur
=a.3a=3a
2

AC
uuur
.
BD
uuur
=(
AB
uuur
+
BC
uuur
).
BD
uuur
=
AB
uuur
.
BA
uuur
+
BC
uuur
.
BD
uuur

=-4a
2
+3a
2
=-a
2
b)
AI
uur
.
BD
uuur
=
1
2
(
AD
uuur
+
AC
uuur
).(
AD
uuur
-
AB
uuur
)

=
1
2
(
AD
uuur
2
-
AD
uuur
.
AB
uuur
+
AC
uuur
.
AD
uuur
-
AC
uuur
.
AB
uuur
)


A D
C

A
B C
A D
C
A
B C
Mà
2
2
2
2
; . 0
. . 3
. . 4
AD a AD AB
AC AD AK AD a
AC AB AB AB a
ỡ
ù
ù
= =
ù
ù
ù
ù
= =
ớ
ù
ù
ù

= =
ù
ù
ù
ợ
uuur uuuruuur
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
Vậy
AI
uur
.
BD
uuur
=
1
2
(a
2
+3a
2
-4a
2
)=0 AI BD

Bài tập :
1.Cho tam giác vuông cân ABC, AB=AC=a.
Tính
AB
uuur

.
AC
uuur
;
AC
uuur
.
CB
uuur

2.Cho tam giác ABC có AB=4, BC=7, ca=9.
a) Tính
BC
uuur
2
rồi suy ra
AB
uuur
.
AC
uuur
và tính cosÂ
b) Tính
CA
uur
.
CB
uuur
c) Gọi I là trung điểm của AC. Tính
CI

uur
.
CB
uuur
3.Cho tam giác ABC có BC=4 , CA=3, AB=2.
a) Tính
AB
uuur
.
AC
uuur
suy ra cosÂ.
b) G là trọng tâm tam giác ABC. Tính
AG
uuur
.
BC
uuur
c) Tính
. . .GAGA GB GC GC GA+ +
uuuruuur uuur uuur uuur uuur
.
d) AD là phân giác trong của góc BAC (DBC).
Tính
AD
uuur
theo
AB
uuur
và

AC
uuur
. suy ra : AD
4. cho tam giác ABC có AB=2, AC=3, Â=
2
3
p
a) Tính BC, AM (M là trung điểm của BC).
b) Tính IJ trong đó I, J xác định bởi :
5. Cho hình thang vuông ABCD có đờng cao AB, cạnh đáy AD=a, BC=2a.
Hãy tính AB trong các trờng hợp sau :
a)
AC
uuur
.
AB
uuur
=a
2
b)
AC
uuur
.
BD
uuur
=-a
c)
.IC ID
uur uur
=a

2
(I là trung điểm của AB)
6. Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và B
với AD=2a , AB=BC =a.
a) Tính
AC
uuur
.
BD
uuur

b) Suy ra hình chiếu
' 'A C
uuuuur
của
AC
uuur
lên
BD
uuur
7. Cho tam giác vuông ABC vuông tại A ; Mlà trung điểm của BC . Biêt rằng :

AM
uuuur
.
BC
uuur
=
2
2

a
. Tính AB, AC.
8. Cho các véc tơ
,a b
r
r
biết rằng
2 3a b- =
r
r
. Tính
.ab
r
r
?
9.Cho tam giác ABC với BN vàCP là các trung tuyến.
Biết
BN
uuur
.
CP
uuur
=x ;
BN
uuur
.
CA
uur
=y ;
CP

uuur
.
AB
uuur
=z (x, y, z R) .
Hãy tính 3 cạnh AB, BC, CA theo x, y, z.
10. Cho tam giác đều ABC, độ dài cạnh là 3a .
Lấy M, N, P lần lợt nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho BM=a, CN=2a, AP=x
(0<x<3a) .
a) Tính
AM
uuuur
theo
AB
uuur
và
AC
uuur
.
b) Tính x để AM PN
Đáp số và giải :
1. đs:
AB
uuur
.
AC
uuur
=0;
AC
uuur

.
CB
uuur
=-a
2
2. đs: a) 49; 24; cosÂ=
2
3
. b) 57 c)
57
2

2 0; 2IA IB J B J C+ = =
uur uur uur uuur

3. đs : a)
3
2
-
; cosÂ=
1
4
-
b)
AG
uuur
.
BC
uuur
=

5
3
c) =
2 2 2
1 29
( )
6 6
AB BC CA- + + = -
4. đs : a) BC=
19
; AM=
7
2
b) IJ=
2
133
3

d) Hình chiếu
' 'A C
uuuuur
của
AC
uuur
lên
BD
uuur
ngợc hớng với
BD
uuur

và có
' '
2
a
A C =
uuuuur
5. đs :
a) AB=a; b) AB=
3a
; c) AB=2a
d) Đặt AB=x>0 Ta có BD=
2 2
x a+
AC
uuur
.
BD
uuur
=(
AB
uuur
+
BC
uuur
)(
BA
uuur
+
AD
uuur

)=-
AB
uuur
2
+
BC
uuur
.
AD
uuur
=-x
2
+2a
2
Mặt khác theo định lý hình chiếu :
AC
uuur
.
BD
uuur
=
' 'A C
uuuuur
.
BD
uuur
=
' 'A C
uuuuur
BD

uuur
cos180=-
2
a
2 2
x a+
Dẫn đến phơng trình : 2a
2
-x
2
=-
2
a
2 2
x a+
Giải phơng trình ta đợc x=
3a
.
Vậy AB=
3a
7. đs: AB=a, AC=
2a

8.đs :
.ab
r
r
=
1
2

9. Hớng dẫn giải : phân tích
BN
uuur
=
BA
uuur
+
AN
uuur
= -
AB
uuur
+
1
2
AC
uuur
(1)

CP
uuur
=
CA
uur
+
AP
uuur
=
CA

uur
+
1
2
AB
uuur
(2)
Thay (1),(2) vào
BN
uuur
.
CP
uuur
=x(-
AB
uuur
+
1
2
AC
uuur
).(
CA
uur
+
1
2
AB
uuur
)=x5

AB
uuur
.
AC
uuur
-2
AB
uuur
2
-2
AC
uuur
2
=4x
Đặt
AB
uuur
.
AC
uuur
=t; AB=c; AC=b Ta đợc : 5t-2c
2
-2b
2
=4x
Tơng tự :
BN
uuur
.
CA

uur
=y -b
2
+2t=2y

CP
uuur
.
AB
uuur
=z-c
2
+2t=2z
Giải hệ
2 2
2
2
5 2 2 4
2 2
2 2
t c b x
b t y
c t z
ỡ
ù
- - =
ù
ù
ù
ù

- + =
ớ
ù
ù
ù
- + =
ù
ù
ợ

2
2
(4 4 4 )/ 3
(8 8 2 ) / 3
(2 8 8 ) / 3
t y x z
c y x z
b y x z
ỡ
ù
= - -
ù
ù
ù
ù
= - -
ớ
ù
ù
ù

= - -
ù
ù
ợ

(8 8 2 )/ 3
(2 8 8 ) / 3
(2 8 2 )/ 3
AB y x z
AC y x z
BC y x z
ỡ
ù
= - -
ù
ù
ù
ù
= - -
ớ
ù
ù
ù
= - -
ù
ù
ợ
10.Giải :
a) BM=a; BC=3a. Suy ra :

2 0 2( ) ( ) 0
2 1
2 3
3 3
MB MC AB AM AC AM
AB AC AM AM AB AC
+ = - + - =
+ = = +
uuur uuuur r uuur uuuur uuur uuuur r
uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur
b) AM PN
AM
uuuur
.
PN
uuur
=0 (
2
3
AB
uuur
+
1
3
AC
uuur
).(
AN AP-
uuur uuur
)=0

(
2
3
AB
uuur
+
1
3
AC
uuur
).(
1
3
AC
uuur
-
3
x
a
AB
uuur
)=0
(2-
x
a
).
1
2
+9a
2

-18ax=0x=
4
5
a

Vấn đề 2 : chứng minh một đẳng thức về tích vô hớng
Chứng minh hai véc tơ vuông góc
Thiết lập điều kiện vuông góc

Phơng pháp :
sử dụng 3 quy tắc nh ở vấn đề 1.
Về độ dài , chú ý rằng : AB
2
=
AB
uuur
2
=(
( )OA OB-
uuur uuur
2
với O là một điểm tùy ý
Để chứng minh hai véc tơ
a
ur
và
b
r
vuông góc ta chứng minh
a

ur
.
b
r
=0
Để thiết lập điều kiện vuông góc giữa chúng ta sử dụng mệnh đề :

a
ur

b
r

a
ur
.
b
r
=0
Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC , G là trọng tâm , Chứng minh rằng :
a)
MA
uuur
.
BC
uuur
+
MB
uuur
.

CA
uur
+
MC
uuuur
.
AB
uuur
=0
b) MA
2
+MB
2
+MC
2
=3MG
2
+GA
2
+GB
2
+GC
2
, với M là một điểm tùy ý.
Suy ra vị trí của M để MA
2
+MB
2
+MC
2

đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải :
a)
MA
uuur
.
BC
uuur
=
MA
uuur
.(
MC
uuuur
-
MB
uuur
)=
MA
uuur
.
MC
uuuur
-
MA
uuur
.
MB
uuur
A

H
B M C
A B
O
D C
Tơng tự:
MB
uuur
.
CA
uur
=
MB
uuur
.
MA
uuur
-
MB
uuur
.
MC
uuuur

MC
uuuur
.
AB
uuur
=

MC
uuuur
.
MB
uuur
-
MC
uuuur
.
MA
uuur
Cộng từng vế ta có kết quả câu a)
b) Phân tích AM
2
=
MA
uuur
2
=(
MG
uuuur
+
GA
uuur
)
2
=MG
2
+GA
2

+2
MG
uuuur
.
GA
uuur
Tơng tự MB
2
=MG
2
+GB
2
+2
MG
uuuur
.
GB
uuur
MC
2
=MG
2
+GC
2
+2
MG
uuuur
.
GC
uuur

Cộng từng vế 3 đẳng thức ta đợc: MA
2
+MB
2
+MC
2
= 3MG
2
+GA
2
+GB
2
+GC
2

Từ đó MA
2
+MB
2
+MC
2
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng B
Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC , M là trung điểm của BC và H là trực tâm của tam giác.
Chứng minh rằng :
a)
MH
uuuur
.
MA
uuur

=
1
4
BC
2
b) MA
2
+MH
2
=AH
2
+
1
2
BC
2
Giải :
a) Ta có : 4
MH
uuuur
.
MA
uuur
= -4
MH
uuuur
.
AM
uuuur
=

-2
MH
uuuur
.(
AB
uuur
+
AC
uuur
)=2
MH
uuuur
.
BA
uuur
+2
MH
uuuur
.
CA
uur
=
=2(
MC
uuuur
+
CH
uuur
).
BA

uuur
+2(
MB
uuur
+
BH
uuur
)
CA
uur
=2
MC
uuuur
.
BA
uuur
+2
MB
uuur
.
CA
uur
=2
MC
uuuur
.(
BA
uuur
-
CA

uur
)=
BC
uuur
.
BC
uuur
=
BC
uuur
2
= BC
2
b) AH
2
=(
MH
uuuur
-
MA
uuur
)
2
=MH
2
+MA
2
-2
MH
uuuur

.
MA
uuur
=MH
2
+MA
2
-
1
2
BC
2
MA
2
+MH
2
=AH
2
+
1
2
BC
2
Ví dụ 3 : Cho hình chữ nhật ABCD. M là một điểm tùy ý. Chứng minh :
a)
MA
uuur
+
MC
uuuur

=
MB
uuur
+
MD
uuur
b)
MA
uuur
.
MC
uuuur
=
MB
uuur
.
MD
uuur

c) MA
2
+MC
2
=MB
2
+MD
2
Giải :
a ) Gọi O là giao điểm của AC và DB.

Ta có :
MA
uuur
+
MC
uuuur
=2
MO
uuur

MB
uuur
+
MD
uuur
=2
MO
uuur
Vậy
MA
uuur
+
MC
uuuur
=
MB
uuur
+

MD
uuur
b)
MA
uuur
.
MC
uuuur
=(
OA
uuur
-
OM
uuur
).(
OC
uuur
-
OM
uuur
)=(
MO
uuur
+
OA
uuur
).(
MO
uuur
-

OA
uuur
)=MO
2
-OA
2

MB
uuur
.
MD
uuur
=(
OB
uuur
-
OM
uuur
).(
OD
uuur
-
OM
uuur
)=(
MO
uuur
+
OB
uuur

).(
MO
uuur
-
OB
uuur
)=MO
2
-OA
2
c) Theo câu a) :
MA
uuur
+
MC
uuuur
=
MB
uuur
+
MD
uuur
(
MA
uuur
+
MC
uuuur
)
2

=(
MB
uuur
+
MD
uuur
)
2
MA
2
+MC
2
+2
MA
uuur
.
MC
uuuur
=MB
2
+MD
2
+2
MB
uuur
.
MD
uuur
MA
2

+MC
2
=MB
2
+MD
2
(theo câu b)
Bài tập :
1. Cho tứ giác ABCD có E, F là trung điểm các đờng chéo.
a) Chứng minh : 2
AC
uuur
.
BD
uuur
=AB
2
-BC
2
+CD
2
-DA
2
b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đờng chéo vuông góc là :
AB
2
+CD
2
=BC
2

+DA
2
c) Chứng minh : AB
2
+BC
2
+CD
2
+DA
2
=AC
2
+BD
2
+4EF
2
2. Cho bốn điểm A, B, C và M tùy ý. Chứng minh hệ thức :
a)
MA
uuur
.
BC
uuur
+
MB
uuur
.
CA
uur
+

MC
uuuur
.
AB
uuur
=0
b) áp dụng: chứng minh rằng trong tam giác ba đờng cao đồng quy.
3. Cho tam giác ABC cân tại A, O là tâm đờng tròn ngoại tiếp .
Gọi D là trung điểm của AB và E là trọng tâm tam giác ACD .
Chứng minh rằng OE vuông góc với CD.
4. Cho đờng tròn (O, R) .Chứng minh điều kiện cần và đủ
để AM là tiếp tuyến với đờng tròn tại M là:


OA
uuur
.
OM
uuur
=R
2
5. Cho hai điểm N, M nằm trên đờng tròn tâm O,
đờng kính AB=2R. Gọi I là giao điểm
của hai đờng thẳng AM và BN .
a) chứng minh :
AM
uuuur
.
AI
uur

=
AB
uuur
.
AI
uur
;
BN
uuur
.
BI
uur
=
BA
uuur
.
BI
uur
b) Tính
AM
uuuur
.
AI
uur
+
BN
uuur
.
BI
uur

theo R
6. Cho tam giác ABC , trung tuyến AM, đờng cao AH.
Chứng minh các đẳng thức sau :
a).
AB
uuur
AC
uuur
=AM
2
-
2
4
BC
=
1
2
(AB
2
+AC
2
-BC
2
)
b) AB
2
+AC
2
= 2AM
2

+
1
2
BC
2
O
A M
M
N
I
B O A
A
E
D
O
B C




c) AB
2
-AC
2
=2
AB
uuur
.
MH
uuuur

d) S
ABC
=
1
2
2 2 2
. ( . )AB AC AB AC-
uuuruuur
7. Cho hình thang vuông ABCD, đờng cao AD=h, cạnh đáy AB=a , CD=b .
Tìm hệ thức giữa a, b, h sao cho:
a)AC vuông góc với BD.
b) BD vuông góc với trung tuyến AM của tam giác ABC.
8. Cho tam giác ABC và hai trung tuyến BM, CN. Đặt BC=a, CA=b,AB=c.
Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, c khi BMvuông góc với CN
9. Cho hình thang vuông ABCD , đờng cao AB =h ; cạnh đáy AD = a , BC =b .
Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, h sao cho :
a) CI vuông góc với DI (I là trung điểm của AB )
b) BD vuông góc với CI
c) AC vuông góc với DI
d) Trung tuyến BM của tam giác ABC vuông góc với trung tuyến CN của tam giác
BCD
10. Cho tứ giác ABCD .Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi :

AB
uuur
.
AD
uuur
+
BA

uuur
.
BC
uuur
+
CB
uuur
.
CD
uuur
+
DC
uuur
.
DA
uuur
= 0
Lời giải và đáp số :
3. Giải :
Ta chứng minh
OE
uuur
.
CD
uuur
=0
Thật vậy :
OE
uuur
.

CD
uuur
=(
AE
uuur
-
AO
uuur
).(
AD
uuur
-
AC
uuur
)=
Mà
AE
uuur
=
1
3
(
AC
uuur
+
AD
uuur
) (vì E là trọng tâm của tam giác
ADC)

OE
uuur
.
CD
uuur
=[
1
3
(
AC
uuur
+
AD
uuur
)-
AO
uuur
].(
AD
uuur
-
AC
uuur
)=
=
1
3
(AD
2
-AC

2
)-
AO
uuur
.
AD
uuur
+
AO
uuur
.
AC
uuur
(1)
Thay
AO
uuur
.
AC
uuur
=
AF
uuur
.
AC
uuur
(định lý hình chiếu, với F là trung
điểm của AC)
=
1

2
AC
2
Và
AO
uuur
.
AD
uuur
=AD
2
(định lý hình chiếu)
Vào (1) , ta đợc
OE
uuur
.
CD
uuur
=
1
6
(AC
2
- 4AD
2
)= 0

4. Giải :
Xét điểm M tùy ý(O, R) .
OA

uuur

OM
uuur

OA
uuur
.
OM
uuur
=0 (
OM
uuur
+
MA
uuur
).
OM
uuur
=0
OM
2
+
MA
uuur
.
OM
uuur
=0

OM
uuur
.
AM
uuuur
=OM
2

OM
uuur
.
AM
uuuur
=R
2

A a B
h M
D C

A
N M
B N
A B
D C

5. Giải :
a)
AM
uuuur

là hình chiếu của
AB
uuur
trên đờng thẳng AI.
Vậy
AB
uuur
.
AI
uur
=
AM
uuuur
.
AI
uur
(định lý hình chiếu)

BN
uuur
là hình chiếu của
BA
uuur
lên đờng thẳng BI. Vậy :
BA
uuur
.
BI
uur
=

BN
uuur
.
BI
uur
.
b)
AM
uuuur
.
AI
uur
+
BN
uuur
.
BI
uur
=
AB
uuur
.
AI
uur
+
BA
uuur
.
BI
uur

=
AB
uuur
.(
AI
uur
-
BI
uur
)=
AB
uuur
2
=4R
2

7. Giải :
a) Ta chứng minh :
AC
uuur
.
BD
uuur
=0.
AC
uuur
.
BD
uuur
=

AC
uuur
.(
AD
uuur
-
AB
uuur
)=
AC
uuur
.
AD
uuur
-
AC
uuur
.
AB
uuur
(1)
Mà
AC
uuur
.
AD
uuur
=
AD
uuur

.
AD
uuur
=h
2
Và
AC
uuur
.
AB
uuur
=
DC
uuur
.
AB
uuur
=b.a (định lý hình chiếu).
Do đó (1) trở thành :
AC
uuur
.
BD
uuur
=h
2
-ab
Vậy AC BD h
2
-ab=0

b) BD AM
BD
uuur
.
AM
uuuur
=0

1
2
BD
uuur
.(
AB
uuur
+
AC
uuur
) = 0

BD
uuur
.
AB
uuur
+
BD
uuur
.
AC

uuur
= 0 (2)
Mà
BD
uuur
.
AB
uuur
=
BA
uuur
.
AB
uuur
=-AB
2
=-a
2
Và
BD
uuur
.
AC
uuur
=h
2
-ab (kết quả trên)
Do đó (2) trở thành : -a
2
+h

2
-ab=0
Vậy BD AM h
2
=a(a+b)
.
8. Giải :
BM CN
BM
uuur
.
CN
uuur
=0
1
2
(
BA
uuur
+
BC
uuur
).
1
2
(
CA
uur
+
CB

uuur
) =0

BA
uuur
.
CA
uur
+
BA
uuur
.
CB
uuur
+
BC
uuur
.
CA
uur
+
BC
uuur
.
CB
uuur
= 0

AB
uuur

.
AC
uuur
-
BA
uuur
.
BC
uuur
-
CB
uuur
.
CA
uur
-
CB
uuur
2
= 0

1
2
(AB
2
+AC
2
-BC
2
) -

1
2
(AB
2
+BC
2
-AC
2
)
-
1
2
(BC
2
+AC
2
-AB
2
) BC
2
= 0
AC
2
+AB
2
-5BC
2
= 0 b
2
+c

2
= 5a
2

9. đs :
a) ab-
1
4
h
2
= 0
b) ab-
1
2
h
2
= 0
c)
1
2
h
2
-ab = 0
d) h
2
-2b
2
+ab = 0
10. Giải :
A a D

I N M
B b C

AB
uuur
.
AD
uuur
+
BA
uuur
.
BC
uuur
+
CB
uuur
.
CD
uuur
+
DC
uuur
.
DA
uuur
= 0
(
AB
uuur

.
AD
uuur
+
BA
uuur
.
BC
uuur
) +(
CB
uuur
.
CD
uuur
+
DC
uuur
.
DA
uuur
) = 0

AB
uuur
.(
AD
uuur
-
BC

uuur
) -
DC
uuur
.(
AD
uuur
-
BC
uuur
) = 0
(
AD
uuur
-
BC
uuur
).(
AB
uuur
-
DC
uuur
) = 0
AD BC
AB DC
ộ
=
ờ
ờ

ờ
=
ờ
ở
uuur uuur
uuur uuur
ABCD là hình bình hành
Vấn đề 3 : tập hợp điểm thỏa mãn một đẳng thức
về tích vô hớng hoặc độ dài.
Phơng pháp :
Có thể sử dụng một trong các cách sau :
Đa đẳng thức cho trớc về dạng
MA
uuur
.
MB
uuur
=k( A, B :cố định; k : giá ttrị không
đổi.)
Đa đẳng thức cho trớc về dạng
AM
uuuur
v
r
= 0 , trong đó A là điểm cố định và
v
r
là
véctơ cố định.
Đa đẳng thức cho trớc về dạng AM

2
= k , trong đó A là điểm cố định và k là
một số dơng không đổi.
Ví dụ 1 : cho tam giác ABC, tìm tập hợp những điểm M thỏa :
a)
MA
uuur
.
MB
uuur
=k (k là giá trị cho trớc) . Biện luận.
b) MA
2
+
MA
uuur
.
MB
uuur
= 0
c) 2MB
2
+
MB
uuur
.
MC
uuuur
= a
2

(với a : độ dài cạnh BC)

Giải :
a) Gọi I là trung điểm của cạnh AB . Thế thì :

MA
uuur
.
MB
uuur
=k (
MI
uuur
+
IA
uur
).(
MI
uuur
-
IA
uur
) =k
IM
2
-IA
2
=k IM
2
=

2
4
AB
+k
Biện luận :
Nếu
2
4
AB
+k > 0 k >-
2
4
AB
:
thì tập hợp những điểm M là một đờng tròn tâm I, bán kính
2
4
AB
k+
.
Nếu k = -
2
4
AB
: tập hợp M là điểm I
Nếu
2
4
AB
+k < 0 thì tập hợp M là

Đặc biệt : nếu k = 0 thì tập hợp M là đờng tròn đờng kính AB

b) MA
2
+
MA
uuur
.
MB
uuur
=0
MA
uuur
.(
MA
uuur
+
MB
uuur
) = 0
MA
uuur
.
MI
uuur
= 0
tập hợp M là đờng tròn đờng tròn đờng kính AI.
c) 2MB
2
+

MB
uuur
.
MC
uuuur
=a
2

MB
uuur
.(2
MB
uuur
+
MC
uuuur
) = a
2


(1)
M
A I B

A


M
B H K C
Xét điểm cố định K thỏa mãn : 2

KB
uuur
+
KC
uuur
=
0
r
,
thế thì 2
MB
uuur
+
MC
uuuur
=2(2
MB
uuur
-
MK
uuuur
) +(
MC
uuuur
-
MK
uuuur
) =
0
r

(2
MB
uuur
+
MC
uuuur
) = 3
MK
uuuur
do đó : (1)
MB
uuur
.
MK
uuuur
=
2
3
a
Gọi O là trung điểm của BK ,biến đổi nh câu a) ta đợc :
(1) MO
2
-
2
4
BK
=
2
3
a

MO
2
=
2
3
a
+
2
4
BK
Từ : 2
KB
uuur
+
KC
uuur
=
0
r
KB =
3
a
Nên (1) MO
2
=
2
13
36
a
MO =

6
13a
.
Vậy tập hợp M là một đờng tròn tâm O, bán kính R=
6
13a
Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC , tìm tập hợp những điểm M thỏa :
a)
AM
uuuur
.
BC
uuur
= k (k :số cho trớc )
b) (
MA
uuur
-
MB
uuur
).(2
MB
uuur
-
MC
) = 0
c) MA
2
-MB
2

+CA
2
-CB
2
= 0
d)
MA
uuur
.
MB
uuur
-
MA
uuur
MC
=MC
2
-MB
2
+BC
2

e) 3MA
2
-2MB
2
-MC
2
= 0
Giải :

a) Gọi H và K thứ tự là hình chiếu của A và M lên BC.
áp dụng định lý hình chiếu , ta có :
AM
uuuur
.
BC
uuur
=
BCHK
=k

kBCHK =

BC
k
HK =
: giá trị không đổi.
Mà H cố định nên K cố định . Vậy tập hợp những điểm M
là một đờng thẳng vuông góc với BC tại K.
b) Xét điểm cố định I thỏa : 2
ICIB
=
0
r
2
MB
uuur
-
MC
=

MI
Vậy (
MA
uuur
-
MB
uuur
).(2
MB
uuur
-
MC
) = 0
.BA
MI
=0
MI BA.
Tập hợp M là một đờng thẳng vuông góc với AB tại điểm cố định I.
Chú ý : điểm I thỏa :
0IB ICa + b =
uur uur r
(với +
ạ
0 ; B, C cố định) gọi là tâm tỷ cự của
hai điểm B, C ứng với hai hệ số , , trong đó +
ạ
0.( trong câu b) : =2, =-1)
A M

G

B G H C
C

A I B
J
A


B C


-
v
r
c) MA
2
-MB
2
+CA
2
-CB
2
=0
(
MA
uuur
-
MB

uuur
).(
MA
uuur
+
MB
uuur
) +(
CA
uur
+
CB
uuur
).(
CA
uur
-
CB
uuur
) =0
2
.BA
(
MI
uuur
+
CI
uur
) = 0 (1)
Dựng véc tơ

IJ CI=
uur uur
, thế thì
(1)
.BA
MJ
uuur
= 0 .Điểm J cố định .
Vậy tập hợp M là một đờng thẳng qua J
Và vuông góc với AB.
d)
MA
uuur
.
MB
uuur
-
MA
uuur
MC
=MC
2
-MB
2
+BC
2


MA
uuur

.
MB
uuur
-
MA
uuur
MC
+MB
2
-MC
2
=BC
2

MA
uuur
.(
MB
uuur
-
MC
)+(
MB
uuur
+
MC
).(
MB
uuur
-

MC
)=BC
2
(
MB
uuur
-
MC
).(
MA
uuur
+
MB
uuur
+
MC
) = BC
2
3
CB
uuur
.
MC
=BC
2
(1) (G là trọng tâm tam giác ABC)
Gọi G và H thứ tự là hình chiếu của G và M lên BC.
Thế thì :
(1) 3
2

. 'BC G H BC=

'G H
=
3
BC
G cố định,
3
BC
không đổi H cố định và
tập hợp các điềm M là một đờng thẳng vuông góc
với BC tại H
e) Gọi O là tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta phân tích :
MA
2
=(
MO
uuur
+
OA
uuur
)
2
= MO
2
+OA
2
+2

MO
uuur
.
OA
uuur
MB
2
=(
MO
uuur
+
OB
uuur
)
2
= MO
2
+OB
2
+2
MO
uuur
.
OB
uuur
MC
2
= (
MO
uuur

+
OC
uuur
)
2
= MO
2
+OC
2
+2
MO
uuur
.
OC
uuur
Do đó :
3MA
2
-2MB
2
-MC
2
=2
MO
uuur
.(3
OA
uuur
-2
OB

uuur
-
OC
uuur
)+
+3OA
2
-2OB
2
+OC
2
(1)
Mà OA=OB=OC=R3OA
2
-2OB
2
+OC
2
=0
Và 3
OA
uuur
-2
OB
uuur
-
OC
uuur
=3
OA

uuur
-2(
OA
uuur
+
AB
uuur
)-(
OA
uuur
+
AC
uuur
)=
= -(2
AB
uuur
+
AC
uuur
) là một véc tơ cố định
v
r
.
Nên : 3MA
2
-2MB
2
-MC
2

= 0 2
MO
uuur
.
v
r
=0
Vậy : tập hợp M là một đờng thẳng đi qua O và vuông góc với vec-tơ
v
r
.
Bài tập :
1. Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho :
a)
MB
uuur
.
MC
uuuur
-
MB
uuur
.
MG
uuur
=AB
2
(G là trọng tâm)

b) (2
MA
uuur
- 3
MB
uuur
).(
MA
uuur
+2
MB
uuur
) = 0
2. Cho tam giác ABC vuông tại A. BC = 6a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho :
(
MB
uuur
+
MC
uuuur
).(
MA
uuur
+
MB
uuur
+
MC
uuuur

) = a
2
3. Cho đoạn thẳng AB=2a có I là trung điểm .
a) P là một điểm bất kỳ. Tính
PA
uuur
.
PB
uuur
theo PI và a.
b) Tìm tập hợp điểm M thỏa
MA
uuur
.
MB
uuur
= a
2
4. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa :

AB
uuur
.
AM
uuuur
=
AB
uuur
.
AC

uuur
5.Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn
một trong các hệ thức sau :
a)
MA
uuur
.
MB
uuur
=
MA
uuur
.
MC
uuuur
b)
MA
uuur
2
+
MA
uuur
.
MB
uuur
+
MA
uuur
.
MC

uuuur
=0
c)
MA
uuur
2
=
MB
uuur
.
MC
uuuur
6. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho :
a)
2 2
. . ( 0)MA MB ka b a b+ = + ạ
b)
2 2 2
( 0)MA MB MC ka b g a b g+ + = + + ạ
7. Cho ABCD là hình bình hành . Tìm tập hợp các điểm M sao cho :
MA
2
+MB
2
+MC
2
+MD
2
=k
2

,với kR
8. cho tam giác ABC , góc A nhọn, trung tuyến AI. Tìm tập hợp các điểm M
di động trong góc BÂC, sao cho :
AB.AH AC. AK =AI
2
(1)
Trong đó H, K thứ tự là các hình chiếu vuông góc của M lên AB và AC.
9. Cho tứ giác ABCD . I, J thứ tự là trung điểm của AB, CD.
Tìm tập hợp các điểm M
sao cho :

MA
uuur
.
MB
uuur
+
MC
uuuur
.
MD
uuur
=
1
2
IJ
2
(1)
10. Cho tam giác ABC . I là trung điểm của AB. J là điểm thỏa mãn:

J A
uur
+3
J B
uur
-2
J C
uur
=
0
r
a) Chứng minh BCIJ là hình bình hành.
b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

MA
uuur
.
MC
uuuur
+3
MB
uuur
.
MC
uuuur
= 2
MC
uuuur
2

1. đs :
a) Tập hợp M là đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng GC tại H, xác định bởi
hệ thức :
2
1
AB
B H
GC
=
b) Tập hợp M là đờng tròn đờng kính IJ.
C
A d B
2. đs : Gọi O là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác , I là trung điểm của
OG.
Thì tập hợp M là đờng tròn tâm I, bán kính R = a
5
12
3.Hớng dẫn giải :
a) phân tích
PA
uuur
.
PB
uuur
=(
PI
uur
+
IA
uur

). (
PI
uur
+
IB
uur
)=(
PI
uur
+
IA
uur
).(
PI
uur
-
IA
uur
)=
2 2
PI a-
b) Sử dụng kết quả câu a) , ta tính đợc IM=a
2
.
Vậy tập hợp M là đờng tròn (I,R= a
2
)

4.đs:
Tập hợp M là đờng thẳng (d) qua C và vuông góc với AB

5.đs :
a) tập hợp M là đờng thẳng (d) qua A và vuông góc với BC.
b) Ta chứng minh
MA
uuur
.
MG
uuur
=0. Tập hợp M là dờng tròn đờng kính AG
với G là trọng tâm của tam giác ABC.
c) Gọi I là trung điểm của BC và J là trung điểm của AI.
Lu ý :
MB
uuur
.
MC
uuuur
=
2
2
4
B C
MI -
Nên
MA
uuur
2
=
MB

uuur
.
MC
uuuur

MA
uuur
2
=MI
2
-
2
4
BC

MI
uuur
2
-
MA
uuur
2
=
2
4
BC
(
MI
uuur
-

MA
uuur
).(
MI
uuur
+
MA
uuur
)=
2
4
BC

AI
uur
.2
MJ
uuur
=
2
4
BC

2
.
8
B C
IA J M =
uuruuur
. (1)

Gọi H là hình chiếu của M trên AI,thế thì : (1)
.IA J H
=
2
8
BC
JH=
2
8
BC
IA
(không đổi).H cố định.
Vậy tập hợp M là một đờng thẳng (d) đi qua H cố định và vuông góc với AI
6.Giải :
a) Gọi I là điểm xác định bởi hệ thức :
0IA IBa b+ =
uur uur r
(1) (thì I là điểm cố định nằm
trên đờng thẳng AB).
Thì MA
2
+MB
2
=

2 2
2 2 2
2
0
2 2

0
( ) ( )
( ) ( )
( )
MI IA MI IB
MI IA IB
MI k
k IA IB
a b
a b a b
a b
a b
+ + +
= + + +
= + +
= +
uuur uur uuur uur
uuur uur uur

A M d
H
J

B I C

C
A d B

Vậy:
2 2

2
0
2
0
( )
1
.( )
MA MB k
MI k k
MI k k
a b
a b
a b
+ =
+ + =
= -
+
Từ đó tập hợp M là ; là điểm I; hay là đờng tròn (I, R=
o
k k
a b
-
+
) tùy theo
0
k k
a b
-
+
nhỏ hơn, bằng hay lớn hơn 0

Chú ý :Giá trị k
0
có thể tính đợc theo , , AB bằng cách bình phơng vô hớng
biểu thức (1) dẫn đến kết quả : k
0
=
2
ABab
a b+
b) Gọi I là điẻm xác định bởi hệ thức :
0IA IB ICa b g+ + =
uur uur uur r
(1) .
làm tơng tự nh câu a) , ta có :
2 2 2 2 2 2 2
( )MA MB M C MI IA IB ICa b g a b g a b g+ + = + + + + +
Đặt IA
2
+IB
2
+IC
2
=k
0
không đổi. Giá trị k
0
có thể tính đợc bằng cách
bình phơng hai vế (1) , dẫn đến
2 2 2
0

AB BC CA
k
ab bg ga
a b g
+ +
=
+ +
Vậy MI
2
=
0
1
( )k k
a b g
-
+ +
Do đó tập hợp M có thể ,{}, hoặc là đờng tròn (I, R=
0
k k
a b g
-
+ +
)
Tùy theo
0
k k
a b g
-
+ +
nhỏ hơn,bằng, hay lớn hơn 0.

7.Hớng dẫn giải :
Sử dụng kết quả bài tập 6, vấn đề 2 :
MA
2
+MC
2
=2MO
2
+
2
2
AC
MB
2
+MD
2
=2MO
2
+
2
2
BD
Từ đó dẫn đến : MO
2
=
2 2 2
1
( )
4

k AC BD- -
Vậy tập hợp M có thể là ,{}, hay đờng tròn (O; R=
2 2
1
2
AC BD+
)
Tùy theo k
2
nhỏ hơn, bằng, hay lớn hơn AC
2
+BD
2
8.Giải :
Sử dụng định lý hình chiếu, đa (1) về dạng :
AI
uur
2
=
AB
uuur
.
AH
uuur
+
AC
uuur
.
AK
uuur

=
AB
uuur
.
AM
uuuur
+
AC
uuur
.
AM
uuuur
=(
AB
uuur
+
AC
uuur
).
AM
uuuur
=2
AI
uur
.
AM
uuuur
(2)
Gọi M
0

là hình chiếu vuông góc của M lên AI, thì :
A
K
H M
0
M
B I C
(2)
AI
uur
2
=2
AI
uur
.
0
AM
uuuur

2
0
2 .AI AI AM=

0
2
AI
AM =
M
0
là trung điểm của đoạn AI.

Vậy tập hợp M là một đoạn thẳng vuông góc với AI tại M
0
là trung điểm của AI
Và nằm trong tam giác ABC
9.Giải :
(1) 4
MA
uuur
.
MB
uuur
+4
MC
uuuur
.
MD
uuur
=2IJ
2
(
MA
uuur
+
MB
uuur
)
2
-(
MA
uuur

-
MB
uuur
)
2
+(
MC
uuuur
+
MD
uuur
)
2
-(
MC
uuuur
-
MD
uuur
)
2
=2IJ
2
4MI
2
-AB
2
+4MJ
2
-CD

2
=2IJ
2
4MI
2
+4MJ
2
=AB
2
+CD
2
+2IJ
2
(*)
Gọi O là trung điểm của IJ
(*) 2(
MI
uuur
+
MJ
uuur
)
2
+2(
MI
uuur
-
MJ
uuur
)

2
-2IJ
2

= AB
2
+CD
2
2.(2MI
2
+2MJ
2
)-2IJ
2
=AB
2
+CD
2
4(MI
2
+MJ
2
) -2IJ
2
=AB
2
+CD
2
4.(2MO
2

+
1
2
IJ
2
) -2IJ
2
=AB
2
+CD
2
8MO
2
=AB
2
+CD
2

MO=
2 2
1
2( )
4
AB CD+
tập hợp M là đờng tròn
(O;R=
2 2
1
2( )
4

AB CD+
)
10. đs :
b) tập hợp M là đờng tròn (K; R=
1
2
JC)
Với K là trung điểm của JC
Hạ Long ngày 1tháng 1 năm 2009
Lê Đức Tình su tầm và biên soạn



B
I
A
O
D J C
A
J I
K

B C