TG Phương trình đường tròn

your name
Tr ng THPTBC Chu Văn Anườ
Gv : Nguy n Hânễ

Bài toán: Trong mpOxy cho đường tròn(C)
tâm I(2;4) bán kính bằng 5.
Điểm nào sau đây thuộc (C): A(-3;4), B(7;1),
C(-2;2)
-10 -5 5 10 15
x
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
y
O
I (2;4)

2
IA
2
IA
)yy()x(xIA
−+−=
)C(A5IA
∈⇒=

)C(C,B
520IC
534IB
∉⇒





<=
>=
Bài toán:
Trong mpOxy cho đường tròn (C) tâm I(2;4), bán kính bằng 5.
Điểm nào sau đây thuộc (C): A(-3;4), B(7;1), C(-2;2)
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
y
-10 -5 5 10 15
x
O
I
B
C
A

7
1
-2-3
2


Điều kiện cần và đủ để điểm M thuộc
đường tròn tâm I(2;4) bán kính R = 5
25)4y()2x(
5)4y()2x(
5IM)C()y;x(M
22
22
=−+−⇔
=−+−⇔
=⇔∈
-10 -5 5 10 15
x
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
y
5
Animate Point
O

I(2;4)
M
7
1
-2-3
2

Với đường tròn ( C ) tâm I(a;b) bán kính R,
điểm M(x;y) thuộc ( C ) khi và chỉ khi nào?
222
22
R)by()ax(
R)by()ax(
RIM)C()y;x(M
=−+−⇔
=−+−⇔
=⇔∈

Chương III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
Chương III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
MẶT PHẲNG
MẶT PHẲNG
§2.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
§2.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

§2.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
I.Phương trình đường tròn có tâm và bán kính
cho trước

Phương trình (x – a)

2
+ (y – b)
2
= R
2
được
gọi là phương trình đường tròn tâm I(a;b)
bán kính R

Chú ý:
Phương trình đường tròn
có tâm là gốc tọa độ O
và có bán kính R là
x
2
+ y
2
= R
2

Phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính
R là (x – a)
2
+ (y – b)
2
= R
2

Ví dụ 1: Phương trình đường tròn tâm
I(-4;1) bán kính R=3 là pt nào?

A.(x + 4)
2
+ (y – 1)
2
= 3
B.(x + 1)
2
+ (y – 4)
2
= 3
C.(x + 1)
2
+ (y – 4)
2
= 9
D.(x + 4)
2
+ (y – 1)
2
= 9


•
Giải
Tâm I(1;-1)
Bán kính R = AB/2 =
PT đường tròn (C) :
(x – 1)
2
+ (y + 1)

2
= 13
Ví dụ 2:Viết phương trình đường tròn
Ví dụ 2:Viết phương trình đường tròn
(C) có đường kính AB với
(C) có đường kính AB với
A(-1;2), B(3;-4)
A(-1;2), B(3;-4)


13

Vấn đề: Dạng khác của phương trình
đường tròn
•
Phương trình đường tròn
(x-a)
2
+ (y-b)
2
= R
2
(1)
⇔
x
2
+ y
2
-2ax -2by + (a
2

+ b
2
– R
2
)= 0
⇔ x
2
+ y
2
-2ax -2by + c = 0 (2)
( với c = a
2
+ b
2
– R
2
)
•
Ngược lại pt x
2
+ y
2
-2ax -2by + c = 0 có
chắc là phương trình đường tròn?

•
Pt x
2
+ y
2

-2ax -2by + c = 0 có chắc là
phương trình đường tròn?
•
x
2
+ y
2
-2ax -2by + c = 0
⇔(x
2
–2ax + a
2
)+(y
2
–2by + b
2
)+c – a
2
– b
2
= 0
⇔
(x-a)
2
+ (y-b)
2
= a
2
+ b
2

- c (*)
Tìm điều kiện để phương trình (*) là phương
trình đường tròn
Điều kiện: a
2
+ b
2
– c > 0
www.company.com
§2.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
I.Phương trình đường tròn có tâm và bán kính
cho trước
II.Nhận xét:
Phương trình x
2
+ y
2
- 2ax - 2by + c = 0
là phương trình đường tròn (C) khi và
chỉ khi a
2
+ b
2
– c > 0.Khi đó đường
tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính
cbaR
22
−+=

Phương trình x

Phương trình x
2
2
+ y
+ y
2
2
- 2ax - 2by + c = 0
- 2ax - 2by + c = 0
(a
(a
2
2
+ b
+ b
2
2
–c >0) là phương trình đường tròn có tâm
–c >0) là phương trình đường tròn có tâm
I(a;b) bán kính
I(a;b) bán kính
Ví dụ3
Ví dụ3
: Phương trình nào trong các phương
: Phương trình nào trong các phương
trình sau đây là phương trình đường
trình sau đây là phương trình đường
tròn.Nếu đó là phương trình đường tròn thì
tròn.Nếu đó là phương trình đường tròn thì
xác định tâm và tính bán kính

xác định tâm và tính bán kính
a)
a)
x
x
2
2
+ y
+ y
2
2
– 6x +2y + 6 = 0 (Tổ 1)
– 6x +2y + 6 = 0 (Tổ 1)
b)
b)
x
x
2
2
+ y
+ y
2
2
– 8x – 10y + 50 = 0 (Tổ 2)
– 8x – 10y + 50 = 0 (Tổ 2)
c)
c)
2x
2x
2

2
+ y
+ y
2
2
– 2x + 6y – 1 = 0 (Tổ 3)
– 2x + 6y – 1 = 0 (Tổ 3)
d)
d)
2x
2x
2
2
+ 2y
+ 2y
2
2
+8y – 10 = 0 (Tổ 4)
+8y – 10 = 0 (Tổ 4)
cbaR
22
−+=


a)x
2
+ y
2
– 6x +2y + 6 = 0 (a)
a = 3, b = -1, c = 6

⇒ a
2
+ b
2
– c = 4 > 0
⇒ pt(a) là pt đường tròn có
tâm I(3;-1), bán kính R = 2
c)Hệ số của x
2
và y
2
khác
nhau nên pt (c) không phải
là phương trình đường tròn
b)x
b)x
2
2
+y
+y
2
2
–8x –10y + 50 = 0 (b)
–8x –10y + 50 = 0 (b)
•
a = 4, b = 5, c = 50
a = 4, b = 5, c = 50
⇒
⇒
a

a
2
2
+ b
+ b
2
2
– c = - 9 < 0
– c = - 9 < 0
⇒
⇒
pt(b) không phải là pt
pt(b) không phải là pt
đường tròn
đường tròn
d)2x
2
+ 2y
2
+8y – 10 = 0 (d)
⇔x
2
+ y
2
+ 4y – 5 = 0
a = 0, b = -2, c = -5
⇒
a
2
+ b

2
– c = 9 > 0
⇒
Pt(d) là pt đường tròn tâm
I(0;-2), bán kính R = 3
a)x
a)x
2
2
+ y
+ y
2
2
– 6x +2y + 6 = 0
– 6x +2y + 6 = 0
b)x
b)x
2
2
+ y
+ y
2
2
– 8x – 10y + 50 = 0
– 8x – 10y + 50 = 0
c)2x
c)2x
2
2
+ y

+ y
2
2
– 2x + 6y – 1 = 0
– 2x + 6y – 1 = 0
d)2x
d)2x
2
2
+ 2y
+ 2y
2
2
+8y – 10 = 0
+8y – 10 = 0



§2.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
I.Phương trình đường tròn có tâm và bán kínhcho trước
II.Nhận xét
III.Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
Trong mpOxy cho điểm M
0
(x
0
;y
0
) nằm trên
đường tròn (C) tâm I(a;b).Viết phương

trình tiếp tuyến ∆ với (C) tại M
0
.
-10 -5 5 10 15
x
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
y
∆
O
I
Mo
7
1
-2-3
2


Giải
Giải

Tiếp tuyến
Tiếp tuyến
∆
∆
với(C)tại M
với(C)tại M
0
0
(x
(x
0
0
;y
;y
0
0
) đi qua
) đi qua
M
M
0
0
và nhận vectơ làm
và nhận vectơ làm
vectơ pháp tuyến.
vectơ pháp tuyến.
PT tiếp tuyến
PT tiếp tuyến
∆
∆

là
là


(
(
x
x
0
0
– a)(x – x
– a)(x – x
0
0
)+(y
)+(y
0
0
- b)(y - y
- b)(y - y
0
0
) = 0
) = 0
)by;ax(IM
000
−−=
-10 -5 5 10 15
x
10

8
6
4
2
-2
-4
-6
y
∆
O
I
Mo
7
1
-2-3
2


Ví dụ 4
Ví dụ 4
:
:
Viết phương trình tiếp
Viết phương trình tiếp
tuyến của đường tròn (C) tại
tuyến của đường tròn (C) tại
điểm M(4;2)thuộc đường tròn(C):
điểm M(4;2)thuộc đường tròn(C):
x
x

2
2
+ y
+ y
2
2
-2x +4y – 20 = 0
-2x +4y – 20 = 0
Giải
Giải
(C) có tâm I(1;-2).Tiếp tuyến với (C)
(C) có tâm I(1;-2).Tiếp tuyến với (C)
tại M(4;2) nhận làm
tại M(4;2) nhận làm
VTPT. Phương trình tiếp tuyến
VTPT. Phương trình tiếp tuyến
là 3(x-4)+4(y-2)=0
là 3(x-4)+4(y-2)=0


⇔
⇔
3x+4y – 20 = 0
3x+4y – 20 = 0
)4;3(IM
=

1. Phương trình đường tròn tâm I(a;b)
bán kính R là (x – a)
2

+ (y – b)
2
= R
2
cbaR
22
−+=
2. Phương trình x
2
+y
2
– 2ax – 2by + c = 0
( với a
2
+ b
2
– c > 0) là pt đường tròn
có tâm I(a;b), bán kính
3.Phương trình tiếp tuyến với đường tròn
(C) tâm I(a;b) tại điểm M
0
(x
0
;y
0
) là
(x
0
– a)(x – x
0

) + (y
0
– b)(y – y
0
) = 0
*Bài tập về nhà: 1 – 6 / 83, 84
Củng cố

Ví d : ụ
Cho đ ng tròn (C) có ptườ
x
2
+ y
2
+ 4x + 4y – 17 = 0.L p pt ti p tuy n ậ ế ế
∆
v i ớ
(C) bi t ế ∆ song song v i d: 3x – 4y – 2010 = 0ớ

Giải: (C) có tâm I(-2;-2) bán kính R = 5.
∆//d nên pt có dạng 3x–4y+C=0 (C≠2010)
∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I, ∆) = 5
Vậy có 2 tiếp tuyến là
∆
1
: 3x – 4y + 23 = 0, ∆
2
: 3x – 4y – 27 = 0




−=
=
⇔
=+⇔=
+
⇔
27C
23C
25|C2|5
5
|C2|