hình 10 nâng cao : Elip , tiết 1

Khi nhìn sâu vào vũ trụ, chúng ta thấy hàng tỉ thiên hà.
Thiên hà có nhiều hình dáng, kích cỡ. Chúng có thể có hình
elip hoặc hình xoắn ốc như Ngân hà của chúng ta.
MỘT SỐ HÌNH ẢNH VỀ ELIP

….
MỘT SỐ HÌNH ẢNH VỀ ELIP
Trái đất
Hành tinh trái đất của chúng ta quay quanh mặt trời ở
vùng ngoài của ngân hà hình xoắn ốc

MỘT SỐ HÌNH ẢNH VỀ ELIP
Thiên hà NGC 147 là thiên hà
hình Elip
Thiên hà MESSIER104 vừa là
thiên hà xoắn ốc, vừa là thiên hà
elip.

Gi. Keple (1571-1630) là một nhà thiên văn vĩ đại đã phát minh
ra các quy luật chuyển động của hành tinh. Một trong ba quy luật
ấy là:
Các hành tinh chuyển động theo đường elip mà mặt trời là
một tiêu điểm.
MỘT SỐ HÌNH ẢNH VỀ ELIP
Gi. Keple
1517-1630

Mặt trời
Trái đất
MỘT SỐ HÌNH ẢNH VỀ ELIP

Quỹ đạo của trái đất khi quay quanh mặt trời là một đường Elip
Điểm
cận
nhật
Điểm
viễn
nhật

Đối với lịch sử hình học, cuốn “ Phần quang học của thiên văn” của Keple(1604)
đóng vai trò quan trọng. Ông đã chỉ ra rằng giao tuyến của mặt nón với mặt
phẳng có thể là đường thẳng, đường tròn, parabol, hypebol, elip…
MỘT SỐ HÌNH ẢNH VỀ ELIP
Nếu mặt phẳng (P) không đi qua đỉnh của mặt nón và cắt mọi đường sinh
thì giao tuyến là đường elip.
Gi. Keple
1517-1630

Nếu cắt một ống hình trụ bởi một phẳng vuông góc với đường
sinh thì thiết diện là một đường tròn.
Nếu mặt phẳng cắt không vuông góc với đường sinh thì thiết
diện thu được là một Elip.
MỘT SỐ HÌNH ẢNH VỀ ELIP

I. ĐỊNH NGHĨA
Cho hai điểm cố định và với
1
F
2
F
( )

1 2
F F 2 0c c= >
Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho
1 2
MF +MF 2a=
trong đó a là số cho trước lớn hơn c gọi là đường Elip (E) (còn gọi là
elip (E))

Hai điểm và gọi là các tiêu điểm của elip (E).
1
F
2
F

Khoảng cách 2c gọi là tiêu cự của elip(E).
M
1
F
2
F
2c
( )
{ }
1 2
E M MF MF 2a= + =
Vậy:
Tiết 37-38-39 - Bài 7: ELIP (2LT+1BT)

II. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP
Cho elip

Trục Oy là đường trung trực của và nằm trên tia Ox
1
F
2
F
Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm của đoạn
1
F
2
F
2
F
a) Hãy tìm tọa độ hai tiêu điểm của (E)?
2
MF
cx
a
a
= −
b) Chứng minh rằng nếu điểm M(x;y) nằm trên
Elip (E) thì:
M
1
F
2
F
(-c;0)
(c;0)
(x;y)
BÀI TOÁN:

1
MF
cx
a
a
= +
Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y
x
y
O
và
( )
{ }
1 2 1 2
E M MF MF 2 ; F F 2a c= + = =
Với , là các tiêu điểm
1
F
2
F


Phương trình chính tắc của Elip:
( )
2 2
2 2
1 0
x y
a b
a b

+ = > >
Trong đó:
2 2 2
b a c= −
KẾT LUẬN:

Các đoạn thẳng gọi là các bán kính qua tiêu tại điểm M.
1 2
MF ; MF
M
2
MF
cx
a
a
= −
M
1
MF
cx
a
a
= +
và
( )
M M
M ;x y
Nếu thì:

Các tiêu cự: và

( )
1
F ;0c−
( )
2
F ;0c
M
1
F
2
F
(-c;0)
(c;0)
x
y
( )
{ }
1 2 1 2
E M MF MF 2 ; F F 2a c= + = =
Với , là các tiêu điểm
1
F
2
F
Có dạng:
( )
M M
;x y

BÀI 1

Cho elip (E):
2 2
1
5 4
x y
+ =
Cặp điểm nào là các tiêu điểm của elip:
( ) ( )
1 2
F ( 1;0); FA 1;0= −
( ) ( )
1 2
F ( 3;0);FB 3;0= −
( ) ( )
1 2
C F (0; 1);F 0;1= −
( ) ( )
1 2
F ( 2;0); FD 2;0= −
BÀI 2
Elip (E):
2 2
2 2
1
x y
p q
+ =
Với p > q > 0 có tiêu cự là bao nhiêu?
( )
A p q+

( )
2 2
B p q−
( )
C p q−
( )
2 2
D 2 p q−
( )
M M
M ;x y

Bán kính qua tiêu tại điểm

Phương trình chính tắc của Elip:
( )
2 2
2 2 2
2 2
1 0 ;
x y
a b b a c
a b
+ = > > = −
M
2
MF
cx
a
a

= −
1
MF
M
cx
a
a
= +

Các tiêu cự: và
( )
1
F ;0c−
( )
2
F ;0c

BÀI 3
Tìm những điểm trên elip (E) thỏa mãn:
( )
2
2
E : 1
9
x
y+ =
b) Có bán kính qua tiêu điểm trái bằng hai lần bán kính qua tiêu điểm phải.
a) Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông.
Cho elip (E) có phương trình chính tắc:
( )

M M
M ;x y

Bán kính qua tiêu tại điểm

Phương trình chính tắc của Elip:
( )
2 2
2 2 2
2 2
1 0 ;
x y
a b b a c
a b
+ = > > = −
M
2
MF
cx
a
a
= −
1
MF
M
cx
a
a
= +


Các tiêu cự: và
( )
1
F ;0c−
( )
2
F ;0c

( )
2
2
E : 1
9
x
y+ =
2 2 2 2 2
9 3 ; 1 1; 8 2 2a a b b c a b c= ⇒ = = ⇒ = = − = ⇒ =
Elip (E) có các tiêu điểm :
( ) ( )
1 2
F 2 2;0 ; F 2 2;0−
a) Gọi là điểm cần tìm.Khi đó
( )
;
N N
N x y
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2

2
1 2 1 2
2
2 2 2
2 2; ; 2 2;
. 0 2 2 2 2 0
8 0 1 ; 1 2
9
N N N N
N N N
N
N N N
F N x y F N x y
F N F N F N F N x x y
x
x y N E y
+ −
⊥ ⇔ = ⇔ + − + =
⇔ − + = ∈ ⇒ + =
uuuur uuuur
uuuur uuuur uuuur uuuur
Giải (1)và (2) ta có
2
2
3 7
63
8
2 2
1
1

8
2 2
N
N
N
N
x
x
y
y


= ±
=


 
⇔
 
 
=
= ±




Vậy có bốn điểm cần tìm là:
3 7 1
;
2 2 2 2

 
± ±
 ÷
 ÷
 
Giải:

b) Gọi M(x;y) là điểm cần tìm. Ta có:
( )
1 2
2
2
2 2 2 2 6 2 3
2 3 2 3 3
3 3 3
2 2
7 7
1
9 8
2 2
x x x
MF MF x
x
M E y y
 
= ⇔ + = − ⇔ = ⇔ =
 ÷
 ÷
 
∈ ⇔ = − = ⇔ = ±

Vậy có hai điểm cần tìm là:
3 7
;
2 2 2 2
 
±
 ÷
 ÷
 

( )
M M
M ;x y

Bán kính qua tiêu tại điểm

Phương trình chính tắc của Elip:
( )
2 2
2 2 2
2 2
1 0 ;
x y
a b b a c
a b
+ = > > = −
M
2
MF
cx

a
a
= −
1
MF
M
cx
a
a
= +

Các tiêu cự: và
( )
1
F ;0c−
( )
2
F ;0c
KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ

a) Lập phương trình chính tắc của (E) biết là một tiêu điểm và
(E) đi qua M(-2;12)
( )
1
F 7;0−
b) Khi M chạy trên elip đó, khoảng cách có giá trị nhỏ nhất và giá
trị lớn nhất bằng bao nhiêu?
1
MF
HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ:

Bài tập lý thuyết:
Xây dựng phương trình của Elip:
1
F
2
F
nếu chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm của
đoạn
Trục Ox là trung trực của và thuộc tia Oy
2
F
BÀI 4
1
F
2
F
( )
{ }
1 2 1 2
E M MF MF 2 ; F F 2a c= + = =
Với , là các tiêu điểm
1
F
2
F