DE THI HSG TOAN 9 VONG HUYEN

UBND HUYỆN KRÔNG NÔ
PHÒNG GIÁO DỤC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC
Môn Thi : TOÁN
Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao đề )
Bài 1 : ( 2 điểm ) : Cho A =
xx
x
−−+
+
11
1
-
11
1
2
−+−
−
xx
x
a)Tìm điều kiện để biểu thức A có nghóa .
b)Chứng minh rằng biểu thức A không phụ thuộc vào x .
Bài 2 : ( 2 điểm ) Cho hai số a , b thoả mãn điều kiện 2a + 3b = 5 .
Chứng minh rằng 2a
2
+ 3b
2

≥
5
Bài 3 : ( 2 điểm ) Cho hàm số y = 2mx – 2m –1 ( m
≠

0 )
a) Xác đònh m để đồ thò hàm số đi qua gốc toạ độ O .
b) Gọi A , B lần lượt là giao điểm của đồ thò hàm số với các trục Ox , Oy . Xác đònh m để
diện tích tam giác AOB bằng 4 ( đvdt )
c) Chứng minh rằng đồ thò hàm số luôn đi qua một điểm cố đònh .
Bài 4 : Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức sau :
A =
169
2
+− xx
+
2
93025 xx +−
Bài 5 ( 2 điểm ) Chứng minh rằng : 4 nếu 2
0≤≤ m
224 +−+ mm
+
224 +−− mm
=
2
2−m
nếu m > 6
Bài 6 : ( 2 điểm ) Giải phương trình sau :
x +
4
1
2
1
+++ xx
= 1

Bài 7 : ( 2 điểm ) Cho biểu thức :
S = a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ ac + bd trong đó ab – bc = 1
a) Chứng minh rằng S
≥

3
b) Tính giá trò của tổng ( a + b )
2
+ ( b + d)
2
khi biết S =
3
Bài 8 : ( 3 điểm ) Cho hai đường tròn ( O ; R ) và ( O’ ; r’ ) tiếp xúc ngoài tại A kẻ tiếp tuyến chung
ngoài BC ( B
∈
(O) ; C
∈
(O’) )
a) Tính BC
b) Gọi D là giao điểm của CA với đường tròn tâm O ( D
≠
A ) . Chứng minh rằng ba điểm B ,

O , D thẳng hàng .
c) Tính BA biết R = 16 cm ; r’ = 9 cm .
Bài 9 : ( 2 điểm ) Cho tam giác nhọn ABC có BC = a , CA = b , BC = c .
Chứng minh rằng :
a) sin
2
A

≤

cb
a
+
.
b) sin
2
A
. sin
2
B
. sin
2
C

≤

8
1
Bài 10 : ( 1 điểm ) Cho
∆

ABC vuông tại A có AB = c , AC = b và đường phân giác trong góc A là AD
= d . Chứng minh rằng :
d
2
=
b
1
+
c
1
( Giám thò coi thi không giải thích gì thêm )
UBND HUYỆN KRÔNG NÔ
PHÒNG GIÁO DỤC ĐÁP ÁN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2007 – 2008
Môn Thi : TOÁN
Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao đề )
Bài 1 : ( 2 điểm ) :
a) tìm đúng điều kiện ( 0,75 điểm )
1-x
≥
0
1+x
≥
0 x
≠
0
1- x
2
≥
0 ( 0,25 điểm )

x

≤
1 (0,25 điểm ) x
≠
0 ( 0,25 điểm)
x+1

≠

x−1
x
≠
1 -1
x≤
< 1
2
1 x−
≠
1 - x
b) 1,25 điểm
A =
xx
x
−−+
+
11
1
-
11

1
2
−+−
−
xx
x
=
22
)1()1(
)11(1
xx
xxx
−−+
−+++
-
222
2
)1()1(
)11)(1(
xx
xxx
−−−
−+−−
0,25điểm
A =
)1(1
11
2
xx
xx

−−+
−++
-
22
2
211
)11)(1(
xxx
xxx
−+−−
−+−−
0,25 điểm
A =
x
xx
2
11
2
−++
-
)1(2
)11)(1(
2
xx
xxx
−
−+−−
0,25 điểm
A =
x

xxxx
2
)11(11
22
−+−−−++
= 1 0,25 điểm
Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào x 0,25 điểm
Bài 2 : ( 2 điểm )
p dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a – cốp – Ski
(ax + by)
2

≤
( a
2
+ b
2
) (x
2
+ y
2
)
Ta có :
5
2
= (2a + 3b )
2
= (
2
.

2
a +
3
.
3
b )
2
≤
( 2 + 3 ) ( 2a
2
+ 3b
2
)
=> 2a
2
+ 3b
2
5
≥
Dấu đẳng thức xảy ra
2
2a
=
3
3b

2a + 3b= 5
a = b = 1
Bài 3 : ( 2 điểm )
a) Đồ thò đi qua gốc toạ độ suy ra x = 0 , y = 0 thay vào hàm số y = mx – 2m – 1 ta có :

-2m – 1 = 0 m = -
2
1
b) A là giao điểm của đồ thò với trục Ox ta có y = 0 thay vào hàm số ta được x =
m
m 12 +
B là giao điểm của đồ thò với trục Oy ta có y = 0 thay vào hàm số ta được y = -2m – 1
Vậy A
m
m 12 +
; 0 ; B ( 0 ; -2m-1 )
Diện tích tam giác là :
S =
2
1
OA . OB =
2
1
A
X
.
B
X
=
2
1

m
m 12 +

12 −− m
=
m
m
2
)12(
2
+
Ta có S = 4 ( 2m + 1 )
2
= 8
m
( 2m – 1 )
2
= 0 m =
2
1
c) Giả sử đồ thò hàm số đi qua điểm M( x
0
, y
0
) với mọi m . Ta có : y
0
= mx
0
-2m-1
y
0
+ 1 = m (x
0

- 2 ) Với mọi m
x
0
- 2 = 0
y
0
+ 1 = 0
x
0
= 2
y
0
= -1
Vậy đồ thò hàm số đi qua điểm cố đònh M ( 2 ; -1 )
Bài 4 : ( 2 điểm )
A =
169
2
+− xx
+
2
93025 xx +−
=
2
)13( −x
+
2
)35( x−
=
13 −x

+
x35 −
p dụng
a
+
b
ba +≥
. Dấu “=” xảy ra khi a.b
≥
0
 A =
13 −x
+
x35 −

≥

xx 3513 −+−
=
4
= 4
Vậy khi A = 4
3
1
≤≤ x
3
5
Bài 5 : ( 2 điểm )
007A Điều kiện VT có nghóa : m-2
≥

0 => m
≥
2 (1).
Đặt t =
2−m
=> m = t
2
+ 2
Hay VT =
2−m
+ 2 +
22 −−m
.
Nếu
2−m
- 2
0
≤
=> m
6
≤
. Kết hợp với (1) ta có :
VT =
2−m
+ 2 – (
2−m
- 2 ) = 4
Nếu
2−m
-2 > 0 => m > 6 thì VT = 2

2−m
4 nếu
62 ≤≤ m
Tóm lại :VT =
2
2−m
nếu m>6
Bài 6 : ( 2 điểm ) Giải phương trình sau :
x +
4
1
2
1
+++ xx
= 1 đk -
4
1
x≤
< 1
x +
4
1
4
1
2
1
.2)
4
1
(

++++
xx
= 1
x+
2
)
2
1
4
1
( ++x
= 1
x +
4
1
+x
+
2
1
= 1
x +
4
1
+
4
1
+x
+
4
1

= 1
4
1
+x
=
2
1
x +
4
1
=
4
1
=> x = 0
Bài 7 : ( 2 điểm )
a) ( ad – bc )
2
+ ( ac + bd )
2
= a
2
d
2
+b
2
c
2
+a
2
c

2
+b
2
d
2
= (a
2
+b
2
) (c
2
+d
2
)
Vì ab – bc = 1 Nên 1 + ( ac + bd )
2
= (a
2
+b
2
) (c
2
+d
2
) (1)
p dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai vế không âm ta có :
a
2
+b
2

+ c
2
+d
2

))((2
2222
dcba ++≥
S
))((2
2222
dcbabdac ++++≥
(2)
Từ (1) và (2) suy ra S
2
)(12)( bdacbdac ++++≥
Đặt x = ac + bd
Ta có : S
22
)12( xx ++≥
= (1 + x
2
) + 4x
2
1 x+
+4x
2
+ 3 = (
2
1 x+

+2x)
2
+3
Từ đó : S
2
2
2
)21( xx ++≥
+3
3
≥
.
Do đó S
3≥
.
b) S
3≥
a
2
+b
2
= c
2
+d
2
2
1 x+
+ 2x = 0
Từ
2

1 x+
+2x = 0 => x<0 ;
2
1 x+
= -2x
Tính được x =
±
3
1
Vì x< 0 nên giá trò x = -
3
1
Bài 8 ( 2 điểm )
a) IO
⊥
IO’ ( tia phân giác của hai góc kề bù )
Suy ra OIO’ = 90
0
Tam giác IOO’ vuông , đường cao AI . Suy ra AI
2
= OA . O’A = R . r
Do đó BC = 2 . IA = 2
rR.

b) Các tam giác cân O’AC và OAD có các góc ở đáy bằng nhau suy ra
OD // O’C
Ta lại có OB // O’C
Vậy B , O , D thẳng hàng .
c) Xét tam giác vuông BDC theo hệ thức lượng ta có :
2

1
BA
=
2
1
BD
+
2
1
BC
=
2
4
1
R
+
rR.4
1
=
rR
rR
.4
2
+
Suy ra BA =
rR
rR
+
2
=

5
3.16.2
= 1,92 cm
2
Bài 9 : ( 2 điểm )
A
B D C
a) Vẽ AD là đường phân giác của tam giác ABC . Vẽ BH là đường cao của tam giác ABD .
Tam giác ABC có AD là phân giác nên :
AB
BD
=
AC
DC
=>
AB
BD
=
ACAB
DCBD
=
+
=
ACAB
BC
+
Vậy
AB
BD
=

cb
a
+
. Do đó BH vuông góc với AN nên BH
≤
BD
b) Tam giác HAB vuông tại H nên sin BAH =
AB
BH
=> sin
2
A
=
AB
BH

≤
AB
BD
=
cb
a
+
Tương tự ta có sin
2
B
=
ac
b
+

, sin
2
C
=
ab
c
+
.
Do đó sin
2
A
. sin
2
B
. sin
2
C

))()((

bacacb
cba
+++
≤
Theo bất đẳng thức Cô Si cho hai số dương ta có :
b +c
≥
2
bc
; a+c

ac2≥
; b + a
ba2≥
Nên
8
1
))()((

≤
+++ bacacb
cba
. Vậy sin
2
A
. sin
2
B
. sin
2
C

8
1
≤
.
Bài 10 : ( 2 điểm )
A
B C
D
Vẽ DE

⊥
AB , DF
⊥
AC ( E
∈
AB , F
∈
AC )
Tứ giác AFDE là hình chử nhật ( Vì
Â
=
E
= F = 90
0
)
Có tia AD là phân giác của góc ADE
 tứ giác AFDE là hình vuông
 DE = DF =
2
2.AD
=
2
2.d

S
DAB∆
+ S
DAC∆
= S
ABC∆

2
1
. DE .AB 6 +
2
1
DF. AC =
2
1
AB . AC
=>
2
2.d
c +
2
2.d
b = bc
=>
d
2
=
b
1
+
c
1
.