GIAO AN TU CHON TOAN 9

a 0

a 0

m

O

A

B

O

O

A

B

C

D

A

B

C

D

1 2 0

5

5

1 0

O

M

A

B

1

6 0

2

3

D

E

O

A

B

C
CH Ủ ĐỀ 4 Tiết 1 : GÓC Ở TÂM-SỐ ĐO DỘ CỦA CUNG – SO SÁNH CUNG
A-LÝ THUYẾT :
a) Góc ở tâm : Là góc có đỉnh trùng
với tâm đường tròn
AOB : Góc ở tâm
AmB : Cung bò chắn của góc ở tâm AOB
b) Số đo độ của cung
Cung tròn AmB và góc ở tâm chắn cung đó có cùng số đo độ
c) So sánh cung .
1- Cung bằng nhau 2- Cung không bằng nhau
AB =CD <=> AOB = COD AB > CD <=> AOB > COD
AB = CD <=> sđAB = sđCD AB > CD <=> sđAB > sđCD
B/PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Tính các góc ở tâm , tính số đo các cung , so sánh các cung , ch. minh đẳng thức về số đo các cung .
C/BÀI TẬP
Bài 1: Cho đường tròn (O;5cm)và điểm M ngoài đường tròn với OM = 10cm .Vẽ hai tiếp tuyến MA
và MB (A,B là hai tiếp điểm ).Tính các góc ở tâm do hai tia OA ,OB xác đònh .
H.dẫn :
* OA MA (T/c tiếp tuyến )
* Tam giác vuông OAM có OA = ½ OM.
Suy ra AMO = 30
0
và AOM = 60

0
*Vậy AOB = 2AOM = 2.60
0
= 120
0
* OA , OB xác đònh hai góc ở tâm có số đo 120
0
và 240
0
Bài 2 : Cho tam giác đều ABC .Vẽ đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB tại
D , cắt cạnh AC tại E .So sánh các cung BD ,DE và EC .
Hướng dẫn :
*Ta có : OB = OD và OBD = 60
0
 Tam giác OBD đều
Do đó BOD = 60
0
*Tương tự tam giác COE đều
 COE = 60
0
và DOE = 60
0
* Ba góc O
1
= O
2
= O
3
= 60
0

(ở tâm )
Vậy BD = DE = EC
D/BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Cho hai đường tròn (O;R) và (O,r) đồng tâm ở O .Điểm M ngoài (O;R)
.Qua M vẽ hai tiếp tuyến với (O,r) , một cắt (O,R) tại A và B (A nằm giữa M và B ) một cắt (O,R) tại
C và D (C nằm giữa D và M) .Chứng minh AB = CD
*********
1

O

A

B

C

D

M

N

m

O

B

A

H
Tiết 2 : LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY
A- LÝ THUYẾT :

O

D

O

D

B

A

C

C

B

A
B- PHƯƠNG PHÁP CHUNG : vận dụng sự liên hệ giữa cung và dây cung để so sánh độ lớn của các
cung .
C- BÀI TẬP :
Bài 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB . Từ A và B vẽ hai dây AC song song BD . Qua O vẽ
đường vuông góc với AC tại M và BD tại N . So sánh hai cung AC và BD .
H.dẫn :

* Chứng minh
∆
AMO =
∆
BNO .
* Suy ra : OM = ON .
* Từ đó : AC = BD .
* Vậy AC = BD
Bài 2 : Dây cung AB chia đường tròn tâm O thành 2 cung
AmB = 1/3 AnB .
a) Tính mỗi cung ( theo độ ) .
b) CMR : Khoảng cách OH từ tâm O đến dây bằng AB/2 .
H.dẫn:
* Sđ AmB = 360
0
/4 = 90
0
.
* Sđ AnB = 3.90
0
= 270
0
.
* Tam giác OAB vuông tại O (góc AOB = 90
0
).
* OH vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên OH = AB/2
D- BÀI TẬP TỰ LUYỆN :
Trên đường tròn (O) vẽ hai cung AB = 2CD .
Chứng minh AB < 2 CD .

H.dẫn : * Vẽ cung DD’ = cung CD về phía D .Ta có CD’ = 2 CD = AB
Suy ra CD’ = AB .Xét bất đẳng thức về cạnh của tam giác CDD’ có CD’ < CD + DD’ .
Do đó AB < 2CD
*******
2
AB = CD
⇔
AB = CD
AB < CD
⇔
AB < CD

O

B

A

C

E

O

B

A

C

D
Tiết 3 GÓC NỘI TIẾP .
A- LÝ THUYẾT :

O

O

O

B

A

C

M

B

N

A

C

B

C

A
H1: * BAC = ½ BOC H2: MAN = MBN = MCN H3: BAC = 1V
* BAC = ½ sđ BC
B- PHƯƠNG PHÁP CHUNG : Vận dụng góc nội tiếp để tính các góc , số đo của các cung ,
chứng minh hệ thức , chứng minh sự thẳng hàng
C- BÀI TẬP :
Bài 1 : Cho đường tròn (O) . Hai bán kính OA
⊥
OB và sđ AC : sđ BC = 4/5 .
Tính các góc của tam giác ABC .
H.dẫn :
* Góc AOB = 90
0
=> sđ AB = 90
0
.
* Góc ACB = sđ AC + sđ CB = 360
0
– 90
0
= 270
0
.
* Theo giả thiết thì
sđ AC : sđ BC = 4/5 Hay (sđ AC + sđ BC ) : sđ BC = 9/5 .
Suy ra sđ BC = 150
0
.
Và sđ AC = 270
0

– 150
0
= 120
0

Vậy A = 75
0
; B = 60
0
; C = 45
0
Bài 2 : Cho đường tròn (O) đường kính AB vuông góc
dây CD tại E .Chưng minh CD
2
= 4AE.BE .
H.dẫn :
* AB
⊥
CD => EC = ED .
* Góc ACB = 90
0
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) .
* Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông CAB có
CE
2
= AE.EB .
Mà CE = ½ CD.
Suy ra : CE
2
=(½ CD)

2
= ¼ CD
2
Hay 4CE
2
= CD
2
.Vậy CD
2
= 4 AE.BE .
D- BÀI TẬP TỰ LUYỆN :
Cho tam giác ABC cân tại A và góc A = 50
0
. Nửa đường tròn đường kính AC cắt AB tại D và
cắt BC tại H . Tính số đo các cung AD ; DH và HC .
*******
3

x

O

A

B

O

M

A

B

C

M

C

A

B

D

I
Tiết 4 GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG .
A-LÝ THUYẾT :

B- PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Vận dụng để so sánh độ lớn của các góc với nhau , tính góc , tính độ dài của đoạn thẳng hoặc
để chứng minh đẳng thức về góc .
D- BÀI TẬP .
Bài 1 : Cho đường tròn tậm O . Ba điểm A,B,C trên (O) .Dây cung CB kéo dài gặp tiếp tuyến tại A

ở M . So sánh AMC với ABC và ACB ?
H.dẫn :
* ABC = BAM + AMC (góc ngoài tam giác) .
* ACB = BAM (góc nội tiếp chắn cung BA) .

* Suy ra AMC = ABC – ACB .
Bài 2 :
Cho đường tronø (O,R) .Hai đường kính AB và CD vuông góc nhau .Gọi I là một điểm trên cung
AC , vẽ tiếp tuyến qua I cắt DC kéo dài tại M sao cho IC = CM .
a) Tính AOI .
b) Tính độ dài đoạn OM .
H.dẫn :
a) Tính AOI .
* CI = CM (gt)
⇒

∆
CMI cân tại C và CIM = CMI .(1)
* AOI = CMI (góc có cạnh tương ứng vuông góc ) (2)
* Từ (1) và (2)
⇒
AOI = CIM .
* AOI = sđAI và CIM = ½ sđCI
⇒
sđ CI = 2sđAI .
* Vậy sđAI = 1/3 sđ AC = 30
0
.Do đó AOI = 30
0
.
b) Tính OM
*Ta co ù IOM = 90
0
– AOI = 60
0

.
* Tam giác vuông IOM có góc 60
0
là nửa tam giác đều .
Vậy OM = 2OI = 2R
E- BÀI TẬP TỰ LUYỆN :
Cho hai đường tròn (O) > (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại A .Qua A vẽ cát tuyến BD và CE
(B,C
∈
(O’) ; D,E
∈
(O)).Chứng minh ABC = ADE .
H.dẫn :
* Vẽ tiếp tuyến chung xy qua A .
* xAC = yAE(đối đỉnh) .
* xAC = ABC = ½ sđAC và yAE = ADE = ½ sđAE.
* Suy ra ABC = ADE .
4
BAx = ½ BOA = ½ sđ AB

I

O

D

C

A

B

4 0

I

B

A

O

M

C

D

x

4 0

7 0

E

A

B

O

M

C

D
Tiết 5 GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG HAY BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN .
A-LÝ THUYẾT :
1) Đỉnh bên trong đường tròn :
2) Đỉnh bên ngoài đường tròn .

I

D

B

B

O

O

O

M

M

M

A

C

A

D

B

A
M = ½ Sđ(BD – AC) M = ½ sđ(AD – AB) M = ½ sđ ( AIB – AnB)
B-PHƯƠNG PHÁP CHUNG .
Vận dụng số đo của các góc , các cung , so sánh các góc , các cung .
C-BÀI TẬP .
Bài 1 : Cho 4 điểm A,B,C,D theo thứ tự trên đường tròn tâm (O) sao cho sđ AB = 40
0
, sđCD = 120
0
.
Gọi I là giao điểm của AC và BD ; M là giao điểm của DA và CB kéo dài . Tính CID và ANB .
H.dẫn :
* CID = ½ sđ (AB + CD ).= ½ (40
0
+120
0
) = 80
0

.
* AMB = ½ sđ (CD - AB ).= ½ (120
0
-40
0
) = 40
0
Bài 2 : Cho đường tròn (O) . Từ một điểm M ngoài (O)
ta vẽ cát tuyến MAC và MBD sao cho góc CMD = 40
0
.
Gọi E là giao điểm AD và BC .Biết góc AEB = 70
0
.Tính số đo AB và CD .
H.dẫn :* Đặt sđ AB = x và sđCD = y .
* AEB = ½ (x+y )
⇒
x + y = 140
0
(1)
*CMD = ½ (y – x)
⇒
y – x = 80
0
(2) .
Giải hệ pt gồm (1) và (2) ta được :
x = 30 và y = 110
*Vậy sđAB = 30
0
; sđ CD = 110

0
.
D- BÀI TẬP TỰ LUYỆN :
Cho đường tròn (O) và điểm M ngoài (O) . Vẽ tiếp tuyến MA (A là tiếp
điểm) và cát tuyến MBC đi qua O (B nằm giữa M và C ) . Đường tròn đường kính MB gặp MA tại
E .Chứng minh : sđ AnC = sđBIA +sđBKE .
H.dẫn :* Với (O) thì M = ½ sđ (AnC – AIB) (1)
*Với (O’) thì M = ½ sđ BKE (2) .
5

BID = ½ sđ (BD + AC)
* So saùnh (1) vaø (2)
⇒
sñ AnC = sñBIA +sñBKE
6

O

A

B

D

C

I

B

C

A

H

K

F

x

y

1

2

O

B

A

C

D

B

O

M

A

C

I
Tiết 6 TỨ GIÁC NỘI TIẾP .
A- LÝ THUYẾT .
1) Thuận :
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn
⇒
A + C = 180
0
.
B + D = 180
0
.
2) Đảo :
Tứ giác ABCD có A + C = 180
0
.
Hoặc B + D = 180
0
⇒
Tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn .
3) Các tứ giác nội tiếp được đường tròn .

O

O

O

A

B

D

C

A

B

D

C

A

D

B

C
B- PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Vận dụng tính chất thuận , đảo của tứ giác nội tiếp và các tứ giác đặc biệt đã học để chứng minh tứ
giác nội tiếp được đường tròn .
C- BÀI TẬP .
Bài 1 : Cho tam giác ABC (AB > AC) .Vẽ 3 đường cao AH ,BK,CF và I là trực tâm .Nêu tên các tứ
giác nội tiếp đường tròn khi nối KH,HF và FK .
H.dẫn :
Các tứ giác AFIK ; CHIK ; BHKA ; BHIF ; AFHC; BFKC.
Nội tiếp được trong đường tròn
Bài 2 : Cho góc nhọn xOy . Trên cạnh Ox lấy hai điểm A,B sao cho
OA = 2cm ; OB = 6cm .Trên cạnh Oy lấy hai điểm C,D sao cho OC = 3cm
, OD = 4cm .Nối BD và AC . Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn .
H.dẫn :
* Xét
ODBOAC ∆≈∆
vì góc O chung .
2
1
6
3
2
1
4
2
====
OB
OC
va
OD
OA
Do đó B = C

1
Mà C
1
+C
2
= 180
0
Suy ra C
2
+ B = 180
0
Vậy tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp
D- BÀI TẬP TỰ LUYỆN .
Cho đường tròn tâm O và điểm A thuộc (O) . Từ M trên tiếp tuyến tại A vẽ cát
tuyến MBC .Gọi I là trung điểm dây BC .Chứng minh tứ giác AMOI nội tiếp
đường tròn .
H.dẫn : Nối OI .Ta có OI
⊥
BC (tính chất đường kính qua trung điểm dây
cung) .Suy ra OIM = 90
0
.
Vậy tứ giác AMOI là tứ giác nội tiếp .
***
7
R
r
G
A
F

E
B
C
D
H
k
R
r
O
B
A
C
I
K
H
Tiết 7 ĐA GÍAC ĐỀU NỘI VÀ NGOẠI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN
A-LÝ THUYẾT .
1) Tính chất : Bất kỳ đa giác đều nào cũng có một
đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội tiếp .
Hai đường tròn này đồng tâm .
2) * Tâm O còn gọi là trâm của đa giác đều .
* OH : bán kính đtnội tiếp(trung đoạn của đa giác đều) .
3) + Chu vi đa giác đều : 2p = n.a
(p : nửa chu vi ; n: số cạnh đa giác đều; a: độ dài cạnh đa giác đều)
+ Bán kính R của đt ngoại tiếp : + Bán kính r của đt nội tiếp
R =
n
a
0
180

sin2
+ r =
n
tg
a
0
180
2
4) Tam giác đều , tứ giác đều , lục giác đều nội tiếp .
R
r
R
R
R
r
O
O
O
B
C
A
H
A
C
B
D
H
A
B
C

D
E
F
H
a= R
3
a = R
2
a = R
r =
2
R
r =
2
2R
r =
2
3R
B- PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Vận dụng tính chất đa giác đều nội tiếp và ngoại tiếp đường tròn để vẽ hình , tính bán kính đt nội
tiếp và ngoại tiếp ; chứng minh được đa giác đều , tính cạnh và góc của đa giác đều .
C- BÀI TẬP .
Cho tam giác đều ABC có cạnh 6cm .
a) Vẽ đt ngoại tiếp tam giác ABC .
b) Vẽ đt nôïi tiếp tam giác ABC .
c) Tính bán kính R của đt ngoại tiếp và bán kính r của đt nội tiếp
H.dẫn :
a) Tâm O (tâm của đt ngoại tiếp tam giác ABC )
là giao điểm 3 trung trực của 3 cạnh
b) Tââm O (Tâm đt nôïi tiếp tam giác ABC )

là giao điểm 3 đường phân giác trong
Tâm O là tâm chung của cả 2 đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp .
c) OA = R = 2/3 AH = 2/3.
32
2
36
=
cm .
OH = r = 1/3AH = 1/3.
3
2
36
=
cm .
8
D-BÀI TẬP TỰ LUYỆN .
Cho đường tròn (O,R) .
a) Nêu cách vẽ hình vuông nội tiếp .
b) Tính trung đoạn hình vuông theo R .
H.dẫn :
a) Vẽ 2 đường kính AC BD , nối các đầu đường kính với nhau ; ABCD là hình vuông cần vẽ .
b) Trung đoạn OH = R
2
2
********************************
Tiết 8 KIỂM TRA CHỦ ĐỀ IV
Bài 1 :(4điểm) Cho nửa đường tròn đường kính AB và một dây CD .Qua C vẽ đường thẳng
vuông góc với CD , cắt AB tại I .Các tiếp tuyến tại A và B của nửa đường tròn cắt đường
thẳng CD theo thứ tự tại E và F . Chứng minh rằng :
a) Các tứ giác AECI và BFCI nội tiếp được .

b)
∆
IEF =
∆
CAB , từ đó suy ra
∆
IEF vuông .
Bài 2 :(6 điểm) Từ một điểm M ở bên ngoài (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA,MB với đường
tròn .Trên cung nhỏ AB lấy một điểm C .Vẽ CD
⊥
AB ,CE
⊥
MA , CF
⊥
MB .Gọi I là giao
điểm của AC và DE , K là giao điểm của BC và DF .Chứng minh rằng :
a) Các tứ giác AECD , BFCD nội tiếp được .
b) CD
2
= CE.CF.
c) Tứ giác ICKD nội tiếp được .
d) IK
⊥
CD .
******************
9