Đại số - Giải Tích 12- Hè lớp12

HƯỚNG DẪN ƠN THI TNTHPT NĂM 2009 (Ban cơ bản)
A. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
PHẦN 1: HÀM SỐ
Bài tốn 1: Khảo sát hàm số
1.Hàm số bậc 3 : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d ( a ≠ 0 )
+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y
/
= 3ax
2
+ 2bx + c với ∆
/
= b
2
− 3ac
∆
/
≤ 0 ∆
/
> 0
y
/
cùng dấu với hệ số a
•KL: hàm số tăng trên? (giảm trên?)
y
/
= 0 có hai nghiệm x

1
; x
2

•KL: hàm số tăng? Giảm?
•Hàm số không có cực trò • Cực tri cực đại? Cực tiểu?
+ Giới hạn: •
)(lim
23
dcxbxax
x
+++
+∞→
=



<∞−
>+∞
)0(
)0(
a
a
•
)(lim
23
dcxbxax
x
+++
−∞→

=



<∞+
>−∞
)0(
)0(
a
a
+ Bảng biến thiên:
x −
∞
+
∞
x −
∞
x
1
x
2
+
∞
y
/
+ y
/
+ 0 − 0 +
y −
∞

+
∞
y −
∞
CĐ CT +
∞
x −
∞
+
∞
x −
∞
x
1
x
2
+
∞
y
/
−
y
/
− 0 + 0 −
y +
∞
−
∞
y −
∞

CT CĐ −
∞
Chú ý : dù y
/
= 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng
+ Vẽ đồ thò : • xác đinh Cực trò ?
• ; điểm đặc biệt
a>0 ; có 2 CT a<0; có 2 CT a>0,không CT a<0,không CT
2.Hàm phân thức : y =
dcx
bax
+
+
( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 )
+ TXĐ : D = R\






−
c
d
+ Đạo hàm : y
/
=
2
)( dcx
bcad

+
−
ad−bc < 0 ad−bc > 0
y
/
< 0 ∀ x ∈D y
/
> 0 ∀ x ∈D
Hàm số không có cực trò
Hàm số nghòch biến trên D Hàm số đồng biến trên D
+ Tiệm cận: • x =
c
d
−
là tiệm cận đứng vì
dcx
bax
cdx
+
+
−→ /
lim
= ∞
• y =
c
a
là tiệm cận ngang vì
dcx
bax
x

+
+
∞→
lim
=
c
a
+Bảng biến thiên :
x −
∞
−d/c +
∞
x −
∞
−d/c +
∞
y
/
− || −
y
/
+ || +
y a/c −
∞
||+
∞
a/c y a/c +
∞
||−
∞

a/c
+ Vẽ đồ thò : − Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt
− Cho 2 điểm về 1 phía của tiệm cận đứng vẽ một nhánh , lấy đối xứng
nhánh đó qua giao điểm hai tiệm cận .

3 Hàm trùng phương y = ax
4
+ bx
2
+ c ( a ≠ 0 )
+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y
/
= 4ax
3
+ 2b.x =2x.(2a x
2
+ b)
a,b cùng dấu a, b trái dấu
y
/
= 0 ⇔ x = 0
•KL: tăng? Giảm
y
/
= 0 ⇔ 2x (2ax
2
+ b) = 0 ⇔ x= 0; x
1,2
=±

a
b
2
−
•KL: tăng? Giảm?
•Giá trò cực trò : y(0) = c
có một cực trò
• Giá trò cực trò: y(0)= c ; y(±
a
b
2
−
) =−
a4
∆
Có 3 cực trò
+ Giới hạn :
)(lim
24
cbxax
x
++
±∞→
=



<∞−
>+∞
)0(

)0(
a
a

+ Bảng biến thiên :
x −
∞
0 +
∞
x −
∞
x
1
0 x
2
+
∞
y
/
− 0 + y
/
− 0 + 0 − 0 +
y +
∞
CT +
∞
y +
∞
CT CĐ CT +
∞

x −
∞
0 +
∞
x −
∞
x
1
0 x
2
+
∞
y
/
+ 0 − y
/
+ 0 − 0 + 0 −
y −
∞
CĐ −
∞
y +
∞
CĐ CT CĐ +
∞
+ Vẽ đồ thò : • cực đại , cực tiểu ; • y = 0 −> x= ? giải pt trùng phương

4. Hàm hữu tỉ : 2/1 y =
fex
cbxax

2
+
++
(đk : e ≠ 0 ; tử không chia hết cho mẫu )
a > 0
a < 0
Điểm uốn I(−
a
b
3
;f(−
a
b
3
))
a> 0
b>0
a< 0
b <0
a< 0
b>0
a> 0
b <0
x= −d/ c
y= a/c
x= −d/ c
y= a/c
c
a < 0
a > 0

c
+ TXĐ: D = R\






−
e
f

+ Đạo hàm : y
/
=
2
2
).(
)(.2.
fxe
cebfxafxae
+
−++
có ∆
/
=(af)
2
−(bf−c e).ae
∆
/

< 0 ∆
/
> 0
y
/
cùng dấu với ae y
/
= 0 có hai nghiệm x
1
; x
2

Hàm số không có cực trò
• Giá trò cực trò tính theo CT : y =
e
bax +2
+ Tiệm cận : • x = −
e
f
là tiệm cận đứng
vì
)(lim xf
e
f
x −→
= ∞
• Viết lại hàm số y = A x + B + ε(x);
)]()([lim BAxxf
x
+−

∞→
=
(x)ε
∞→x
lim
=0 => y =
e
a
x + (
e
b
−
2
e
af
) là t/c xiên
+ Bảng biến thiên :
x −
∞
−f/e +
∞
x
−
∞
x
1
−f/e x
2
+
∞

y
/
+ || +
y
/
+ 0 − || − 0 +
y
−
∞
+
∞
||−
∞
+
∞

y −
∞
CĐ −
∞
||+
∞
CT +
∞
x −
∞
−f/e +
∞
x
−

∞
x
1
−f/e x
2
+
∞
y
/
− || −
y
/
− 0 + || + 0 −
y
+
∞

∞
||+
∞


−
∞

y
+
∞
+
∞

|| CĐ
CT −
∞
−
∞
+ Vẽ đồ thò : ( như hàm phân thức )
(ban cơ bản khơng khảo sát hàm số này)
Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến :
1. Tiếp tuyến tại M(x
0
; f(x
0
)) có phương trình là :
Từ x
0
tính f(x
0
) ; • Đạo hàm : y
/
= f
/
(x) => f
/
(x
0
) = ?
P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f
/
(x
0

)(x− x
0
) + f(x
0
)
2. Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x
1
; y
1
) của đồ thò h/s y =f(x)
+ Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A
Pt đường thẳng (d) là : y = k(x − x
1
) + y
1
+ Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thò (C) là
hệ phương trình :
(1)
= − +
=



f(x) k(x x ) y
1 1
/
f (x) k (2)
có nghiệm
Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận
3. Tiếp tuyến có hệ số góc k :

Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a
tiếp tuyến ⊥ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = −
a
1
+ giả sử M(x
0
; f(x
0
)) là tiép điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f
/
(x
0
).
+ Giải phương trình f
/
(x
0
) = k => x
0
= ? −> f(x
0
) = ?
+ Phương trình tiếp tuyến y = k (x − x
0
) + f(x
0
)
Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k
1
.k

2
= −1
+ Hai đường thẳng song song nhau : k
1
= k
2

Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò :
+ Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 . Trong đó đồ thò
hàm số y = f(x) .
+ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m) Đặt: M = g(m)
+ y = M là đường thẳng nằm ngang ; y =f(x) đồ thò (C)
+ Tuỳ theo M xét sự tương giao của đồ thò (C) với đồ thò y = M
Bài toán 4: xét tính đơn điệu
Phương pháp xác đònh khoảng tăng, giảm hàm số :
+ MXĐ D= ?
+ Đạo hàm : y
/
= ?
cho y
/
= 0 ( nếu có ) xét dấu y
/

+ BXD (sắp các nghiệm của PT y
/
= 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái
sang phải tăng dần)
* y
/

> 0 thì hàm số tăng ; y
/
< 0 thì hàm số giảm
+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghòch biến trên khoảng
Đònh lý 2 (dùng để tìm giá trị m):
a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f
/
(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a;b)
b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f
/
(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a;b).
Bài tốn 5: Cực trị hàm số
• Dấu hiệu I :
+ MXĐ D=?
+ Đạo hàm : y
/
= ?
cho y
/
= 0 ( nếu có ) xét dấu y
/

+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y
/
= 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái
sang phải tăng dần)
+ Tính y
CĐ
; y
CT

; kết luận cực trị ?
Chú ý:
1) Nếu hàm số ln tăng ( giảm)trên (a;b) thì khơng có cực trị trên (a;b).
2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y
/
= 0.
3) x
0
là cực trị của hàm số 
/
( ) 0
0
/
( )
=



y x
y x
• Dấu hiệu II:
+ MXĐ
+ Đạo hàm : y
/
= ? y
//
= ?
cho y
/
= 0 ( nếu có ) => x

1
, x
2
… .
+ Tính y
//
(x
1
); y
//
(x
2
)…….
Nếu y
//
(x
0
) > 0 thì hàm số đạt CT tại x
0
, y
CT
= ?
Nếu y
//
(x
0
) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x
0
, y
CĐ

= ?
Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y
/
khó xét dấu
a.e > 0
a.e < 0
đứng
Xiên
Xiên
Xiên
Xiên
đứng
đứng
đổi dấu qua x
0
* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:
y = phần dư của phép chia f(x) cho f
/
(x).
Dạng 2: Cực trò của hàm hữu tỉ :
Cho h/s y =
u
v
u(x) ; v(x) là các đa thức có MXĐ: D
Và y
/
=
u v v u
2
v

′ ′
−
=
g(x)
2
v
dấu của y
/
là dấu của g(x)
Nếu h/s đạt cực trò tại x
0
thì y
/
(x
0
)= 0 => g(x
0
) = 0 <=> u
/
v−v
/
u = 0
=>
u u
v v
′
=
′
. Do đó giá trò cực trò y(x
0

) =
u (x )
0
v (x )
0
′
′
Bài tốn 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
1. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:
+ Miền đang xét [a;b]
+ Đạo hàm : y
/
= ?
cho y
/
= 0 ( nếu có ) _ x
1
, x
2
… . chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b]
+ Tính y(x
1
) ; y(x
2
) ………. So sánh → KL
y(a) ; y(b)
+
max y
[a;b]
=

?
min y
[a;b]
=
?
2. P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MX Đ :
+ Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ
+ Đạo hàm : y
/
= ?
cho y
/
= 0 ( nếu có ) xét dấu y
/

+ BBT:
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trò CT
1
min y
[a;b]
2
=
y
CT
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trò CĐ
max y
[a;b]
=
y
CĐ

* Nếu hàm số ln tăng (giảm) trên (a;b) thì khơng có cực trị trên khoảng (a;b).
Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó :
+ nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1
+ nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2
Bài tốn 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).
1. Cho hai đồ thò (C
1
) : y = f(x) ; (C
2
) : y = g(x)
Hoành độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
) nếu có
là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)
• pt(1) vô nghiệm <=> (C
1
) và (C
2
) không có điểm chung
• pt(1) có n nghiệm <=> (C
1
) và (C
2
) có n điểm chung
* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong.
2. Điều kiện tiếp xúc :
Đồ thò (C

1
) tiếp xúc (C
2
) <=> hệ pt
f (x) g(x)
f (x) g (x)
=
′ ′
=



có nghiệm
Bài tốn 8: Cách xác đònh tiệm cận :
*Tiệm cận đứng :
f (x)
lim
x x
0
= ∞
→
=> x = x
0
là tiệm cận đứng
Chú ý : tìm x
0
là những điểm hàm số không xác đònh
*Tiệm cận ngang :
f (x) y
lim 0

x
=
→∞
=> y = y
0
là tiệm cận ngang
Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử
≤ bậc mẫu thì có tiệm cận ngang
* Tiệm cận xiên (ban cơ bản khơng có phần này):
Cách 1 : + viết hàm số dưới dạng : f(x) = ax + b + ε (x)
lim
∞→x
[f(x) –(ax + b)] =
(x)
lim
x
ε
→∞
= 0 ⇒ y = ax + b là tiệm cận xiên
Cách 2: ta tìm hai hệ số a và b ;

f (x)
a
lim
x
x
=
→∞
;
[ ]

b f (x) ax
lim
x
= −
→∞
⇒ y = ax + b là tiệm cận xiên
Phần 2: Hàm số mũ và logarit
Bài tốn 1: Dùng cơng thức tính các biểu thức có chứa hàm số mũ hoặc hàm số
logarit
a
−
n
=
n
a
1
; a
0
= 1 0 ;
m
m
n
n
a a=
( m; n nguyên dương , n > 1)
• Các quy tắc:
a
x
.a
y

= a
x+y
(a.b)
x
=a
x
.b
x
x
a
x y
a
y
a
−
=
x
x
a a
x
b b
=
 
 ÷
 

( )
( )
x
y

y x.y
x
a a a
= =
• Hàm số mũ : y =
x
a
với a > 0 ; a ≠ 1
TXĐ : D = R MGT : (0; +∞ )
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x
1
> x
2
⇔
1
x
a
>
2
x
a
+ 0 < a < 1 ; h/s nghòch biến : x
1
> x
2
⇔
1
x
a
<

2
x
a
* Hàm số logarit:
α = log
a
N ⇔ a
α
= N log
a
x = b ⇔ x= a
b
• Đặc biệt :
x
a
a
log
= x ; log
a
x
a
= x ; log
a
1 = 0
• Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a ≠ 1 ta có:
log
a
(B.C) = log
a
B + log

a
C
log
a
B
C
 
 ÷
 
= log
a
B − log
a
C log
α
a
B
β
=
β
α
log
a
B
• Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c ≠ 1 ta có :
log
c
a.log
a
b =

log
c
b ⇔
log b
c
log b
a
log a
c
=
0 < a, b ≠ 1 : log
a
b =
1
log a
b
Chú ý : log
10
x = lg x ; log
e
x = ln x
• Hàm số Logarit: y = log
a
x với a > 0 ; a ≠ 1
TXĐ : D = (0 ; +∞ ) MGT : R
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x
1
> x
2
> 0 ⇔ log

a
x
1
> log
a
x
2

+ 0 < a < 1;h/s ngh biến: x
1
> x
2
> 0 ⇔ log
a
x
1
<log
a
x
2

Bài tốn 2: Tính đạo hàm của các hàm số mũ và logrit
(e
x
)
/
= e
x
−> ( e
u

)
/
= u
/
.e
u
( a
x
)
/
= a
x
.lna −> ( a
u
)
/
= u
/
.a
u
.lna
(lnx)
/
=
1
x
x ∈(0;+∞) −> (lnu)
/
=
u

u
′
(log
a
x)
/
=
1
x ln a
−> (log
a
u )
/
=
u
u. ln a
′
Bài tốn3: giải phương trình mũ và logarit :
• Dạng cơ bản:
f (x)
a
=
g(x)
a
⇔ f(x) = g(x)
v(x)
u
= 1 ⇔ ( u −1 ).v(x) = 0 ( trong đó u có chứa biến )
f (x)
a

= b ( với b > 0 ) ⇔ f(x) = log
a
b
log
a
f(x) = log
a
g(x) ⇔
f (x) 0 g(x) 0
f (x) g(x)
> >
=



dạng:
log f (x) b
a
0 a 1
=
< ≠



⇔ f(x) =
b
a
log v(x)
u(x)
= b ⇔

[ ]
v(x) 0 ; u(x) 0 ; u(x) 1
b
v(x) u(x)
> > ≠
=





• Đặt ẩn phụ :
α.
2f (x)
a
+β.
f (x)
a
+ γ = 0 ; Đặt : t =
f (x)
a
Đk t > 0
α.
b f (x)
a
+
+β.
b f (x)
a
−

+ γ = 0 ; Đặt : t =
f (x)
a
Đk t > 0
α.
f (x)
a
+β.
f (x)
b
+ γ = 0 và a.b = 1; Đặt: t =
f (x)
a
;
1
t
=
f (x)
b
α.
2f (x)
a
+β.
( )
f (x)
a.b
+ γ.
2f (x)
b
= 0 ; Đặt t =

f (x)
a
b
 
 ÷
 
• Logarit hoá hai vế :
Bài tốn 4: Giải bất phương trình mũ và logarit
• Dạng cơ bản :
1
0

f (x)
a
>
g(x)
a
⇔
f (x) g(x) khi a 1
f (x) g(x) khi 0 a 1
> >
< < <



2
0

f (x)
a

> b ⇔ Nếu b ≤ 0 có nghiệm ∀x
Nếu b > 0 f(x) > log
a
b nếu a > 1
f(x) < log
a
b nếu 0 < a < 1
3
0

f (x)
a
< b ⇔ Nếu b ≤ 0 thì pt vô nghiệm
Nếu b > 0 ; f(x) < log
a
b nếu a > 1
f(x) > log
a
b nếu 0 < a < 1
•log
a
f(x) > log
a
g(x) ⇔ Đk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a ≠ 1
(a−1)[ f(x) − g(x) ] > 0
•log
a
f(x) > b ⇔ * Nếu a > 1 : bpt là f(x) >
b
a

* Nếu 0 < a < 1 bpt là 0 < f(x) <
b
a
•log
a
f(x) < b ⇔ * Nếu a > 1 : bpt là 0 < f(x) <
b
a

* Nếu 0 < a < 1 bpt là f(x) >
b
a
•
( )
v(x)
u(x)
> 1 ⇔ u(x) > 0 và [ u(x) −1 ].v(x) > 0
•
( )
)(
)(
xv
xu
< 1 ⇔ u(x) > 0 và [ u(x) −1 ].v(x) < 0
Lưu ý:
*) trong trường hợp có ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng cơng thức sau để bài tốn
trở nên dễ dang hơn.
1
0

f (x)
a
>
g(x)
a
 (a−1)(f(x) − g(x)) > 0.
2
0
log
a
f(x) > log
a
g(x)  (a−1)(f(x) − g(x)) > 0.
*) Khi giải bài tốn bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm thật vững tính chất
đơn điệu của hai hàm số trên.
*) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số.
Phần 3: Ngun hàm.
Bài tốn 1: Tìm ngun hàm cơ bản (dựa vào bảng ngun hàm của các hàm số cơ
bản).
dx x C= +
∫
x .dx
α
=
∫
1
x
α+
α + 1
+ C (α ≠-1 )

dx
x
∫
= lnx + C ( x≠ 0)
x
e .dx
∫
= e
x
+ C
x
a .dx
∫
=
x
a
ln a
+ C
1
(ax b)
(ax b) dx C
a( 1)
α+
+
α
+ = +
∫
α +
(α ≠-1)
dx

ax b
∫
+
=
1
a
lnax+ b + C
1
ax b
e .dx
a
+
=
∫
e
ax+b
+ C
x
a .dx
α +β
∫
=
x b
1 a
C
ln a
α +
+
α
hoặc

Cosx.dx
∫
= Sinx + C
Sinx.dx
∫
= − Cos x + C
dx
2
Cos x
∫
=
2
(tg x 1).dx+
∫
= tgx
dx
2
Sin x
∫
=
2
(Cotg x 1).dx
+
∫
= −Cotgx
Cos(ax b).dx+
∫
=
1
a

Sin(ax+ b) + C
Sin(ax b).dx+
∫
= −
1
a
Cos(ax+ b) + C
dx
2
Cos (ax b)
∫
+
=
1
a
tg(ax+ b) + C
dx
2
Sin (ax b)
∫
+
= −
1
a
Cotg(ax+ b) + C
Bài toán 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
Dạng 1: Tính I =
f[u(x)].u '(x)dx
∫
bằng cách đặt t = u(x)

 Đặt t = u(x)
dt u '(x)dx⇒ =
 I =
f[u(x)].u '(x)dx f(t)dt=
∫ ∫
Dạng 2: Tính I =
f (x)dx
∫
Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân
có chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
1
2 2
a x ;
2 2
a x
−
−
thì đặt x = asint
1
2 2
a x ;
2 2
a x
+
+
thì đặt x = atant.
Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
u(x).v'(x)dx u(x).v(x) v(x).u'(x)dx= −
∫ ∫

Hay
udv uv vdu
= −
∫ ∫
( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
phân tch cc hm s d pht hin u v dv
@ D^ng 1
sin
( )
∫
 
 
 
 
ax
f x cosax dx
ax
e
với f(x) là đa thức:
Đặt
( ) '( )
sin sin
cos
= =
⇒
= =
∫
 
 
 

   
 
   
 
   
 
   
 
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
ax ax
e e
Sau đó thay vào công thức
udv uv vdu
= −
∫ ∫
để tính
@ D^ng 2:
( ) ln( )+
∫
f x ax b dx
Đặt
.
ln( )
( )
( )
= +
=
⇒

+
=
=
∫

 
 



a dx
u ax b
du
ax b
dv f x dx
v f x dx
Sau đó thay vào công thức
udv uv vdu
= −
∫ ∫
để tính
@ D^ng 3:
sin
.
∫
 
 
 
ax
ax

e dx
cosax
Ta thực hiện từng phần hai lần với u = e
ax
Bài toán 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác (một số d^ng cơ bản).
Dạng 1:
sin(ax+b).sin(cx+d)dx
∫
;
sin(ax+b).cos(cx+d)dx
∫

cos(ax+b).cos(cx+d)dx
∫
.
* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân.
Dạng 2:
n m
sin ax.cos axdx
∫
(n,m là các số nguyên dương)
*) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax.
*) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax.
*) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ
bậc để tính. (nếu một trong 2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công
thức hạ bậc).
*) n,m ∈ Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể
đặt t = tanax hoặc t = cotax.
Dạng 3:
R(sinx,cosx)dx

∫
R là hàm số hữu tỷ. (mở rộng thi đại học).
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(−sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t =
cosx.
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, −cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t =
sinx.
*) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là
R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx.
Bài toán 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỷ
Yêu cầu tính
f (x)
dx
g(x)
∫
trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x.
Trường hợp 1: Bậc của f(x)≥ Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x)
ta dẫn đến:
f (x) r(x)
h(x)
g(x) h(x)
= +
. Trong đó h(x) (thương của phép chia) là một đa thức
còn r(x) (phần dư của phép chia) là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(x).
Nên
f (x) r(x)
( )dx h(x)dx dx
g(x) h(x)
= +
∫ ∫ ∫
.Như vậy

h(x)dx
∫
ta tích được bằng bảng
nguyên hàm vì vậy ta chỉ còn phải tính
r(x)
dx
g(x)
∫
theo trường hợp sau.
Trường hợp 2: tính
r(x)
dx
g(x)
∫
với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x).
*) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức.
*) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn:
r(x) r(x) A B C
2 2
g(x) (x x ) (x x )
a(x ).(x x ) (x x )
1 2
1 2 2
= = + +
− −
− α − −
(*) ( x
1
; x
2

là nghiệm của
g(x).
*) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu
thức (**) để tìm các hệ số A,B,C ( thông thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để
tìm các hệ số được dễ dàng).
*) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính.
Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của
các nhị thức .
Phần 4: Tích phân.
Bài toán 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản.
Bài toán 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
Dạng 1: Tính I =
b
/
f[u(x)]u dx
a
∫
bằng cách đặt t = u(x)
 Đặt t = u(x)
dt u '(x)dx
⇒ =
 Đổi cận x=a => t = u(a)
x=b => t = u(b)
 I =
b
/
f[u(x)]u dx
a
∫
=

u(b)
u(a)
f (t)dt
∫
Dạng 2: Tính I =
f (x)dx
β
∫
α
Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có
chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
1
2 2
a x ;
2 2
a x
−
−
thì đặt x = asint
1
2 2
a x ;
2 2
a x
+
+
thì đặt x = atant.
Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u = u(x) , v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục
trên [a;b] thì I =

b b
b
udv u.v vdu
a
a a
= −
∫ ∫
phân tch cc hm s d pht hin u v dv
@ D^ng 1
sin
( )
∫
 
 
 
 
ax
f x cosax dx
ax
e
β
α
với f(x) là đa thức:
Đặt
( ) '( )
sin sin
cos
= =
⇒
= =

∫
 
 
 
   
 
   
 
   
 
   
 
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
ax ax
e e
Sau đó thay vào công thức
udv uv vdu= −
∫ ∫
để tính
@ D^ng 2:
( ) ln( )+
∫
f x ax b dx
β
α
Đặt
.
ln( )

( )
( )
= + =
⇒
+
=
=
∫

 
 



a dx
u ax b du
ax b
dv f x dx
v f x dx
Sau đó thay vào công thức
udv uv vdu= −
∫ ∫
để tính
@ D^ng 3:
sin
.
∫
 
 
 

ax
ax
e dx
cosax
β
α
Ta thực hiện từng phần hai lần với u = e
ax
Bài toán 4: Tính tích phân của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).
Dạng 1:
sin(ax+b)sin(cx+d)dx
β
∫
α
;
sin(ax+b).cos(cx+d)dx
β
∫
α

cos(ax+b).cos(cx+d)dx
β
∫
α
.
* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân.
Dạng 2:
n m
sin ax.cos ax.dx
β

α
∫
(n,m là các số nguyên dương)
*) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax.
*) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax.
*) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ
bậc để tính. (nếu một trong 2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công
thức hạ bậc).
*) n,m ∈ Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể
đặt t = tanax hoặc t = cotax.
Dạng 3:
R(sinx,cosx)dx
β
∫
α
R là hàm số hữu tỷ. (mở rộng thi đại học).
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(−sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)thì
ta đặt t = cosx.
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, −cosx) = −R(sinx, cosx)
thì ta đặt t = sinx.
*) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là
R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx.
Bài toán 5: Tính tích phân của các hàm số hữu tỷ
u cầu tính
f (x)
dx
g(x)
β
∫
α

trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x.
Trường hợp 1: Bậc của f(x)≥ Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x)
ta dẫn đến:
f (x) r(x)
h(x)
g(x) h(x)
= +
. Trong đó h(x) (thương của phép chia) là một đa thức
còn r(x) (phần dư của phép chia) là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(x).
Nên
f (x) r(x)
dx h(x)dx dx
g(x) h(x)
β β β
= +
∫ ∫ ∫
α α α
.
Như vậy
h(x)dx
β
∫
α
ta tích được bằng bảng ngun hàm vì vậy ta chỉ còn phải tính
r(x)
dx
g(x)
β
∫
α

theo trường hợp sau.
Trường hợp 2: tính
r(x)
dx
g(x)
β
∫
α
với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x).
*) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức.
*) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn:
2 2
1 2
1 2 2
r(x) r(x) A B C
g(x) (x x ) (x x )
a(x ).(x x ) (x x )
= = + +
− −
− α − −
(*) ( x
1
; x
2
là nghiệm của
g(x).
*) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu
thức (**) để tìm các hệ số A,B,C ( thơng thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để
tìm các hệ số được dễ dàng).
*) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính.

Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của
các nhị thức .
Bài tốn 6: Tính tích phân chứa dấu giá trị tun đối.
Tính
b
f (x) dx
a
∫

+) Tìm nghiệm của f(x) = 0.
Nếu f(x) = 0 vơ nghiệm trên (a;b) hoặc có có nghiệm nhưng khơng có nghiệm nào thuộc
[a;b] hoặc có một nghiệm x = a hoặc x = b các nghiệm còn lại khơng thuộc [a;b] thì

b
f (x) dx
a
∫
=
b
f (x)dx
a
∫
Nếu f(x) = 0 có nghiệm x = c ∈(a;b) thì
b
f (x) dx
a
∫
=
c b
f (x)dx f (x)dx

a c
+
∫ ∫
*Chú ý
1) Nếu có nhiều hơn 1 nghiệm trên (a;b) thì vẫn dung cơng thức trên tùy theo trường
hợp nghiệm như thế nào. (cách làm này có lợi vì ta khơngcần xét dấu f(x)).
2) Ở mức độ thi TNTHPT khơng cần nắm bất đẳng thức tích phân.
Phần 5: Diện tích hình phẳng − thể tích vật thể tròn xoay.
Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng
• Hình phẳng giới hạn bởi :
y f (x)
x a;x b
=


= = =

hàm số liên tục trên [a;b]
trục hoành y 0;
Diện tích : S =
b
| f (x) |.dx
a
∫
Chú ý : nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = 0
• Hình phẳng giới hạn bởi :
y f(x)
y g(x)
x b
=



=


= =

hàm số liên tục trên [a;b]
hàm số liên tục trên [a;b]
x a;
Diện tích : S =
b
| f (x) g(x) | .dx
a
−
∫
Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = g(x)
2) Nếu bài tốn qua phức tạp thì ta có thể vẽ hình để xác định hình phẳng hoặc
tính thong qua tổng hoặc hiệu của nhiều hình.
Bài tốn 2:Tính thể tích vật thể tròn xoay :
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
y f(x)
x a;x b
=


= = =

hàm số liên tục trên [a;b]
trục hoành y 0;

quay quanh trục Ox và f(x) ≥ 0 trên [a;b] thì V
=
b
2
f (x) .dx
a
π
 
∫
 
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
f (y)
c;y d
=


= = =

hàm số x liên tục trên [c;d]
trục tung x 0;y
quay quanh trục Oy và f(y) ≥ 0 trên [a;b] thì V
=
d
c
2
f (y) .dyπ
 
∫
 
Phần 6: Số phức

Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,…
Cho hai số phức a+bi và c+di.
1) a+bi = c+di  a = c; b = d. 2) mơđun số phức
2 2
z a bi a b= + = +
3) số phức liên hiệp z = a+bi là
z
= a − bi.
* z+
z
= 2a; z.
z
=
2
2 2
z a b= +
4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i
5) (a+bi ) −( c+di) = (a−c)+(b−d)i.
6) ) (a+bi )( c+di) = (ac − bd)+(ad+bc)i
7) z =
c di 1
[(ac+bd)+(ad-bc)i]
2 2
a bi
a b
+
=
+
+

Bài tốn 2: Giải phương trình bậc 2.
Cho phương trình ax
2
+ bx + c = 0. với ∆ = b
2
− 4ac.
Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệp kép
b
x x
1 2
2a
= = −
(nghiệm thực)
a
b
x
y
a
b
x
y
y=f(x)
y=g(x)
b
x
b
x
Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực:
b
x

2a
− ± ∆
=
Nếu ∆ < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức
b i
x
2a
− ± ∆
=
B. HÌNH HỌC.
Phần 1: Thể tích, diện tích của các khối hình
Bài tốn 1: Tính diện tích xung quanh (S
xq
), diện tích tồn phần(S
tp
) của khối nón,trụ,cầu.
 Khối nón: S
xq
= πrl; S
tp
= πr(r + l).
 Khối trụ: S
xq
= 2πrl; S
tp
= 2πr(r + l).
 Khối cầu: S = 4πr
2
.
Bài tốn 2: Tính thể tích các khối hình.

* Khối hình chóp V =
1
Bh
3
; * Khối nón V =
2
1
r h
3
π
* Khối hình trụ V = πr
2
h ; * Khối cầu V =
3
4
r
3
π

* Khối lăng trụ: V= Bh.
Phần 2: Phương pháp tọa độ trong khơng gian
a
→
= (x;y;z) ⇔
a
→
= x.
i
→
+ y.

j
→
+ z.
k
→

Tính chất : Cho
a
→
= (a
1
;a
2
; a
3
) ,
b
→
= (b
1
;b
2
; b
3
)
•
a
→
±
b

→
=(a
1
± b
1
; a
2
± b
2
; a
3
± b
3
)
•
a
→
k. = (ka
1
;ka
2
;ka
3
) k ∈ R
Tích vô hướng :
a . b
→ →
= a
1
.b

1
+ a
2
.b
2
+a
3
.b
3
=
a
→
.
b
→
Cos ϕ
Cos ϕ =
a b a b a b
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
a a a . b b b
1 2 3 1 2 3
+ +
+ + + +
a b
→ →
⊥
⇔ a
1
.b

1
+ a
2
.b
2
+ a
3
.b
3
= 0
a
→
cùng phương
b
→
;
a
→
≠
0
→
⇔
b
→
= k.
a
→
⇔ [
a
→

,
b
→
] =
0
→
Toạ độ điểm:
M = (x;y;z)⇔
OM
→
= x.
i
→
+ y.
j
→
+ z.
k
→

AB
→
= ( x
B
− x
A
; y
B
−y
A

;z
B
−z
A
)
•
M chia đoạn AB theo tỉ số k
≠
1 (
MA
→
= k
MB
→
)
Thì M:
x k.x
B
A
x
M
1 k
y k.y
B
A
y
M
1 k
z k.z
B

A
z
M
1 k
−

=

−

−

=

−

 −
=

−

•
I là trung điểm của AB thì I:
x x
B
A
x
M
2
y y

B
A
y
M
2
z z
B
A
z
M
2
+

=


+

=


 +
=


•
G là trọng tâm tam giác ABC thì G:
1
x (x x x )
B

G A C
3
1
y (y y y )
B
G A C
3
1
z (z z z )
B
G A C
3

= + +



= + +



= + +


• Tích có hướng của 2 véc tơ :
[
a
→
,
b

→
] =
a a a a
a a
2 3 3 1
1 2
; ;
b b b b b b
2 3 3 1 1 2
 
 ÷
 ÷
 
* [
a
→
,
b
→
] ⊥
a
→
; [
a
→
,
b
→
] ⊥
b

→
• Đk đồng phẳng của 3 véc tơ :

a
→
,
b
→
,
c
→
đồng phẳng ⇔ [
a
→
,
b
→
].
c
→
= 0
• ĐK để 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( tạo thành tứ diện ) là: ba véc tơ
AB
→
,
AC
→
,
AD
→

không đồng phẳng <=> [
AB
→
,
AC
→
].
AD
→
≠ 0
• Diện tích tam giác ABC : S
ABC
=
2
1
2 2
AB AC (AB.AC)
2
→ →
−
Hoặc S
ABC
=
2
1
.[
AB
→
,
AC

→
]
• Thể tích tứ diện ABCD : V
ABCD
=
1
6
[
AB
→
,
AC
→
].
AD
→

•
Thể tích hình hộp : V
ABCD.A'B'C 'D'
= [
AB
→
,
AD
→
].
AA
→
′


Bài tốn 1:Xác đònh điểm , tọa độ vectơ trong không gian , c/m tính chất hình
học
Bài tốn 2: Tích vô hướng , tích có hướng , góc giữa hai véc tơ :
Bài tốn 3:Véc tơ đồng phẳng , không đồng phẳng,thể tích hình hộp, tứ diện:
Phần 3: Mặt cầu.
Bài tốn 1: xác định tâm và bán kính mặt cầu
Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) ; bk R là :
(x −a)
2
+ (y − b)
2
+ (z−c )
2
= R
2
Phương trình tổng quát của mặt cầu ( S):
x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = 0 với A
2
+ B
2
+ C
2
−D > 0

có tâm I(−A ;−B;−C) ; bán kính R =
2 2 2
A B C D+ + −
Bài tốn 2: Viết phương trình mặt cầu
• Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và đi qua M
1
(x
1
;y
1
;z
1
)
+ Bán kính R = IM
1
=
2 2 2
(x a) (y b) (z c)
1 1 1
− + − + −
• Pt.mặt cầu (S) đường kính AB :
+ Tâm I là trung điểm AB => I(
x x
B
A
2
+
;
y y
B

A
2
−
;
z z
B
A
2
−
)
+ Bán kính R = IA
• Pt. mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D:
p/ pháp : Pt tổng quát mặt cầu (S)
x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2.Ax+ 2.By + 2Cz + D = 0 (1)
Thay lần lượt toạ độ 4 điểm vào (1) => giải hệ tìm hệ số A;B;C;D
• Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mặt phẳng (α)
bán kính R = d(I; (α))
Bài tốn 3: xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
(α) : A x + B y + Cz +D = 0 ; (S): (x −a)
2
+ (y−b)
2
+(z−c)
2

= R
2

Tính d(I; (α)) = ?
Nếu:• d(I; α ) > R <=> α và S không có điểm chung ( rời nhau)
• d(I; α ) = R <=> α tiếp xúc với S (
α
là mp tiếp diện)
(α) ∩ (S) ={M
0
} ;
Cách viết mặt phẳng tiếp diện : (α) qua M
0
nhận
→
IM
0
làm VTPT
• d(I; α ) < R <=> α cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C)
tâm H; bán kính r
* P.t đ.tròn (C ) A x + B y + Cz +D = 0
(x −a)
2
+ (y−b)
2
+ (z−c)
2
= R
2

+ Tâm H là hình chiếu của I lên mp α
+ bán kính r =
2 2
R [ ; )]− α d(I
Cách xác đònh H: + Lập pt đ. thẳng (d) qua I nhận
→
α
n
làmVTCP
(d)
x a At
y b Bt
z c Ct
= +


= +


= +

thay vào pt mp(α) => giải t => toạ độ điểm H
Bài tốn 4: Cách viết mặt phẳng tiếp diện tại điểm M
0
:
+) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S)
+) Tính
→
IM
0

+) Mặt phẳng tiếp diện (α) qua M
0
nhận
→
IM
0
làm VTPT.
Bài tốn 5: Xác định tâm H và bán kính r đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S)và
mặt phẳng(α).
+ bán kính r =
2 2
R [ ; )]− α d(I
Cách xác đònh H:
+ Lập pt đ. thẳng (d) qua I nhận
→
α
n
làmVTCP
(d)
x a At
y b Bt
z c Ct
= +


= +


= +


thay vào pt mp(α) => giải tìm t = ? => toạ độ điểm H
Phần 4: Mặt phẳng, đường thẳng.
Bài tốn 1: các viết phương trình mặt phẳng:
* (ABC): +) tính
AB ? ; AC ?= =
 

+) VTPT của (ABC) là
n [AB,AC]=
  
=> viết mặt phẳng đi qua A có VTPT
n

.
* (a,b) : nếu a//b thì VTPT
a
n [u ,AB]=
  
với A∈ a; B ∈ b.
Nếu a cắt b thì
a b
n [u ,u ]=
  
*(A;a) thì VTPT
a
n [u ,AB]=
  
với B∈ a.
* (α) //(β) thì VTPT
n n

α β
=
 
* (α) ⊥a thì VTPT
a
n u
α
=
 

* (α) có hai vectơ chỉ phương
a,b
 
thì
n [a,b]
α
=
  
.
*(α) đi qua 2 điểm A và B đồng thời chứa đ.thẳng a hoặc // a hoặc có VTCP
a

thì
a
n [u ,AB]
α
=
  
( thay
a

u

=
a

)
*(α) vng góc cả hai mặt phẳng (P) và (Q). thì VTPT
P Q
n [n ,n ]
α
=
  
* Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
+) Xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB.
+) Tính vectơ
AB

.
Mặt phẳng trung trực đi qua M có VTPT
AB

.
* (α) song song đường thẳng và vng góc với một mặt phẳng thì
a
n [n ,u ]
α β
=
  
.
* (α) chứa đ.thẳng (D) và ⊥(β) .

+) chọn M trên đ.thẳng (D).
+) VTPT của (α) là
D
n [u ,n ]
α β
=
  
* Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và song song với (d
/
).
+) chọn M trên đ.thẳng (d).
+) VTPT của (α) là
/
P d
d
n [u ,u ]=
  

=> Viết PT mp(P) đi qua M và có VTPT
/
P d
d
n [u ,u ]=
  
Bài tốn 2 viết phương trình đường thẳng.
*∆ đi qua điểm A và có VTCP
u

* ∆ đi qua 2 điểm A và B => ∆ đi qua A có VTCP
AB


.
*∆ đi qua A và // (D) => ∆ qua A có VTCP
D
u

.
*∆ đi qua A và ⊥(α) thì ∆ qua A có VTCP là
n
α

.
* ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β) thì
+) VCTP của ∆ là
u [n ,n ]
α β
=
  
.
+) Cho một ẩn bằng 0 giải hệ 2 ẩn còn lại tìm điểm M?
=> ∆ đi qua M có VTCP là
u [n ,n ]
α β
=
  
u [n ,n ]
α β
=
  
* ∆ là hình chiếu của đ.thẳng (D) lên mp (β)

*) Viết phương trình mp(P) chứa (D) và vng góc mp(β)
+) chọn M trên đ.thẳng (D).
+) VTPT của (α) là
P D
n [u ,n ]
β
=
  
* ) VTCP của ∆ là
P
u [n ,n ]
∆ β
=
  
* ) cho một ẩn x = 0 giải hệ gồm 2 ẩn y và z của 2 PT hai mặt phẳng (P) và (β)=> M?
=> ∆ đi qua M có VTCP
P
u [n ,n ]
∆ β
=
  

* Cách viết phương trình đường cao AH của ∆ABC.
+) Tìm tọa độ VTPT của mp(ABC) là
n [BC,AC]=
  
= ?.
+) Tìm tọa độ VTCP của đường cao AH là:
u [BC,n]=
  

= ?
=> Viết PT đường cao AH đi qua A có VTCP
u [BC,n]=
  
.
* Cách viết phương trình đường trung trực của cạnh BC của ∆ABC.
+) Tìm tọa độ VTPT của mp(ABC) là
n [BC,AC]=
  
= ?.
+) Tìm tọa độ VTCP của trung trực là:
u [BC,n]=
  
= ?.
+) Tìm tọa độ điểm M là trung điểm đoạn thẳng BC.
=> Đường trung trực cạnh BC của ∆ABC là đường thẳng đi qua M có VTCP
u [BC,n]=
  
.
i tốn 3: tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng hoặc đ.thẳng.
* Tìm hình chiếu H của M lên (α)
+) Viết PT đ.thẳng (D) qua M có VTCP là
n
α

.
+) giải hệ gồm
PTmp( )
PT(D)
α




+) Hình chiếu H là giao điểm của (α) và (D) là nghiệm của hệ trên.
* Tìm hình chiếu H của M lên đường thẳng (D).
+) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT là
D
u

.
+) giải hệ gồm
PTmp( )
PT(D)
α



+) Hình chiếu H là giao điểm của (α) và (D) là nghiệm của hệ trên.
Bài tốn 4: Tìm tọa độ điểm A
/
đối xứng với điểm A qua đt hoặc mp
* Đối xứng qua mp(α)
+) Viết PT đ.thẳng (D) qua M có VTCP là
n
α

.
+) giải hệ gồm
PTmp( )
PT(D)

α



+) Hình chiếu H là giao điểm của (α) và (D) là nghiệm của hệ trên.
+) Tọa độ điểm đối xứng A
/
:
x 2x x
H
/
A
y 2y y
H
/
A
z 2z z
H
/
A

= −


= −


= −



* Đối xứng quađường thẳng (D).
+) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT là
D
u

.
+) giải hệ gồm
PTmp( )
PT(D)
α



+) Hình chiếu H là giao điểm của (α) và (D) là nghiệm của hệ trên.
+) Tọa độ điểm đối xứng A
/
:
x 2x x
H
/
A
y 2y y
H
/
A
z 2z z
H
/
A


= −


= −


= −


Bài tốn 4: xác định vị trí tương đối giữa mp và mp, đt và đt, đt và mp.
* Vị trí tương đối giữa mp (P) và mp(Q).
(P) : Ax + By + Cz + D = 0 ; (Q) : A
/
x + B
/
y + C
/
z + D
/
= 0
với
n
→
=(A;B;C) và
n
→
′
=(A
/
; B

/
; C
/
)
(P) ≡ (Q) <=>
A
/
A
=
B
/
B
=
C
/
C
=
D
/
D
(P) // (Q)<=>
A
/
A
=
B
/
B
=
C

/
C
≠
D
/
D
(P) cắt (Q)<=>
A
/
A
≠
B
/
B
∨
B
/
B
≠
C
/
C
∨
C
/
C
≠
A
/
A

Chú ý :• α ⊥ α
/
<= >
n
→
.
n
→
′
= 0 <=> AA
/
+ BB
/
+ CC
/
= 0
• α cắt α
/
<=>
n
→
và
n
→
′
không cùng phương
* vị trí tương đối giữa đ.thẳng (d
1
) và (d
2

).
Xác định các VTCP
u
→
=(a;b;c) ,
/
u
→
=(a
/
;b
/
; c
/
) ;Tính [
u
→
,
/
u
→
]
Nếu :[
u
→
,
/
u
→
]=

0
→

+) chọn M
1

∈(d
1
). Nếu M
1
∉ d
2
thì d
1
// d
2

Nếu M
1

∈(d
2
) thì d
1
≡ d
2

Nếu [
u
→

,
/
u
→
] ≠
0
→
. Ta giải hệ
{
1 2
d d=
theo t và t
/
(cho PTTS của hai đ.thẳng = theo
tùng thành phần ).
+) hệ có nghiệm duy nhất t và t
/
thì d
1
cắt d
2
=> giao điểm.
+) nếu hệ VN thì d
1
chéo d
2
* Vị trí tương đối giữa đ.thẳng (D) và mặt phẳng (P).
+) thay PTTS của đ.thẳng (D) vào PT mp(P) ta được PT theo ẩn t.
+) nếu PTVN thì (D)//mp(P).
Nếu PTVSN thì (D) ⊂ mp(P).

Nếu PT có nghiệm duy nhất thì (D) cắt mp(P) =>giao điểm?
Hoặc có thể dung cách sau:
+) tìm tọa độ VTCP
u

của (D) và VTPT
n

của mp(P).
+) Tính tích vơ hướng
u

.
n

= ?
Nếu tích vơ hướng này
u

.
n

≠
0 thì (D) cắt mp(P).
Nếu
u

.
n


= 0 thì chọn điểm M bất kỳ trên (D) sau đó thay vào PT mặt phẳng (P) nếu
thỏa mãn thì (D) ⊂ mp(P). còn ngược lại thì (D)//mp(P).
Bài toán 5: Tính khoảng cách.
* từ điểm A(x
0
;y
0
;z
0
) đến mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0 .
d(A;(α)) =
Ax By Cz D
0 0 0
2 2 2
A B C
+ + +
+ +
* (P)//(Q) thì d((P),(Q)) = d(A;(Q)) với mọi điểm A chọn tùy ý trên (P)
* Khoảng cách tử đường thẳng (d) đến mặt phẳng (P) với (d)//mp(P)
+) chọn điểm M bất kỳ trên (d). tính d(M;(d)) = ?
+) d((d), mp(p)) = d(M,(mp(P))
* Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (D)(không có công thức tính trong chương
trình mới phân ban đối với ban cơ bản) nhưng ta có thể tính như sau:
+) lập PT mp(Q) qua A và vuông góc với (D).
+) Tìm giao điểm H của mp(P) và đ.thẳng (D).
+) Khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng AH.
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song (d) và (d
/
).
+) Chọn điểm M bất kỳ trên (d).

+) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT là
d
u

.
+) Tìm điểm N là giao điểm của (d
/
) và mp(P) ( bằng cách giải hệ gồm PTcủa (d
/
) và
PT mặt phẳng (P) => nghiệm x,y,z là tọa độ điểm N).
+) Khoảng cách cần tìm là độ dài đoạn thẳng MN.
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (d) và (d
/
).
* Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và song song với (d
/
).
+) chọn M trên đ.thẳng (d).
+) VTPT của (α) là
/
P d
d
n [u ,u ]=
  

=> Viết PT mp(P) đi qua M và có VTPT
/
P d
d

n [u ,u ]=
  
* Chọn điểm N bất kỳ trên (d
/
) . Tính d(N, mp(P)) =?
=> d((d), (d
/
)) = d(N, mp(P))
Bài toán 6: Tính góc .
* Góc giữa hai mp (P) A
1
x+B
1
y+C
1
z+D
1
= 0
và mp(Q) A
2
x+B
2
y+C
2
z+D
2
= 0
thì
n .n
1 2

cos =
n . n
1 2
ϕ
 
 
=
A B B C C
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
A B C . A B C
1 1 1 2 2 2
Α + + 
+ + + +

Với

((mp(Q),mp(P))ϕ =

* Góc giữa đường thẳng (D):
x x at
0
y y bt
0
z z ct
0

= +

= +



= +

và mặt phẳng Ax+By+Cz+D = 0 là
SinΨ =
n .u
P D

n . u
P D
 
 
=
2 2 2 2 2 2
a bB cC
A B C . a b c
Α + + 
+ + + +
Với

((D), mp(P))ϕ =
Góc giữa hai đường thẳng (D
1
) :
1
1
1
x x a t
0

y y b t
0
z z c t
0

= +

= +


= +

Và (D
2
):
/ /
0 2
/ /
0 2
/ /
0 2
x x a t
y y b t
z z c t

= +


= +



= +


thì
u .u
1 2
cos =
u . u
1 2
ϕ
 
 
=
a a b b c c
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
a b c . a b c
1 1 1 2 2 2
 + + 
+ + + +

Với

((D ), (D ))
1 2
ϕ =