BÀI TẬP ÔN HỌC KỲ 2 MÔN TOÁN ppt

Tr-êng THPT NguyÔn gia thiÒu

Bé m«n to¸n häc

- - - - - -    - - - - - -




0913 661 886






BµI TËP ¤N HäC Kú 2

M¤N TO¸N

Hµ Néi, 4 – 2011

CẤU TRÚC ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2010 - 2011
MÔN TOÁN

LỚP 12

CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
PHẦN CHUNG
(7,0 điểm)
I

1. Khảo sát hàm số trùng phương
2. Điều kiện nghịch biến, cực trị
2.5
0.5
II

1. Bất phương trình tổng hợp có mũ cộng lôga
2. GTLN và GTNN (KHÓ)
3. Nguyên hàm, tích phân
1,0
1,0
1,0
III
Thể tích nón, trụ, cầu (dễ)
1,0
PHẦN
RIÊNG
(3,0 điểm)
Chuẩn
IVA
1. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu
2. Góc, khoảng cách
1,0
1,0
VA
Số phức
1,0
Nâng cao
IVB

1. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu
2. Góc, khoảng cách
1,0
1,0
VB
Số phức
1,0
LỚP 11

CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
PHẦN CHUNG
(7,0 điểm)
1
1. Giới hạn dãy số (1 câu)
2. Giới hạn hàm số (1 câu)
1,0
1,0
2
Hàm số liên tục (Chứng minh phương trình có nghiệm – KHÓ)
1,0
3
1. Tính đạo hàm:
2. Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc
1,0
1,0
4
1. Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng
2. Tính góc giữa hai đường thẳng (hoặc giữa đường thẳng và mặt phẳng)

1,0
1,0
PHẦN
RIÊNG
(3,0 điểm)
Chuẩn
5a
Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
1,0
6a
Đạo hàm: Giải phương trình, bất phương trình
2,0
Nâng cao
5b
Đường thẳng vuông góc đường thẳng
1,0
6b
Đạo hàm: Giải phương trình, bất phương trình
2,0
LỚP 10

CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
PHẦN CHUNG
(7,0 điểm)
1

Giải bất phương trình không có tham số (có ẩn ở mẫu) (có xét dấu của tích thương
các thừa số bậc nhất, bậc hai)

1,5
2

Cho bất phương trình bậc hai có tham số m. Tìm m để bất phương trình có tập
nghiệm R hoặc vô nghiệm.
1,5
3
Viết phương trình đường tròn có tâm cho trước và tiếp xúc với đường thẳng cho
trước. Tìm toạ độ tiếp điểm
2,0
4
Giải bất phương trình (có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối – KHÓ)
1,0
5
Chứng minh (hoặc rút gọn) đẳng thức lượng giác
1,0
PHẦN
RIÊNG
(3,0 điểm)
Chuẩn
6a
Cho biết một giá trị lượng giác. Tính các giá trị lượng giác còn lại
1,5
7a
Cho phương trình đường tròn (dạng tổng quát). Tìm toạ độ tâm và bán kính. Viết
phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm thuộc đường tròn
1,5
Nâng cao
6b
Cho biết một giá trị lượng giác. Tính các giá trị lượng giác còn lại

1,5
7b
Cho phương trình đường tròn (dạng tổng quát). Tìm toạ độ tâm và bán kính. Viết
phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm thuộc đường tròn.
1,5
Nguyễn Quốc Hoàn 0913 661 886 Nguyễn Quốc Hoàn 094 888 111 7
H 1 H 2
l-ợng giác
1. Công thức l-ợng giác cơ bản
+)
22
cos sin 1

+) 1 + tan
2
=
2
1
k , k
2
cos






Z

+) 1 + cot

2
=
2
1
( k , k )
sin


Z

+) tan . cot = 1
k
,k
2





Z
.

2. Giá trị l-ợng giác của các cung có liên quan đặc biệt
GTLG
Cung ()

sin

cos

tan

cot
Đối nhau ( = )
sin
cos
tan
cot
Bù nhau ( = )
sin
cos
tan
cot
Hơn kém ( = + )
sin
cos
tan
cot
Phụ nhau ( =
2

)

cos

sin

cot

tan

Hơn kém
2

( =
2

+ )

cos

sin

cot

tan
sin( + k2) = sin, cos( + k2) = cos, k Z
tan( + k) = tan, cot( + k) = cot, k Z.

3. Công thức cộng
+) cos( ) = cos cos sin sin
+) sin( ) = sin cos cos sin
+) tan( ) =
tan tan
1 tan tan


(Với điều kiện là biểu thức có nghĩa)
+) cot( ) =
1 tan tan
tan tan

(Với điều kiện là biểu thức có nghĩa).

4. Công thức nhân đôi
+) sin2 = 2 sin cos
+) cos2 = cos
2
sin
2
= 2cos
2
1 = 1 2sin
2

+) tan2 =
2
2tan
1 tan


(Với điều kiện là biểu thức có nghĩa)
+) cot2 =
2
cot 1
2cot


(Với điều kiện là biểu thức có nghĩa).
5. Công thức nhân ba

+) sin3 = 3sin 4sin
3
+) cos3 = 4cos
3
3cos
+) tan3 =
3
2
3tan tan
1 3tan


(Với điều kiện là biểu thức có nghĩa).

6. Công thức hạ bậc
+) cos
2
=
1 cos2
2

+) sin
2
=
1 cos2
2


+) tan
2

=
1 cos2
1 cos2



k , k
2





Z

+) cos
3
=
3cos cos3
4

+) sin
3
=
3sin sin3
4


+) tan
3

=
3sin sin3
3cos cos3


(Với điều kiện là biểu thức có nghĩa).
7. Công thức biến đổi tích thành tổng
+) cos.cos =
1
[cos( ) cos( )]
2


+) sin.sin =
1
[cos( ) cos( )]
2


+) sin.cos =
1
[sin( ) sin( )]
2

.
8. Công thức biến đổi tổng thành tích
+) cos + cos = 2cos
cos
22

+) cos cos = 2sin
sin
22


+) sin + sin = 2sin
cos
22


+) sin sin = 2cos
sin
22


+) tan tan =
sin( )
cos .cos



; k , k
2





Z

.
9. Bảng xác định dấu của các giá trị l-ợng giác
Phần t-
Giá trị l-ợng giác

I

II

III

IV
cos
+


+
sin
+
+


tan
+

+

cot
+

+

10. Giá trị l-ợng giác của các cung đặc biệt




0 (0
0
)
6

(30
0
)
4

(45
0
)
3

(60
0
)
2

(90
0
)

sin

0
1
2

2
2

3
2


1

cos

1
3
2

2
2

1
2


0

tan

0
1
3


1

3




cot



3


1
1
3


0
11. Đổi đơn vị
a (độ) và

(rad) 180 . a = . .
12. Độ dài của một cung tròn
Cung có số đo rad của đ-ờng tròn bán kính R có độ dài = R .
13. Giá trị l-ợng giác của cung


sin =
OK

cos =
OH

tan =
sin
cos



cot =
cos
sin



tan =
AT

cot =
BS

1 sin 1
1 cos 1.

14. Đ-ờng tròn định h-ớng,
cung l-ợng giác, góc l-ợng giác và
đ-ờng tròn l-ợng giác.

x

y

A

A

B

B

O

M

K

H


t

t

s

s

S

T
Ngun Qc Hoµn 0913 661 886 Ngun Qc Hoµn 094 888 111 7
H 3 H 4
15. BiĨu diƠn sinx, cosx, tanx vµ cotx theo t =
x
tan
2

sinx =
2
2t
1t
, cosx =
2
2
1t
1t


,
 

x k2 , k   Z

tanx =
2
2t
1t

x k2
,k
xk
2
   





  


Z

cotx =
2
1t
2t


 
x k , k  Z

.
16. BiÕn ®ỉi biĨu thøc asinx + bcosx
asinx + bcosx =
22
2 2 2 2
ab
a b sinx cosx
a b a b







+) §Ỉt
2 2 2 2
ab
cos , sin
a b a b
   

, khi ®ã
asinx + bcosx =
 
22
a b sinxcos cosxsin   
=
22
a b sin(x )  

+) §Ỉt
2 2 2 2
ab
sin , cos
a b a b
   

, khi ®ã
asinx + bcosx =
 
22
a b sinxsin cosxcos   
=
22
a b cos(x ) 

+) §Ỉc biƯt:
sin cos 2 sin 2 cos
44
   
    
   
   
x x x x



sin 3cos 2sin 2cos
36

   
    
   
   
x x x x

.
17. Phương trình lượng giác cơ bản
+)
2
sin sin
2


  

  

Z
xk
xk
xk


  


arcsin 2
sin
arcsin 2



  

  

Z
x a k
x a k
x a k




2
sin sin
2


  

  

Z
u v k
u v k
u v k



+)
2
cos cos
2


  

  

Z
xk
xk
xk





cos 2
cos
cos 2


  

  

Z
x arc a k

x a k
x arc a k




2
cos cos
2


  

  

Z
u v k
u v k
u v k



+)
tanx = tan x = + k Zk
  


tan arctan     Zx a x a k k


tan tan   u v u v k


k Z

+)
cotx = t x = + k Zco k
  


ar     Zx a x a k k

cot c cot


     Zu v u v k k

cot cot
.
18. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
+) asin
2
x + bsinx + c = 0 (a ≠ 0). Đặt sinx = t, đk
| | 1t

+) acos
2
x + bcosx + c = 0 (a ≠ 0). Đặt cosx = t, đk
| | 1t

+) atan
2
x + btanx + c = 0 (a ≠ 0). Đặt tanx = t
+) acot
2
x + bcotx + c = 0 (a ≠ 0). Đặt cotx = t.

19. Phương trình
®¼ng cÊp bËc hai ®èi víi sinx vµ cosx
a sin
2
x + b sinxcosx + c cos
2
x = d (a
2
+ b
2
+ c
2

≠
0)
C¸ch 1: H¹ bËc sin
2
x, cos
2
x vµ dïng CTN§ sinxcosx
C¸ch 2: B-íc 1: xét cosx = 0. B-íc 2: xét
cos 0x

, chia hai vế
của phương trình cho cos
2
x
Chó ý: NÕu d = 0, gäi lµ: ph-¬ng tr×nh thn nhÊt bËc hai ®èi víi
sinx vµ cosx. PT ®¼ng cÊp bËc ba, bËc bèn còng gi¶i t-¬ng tù.

20. Ph-¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi sinx vµ cosx: asinx + bcosx = c
C¸ch 1: §Ỉt cos =
22

a
ab
vµ sin =
22

b
ab

22
sin( )   a b x c


C¸ch 2:
sin cos




b

a x x c
a
§Ỉt
tan
b
a


 
sin cos .tan  a x x c

sin( ) cos  
c
x
a


C¸ch 3: §Ỉt
tan
2

x
t
(Chó ý kiĨm tra
x k2 , k   Z
tr-íc)
ta cã
2
22
21

sin ; cos
11



tt
xx
tt

2
( ) 2 0     b c t at b c

§iỊu kiƯn ph-¬ng tr×nh cã nghiƯm:
2 2 2
a b c
.

21. Ph-¬ng tr×nh ®èi xøng, ph¶n ®èi xøng víi sinx vµ cosx
a(sin x + cosx) + bsinxcosx = c ®Ỉt t = sin x + cosx,
2t

a(sin x – cosx) + bsinxcosx = c ®Ỉt t = sin x – cosx,
2t
.

22. Mét sè c«ng thøc kh¸c
2
tan cot
sin2
xx

x
,
cotx - tanx = 2cot2x
, cotx + coty =
sin(x y)
sin xsin y


cotx – coty =
sin(y x)
sin xsin y

(Víi ®iỊu kiƯn lµ c¸c biĨu thøc cã nghÜa).

23. Hµm sè l-ỵng gi¸c
+) Hàm số sin:

sin :
sin

x y x
RR
. Tập xác đònh D = R.
Tập giá trò:
 
1 ; 1
. Là hàm số lẻ. Hàm số tuần hoàn với chu kỳ
2

. §ång biÕn trªn mçi kho¶ng

k2 ; k2
22


    


vµ nghÞch
biÕn trªn mçi kho¶ng
3
k2 ; k2
22


   


, k  Z. Cã ®å thÞ lµ
mét ®-êng h×nh sin.
+) Hàm số
c«
sin:

: 
x y x
RRcos
cos
. Tập xác đònh D = R.
Tập giá trò:
 

1 ; 1
. Là hàm số ch½n. Hàm số tuần hoàn với chu
kỳ 2

. §ång biÕn trªn mçi kho¶ng
 
k2 ; k2   
vµ nghÞch
biÕn trªn mçi kho¶ng
 
k2 ; k2  
, k  Z. Cã ®å thÞ lµ mét
®-êng h×nh sin.
+)
Hàm số tang:

tan :
tan


D
x y x
R
. Tập xác đònh
\
2

  



ZD R k k


. Tập giá trò R. Là hàm số lẻ. Hàm số
tuần hoàn với chu kỳ

. §ång biÕn trªn mçi kho¶ng
k ; k
22


    


, k  Z. Cã ®å thÞ nhËn mçi ®-êng th¼ng
x =
k
2


, k  Z lµm mét ®-êng tiƯm cËn.
+)
Hàm số
c«
tang:

:
tan



D
x y x
Rcot
. Tập xác đònh
 
\ZD R k k

. Tập giá trò R. Là hàm số lẻ. Hàm số tuần
hoàn với chu kỳ

. NghÞch biÕn trªn mçi kho¶ng
 
k ; k  
,
k  Z. Cã ®å thÞ nhËn mçi ®-êng th¼ng x =
k
, k  Z lµm mét
®-êng tiƯm cËn.
Nguyễn Quốc Hoàn 0913 661 886 (094 888 111 7)

H 1

CHệễNG III. VECTễ TRONG KHONG GIAN. QUAN HE VUONG GOC TRONG KHONG GIAN

I. Chứng minh hai đ-ờng thẳng vuông góc: d
1
d
2

Cách 1. Dùng các ph-ơng pháp đã biết trong hình học phẳng (nếu hai đ-ờng thẳng đó đồng phẳng)

Cách 2.
1 2 1 2
u .u 0; u ; u
là các vectơ chỉ ph-ơng của các đ-ờng thẳng
Cách 3.
1
12
2
d ( )
dd
( ) d






Cách 4.
1
12
2
d / / ( )
dd
d ( )

Cách 5. Sử dụng định lý ba đ-ờng vuông góc:



II. Chứng minh đ-ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng: d ()
Cách 1:
1
2
12
12
d
d
d ( )
{M}
, ( )

Cách 2:
d / /
d ( )
()






Cách 3:
d ( )
d ( )
( ) / /( )







Cách 4:
( ) ( )
( ) ( )
d ( )
d ( )
d

Cách 5:
( ) ( ) d
( ) (P) d (P)
( ) (P)









Cách 6: (Trục đ-ờng tròn là đ-ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đ-ờng tròn tại tâm của nó)
B-ớc 1. Tìm một điểm S ở đỉnh cách đều các đỉnh của đa giác đáy. Tìm một điểm H ở đáy cách đều các
đỉnh của đa giác đáy (tâm của đa giác đáy)
B-ớc 2. Đ-ờng thẳng qua hai điểm S và H, đó là trục của đ-ờng tròn. Trục của đ-ờng tròn vuông góc
mặt phẳng chứa đ-ờng tròn tại tâm của nó.

III. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: () ()
Cách 1: Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng 90

0
Cách 2:
d ( )
( ) ( )
d ( )






.

IV. Chứng minh quan hệ song song:
1. a // b
Cách 1. Dùng các ph-ơng pháp đã biết trong ch-ơng quan hệ song song
Cách 2. Hai VTCP cùng ph-ơng và điểm trên đ-ờng này không thuộc đ-ờng kia
Cách 3.

ab
ab
a (P), b (P)




2. d // ()
Cách 1. Dùng các ph-ơng pháp đã biết trong ch-ơng quan hệ song song
Cách 2. Gọi
u

là VTCP của d, lấy trong () hai vectơ
a
và
b
không cùng ph-ơng. Ta chứng minh: ba vectơ
u
,
a
,
b
đồng phẳng và điểm bất kỳ trên d không thuộc ()
Cách 3.
d ( )
d d / / ( )
()









3. (P) // (Q)
Cách 1. Dùng các ph-ơng pháp đã biết trong ch-ơng quan hệ song song Cách 2.

(P) (Q)
(P) Q)
(P) a,(Q ) a
.
d
1
()
d
2
()
d
2
()
2
d
'
là hình chiếu của d
2
trên ()
d
1
d
2
d
1

2
d
'
.

Ngun Qc Hoµn 0913 661 886 (094 888 111 7)

H 2

V. Gãc: C¸c gãc cÇn tÝnh ®Ịu tõ 0
0
®Õn 90
0


1. TÝnh gãc gi÷a hai ®-êng th¼ng: a vµ b

C¸ch 1:
   
1
12
2
a / /
a ; b ;
b / /


   





C¸ch 2: Gãc gi÷a hai ®-êng th¼ng b»ng hc bï víi gãc gi÷a hai VTCP

2. TÝnh gãc gi÷a ®-êng th¼ng vµ mỈt ph¼ng: d vµ ()
B-íc 1. T×m h×nh chiÕu d’ cđa d trªn ()

B-íc 2.
   
d ; d' d;( )


Chó ý: Cã thĨ gãc gi÷a d vµ () ®-ỵc quy vỊ gãc gi÷a  vµ () víi  // d, hc gãc gi÷a d vµ () víi () // ()

3. TÝnh gãc gi÷a hai mỈt ph¼ng: () vµ ()

C¸ch 1:
   
a ( )
( );( ) a;b
b ( )


   





C¸ch 2: cos =
S'
S
(Víi  lµ gãc gi÷a hai mỈt ph¼ng () vµ (), S lµ diƯn tÝch ®a gi¸c H trªn (),
S’ lµ diƯn tÝch ®a gi¸c H’ lµ h×nh chiÕu cđa H trªn ())

C¸ch 3:
   
( ) ( )
K
( );( ) a;b
a ( ), K a, a
b ( ), K b, b
    




   

    


    



Chó ý 1: §Ĩ t×m ®iĨm K ta th-êng thùc hiƯn nh- sau
 T×m ®-êng th¼ng bÊt kú d  
 d  () = {A} ; d  () = {B}. KỴ AK   t¹i K    (K ; d)    BK

 VËy
   
( );( ) AK;BK  

Chó ý 2: NÕu hai mỈt ph¼ng chøa hai tam gi¸c c©n mµ giao tun chøa c¹nh ®¸y chung cđa hai tam
gi¸c c©n th× chän K lµm trung ®iĨm cđa c¹nh ®¸y ®ã.

VI. Tìm thiết diện:

1. Tìm thiết diện qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng
Phương pháp:
Tìm 2 đường thẳng cắt nhau hc chÐo nhau cùng vuông góc với đường thẳng đã cho,
khi đó mặt phẳng cắt sẽ song song (hoặc chứa) 2 đường thẳng ấy.

2. Tìm thiết diện qua một đường thẳng và vng góc với mặt phẳng
Cho mặt phẳng () và đường thẳng d khơng vng góc (). Mặt phẳng () chứa d và vng góc ().
Phương pháp 1: Chuyển từ bài tốn tìm thiết diện vng góc với mặt phẳng
 

thành bài tốn tìm
thiết diện song song với một đường thẳng, mà đường thẳng đó vng góc sẵn với mặt phẳng
 

đã cho trong
giả thiết tìm thiết diện; sau đó áp dụng định lý giao tuyến song song và phương pháp tìm thiết diện suy ra u
cầu bài tốn.
Phương pháp 2: Từ một điểm trên d, tìm đường thẳng  vng góc với (); thì () là mặt phẳng xác
định bởi hai đường thẳng cắt nhau d và .

VII. H×nh l¨ng trơ, h×nh hép, h×nh chãp cơt. H×nh l¨ng trơ ®øng, h×nh l¨ng trơ ®Ịu, h×nh hép ®øng,
h×nh hép ch÷ nhËt, h×nh lËp ph-¬ng, h×nh chãp ®Ịu, h×nh chãp cơt ®Ịu.

Ngun Qc Hoµn 0913 661 886 (094 888 111 7)

H 3

VIII. Vect¬ trong kh«ng gian:

1. Đònh nghóa và các phép toán
 Đònh nghóa, tính chất vµ các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự
như trong mặt phẳng.
 Lưu ý:
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:
AB BC AC

+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:
AB AD AC

+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.ABCD, ta có:
  AB AD AA' AC'

+ Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, K tuỳ ý. Ta có:
IA IB 0
;
KA KB 2KI

+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, K tuỳ ý. Ta có:

     GA GB GC 0; KA KB KC 3KG

+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, K tuỳ ý. Ta có:

       GA GB GC GD 0; KA KB KC KD 4KG

+ Điều kiện hai vectơ cùng phương:
    a và b cùng phương (a 0) !k : b kaR
.
+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k  1), H tuỳ ý. Ta có:



HA kHB
MA kMB; HM
1k
.

2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
 Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ
a,b,c
, trong đó
a và b
không cùng phương. Khi
đó:
a,b,c
đồng phẳng  ! m, n  R:
c ma nb

 Cho ba vectơ
,,
a b c
không đồng phẳng,
x

tuỳ ý. Khi đó: ! m, n, p  R:
  x ma nb pc
.

3. Tích vô hướng của hai vectơ
 Góc giữa hai vectơ trong không gian:
     
00
AB u, AC v (u,v) BAC (0 BAC 180 )

 Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
+ Cho
u,v 0
. Khi đó:
u.v u . v .cos(u,v)

+
u v u.v 0  

+ Với
u 0 hoặc v 0
. Qui ước:
u.v 0
.

4. Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Để chứng minh ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng ta có thể làm như sau: ta chứng minh hai vectơ
AB, AC

cùng phương, nghĩa là

AB kAC
, hoặc mọi điểm M ta chứng minh
MC mMA nMB
với
m n 1
.

5. Chứng minh bốn điểm thuộc một mặt phẳng
Để chứng minh bốn điểm thuộc một mặt phẳng ta có thể làm như sau:
 Chứng minh:
AB,AC,AD
đồng phẳng tức là
AB mAC nAD
hoặc
pAB mAC nAD 0  
với
2 2 2
p m n 0  
.
 Hoặc chọn một điểm M nào đó rồi chứng minh
MD xMA yMB zMC  
với
x y z 1  
.

Ngun Qc Hoµn 0913 661 886 (094 888 111 7)

H 4

IX. Khoảng cách:

1. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: d
(M , ())

Phương pháp:
Bước 1: Xác định đoạn vng góc MH với
 

, bằng cách tìm một mặt phẳng
 

qua M và
   
  
theo giao tuyến
d, hạ
 
 
M,
MH d d MH

  
Bước 2:

MH được tính bằng các định lý của hình học sơ cấp
Lưu ý:
 Khoảng cách d
(M ())
còn được gọi là độ dài đoạn vng góc trong định lý ba đường vng góc
 Sau này ta cũng có thể tìm MH bằng cơng thức tính diện tích hay thể tích của vật thể
Hoặc ta cũng có thể làm theo cách sau:

Bước 1: Tìm đường thẳng
 
a 

Bước 2: Tìm đường thẳng b qua M và song song với đường thẳng a và gọi H là giao điểm của đường thẳng b và mặt
phẳng
 

. Khi đó đoạn thẳng MH là đoạn thẳng cần tìm.

2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song:
 
//
,

   
//

Phương pháp: d
( , ())
, d
(() , ())

Bước 1: Lấy một điểm M tùy ý trên  hay trên () Bước 2: Hạ
 
MH   
MH là khoảng cách cần tìm.
Lưu ý: Ta cũng có thể tính MH bằng cơng thức tính thể tích.
3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: d
(M , ())

Phương pháp:
C¸ch 1. Bước 1: Từ điểm M, hạ đường vng góc MH tới đường thẳng


Bước 2: Độ dài
 
MH d M,
là khoảng cách cần tìm
C¸ch 2. Tìm mặt phẳng
 

qua M và vng góc với đường thẳng

tại H. Suy ra:
 
MH d M,

C¸ch 3. Sử dụng định lý ba đường vng góc
C¸ch 4. Đơi lúc để tính khoảng cách
 
d M,
ta còn dùng cơng thức tính diện tích hình phẳng.
4. Khoảng cách hai đường thẳng song song: d
(d , ())
, d // 
5. Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: a và b chéo nhau
Đường thẳng  cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b được gọi là đường vuông góc chung của a, b
Nếu  cắt a, b tại I, J thì IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a, b
Phương pháp:

C¸ch 1. Sử dụng định nghĩa:

Chọn
A a,B b
sao cho
AB a;AB b


Tính độ dài đoạn AB. Suy ra
 
d a,b AB

C¸ch 2. Sử dụng mặt phẳng song song
 Tìm mặt phẳng (P) chứa b và song song với a  Chọn M  a, vẽ MH  (P) tại H
 Từ H vẽ đường thẳng a // a, cắt b tại B  Từ B vẽ đường thẳng song song MH, cắt a tại A
 AB là đoạn vuông góc chung của a và b Chú ý: d(a,b) = AB = MH = d(a,(P))
C¸ch 3. Sử dụng mặt phẳng vuông góc
 Tìm mặt phẳng (P)  a tại O  Tìm hình chiếu b của b trên (P)
 Kẻ OH  b tại H  Từ H, kẻ đường thẳng song song với a, cắt b tại B
 Từ B, kẻ đường thẳng song song với OH, cắt a tại A  AB là đoạn vuông góc chung của a và b
Chú ý:
d(a,b) = AB = OH

C¸ch 4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa
hai đường thẳng đó.
C¸ch 5. Trường hợp
ab

Bước 1: Tìm mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc với a tại A.
Bước 2: Vẽ AB  b tại B

Bước 3: AB là đoạn vuông góc chung của a và b

Lưu ý: Hình chiếu trong định lý 3 đường vng góc là đường vng góc chung.

Chó ý: Cã nh÷ng bµi to¸n ta chØ cÇn tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®-êng th¼ng chÐo nhau mµ kh«ng cÇn x¸c ®Þnh ®o¹n
vu«ng gãc chung. §«i khi ta cã thĨ sư dơng ph-¬ng ph¸p thĨ tÝch ®Ĩ tÝnh kho¶ng c¸ch.
-->