Nghiên cứu mô hình vật lý của vi rút

Nghiên cứu mô hình vật lý của virut

Bùi Thị Lệ Quyên

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
Luận văn ThS Chuyên ngành: Vật lý ly
́
thuyết – Vâ
̣
t ly
́
toa
́
n; Mã số: 60 44 01
Người hướng dẫn: GS.TSKH. Nguyê
̃
n Ái Việt
Năm bảo vệ: 2011

Abstract: Tổng quan về virut, hình thái, cấu trúc và đặc tính của virut.
Nghiên cứu mô hình lý thuyết Ohshima cho hạt nanô xốp: phương trình
Poisson – Boltzman; thế Donnan; độ linh động điện chuyển của hạt
nanô xốp. Tìm hiểu về mô hình bề mặt đơn giản của virut qua kết quả
thực nghiệm đối với thực khuẩn thể MS2; mô hình của Ohshima; mô
hình mật độ điện thế bề mặt hiệu dụng; gần đúng Padé; gần đúng Padé
mở rộng.
Keywords: Vật lý lý thuyết; Vật lý toán; Mô hình vật lý; Virut
Content
Từ nửa cuối thế kỉ XX khoa học phát triển rất mạnh theo định hướng kết
hợp. Thông thường, mỗi ngành khoa học đều có đối tượng riêng, hệ thống khái
niệm riêng, phương pháp riêng và những quy luật riêng của chính mình. Trong

giai đoạn kết hợp, khi đi tìm con đường phát triển tiếp theo, không ít ngành
khoa học đã tìm cách ứng dụng những khái niệm, những phương pháp, những
quy luật của mình lên đối tượng vốn là truyền thống nghiên cứu của các ngành
khoa học khác. Hoá sinh, lý sinh là những ngành mới hình thành theo xu hướng
ấy, những ngành khoa học độc lập mang đặc trưng liên ngành hay giao ngành.
Và trên thực tế, những ngành khoa học mới như vậy đã đem lại những hiểu biết
mới mẻ về sự sống, để rồi trên cơ sở đó đem lại những tiến bộ quan trọng trong
y học.
Lý sinh chính là sự xâm nhập một cách hệ thống và trọn vẹn của vật lý
vào sinh học. Trong giai đoạn đầu, nhìn chung vật lý chỉ lấy thế giới không
sống làm đối tượng nghiên cứu của mình. Nhưng rồi càng ngày sự sống càng
trở nên một thách thức lớn lao, một niềm khao khát khám phá mãnh liệt, khiến
các nhà vật lý không thể không lưu tâm. Sự sống có tuân theo các quy luật vật
lý hay không, và nếu có, hình thức thể hiện của nó có gì khác với vật lý thông
thường?... Mặt khác, chính các nhà sinh vật học, khi tìm hiểu các quy luật về
sự sống, đã bắt đầu tìm kiếm sự hỗ trợ của các khái niệm và phương pháp vật
lý. Cuốn sách nhỏ của Schrodinger, một nhà vật lý nổi tiếng mà tên tuổi đã trở
thành bất tử trong vật lý lượng tử, mang một tên gọi rất sinh vật: “Sự sống là
gì?”, là một bước mở đầu như thế. Xa hơn nữa là những nghiên cứu về chuyển
động của máu trong hệ tuần hoàn, là cơ chế hấp thụ âm thanh hay ánh sáng của
cơ thể sống ngay từ thế kỉ XVII… Đến giữa thế kỉ XX, đã hình thành đầy đủ
các học thuyết về sinh học phóng xạ, năng lượng sinh vật học, quang sinh
học…

Các kỹ thuật này bao gồm phương pháp phân lập, tinh sạch virut, xác
định đặc điểm hoá sinh của các virion, các phương pháp huyết thanh học và
đặc biệt là sự ra đời của kính hiển vi điện tử đã giúp mô tả được hình thái của
nhiều loại virut khác nhau.
Bản luận văn này cũng đi theo hướng liên ngành nói trên. Ở đây chúng tôi
nghiên cứu mô hình vật lí của virut với mong muốn đưa ra kết quả đơn giản

hơn so với các mô hình virut trước đây của các tác giả khác. Trong bản luận
văn này chúng tôi tìm hiểu mô hình virut của Ohshima, xây dựng mô hình mật
độ điện thế bề mặt hiệu dụng và dùng phương pháp gần đúng Padé để tìm ra
phân bố thế của bề mặt virut. Và kết quả thu được hi vọng sẽ đáp ứng tốt hơn
mong muốn của các nhà nghiên cứu thực nghiệm.
Luận văn này gồm phần mở đầu, 3 chương nội dung, kết luận và tài liệu
tham khảo.
Phần mở đầu giới thiệu một cách khái quát đối tượng nghiên cứu, phương
pháp và mục đích nghiên cứu của luận văn.
Chương I: Tổng quan về virut
Chương II: Mô hình lý thuyết Ohshima của hạt nanô xốp
Chương III: Mô hình bề mặt đơn giản của virut
Phần kết luận chúng tôi khái quát lại những kết quả đã thu được trong luận
văn và so sánh sự phù hợp của nó với các kết quả hiện nay và đưa ra gần đúng
Padé mở rộng có tính tổng quát hơn.
CHƢƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ VIRUT
1.1 Lịch sử nghiên cứu của virut
"Virut" từ lâu đã được dùng để chỉ các chất độc ví như nọc độc rắn sau này
để chỉ các nhân tố gây bệnh dịch do nhiễm trùng. Vào cuối thế kỉ 19 người ta
đã phân lập nhiều loại vi khuẩn và chứng minh chúng gây ra nhiều loại bệnh
dịch. Nhưng có một số bệnh dịch lại không do vi khuẩn gây ra như dịch lở
mồm, long móng và huỷ hoại da ở động vật, đậu mùa, viêm não, quai bị.... mà
nguyên nhân lại do virut [1].
Năm 1935 nhà khoa học người Mỹ Wendell Stanley đã kết tinh được các
hạt virut gây bệnh đốm thuốc lá (TMV). Rồi sau đó TMV và nhiều loại virut
khác đều có thể quan sát được dưới kính hiển vi điện tử.
Như vậy nhờ có kỹ thuật màng lọc đã đem lại khái niệm ban đầu về virut
và sau đó nhờ có kính hiển vi điện tử đã có thể quan sát được hình dạng của
virut, tìm hiểu được bản chất và chức năng của chúng [1].

Ngày nay virut được coi là thực thể chưa có cấu tạo tế bào, có kích thước
siêu nhỏ và có cấu tạo rất đơn giản, chỉ gồm một loại acid nucleic, được bao
bởi vỏ protein. Muốn nhân lên virut phải nhờ bộ máy tổng hợp của tế bào, vì
thế chúng là ký sinh nội bào bắt buộc.
Virut có khả năng gây bệnh ở mọi cơ thể sống từ vi khuẩn đến con người,
là thủ phạm gây thiệt hại nặng nề cho ngành chăn nuôi, gây thất bát mùa màng
và cản trở đối với ngành công nghiệp vi sinh vật [9] . Từ những thập kỷ cuối
của thế kỷ XX trở lại đây ngày càng xuất hiện các dạng virut mới lạ ở người,
động vật mà trước đó y học chưa hề biết tới, đe doạ mạng sống của con người.
Sau HIV, SARS, Ebola, cúm A H5N1 sẽ còn bao nhiêu loại nữa sẽ xuất hiện
để gây tai hoạ cho con người.
Mặt khác, do có cấu tạo đơn giản và có genom nhiều kiểu với cơ chế sao
chép khác hẳn ở các cơ thể khác nên virut được chọn là mô hình lý tưởng để
nghiên cứu nhiều cơ chế sinh học ở mức phân tử dẫn đến cuộc cách mạng sinh
học cận đại: Sinh học phân tử, di truyền học phân tử. Vì những lý do trên việc
nghiên cứu virut đã được đẩy mạnh và trở thành một ngành khoa học độc lập
rất phát triển [1], [7] .
1.2 Các định nghĩa về virut
Người ta định nghĩa virut theo nhiều cách:
1.2.1 Định nghĩa theo kích thƣớc
Độ lớn của virut có kích thước dưới kính hiển vi, có nghĩa là nó có kích
thước nhỏ hơn cả sự phân biệt bằng kính hiển vi quang học. Kích thước của
virut khác nhiều so với vi khuẩn. Kích thước của virut lớn nhất là 400nm và
nhỏ nhất là 13nm - 20nm. Đo kích thước của virut tương đối dễ dàng và chính
xác. Đối với virut có kích thước lớn có thể đo bằng kính hiển vi thường, bằng
phương pháp nhuộm màu, còn loại virut có kích thước nhỏ có thể đo và quan
sát dưới kính hiển vi điện tử.
Độ lắng của virut tỉ lệ với kích thước của virut, ngoài ra còn phụ thuộc
vào một số yếu tố khác như nhiệt độ của môi trường, độ nhớt, tốc độ quay và
kích thước trục quay.

1.2.2 Định nghĩa theo sự sinh sản
Virut có khả năng sinh sản nghĩa là từ một phần virut xuất hiện thành 10
- 100 các phần mới. Quá trình sinh sản của virut chỉ xảy ra bên trong tế bào.
Mỗi virut sinh sản đặc biệt ở mỗi nơi khác nhau. Nó không có khả năng sinh
sản ở ngoài tế bào sống. Virut sinh sản ở từng loại tế bào là khác nhau. Chúng
nhờ tế bào vật chủ để tạo ra các virut mới.
1.2.3 Định nghĩa theo sự gây bệnh
Virut sau khi chui vào tế bào vật chủ gây ra ở đó quá trình nhiễm bệnh.
Dấu hiệu là tế bào bị bệnh khác với tế bào bình thường về cấu trúc kháng
nguyên. Tế bào sau khi bị virut xâm nhập đã trở thành nguyên liệu virut. Một
cơ thể nhất định nếu có nhiều tế bào bị hỏng thì xuất hiện dấu hiệu bệnh.
1.2.4 Định nghĩa theo sự nhiễm
Virut là tác nhân mang, nếu như ta tách virut từ tế bào này mang đến tế
bào khác thì khả năng này không làm được. Ở cơ quan này thì sinh sản bình
thường nhưng không có khả năng chui vào tế bào mới. Virut cũng mất tính
chất nhiễm như ở vi khuẩn bởi các tác nhân vật lí, hoá học, tia tử ngoại,
ester...., nhưng glycerin lại làm tăng hoạt động của virut.
1.2.5 Định nghĩa về mặt di truyền
Virut như là một cá thể trong khi nhân lên cho ra các cá thể con và đồng
thời xuất hiện những đặc điểm di truyền. Thường gặp trong tự nhiên hay khi thí
nghiệm có thể xuất hiện sự thích nghi của virut đến mỗi vật chủ nhất định. Ví
dụ như ái lực đối với vật chủ và động vật nhất định, bởi chất lượng kháng
nguyên, khả năng gây bệnh hay miễn dịch.
Tóm lại: Virut là vật thể có kích thước dưới kính hiển vi, cảm ứng ở tế
bào sống, có tính chất di truyền, nhiễm và gây nhiễm. Hay có thể nói cách
khác: Virut có kích thước nhỏ bé, kí sinh nội bào, có khả năng gây bệnh, kí
sinh ở mức độ di truyền [1].


1.3 Hình thái, cấu trúc và đặc tính của virut

1.3.1 Cấu tạo cơ bản
Tất cả các virut đều có cấu tạo gồm hai thành phần cơ bản: lõi là acid
nucleic (tức genom) và vỏ là protein gọi là capsid, bao bọc bên ngoài để bảo vệ
acid nucleic. Phức hợp bao gồm acid nucleic và vỏ capsid gọi là nucleocapsid
hay xét về thành phần hoá học thì gọi là nucleoprotein. Đối với virut ARN thì
còn gọi là ribonucleoprotein. Genom của virut có thể là ADN hoặc ARN, chuỗi
đơn hoặc chuỗi kép, trong khi genom của tế bào luôn là ADN chuỗi kép, và
trong tế bào luôn chứa hai loại acid nucleic, ADN và ARN [11].
1.3.2 Vỏ capsid
Capsid là vỏ protein được cấu tạo bởi các đơn vị hình thái gọi là
capsome. Capsome lại được cấu tạo từ 5 hoặc 6 đơn vị cấu trúc gọi là protome.
- Cấu trúc đối xứng xoắn







Hình 1.1: Kích thước và hình thái của một số virut điển hình





Hình 1.2: Cấu trúc đối xứng xoắn của virut



Sở dĩ các virut có cấu trúc này là do capsome sắp xếp theo chiều xoắn

của acid nucleic. Tuỳ loại mà có chiều dài, đường kính và chu kỳ lặp lại của
các nucleocapsid khác nhau. Cấu trúc xoắn thường làm cho virut có dạng hình
que hay hình sợi ví dụ virut đốm thuốc lá (MTV), dại (rhabdo), quai bị, sởi
(paramyxo), cúm (orthomyxo). Ở virut cúm các nucleocapsid được bao bởi vỏ
ngoài nên khi quan sát dưới kính hiển virut điện tử thấy chúng có dạng cầu.
 Cấu trúc đối xứng dạng khối đa diện 20 mặt






Ở các virut loại này, capsome sắp xếp tạo vỏ capsid hình khối đa diện
với 20 mặt tam giác đều, có 30 cạnh và 12 đỉnh. Đỉnh là nơi gặp nhau của 5
cạnh, thuộc loại này gồm các virut adeno, reo, herpes và picorna. Gọi là đối
xứng vì khi so sánh sự sắp xếp của capsome theo trục. Ví dụ đối xứng bậc 2,
bậc 3, bậc 5, khi ta xoay với 1 góc 1800 (bậc 2), 1200 (bậc 3) và 720 (bậc 5) thì
thấy vẫn như cũ.
 Virut có cấu tạo phức tạp
Một số virut có cấu tạo phức tạp, điển hình là phage và virut đậu mùa.
Phage có cấu tạo gồm đầu hình khối đa diện, gắn với đuôi có cấu tạo đối xứng
xoắn. Phage T chẵn (T2, T4, T6) có đuôi dài trông giống như tinh trùng, còn
phage T lẻ (T3,T7) có đuôi ngắn, thậm chí có loại không có đuôi.


Hình 1.3: Cấu trúc đối xứng dạng khối đa diện



1.3.3 Vỏ ngoài

Một số virut có vỏ ngoài (envelope) bao bọc vỏ capsid. Vỏ ngoài có
nguồn gốc từ màng sinh chất của tế bào được virut cuốn theo khi nảy chồi. Vỏ
ngoài có cấu tạo gồm 2 lớp lipid và protein.
Lipid gồm phospholipid và glycolipid, hầu hết bắt nguồn từ màng sinh
chất (trừ virut pox từ màng Golgi) với chức năng chính là ổn định cấu trúc của
virut.
Protein vỏ ngoài thường là glycoprotein cũng có nguồn gốc từ màng sinh
chất, tuy nhiên trên mặt vỏ ngoài cũng có các glycoprotein do virut mã hóa
được gắn trước vào các vị trí chuyên biệt trên màng sinh chất của tế bào, rồi về
sau trở thành cấu trúc bề mặt của virut. Ví dụ các gai gp 120 của HIV hay
hemaglutinin của virut cúm, chúng tương tác với receptor của tế bào để mở đầu
sự xâm nhập của
virut vào tế bào.



Hình 1.4:
A- Sơ đồ virut hình que với cấu trúc đối xứng xoắn (virut khảm thuốc lá).
Capsome sắp xếp theo chiều xoắn của acid nucleic.
B- Sơ đồ virut đa diện đơn giản nhất. Mỗi mặt là một tam giác đều. Đỉnh do 5
cạnh hợp lại. Mỗi cạnh chứa 3 capsome.
C- Sự đối xứng của hình đa diện thể hiện khi quay theo trục bậc 2 (1800), bậc
3 (1200) và bậc 5 (720) [12] .



Hình 1. 5: Cấu tạo virut có vỏ ngoài

1.3.4 Protein của virut
 Các phƣơng pháp nghiên cứu protein virut
Trước hết cần phải tách chúng khỏi tế bào. Điều này có thể thực hiện
được nhờ hàng loạt các bước ly tâm tách, tiếp đó là ly tâm theo gradient nồng
độ saccaroza. Ly tâm gradient nồng độ saccaroza thường cho kết quả thể hiện ở
các băng (band) rất rõ nét tại các vị trí đặc thù trên gradient. Các băng này
được dùng cho các nghiên cứu tiếp theo. Thông thường để nghiên cứu các
virion đánh dấu đồng vị phóng xạ, người ta dùng hàng loạt kỹ thuật như điện di
trên gel polyacrylamit, western Blotting (phản ứng với kháng thể).
Việc xác định trình tự gen và việc dự đoán acid amin sẽ giúp hiểu được
cấu trúc và chức năng của chúng.
 Các loại protein virut
Protein virut được tổng hợp nhờ mARN của virut trên riboxom của tế
bào. Tuỳ theo thời điểm tổng hợp mà được chia thành protein sớm và protein
muộn. Protein sớm do gen sớm mã hoá, thường là enzym (protein không cấu
trúc) còn protein muộn do gen muộn mã hoá, thường là protein cấu trúc tạo,
nên vỏ capsid và vỏ ngoài.
1. 4 Tính tự nhiên của virut
Virut khác nhau về kích thước, hình dạng và thành phần hoá học. Một số
virut chứa ARN, số khác chứa ADN. Một số loại virut chỉ chứa một loại
protein trong khi đó nhiều virut chứa nhiều đơn vị protein khác nhau, lắp ráp
với nhau bằng đơn vị hình thái. Một virion có nhiều đơn vị hình thái khác
nhau. Các đơn vị này có thể quan sát được bằng kính hiển vi điện tử. Protein
virut không đa dạng vì hệ gen không có thông tin di truyền để mã hoá một số
lượng lớn các protein khác nhau.
Một tổ hợp hoàn chỉnh các axid nucleic và protein được gói trong virut

gọi là nucleocapsid. Một số virut có cấu trúc khá hoàn chỉnh gọi là virut có vỏ
bọc. Nucleocapsid của loại virut này được bao bằng lớp màng bao chứa lipid
và protein không đặc trưng của virut.
1.4.1 Tính đối xứng của virut
Nucleocapsid của virut có cấu trúc đối xứng bởi các đơn vị hình thái bọc
trong vỏ virut. Chiều dài của virut được xác định bằng chiều dài của phân tử
axid nucleic, nhưng chiều rộng của chúng là do kích thước của các đơn vị
protein quyết định. Sự sắp xếp đơn giản nhất gồm 60 đơn vị hình thái thành 3
mặt tạo thành một phân tử virut. Nhiều virut có đơn vị hình thái lớn hơn chứa
180, 240 và 420 đơn vị.
Virut bao bọc: có nhiều virut có cấu trúc màng tổng hợp bọc quanh
nucleocapsid phổ biến ở động vật (virut cúm) và một số virut vi khuẩn. Tính
đặc hiệu nhiễm virut là do vỏ virut quyết định.

CHƢƠNG 2
MÔ HÌNH LÍ THUYẾT OHSHIMA CHO HẠT NANÔ XỐP
Điện thế và điện tích của các hạt keo đóng vai trò quan trọng trong các
hiện tượng điện bề mặt, chẳng hạn như các tương tác tĩnh điện giữa các hạt keo
và chuyển động của chúng trong điện trường. Khi hạt keo được đặt trong môi
trường điện phân, các ion điện phân tự do có điện tích trái dấu với điện tích bề
mặt hạt (counter ion) sẽ tiếp cận bề mặt hạt để trung hoà điện tích ở đây. Song
chuyển động nhiệt của các ion này ngăn cản sự tích tụ của chúng nên đã hình
thành xung quanh một đám mây ion. Trong đám mây ion đó, nồng độ của ion
trái dấu sẽ trở nên nhiều hơn trong khi các ion cùng dấu với bề mặt chất điện
phân (coion) lại nhỏ hơn. Đám mây ion đó cùng với điện tích bề mặt tạo thành
lớp phân cách điện (electrical double layer). Lớp phân cách điện này gọi là lớp
phân cách khuếch tán vì các ion điện phân được phân bố giống như cấu trúc
khuếch tán tuân theo chuyển động nhiệt của các ion. Trong các mô hình đang
xét, ông chỉ xét đến trường hợp một hạt ở nhân được bao quanh bởi lớp điện
phân ở bề mặt mà ion có thể thâm nhập và được gọi là lớp điện tích bề mặt

(surface charge layer). Các hạt được bao bọc bởi lớp poly điện phân
(polyelectrolyte – coated particle) như vậy được gọi là hạt xốp (soft particle)
[12]. Như ta thấy trên hình 2.1 một hạt xốp sẽ trở thành một hạt cứng (hard
particle) khi bỏ đi lớp điện tích bề mặt, hay trở thành quả cầu rỗng (spherical
polyelectrolyte) của chất điện phân khi bỏ đi hạt nhân. Các hạt xốp trở thành
mô hình tốt cho các chất keo sinh học (biocolloid) như tế bào hoặc virut. Trong
các trường hợp đó, lớp phân cách điện sẽ được hình thành không chỉ bên ngoài
mà cả bên trong của bề mặt hạt. Ngược lại, các hạt mà không có cấu trúc bề
mặt và bề mặt của hạt đó được gọi là các hạt cứng và bề mặt cứng tương ứng.

2.1 Phƣơng trình Poisson – Boltzman
Xét trường hợp đơn giản của hạt xốp được cấu tạo từ một lõi cứng bao
quanh bởi lớp bề mặt lớp điện phân ion có thể thâm nhập được. Tưởng tượng ta
có một lớp điện bề mặt dày d bao quanh một mặt phẳng cứng được nhúng
trong một dung dịch điện phân có chứa M phân tử ion hoá trị z
i
và nồng độ
khối (mật độ hạt trong một đơn vị thể tích) là . Xét
trường hợp các nhóm ion tổng cộng hoá trị Z được phân bố với mật độ đều N
trong lớp bề mặt và lõi hạt không mang điện tích. Giả thiết rằng hằng số điện
môi có chung một giá trị ở cả ngoài và trong lớp bề mặt. Chọn trục x vuông
góc với lớp bề mặt và gốc x = 0 ở biên giữa lớp bề mặt và môi trường điện


phân bên ngoài. Khi đó, lớp bề mặt nằm ở trong vùng –d < x < 0 và dung dịch
điện phân ở miền x > 0 như hình 2.2.

Mật độ hạt của các phần tử ion mang điện tự do liên hệ với điện thế
bằng phương trình Poisson
(2.1)
. (2.2)
Trong đó là hằng số điện môi của dung dịch, là hằng số điện môi của
chân không và e là điện tích nguyên tố. Lưu ý rằng vế phải của phương trình
2.2 chứa cả đóng góp của hạt cố định có mật độ trong lớp điện
phân. Đồng thời giả thiết là hàm phân bố của các ion điện phân n
i
(x) tuân theo
định luật Boltzman. Do đó ta có
(2.3)











(2.5)

Và nồng độ hạt tại vị trí x bằng
. (2.4)
Thế tại vị trí x trong miền x > 0 và –d < x < 0 thoả mãn phương trình
Possion – Boltzman
. (2.5)
với
(2.6)
. (2.7)


Hình 2.2: Giản đồ biểu diễn phân bố ion (a) và phân bố thế (b) cắt ngang của một lớp
bề mặt có thể bị xâm nhập bởi ion.
(a)
(b)
Trong đó y là thế chia độ (scaled potential) và là thông số Debye – Huckel
của dung dịch. Các điều kiện biên là
= , (2.8)
, (2.9)
= , (2.10)
(2.11)
(2.12)
Phương trình 2.9 tương ứng với trường hợp lõi hạt không mang điện.
Trong trường hợp đặc biệt, khi chất điện phân đối xứng (khi các ion đều có hoá
trị nhau) có hoá trị z và nồng độ n, ta có
(2.13)
(2.14)
hoặc
, (2.15)
(2.16)

Với
, (2.17)
. (2.18)
trong đó y là thế chia độ (scaled potential) và là thông số Debye – Huckel
của dung dịch điện phân đối xứng.
2.2 Thế Donnan
Nếu bề dày của lớp mặt d lớn hơn độ dài Debye khi đó điện thế ở
sâu bên trong lớp bề mặt trở thành thế Donnan . Ta có thể thu được thế
này bằng cách cho vế phải của phương trình 2.15 và 2.17 bằng không, tức là
(2.19)
. (2.20)
Phương trình 2.16 có thể viết lại theo thế Donnan thành
2.21)
Khi , phương trình 2.22 cho ta thế Donnan bị tuyến tính hoá như sau
(2.22)
Hơn nữa, chúng ta gọi là thế ở biên giữa lớp bề mặt và dung dịch
điện phân xung quanh, thế bề mặt của lớp điện phân.
Xét trường hợp đơn giản khi thấp, phương trình 2.14 và 2.15 có thể
bị tuyến tính hoá thành
(2.23)
(2.24)
Nghiệm của phương trình 2.24 và 2.25 thoả mãn điều kiện biên từ phương
trình 2.9 đến 2.13 là
(2.25)
(2.26)
Và thế bề mặt thu được bằng
(2.27)
Lưu ý khi , thế sâu bên trong lõi bề mặt tiến đến thế Donnan bị tuyến
tính hoá (phương trình 2.23), và bằng
(2.28)

Và thế bề mặt (phương trình 2.28) bằng một nửa thế Donnan
. (2.29)
Đối với trường hợp tính toán cho thế bất kì, tham khảo thêm trong [21].
2.3 Độ linh động điện chuyển của hạt nano xốp
Trong mục này ta xét đến lí thuyết tổng quát về tính chất điện chuyển
của các hạt xốp và biểu biễn giải thích gần đúng cho độ linh động của hạt xốp.
Xét một hạt xốp hình cầu, tức là một hạt cầu mang điện được bao bọc
bởi một lớp điện phân ion có thể xâm nhập được, chuyển động với vận tốc
trong chất lỏng có chứa chất điện phân và chịu tác dụng của điện trường ngoài
. Giả thiết rằng hạt nhân có bán kính a được phủ bên ngoài lớp điện phân ion
có thể xâm nhập dày d và các gốc ion hoá trị Z được phân bố trong lớp điện
phân với mật độ đồng nhất N. Lớp điện phân được tích điện với mật độ không