cực trị hình học2

(CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ)
Bài Toán Minh Hoạ: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:
3z1y
2
1x
−=+=
+
và mặt phẳng
(P):x+2y-z+5=0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ nhất.
Lời giải tham khảo
Cách 1: Phương pháp hình học:
Gọi d’= (P)
∩
(Q) và A=d
∩
(P) thì A
∈
d’.Lấy K
∈
d,kẻ KH
⊥
(P) và HI
⊥
d’thì :

α==
∧
)Q,P(KIH
. Trong tam giác vuông KIH :
HI
KH

tan
=α
, do KH không đổi nên:
tan
α
nhỏ nhất
⇔
HI lớn nhất
⇔
I
A
≡
(do HI
≤
HA)
.
Khi ấy thì d’ vuông góc với d . Vậyd’đi qua A vuông góc với d và nằm trong (P).
Mặt phẳng (Q) cần tìm là mặt phẳng chứa d và d’.
VTCP của d là
)1;1;2(u
=
→
; VTPT của (P) là
)1;2;1(n
P
−
→
suy ra VTCP của d’ là

)1;1;1('uhay)3;3;3(n,u'u

P
−−=−=






=
→→→→
. Do đó VTPT của mặt phẳng (Q) là:

)1;1;0(nhay)3;3;0('u,un
QQ
−=−=






=
→←→→
.
Điểm M(-1;-1;3)
∈
d
⇒
M
∈

(Q).
Mặt phẳng (Q) cần tìm có phương trình: 0(x+1)+1(y+1)-1(z-3) = 0
y-z+4 = 0
Cách 2: Phương pháp giải tích.
Đặt phưong trình mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz +D = 0
)0CBA(
222
≠++
M(-1;-1;3)
∈
d ; N(1;0;4)
∈
d
⇒
M;N
∈
(Q) Ta được:



+=
−−=
B4A7D
BA2C
Do đó (Q):
0B4A7z)BA2(ByAx
=++−−++
. VTPT của (Q) là
)BA2;B;A(n
Q

−−=
→
.
Ta có VTPT của mặt phẳng (P) là :
)1;2;1(n
P
−=
→
.Gọi
α
là góc giữa (P) và (Q) thì:
AB4B2A5
BA
.
6
3
n.n
n.n
cos
22
QP
QP
++
+
==α
→→
→→
.
Ta xét hai trường hợp của A.
Trường hợp 1: A=0. Ta được cos

α
=
2
3
B2
B
.
6
3
2
=
Trường hợp 2: A
0
≠
Ta có






+






+
+

=α
A
B
4
A
B
25
A
B
1
.
6
3
cos
2
Xét hàm số: f(x) =
)cos)x(f;
A
B
x(
5x4x2
1x2x
.
6
9
2
2
2
α==
++

++

( )
2
2
5x4x2
6x6
.
6
9
)x('f
++
+
=
f’(x) = 0
⇔
x= -1.
Vậy cos
2
α
<
4
3

2
3
cos
<α⇒
6
π

>α⇒
( Do hàm cosin x nghòch biến trên đọan






π
2
;0
)

Trường hợp (1) và (2)
6
min
π
=α⇒

Khi ấy thì A=0 , ta chọn B=1
⇒
C= =1 và D= 4.
Phương trình mặt phẳng (Q) : y-z+4 = 0.
Hết
Ghi Chú:
1/ Có thể xét hai trường hợp B=0 ; B
0
≠
( Hoặc xét hai trưòng hợp A+B=0 ; A+B
0

≠

như sách Bài tập nâng cao lớp 12 trang 240 )
2/ Bài toán 6: Cho hai điểm A;B và đường thẳng d. Trong các đường thẳng đi qua A và
cắt d, viết phương trình đường thẳng có khoảng cách đến B là :
a) Lớn nhất. b) Nhỏ nhất
x
+-1
f’(x)
f(x)
0- +
0
4
3
4
3
-