hai mặt phẳng vuông góc tiết 2

GSTH: Nguyễn Hoàng Phú
GVHD: Phạm Thành Thủy


I- GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
1. Định nghóa
2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau
3. Diện tích hình chiếu của một đa giác


I- GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
II- HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
1. Định nghóa
2. Các định lý


I- GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
II- HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
III- HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HỘP CHỮ NHẬT, LẬP PHƯƠNG
1. Định nghóa
2. Nhận xét


I- GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
II- HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
III- HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HỘP CHỮ NHẬT, LẬP PHƯƠNG
IV- HÌNH CHÓP ĐỀU VÀ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU
1. Hình chóp đều
2. Hình chóp cụt đều

I- GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
1. Định nghóa
Câu hỏi:
Cho 2 mặt phẳng (α) và (β).
Lấy hai đường thẳng a và b lần
lượt vuông góc với (α) và (β) .
Khi đó góc giữa hai đường thẳng
a và b có phụ thuộc vào cách lựa
chọn chúng hay không?

a’ b’

O.

a

b

α

β


I- GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
1. Định nghóa
Góc giữa hai mặt phẳng
là góc giữa hai đường
thẳng lần lượt vuông góc
với hai mặt phẳng đó.
Gọi ϕ là góc giữa (α) và (β)

thì ⇒ 00 ≤ ϕ ≤ 900

a’ b’

O.

a

b

α

β


I- GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
1. Định nghóa
2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau
Giả sử ϕ là góc giữa 2 mặt
phẳng (α) và (β). Khi đó:
* Xác định ∆=(α)∩(β)
* Chọn I ∈∆
Trong (α) kẻ a qua I và a ⊥ ∆
Trong (β) kẻ b qua I vaø b ⊥ ∆
* ϕ=(a,b)

α
a

∆

I.

β
b


I- GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
1. Định nghóa
2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC
cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và
SA=a
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC)
b) Tính diện tích tam giác SBC


I- GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
1. Định nghóa
2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau
S.ABC có ∆ABC đều cạnh 2a, SA ⊥ (ABC) và SA=a
Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC): ϕ = ?
S
Ta có (ABC) ∩ (SBC) = BC
Gọi H là trung điểm BC ⇒ AH ⊥ BC (1)
Vì SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC (2)
Từ (1) và (2) ⇒ BC ⊥ (SAH)
A
⇒ SH ⊥ BC (3)
·
Từ (1) và (3) ⇒ ϕ = SHA

Ta có: tanϕ =

Vậy ϕ = 30°

SA
a
1
=
=
AH a 3
3

ϕ

B

.
H

C


I- GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
1. Định nghóa
2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau
3. Diện tích hình chiếu của một đa giác
Cho đa giác H nằm trong
mặt phẳng (α) có diện tích
là S.

H’ là hình chiếu vuông góc
của H trên mặt phẳng (β).
Khi đó diện tích S’ của H’
được tính theo công thức:
S’=Scosϕ
Với ϕ là góc giữa (α) và (β).

α

β

H
H’


I- GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
1. Định nghóa
2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau
3. Diện tích hình chiếu của một đa giác
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC
cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và
SA=a
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC)
b) Tính diện tích tam giác SBC


I- GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
1. Định nghóa
2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau
3. Diện tích hình chiếu của một đa giác

Diện tích tam giác SBC?
Vì SA ⊥ (ABC)

S

⇒ ∆ABC là hình chiếu vuông góc của ∆SBC
Ta có:
A
SABC = SSBC .cos ϕ
S
⇒ SSBC = ABC
cosϕ
1
2
Vậy SSBC = .a 3.2 a.
= 2a2
2
3

C

B


I- GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
II- HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
1. Định nghóa
Hai mặt phẳng gọi là vuông góc
với nhau nếu góc giữa hai mặt
phẳng đó bằng 900.

Nếu hai mặt phẳng (α) và (β)
vuông góc với nhau , ta ký hieäu:
(α) ⊥ (β)

α

a
I
∆

b

β


I- GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
II- HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
1. Định nghóa
2. Các định lý
Định lý 1:
Chứng minh:
(α ) ⊥ ( β ) ⇒ ∃a ⊂ (α ) : a ⊥ ( β )

(α ) ⊥ ( β ) ⇔ ∃a ⊂ (α ) : a ⊥ ( β )

α

¶
vì (α ) ⊥ (β ) ⇒ (a,b) = 90° ⇒ a ⊥ b (2)

a
I
∆

∆ = (α ) ∩ ( β )
Từ I ∈ ∆ : trong (α ) vẽ a ⊥ ∆ (1)
trong (β ) vẽ b ⊥ ∆
¶
⇒ góc giữa (α ) và (β ) là (a,b)

b

Từ (1) vaø (2) ⇒ a ⊥ (∆, b)

β

⇒ a ⊥ (β )


I- GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
II- HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
1. Định nghóa
2. Các định lý
Định lý 1:
Chứng minh:
(α ) ⊥ ( β ) ⇔ ∃a ⊂ (α ) : a ⊥ ( β )

∃a ⊂ (α ) : a ⊥ ( β ) ⇒ (α ) ⊥ ( β )
I = a ∩ (β ) ⇒ I ∈ ∆ (∆ = (α ) ∩ ( β ))
Trong (β ): dựng b đi qua I và b ⊥ ∆ (1)

α

a ⊥ ∆
a ⊥ (β ) ⇒ 
a ⊥ b

a
I
∆

(2)
(3)

¶
Từ (1) và (2) ⇒ góc giữa (α ) và (β ) là (a,b)

b

Kết hợp với (3) ⇒ (α ) ⊥ (β )

β


α

∆

d

β

Cho 2 mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với
nhau và cắt nhau theo giao tuyến d.
CMR nếu có 1 đường thẳng ∆ nằm trong
(α) và vuông góc với d thì ∆ vuông góc
với (β)


I- GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
II- HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
1. Định nghóa
2. Các định lý
Định lý 1
Hệ quả 1

α

d

(α ) ⊥ ( β ) vaø (α ) ∩ (β ) = ∆
d ⊂ (α )
⇒ d ⊥ (β )

 d⊥∆

Hệ quả 2
(α ) ⊥ ( β ) :
 A ∈ (α )
⇒ d ⊂ (α )


Từ A kẻ d ⊥ ( β )

∆

β

α
d
A.
β


I- GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
II- HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
1. Định nghóa
2. Các định lý
Định lý 2
Chứng minh:

(α ) ∩ ( β ) = d 

(α ) ⊥ (γ )
 ⇒ d ⊥ (γ )

( β ) ⊥ (γ )

α

A.

d’ d

γ

β

Từ A ∈ d: dựng d' ⊥ (γ )
Theo hệ quả 2 thì:
d' ⊂ (α )
 ⇒ d' ≡ d
d' ⊂ (β ) 
Vaäy d ⊥ (γ )


B

A

C

D

Cho 2 tứ diện ABCD có 3 cạnh AB, AC,
AD đôi một vuông góc với nhau.
CMR:
a) (ABC) ⊥ (ACD)
b) (ABC) ⊥ (ADB)
c) (ACD) ⊥ (ADB)

Cho (P)(Q). Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
S Mọi đường thẳng a nằm trong (P) đều (Q).
B.
S Mọi đường thẳng a nằm trong (P) đều với mọi đư
ờng thẳng nằm trong (Q).
D Mọi đường thẳng a nằm trong (P) và với giao
C.
tuyến của hai mặt phẳng thì ®Òu ⊥ (Q).


I- GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
II- HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
III- HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HỘP CHỮ NHẬT, LẬP PHƯƠNG
1. Định nghóa
1.Hình lăng trụ đứng
Là hình lăng trụ có cạnh
bên vuông góc với mặt
đáy.
B

Hình lăng trụ
B
A

C
E

B'

D

A'

E
C'

E'

D'

C

A
B'

2.Hình lăng trụ đều
Là hình lăng trụ đứng có
đáy là đa giác đều.

A4

A1

D

A6
A'2

C'

A'

A3

A2

A5
A'3

A'1

E'

D'

A'4
A'6

A'5


I- GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
II- HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
III- HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HỘP CHỮ NHẬT, LẬP PHƯƠNG
1. Định nghóa
3.Hình hộp đứng
Là hình lăng trụ
đứng có đáy là
hình bình hành.

4.Hình hộp chữ nhật
Là hình hộp đứng
có đáy là hình
chữ nhật.

5.Hình lập phương
Là hình hộp chữ
nhật có tất cả
các cạnh bằng
nhau.


I- GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
II- HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
III- HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HỘP CHỮ NHẬT, LẬP PHƯƠNG
1. Định nghóa
2. Nhận xét
Các mặt bên của hình lăng trụ đứng luôn luôn vuông góc
với mặt phẳng đáy và là hình chữ nhật


I- GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
II- HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
III- HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HỘP CHỮ NHẬT, LẬP PHƯƠNG
IV- HÌNH CHÓP ĐỀU VÀ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU
S
1. Hình chóp đều
S
Đøng thẳng vuông góc

với mặt đáy kẻ từ đỉnh
gọi là đường cao của hình
chóp.

C

A

H

B

M

B

D

H
A

C

Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu nó có đáy là
một đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm của đa giác
đáy.