Cực trị hình học

Trường ngoại ngữ và bồi dưỡng văn hóa Thăng Tiến – THĂNG LONG
Phần 1:
Vận dụng quan hệ đường xiên – đường vuông góc ;
đường xiên – hình chiếu
và qui tắc các điểm (bất đẳng thức tam giác)
o0o
Bài 1 (8): Cho tam giác ABC nhọn ,đường cao AH. Điểm M di động
trên cạnh BC.
a) Chứng minh :
AM AH.≥
b) Tìm vị trí của điểm M để AM có độ dài ngắn nhất.
Bài 1 (8): Cho tam giác ABC nhọn (AB>AC),đường cao AH. Điểm M
di động trên cạnh BC.
a) Chứng minh:
AM AB≤
.
b) Tìm vị trí của điểm M để AM có độ dài lớn nhất.
Bài 1 (8): Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC),đường cao AH. Điểm M
di động trên cạnh BC.
a) Tìm vị trí của điểm M để AM có độ dài nhỏ nhất.
b) Tìm vị trí của điểm M để AM có độ dài lớn nhất.
Bài 2 (8): Cho tam giác ABC có
AB 6cm;AC 8cm;BC 10cm= = =
và
đường cao AH. Điểm M di động trên cạnh BC, kẻ
ME AB⊥
tại E và
MF AC
⊥
tại F.
a) Chứng minh:

ABC∆
vng tại A và tính AH.
b) Chứng minh: tứ giác AEMF là hình chữ nhật và
EF AM=
.
c) Chứng minh:
EF AH≥
.
d) Tìm vị trí của điểm M để EF có độ dài nhỏ nhất.
Bài 3 (9): Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Điểm M di động
trên nửa đường tròn, kẻ MH vng góc với AB tại H.
a) Chứng minh:
MH R.
≤
b) Tìm vị trí của điểm M để MH có độ dài lớn nhất.
c) Tìm vị trí của điểm M để
AMB
S
∆
đạt giá trị lớn nhất.
Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định nằm ngồi đường
tròn. Một đường thẳng d đi qua A cắt (O) tại B và C. Gọi I là trung
điểm BC.
a) Chứng minh:
AB AC 2.AI+ =
và
AI AO.≤
b) Tìm vị trí của đường thẳng d để AB+AC đạt giá trị lớn nhất.

1

Cöïc trò hình
hoïc
Bài 4 (9): Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và điểm M di
động trên nửa đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn
và tiếp tuyến thứ ba tiếp xúc với (O) tại M cắt Ax tại D, cắt By tại E.
a) Chứng minh:
DE AD BE= +
và
DE AB≥
.
b) Chứng minh: tam giác DOE vuông tại O và
2
AD.BE R=
.
c) Tìm vị trí của điểm M để
AD BE+
đạt giá trị nhỏ nhất.
d) Tìm vị trí của điểm M để
ABED
S
đạt giá trị nhỏ nhất.
e) Tìm vị trí của điểm M để
ODE
S
∆
đạt giá trị nhỏ nhất.
f) Tìm vị trí của điểm M để
OD.OE
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5 (8): Cho tam giác ABC nhọn (

AB AC
<
) và đường cao AH.
Điểm M di động trên cạnh BC. Kẻ BI và CK lần lượt vuông góc với
đường thẳng AM tại I và K.
a) Chứng minh:
BI CK BC.+ ≤
b) Tìm vị trí của điểm M để
BI CK+
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 6 (8): Cho tam giác ABC nhọn (
AB AC
<
) và đường cao AH.
Điểm M di động trên cạnh BC.
a) Chứng minh:
AH AM AC.≤ ≤
b) Tìm vị trí của điểm M để AM có độ dài nhỏ nhất.
c) Tìm vị trí của điểm M để AM có độ dài lớn nhất.
Bài 7 (8): Cho tam giác ABC nhọn (
AB AC
<
) có đường cao AH và
BL. Điểm M di động trên cạnh BC. Kẻ BI và CK lần lượt vuông góc
với đường thẳng AM tại I và K.
a) Chứng minh:
ABC
2S
BI CK
AM

∆
+ =

b) Chứng minh:
AH AM AC.≤ ≤
c) Chứng minh:
BL BI CK BC.
≤ + ≤
d) Tìm vị trí của điểm M để
BI CK+
đạt giá trị nhỏ nhất.
e) Tìm vị trí của điểm M để
BI CK
+
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 8 (8): Cho tam giác ABC nhọn (
AB AC>
) có đường cao AH và
CK. Điểm M di động trên cạnh BC. Kẻ BD và CE lần lượt vuông góc
với đường thẳng AM tại D và E.
2
Trường ngoại ngữ và bồi dưỡng văn hóa Thăng Tiến – THĂNG LONG
a) Chứng minh:
ABC
2S
BD CE
AM
∆
+ =

b) Chứng minh:
AH AM AB.≤ ≤
c) Chứng minh:
CK BD CE BC.
≤ + ≤
d) Tìm vị trí của điểm M để
BD CE+
đạt giá trị nhỏ nhất.
e) Tìm vị trí của điểm M để
BD CE
+
đạt giá trị lớn nhất.
Bài (8): Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo
AC và BD. Đường thẳng d quay quanh điểm A nhưng không cắt các
cạnh của hình bình hành. Kẻ
1 1 1 1
BB ,CC ,DD ,OO
lần lượt vuông góc
với đường thẳng d tại
1 1 1 1
B ,C ,D ,O .
a) Chứng minh:
1 1 1 1
BB CC DD 4.OO .+ + =
b) Tìm vị trí của đường thẳng d để
1 1 1
BB CC DD+ +
đạt giá trị
lớn nhất.
Bài (8): Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo

AC và BD và một điểm I cố định nằm ngoài hình bình hành. Đường
thẳng d quay quanh điểm I nhưng không cắt các cạnh của hình bình
hành. Kẻ
1 1 1 1 1
AA ,BB ,CC ,DD ,OO
lần lượt vuông góc với đường thẳng
d tại
1 1 1 1 1
A ,B ,C ,D ,O .
a) Chứng minh:
1 1 1 1 1
AA BB CC DD 4.OO .+ + + =
b) Tìm vị trí của đường thẳng d để
1 1 1 1 1
AA BB CC DD OO+ + + +
đạt giá trị lớn nhất.
Bài (8): Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB=2R. Điểm M di động
trên nửa đường tròn, qua M vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn. Gọi C và
D lần lượt là hình chiếu của A và B trên tiếp tuyến ấy.
a) Chứng minh:
AC BD 2R.+ =
b) Chứng minh:
CD 2R.
≤
c) Tìm vị trí của điểm M để diện tích tứ giác ACDB đạt giá trị
lớn nhất.
Bài (8): Cho đường tròn (O) và dây cung AB không qua tâm O. Điểm
M di động trên cung lớn AB, qua M vẽ tiếp tuyến với đường tròn. Gọi
C và D lần lượt là hình chiếu của A và B trên tiếp tuyến ấy.
a) Chứng minh:

0 CD AB≤ ≤
.

3
Cực trò hình
học
b) Tìm vị trí của điểm M để CD có độ dài lớn nhất.
c) Tìm vị trí của điểm M để CD có độ dài nhỏ nhất.
Bài (8): Cho đường tròn (O) và dây cung AB khơng qua tâm O. Điểm
M di động trên cung lớn AB, qua M vẽ tiếp tuyến với đường tròn. Gọi I
là trung điểm của AB.Kẻ AC,BD,IE lần lượt vng góc với tiếp tuyến
ấy tại C,D,I.
a) Chứng minh:
0 CD AB≤ ≤
.
b) Chứng minh:
IE IM R OI.
≤ ≤ +
c) Tìm vị trí của điểm M để
ACDB
S
đạt giá trị lớn nhất.
d) Tìm vị trí của điểm M để
ACDB
S
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định nằm ngồi đường
tròn. Một đường thẳng d đi qua A cắt (O) tại B và C. Gọi I là trung
điểm BC.
b) Chứng minh:

AB AC 2.AI+ =
và
AI AO.≤
c) Tìm vị trí của đường thẳng d để AB+AC đạt giá trị lớn nhất.
Qui tắc các điểm
Bài (8): Cho A và B là hai điểm cố định nằm ở hai nửa mặt phẳng khác
nhau có bờ là đường thẳng d cố định. Điểm M di động trên đường
thẳng d.
a) Chứng minh:
MA MB AB.+ ≥
b) Tìm vị trí của điểm M để
MA MB+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài (8): Cho A và B là hai điểm cố định cùng nằm ở một nửa mặt
phẳng có bờ là đường thẳng d cố định. Điểm M di động trên đường
thẳng d.Gọi C là điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng d.
a) Chứng minh:
MA MB BC
+ ≥
.
b) Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác AMB đạt giá trị
nhỏ nhất.
Bài (8): Cho điểm A cố định nằm trong góc xOy cố định. Gọi B và C
lần lượt là các điểm đối xứng của A qua các tia Ox và Oy. Điểm M di
động trên Ox, điểm N di động trên Oy.Kí hiệu:
MN
P
Α
là chu vi tam giác
AMN.

a) Chứng minh:
MN
P BM MN NC
Α
= + +
.
4
Trường ngoại ngữ và bồi dưỡng văn hóa Thăng Tiến – THĂNG LONG
b) Chứng minh:
MN
P BC.
Α
≥
c) Tìm vị trí của điểm M và điểm N để chu vi tam giác AMN
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài (9): Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, C là điểm cố định nằm
giữa A và O. Điểm M di động trên đường tròn (O).
a) Chứng minh:
R OC CM R OC.− ≤ ≤ +
b) Tìm vị trí của điểm M để CM có độ dài lớn nhất.
c) Tìm vị trí của điểm M để CM có độ dài nhỏ nhất.
Bài (9): Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) ngoài nhau. Gọi P,Q,R,S
lần lượt là giao điểm của đường thẳng OO’ với (O) và (O’) (theo thứ tự
P,O,Q,R,O’,S). Điểm A di động trên (O), điểm B di động trên (O’).
a) Chứng minh:
AB R OO' Rsuyra AB PS.≤ + + ≤
b) Chứng minh:
AB OO' R R 'suy ra AB QR.≥ − − ≥
c) Tìm vị trí của điểm A và điểm B để AB có độ dài lớn nhất.
d) Tìm vị trí của điểm A và điểm B để AB có độ dài nhỏ nhất.

Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB không qua tâm. Điểm
M di động trên cung lớn AB, kẻ MH vuông góc với AB tại H. Gọi I là
trung điểm của đoạn AB.
a) Chứng minh:
MH MI R OI.
≤ ≤ +
b) Tìm vị trí của điểm M để MH có độ dài lớn nhất.
c) Tìm vị trí của điểm M để
AMB
S
∆
đạt giá trị lớn nhất.
Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB không qua tâm. Điểm
M di động trên cung nhỏ AB, kẻ MH vuông góc với AB tại H. Gọi I là
trung điểm của đoạn AB và K là giao điểm của OM và AB.
a) Chứng minh:
MH MK R OI.≤ ≤ −
b) Tìm vị trí của điểm M để MH có độ dài lớn nhất.
c) Tìm vị trí của điểm M để diện tích tam giác AMB đạt giá trị
lớn nhất.
Bài (8): Cho hình vuông ABCD . M,N,P,Q là bốn đỉnh của tứ giác
MNPQ lần lượt là các điểm di động trên các cạnh AB,BC,CD,DA. Gọi
H,I,K lần lượt là trung điểm của các đoạn QM,MP,PN.
a) Chứng minh:
( )
QM MN NP PQ 2 AH HI IK KC+ + + = + + +

5
Cực trò hình
học

b) Chứng minh:
QM MN NP PQ 2AC.+ + + ≥
c) Tìm điều kiện của tứ giác MNPQ để tứ giác MNPQ có chu
vi nhỏ nhất.
Bài (8): Cho hình vng ABCD cạnh a. M,N,P,Q là bốn đỉnh của tứ
giác MNPQ lần lượt là các điểm di động trên các cạnh AB,BC,CD,DA.
a) Chứng minh:
QM MN NP PQ 2 2.a.+ + + ≥
b) Tìm điều kiện của tứ giác MNPQ để tứ giác MNPQ có chu
vi nhỏ nhất.
Bài (8): Cho hình chữ nhật ABCD. D,E,G,H là bốn đỉnh của tứ giác
DEGH lần lượt di động trên các cạnh AB,BC,CD,DA.
a) Chứng minh:
DE EG GH HD 2.AC.+ + + ≥
b) Tìm điều kiện của tứ giác DEGH để tứ giác DEGH có chu
vi nhỏ nhất.
Bài (8): Cho tam giác ABC có
µ
( )
0
A 120<
và một điểm M nằm trong
tam giác.Trên nửa mặt phẳng khơng chứa B có bờ là đường thẳng AM
dựng tam giác đều AMD và trên nửa mặt phẳng khơng chứa B có bờ là
đường thẳng AC dựng tam giác đều ACE.
a) Chứng minh:
MC DE.
=
b) Chứng minh:
MA MB MC BE.+ + ≥

c) Tìm vị trí của điểm M để
MA MB MC
+ +
đạt giá trị nhỏ
nhất.


o0o
Vận dụng bất đẳng thức trong
đường tròn.
***
Bài (9): Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M di động trên
đường tròn. Tìm vị trí của điểm M để độ dài AM đạt giá trị lớn nhất.
6
Trường ngoại ngữ và bồi dưỡng văn hóa Thăng Tiến – THĂNG LONG
Bài (9): Cho đường tròn tâm O đường kính AB và dây cung CD vuông
góc với AB. Tìm điều kiện của dây cung CD để diện tích tứ giác
ACBD đạt giá trị lớn nhất.
Bài (9): Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định. CD là dây
cung di động nhưng luôn vuông góc với AB. Tìm điều kiện của dây
cung CD để diện tích tứ giác ACBD đạt giá trị lớn nhất.
Bài (9): Cho đường tròn tâm O và dây cung AC cố định. Điểm B di
động trên cung lớn AB, điểm D di động trên cung nhỏ AB . Tìm vị trí
các điểm B và D để diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn nhất.
Bài (9): Cho đường tròn tâm (O;R) và hai dây cung AC và BD vuông
góc với nhau. Tìm điều kiện của hai dây cung AB và CD để diện tích tứ
giác ABCD đạt giá trị lớn nhất.
Bài (9): Cho đường tròn tâm (O;R) và tứ giác ABCD nội tiếp trong
đường tròn. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để diện tích tứ giác
ABCD đạt giá trị lớn nhất.

Bài (9): Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Điểm M di
động trên cung nhỏ BC. Trên đoạn AM lấy điểm D sao cho
MD MB.=
a) Chứng minh:
BMD∆
là tam giác đều và
MB MC MA.
+ =
b) Tìm vị trí của điểm M để
MA MB MC+ +
đạt giá trị lớn
nhất.
Bài (9): Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và điểm C di động
trên nửa đường tròn. Gọi D là điểm trên tia đối tia CA sao cho
CD CB.
=
a) Tính
·
ADB
và chứng minh: điểm D di động trên một cung
tròn cố định.
b) Tìm vị trí của điểm C trên nửa đường tròn để AD đạt giá trị
lớn nhất.
c) Tìm vị trí của điểm C trên nửa đường tròn để chu vi tam
giác ABC đạt giá trị lớn nhất.
Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và dây cung
AB R 3=
cố định. Điểm
C di động trên cung lớn AB. Gọi D là điểm trên tia đối tia CA sao cho
CD CB.=

a) Tính
·
ACB
và
·
ADB

7
Cöïc trò hình
hoïc
b) Chứng minh: điểm D di động trên một cung tròn cố định.
c) Tìm vị trí của điểm C trên cung lớn AB để AD đạt giá trị
lớn nhất.
d) Tìm vị trí của điểm C trên cung lớn AB để chu vi tam giác
ABC đạt giá trị lớn nhất.
Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và dây cung
AB R 3=
cố định. Điểm
C di động trên cung nhỏ AB. Gọi D là điểm trên tia đối tia CA sao cho
CD CB.=
a) Tính
·
ACB
và
·
ADB
b) Chứng minh: điểm D di động trên một cung tròn cố định.
c) Tìm vị trí của điểm C trên cung nhỏ AB để AD đạt giá trị
lớn nhất.
d) Tìm vị trí của điểm C trên cung nhỏ AB để chu vi tam giác

ABC đạt giá trị lớn nhất.
Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB cố định. Gọi C là điểm
chính giữa cung nhỏ AB. Điểm M di động trên cung lớn AB.
a) Chứng minh:
MA.CB MB.CA MC.AB
+ =
(đẳng thức
Ptolémée).
b) Tìm vị trí của điểm M để
MA MB+
đạt giá trị lớn nhất.
c) Tìm vị trí của điểm M để
MA MB MC+ +
đạt giá trị lớn
nhất.
Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và tứ giác ABCD nội tiếp trong đường
tròn.
a) Chứng minh:
AB.CD AD.BC AC.BD.
+ =
(đẳng thức
Ptolémée).
b) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để
AB.CD AD.BC+
đạt
giá trị lớn nhất.
Bài (9): Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A và B. Kẻ
đường kính BC của (O) và đường kính BD của (O’). Một đường thẳng
quay quanh A cắt (O) tại M và cắt (O’) tại N.
a) Chứng minh: A,C,D thẳng hàng.

b) Chứng Vminh: hai tam giác BMN và BCD đồng dạng.
c) Tìm vị trí của đường thẳng d để chu vi tam giác BMN đạt
giá trị lớn nhất.
8
Trường ngoại ngữ và bồi dưỡng văn hóa Thăng Tiến – THĂNG LONG
Vận dụng bất đẳng thức đại số
***
Bài (*): Chứng minh các bất đẳng thức đại số sau và tìm dấu bằng xảy
ra:
a)
( )
( )
2
2 2
2 a b a b 4ab.+ ≥ + ≥
với mọi a,b.
b)
x y 2 xy+ ≥
với
x 0;y 0.≥ ≥
c)
( )
2 2
a b a b 2 a b+ ≤ + ≤ +
với mọi a,b.
d)
x y
2
y x
+ ≥

với
x.y 0.>
e)
x y z
3
y z x
+ + ≥
với
x, y,z 0.>
f)
1 1 4
x y x y
+ ≥
+
với
x 0,y 0.> >
g)
1 1 1 9
x y z x y z
+ + ≥
+ +
với
x, y,z 0.>
h)
3
x y z 3 x.y.z+ + >
với
x, y,z 0.>
Bài (8): Cho đoạn thẳng
AB 20=

và điểm M di động trên đoạn AB.
a) Chứng minh:
MA.MB 100.
≤
b) Tìm vị trí của điểm M để
MA.MB
đạt giá trị lớn nhất.
c) Chứng minh:
2 2
200 MA MB 400≤ + ≤
.
d) Tìm vị trí của điểm M để
2 2
MA MB+
đạt giá trị nhỏ nhất.
e) Tìm vị trí của điểm M để
2 2
MA MB+
đạt giá trị lớn nhất.
Bài (8): Cho đoạn thẳng
AB 2=
và điểm M di động trên đoạn AB
( )
M A;M B≠ ≠
.
a) Chứng minh:
1 1 4
MA MB AB
+ ≥
.

9
Cöïc trò hình
hoïc
b) Tìm vị trí của điểm M để
1 1
MA MB
+
đạt giá trị giá trị nhỏ
nhất.
Bài (8): Cho đoạn thẳng AB và điểm M di động trên đoạn AB
( )
M A;M B≠ ≠
.
a) Chứng minh:
MA MB
2
MB MA
+ ≥
.
b) Tìm vị trí của điểm M để
MA MB
MB MA
+
đạt giá trị giá trị nhỏ
nhất.
Bài (9): Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Điểm M di động
trên nửa đường tròn.
a) Chứng minh:
2 2 2

MA MB 4R .+ =
b) Chứng minh:
MA MB 2 2.R+ ≤
c) Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác AMB đạt giá trị
lớn nhất.
Bài (9): Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Điểm M di động
trên nửa đường tròn.
a) Chứng minh:
2 2 2
MA MB 4R .+ =
b) Chứng minh:
MA 3.MB 4R+ ≤
.
c) Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác AMB đạt giá trị
lớn nhất.
Bài (9): Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và điểm M di động
trên nửa đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn và
tiếp tuyến thứ ba tiếp xúc với (O) tại M cắt Ax tại D, cắt By tại E.
a) Chứng minh:
2
AD.BE R=
.
b) Chứng minh:
AD BE 2R.+ ≥

c) Tìm vị trí của điểm M để
AD BE+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài (8): Cho góc
·

0
xOy 90=
.Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy
điểm B sao cho
OA OB 2a
+ =
(không đổi).
a) Chứng minh:
AB 2.a≥
10
Trường ngoại ngữ và bồi dưỡng văn hóa Thăng Tiến – THĂNG LONG
b) Tìm vị trí của điểm A và điểm B để chu vi tam giác AOB
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài (9): Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định. Điểm M di động
trên cung lớn AB. Gọi H là trực tâm và K là chân đường cao vẽ từ đỉnh
M của tam giác AMB.
a) Chứng minh:
MK.HK KA.KB.=
b) Chứng minh:
2
AB
KA.KB
4
≤
.
c) Tìm vị trí của điểm M để MK.HK đạt giá trị lớn nhất.
Bài (8): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M thuộc miền
trong tam giác. Kẻ MD,ME,MF lần lượt vuông góc với BC,CA,AB tại
D,E,F.
a) Chứng minh:

2 2 2 2 2 2
BD CE AF CD AE BF+ + = + +

( ) ( )
2 2 2 2 2 2
AM BM CM MD ME MF= + + − + +
.
b) Chứng minh:
2
2 2
BC
BD CD
2
+ ≥
.
c) Chứng minh:
( )
2 2 2 2 2 2
1
BD CE AF AB BC CA
4
+ + ≥ + +
.
d) Tìm vị trí của điểm M để
2 2 2
BD CE AF+ +
đạt giá trị nhỏ
nhất.
Bài (8): Cho tam giác nhọn ABC và điểm O nằm trong tam giác. Các
đường thẳng AO,BO,CO lần lượt cắt các cạnh BC,CA,AB tại D,E,F.

Đặt
BOC 1 COA 2 AOB 3 ABC
S S ,S S ,S S ,S S.
∆ ∆ ∆ ∆
= = = =
a) Chứng minh:
1 2 3 1
2 3
OD S AO S S OD S
; ; .
AD S AD S AO S S
+
= = =
+
.
b) Chứng minh:
OD OE OF
1
AD BE CF
+ + =
và
AO BO CO
2
AD BE CF
+ + =
.
c) Chứng minh:
AO BO CO
6.
OD OE OF

+ + ≥
Dấu “=” xảy ra khi nào?

11
Cöïc trò hình
hoïc
d) Chứng minh:
AD BE CF
9.
OD OE OF
+ + ≥
Dấu “=” xảy ra khi nào?
e) Chứng minh:
AO BO CO
. . 8.
OD OE OF
≥
Dấu “=” xảy ra khi nào?
f) Chứng minh:
AD BE CF
. . 27.
OD OE OF
≥
Dấu “=” xảy ra khi nào?
g) Chứng minh:
AD BE CF 9
.
AO BO CO 2
+ + ≥
Dấu “=” xảy ra khi nào?

h) Chứng minh:
OD OE OF 3
.
AO BO CO 2
+ + ≥
Dấu “=” xảy ra khi nào?
Bài (9): Cho tam giác ABC đều nội tiếp trong đường tròn (O;R). Điểm
M di động trên cung nhỏ BC.
a) Chứng minh:
MA MB MC= +
.
b) Chứng minh:
1 1 4
MB MC MA
+ ≥
.
c) Tìm vị trí của điểm M để tổng
1 1 1
S
MA MB MC
= + +
đạt giá
trị nhỏ nhất.
Bài (9): Cho tam giác ABC đều nội tiếp trong đường tròn (O;R) và
điểm M di động trên đường tròn.Tìm vị trí của điểm M để:
a)
MA MB MC
+ +
đạt giá trị lớn nhất.
b)

1 1 1
MA MB MC
+ +
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài (9): Cho tam giác ABC có diện tích là S, nửa chu vi là p và I là tâm
đường tròn nội tiếp.Gọi D,E,F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ I
xuống BC,CA,AB và
1 1 1
A ,B ,C
lần lượt là giao điểm của các đường
thẳng AI,BI,CI với BC,CA,AB. Đặt
BIC 1 CIA 2 AIB 3
S S ;S S ;S S .= = =
a) Chứng minh:
2 3
1
AI S S
ID S
+
=
và
2 3
1
AI S S
r S
+
≥
.
b) Chứng minh:
AI BI CI

6.
r r r
+ + ≥
Dấu “=” xảy ra khi nào?
12
Trường ngoại ngữ và bồi dưỡng văn hóa Thăng Tiến – THĂNG LONG
c) Chứng minh:
( )
IA IB IC .p 6S.+ + ≥
Dấu “=” xảy ra khi nào?
Bài (9): Cho tam giác ABC nhọn có
BC a;AC b;AB c;= = =
ABC
AB BC CA
p;S S
2
∆
+ +
= =
và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam
giác.
a) Chứng minh:
( ) ( ) ( )
S pr p p a p b p c= = − − −

b) Chứng minh:
( ) ( ) ( )
3
p
p a p b p c

27
− − − ≤
.Dấu “=” xảy ra khi
nào?
c) Chứng minh:
p 3 3.r≥
. Dấu “=” xảy ra khi nào?
d) Chứng minh:
2
S 3 3.r .≥
Dấu “=” xảy ra khi nào?
e) Chứng minh:
2
3.p
S
9
≤
. Dấu “=” xảy ra khi nào?
Bài (9): Cho đường tròn cố định (O) bán kính bằng 2006.Tam giác
ABC luôn thay đổi nhưng luôn ngoại tiếp đường tròn (O).
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ABC.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác ABC.
Bài (9): Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M,N,PQ là các đỉnh của tứ giác
MNPQ lần lượt thuộc các cạnh AB,BC,CD,DA.
a) Chứng minh:
2
2 2
AB
MA MB
2

+ ≥
.
b) Chứng minh:
2 2 2 2 2
MN NP PQ QM AC .+ + + ≥
c) Tìm điều kiện của tứ giác MNPQ để tổng bình phương các
cạnh đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài (9): Cho tam giác ABC vuông tại A. Ta dựng hai nửa đường tròn
đường kính AB và AC ở bên ngoài tam giác ấy. Một đường thẳng d qua
A cắt các nửa đường tròn ở D và E.
a) Chứng minh:
AD BD 2.AB+ ≥
.Dấu “=” xảy ra khi nào?
b) Chứng minh:
AE CE 2.AC+ ≥
.Dấu “=” xảy ra khi nào?
c) Tìm vị trí của đường thẳng d để chu vi tứ giác BDEC đạt giá
trị lớn nhất.

13
Cửùc trũ hỡnh
hoùc
Bi (8): Cho hỡnh vuụng ABCD cú di cnh a. Trờn hai cnh AB v
AC ln lt ly hai im M,N sao cho chu vi tam giỏc AMN l 2a. t
AM x;AN y.= =
a) Chng minh:
2 2
x y x y 2a+ + + =
.
b) Chng minh:

( )
2
2
xy a 2 2
.
c) Tỡm v trớ ca cỏc im M v N din tớch tam giỏc AMN
t giỏ tr ln nht.
Bi (8): Cho tam giỏc ABC cú
BC a,CA b,AB c.= = =
im M nm
trong tam giỏc . K MD,ME,MF ln lt vuụng gúc vi BC,CA,AB ti
D,E,F. t
MD x,ME y,MF z.= = =
a) Chng minh:
ABC
xa by cz 2S .

+ + =
b) Chng minh:
( ) ( )
2
a b c
ax by cz a b c
x y z

+ + + + + +
ữ

. Du
= xy ra khi no?

c) Tỡm v trớ ca im M
a b c
x y z
+ +
t giỏ tr nh nht.
Baứi toồng hụùp
14
Trường ngoại ngữ và bồi dưỡng văn hóa Thăng Tiến – THĂNG LONG

15