cực trị hình học3

BÀI TOÁN 4 (CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ
ĐỘ)
Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng





=
+−=
−=
t2z
t2y
t1x
:)d(
. Viết phương trình mặt p
phẳng (P) chứa (d) và tạo với trục Oy góc lớn nhất.
Lời giải tham khảo.
Cách 1: Phương pháp hình học.
Qua điểm A trên d dựng đường thẳng d’ song song với Oy. Lấy điểm M trên d’ ; gọi K là hình
chiếu của M trên d. ta có :
)Oy,d(MAK
=α=
∧
.Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên
(P) thì
)P,Oy()P,'d(MAH
==β=
∧
. Như thế :
AM

MH
sin;
AM
MK
sin
=β=α
.Trong tam giác
vuông MHK thì
KHkhimaxsinsinMKMH
≡α=β⇒α≤β⇒≤
. Vậy mặt phẳng (P) cần tìm
vuông góc với MK tại K.
Giải: A(1;-2;0) thuộc d. Đường thẳng Oy có véctơ chỉ phương
)0;1;0(j
=
→
; nên nếu d’ qua A
và song song với Oy thì d’ có phương trình là





=
+−=
=
0z
t2y
1x
. Lấy M(1;-1;0) thuộc d’ thì hình

chiếu vuông góc của M trên d là
)6
2
;
6
5
;
6
1
(MK)
3
1
;
6
11
;
6
5
(K
−−=⇒−
→
) . Chọn véctơ pháp
tuyến
của (P) là
)2;5;1(n
−=
→
Phưong trình mặt phẳng (P):
0)
3

1
z(2)
6
11
y(5)
6
5
x(1
=−−++−
Kết quả: (P): x+5y-2z+9= 0.
Cách 2: Phương pháp giải tích.
Lấy M(1;-2;0)
∈
d ; N(0;-1;2)
∈
d. Đặt (P): Ax+By+Cz+D=0
( )
0CBA
222
≠++
Do M và N thuộc (P) nên:





−
=
+−=
2

BA
C
B2AD

0AB2z
2
BA
ByAx:)P( =−+
−
++⇒
.
Ta có VTPT của (P) là
)
2
BA
;B;A(n
−
=
→
và VTCP của Oy là
)0;1;0(j
→
.
Gọi
)Oy,P(
=α
thì
AB2B5A5
B2
2

BA
BA
B
j.n
j.n
sin
222
22
−+
=






−
++
==α
→→
→→
+Nếu B=0 thì sin
α
= 0
⇒
α
= 0
0
.
+Nếu B

0
≠
thì
)
B
A
x(
5x2x5
2
B
A
25
B
A
5
2
sin
22
=
+−
=






−+







=α

Xét hàm số
5x2x5
4
sin)x(f
2
2
+−
=α=
.
5
1
x0)x('f;
)5x2x5(
)2x10(4
)x('f
22
=⇔=
+−
+−
=
. Ta được Maxf(x)=
6
5
khi

5
1
x
=
Vậy
α
lớn nhất khi
5
1
B
A
=
. Chọn A=1 và B=5 thì C=-2 , D= 9.
Phương trình mặt phẳng (P): x+5y-2z+9=0.
Vónh Long, ngày 10 tháng 6 năm 2009.
GV Nguyễn Ngọc Ấn
****************************************************************************
Chú ý:
1/ Có thể viết
5
24
2
5
24
5
1
x5
2
5
24

)
25
1
x
5
2
x(5
2
sin
2
2
≤
+






−
=
++−
=α
Do đó max(sin
α
) =
24
52
khi
5

1
x
=
.
2/ Bài toán 5: Cho mặt phẳng (P) và đường thăng d. Viết phương trình mặt phẳng (Q)
chứa d và tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ nhất.