Tài liệu Vectơ pháp tuyến của đường thẳng, phương trình tổng quát của đường thẳng

Cho a = (a11,a22)) b = (b11,b22))
Cho a = (a ,a
b = (b ,b
a.b = ?
a⊥b?
a.b = ?
a⊥b?
Trả lời :
a.b
= a1b1 + a2b2
a ⊥ b  a1b1 + a2b2 = 0



VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG.
PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

I. ĐỊNH NGHĨA :

Một vectơ n khác 0 được gọi là vectơ pháp tuyến
của đường thẳng a nếu n nằm trên đường thẳng
vng góc với a.
Rõ ràng là :
a. Nếu nlà một vectơ pháp tuyến của đường thẳng a
n
thì k ( với k khác 0) cũng là vectơ pháp tuyến của
đường thẳng đó.
b. Một đường thẳng được xác định nếu biết một
điểm nằm trên nó và một vectơ pháp tuyến của nó.

VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG.
PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG :

Bài toán: Trong mặt
phẳng với hệ toạ
độ Oxy cho đường
thẳng ∆ đi qua điểm
M0 (x0,y0) và có
vectơ pháp tuyến
n
(A;B). Tìm điều kiện
cần và đủ để điểm
M (x,y) nằm trên ∆.

y

n
∆
M
M0(x0;y0)
O

x


VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG.
PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG :
y
Giải: Với mọi điểm M (x,y) ta
có M0M = (x - x0 ; y - y0). Điểm
M nằm trên ∆ khi và chỉ khi
M0m và n vng góc với
nhau, hay M0M.n = 0. Như
vậy :
M0(x0;y0)
A (x - x0) + B (y - y0) = 0 (*)
Phương trình (*) chính là
O
điều kiện cần và đủ để điểm
M(x;y) nằm trên ∆

n
∆
M

x


VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG.
PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG :
Chú ý rằng nếu ta đặt C = - Ax0 - Ay0 thì phương trình (*) trở
thành: Ax + By + C = 0, trong đó hai số A và B khơng đồng thời
bằng 0.

Phương trình Ax + By + C = 0 (A2 + B2 khác 0) được gọi là
phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đối với hệ tọa độ Oxy.

Định lí
Đối với một hệ tọa độ Oxy cho trước, mọi phương
trình Ax + By + C = 0 (với A,B không đồng thời bằng
0) đều là phương trình tổng qt của một đường
thẳng xác định nào đó.


VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG.
PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG :
Các trường hợp riêng
Xét đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát Ax + By + C = 0 (1)
(A,B không đồng thời bằng 0).
Nếu A = 0 thì phương trình (1) trở nên By + C = 0, B khác 0. Khi đó
một véctơ pháp tuyến của ∆ là n (0;B) nên đường thẳng ∆ song
C

song
M 0  0;− 
B

với trục tọa độ Ox và cắt trục Oy tại điểm
Nếu B = 0 thì phương trình (1) trở nên Ax + C = 0, A khác 0. Khi đó
n
một vectơ pháp tuyến của ∆ là (A;0)  C đường thẳng song song
nên 

M 0  − ;0 
 A 
với trục Oy và cắt trục Ox tại điểm
Nếu C = 0 thì phương trình (1) trở nên Ax + By = 0. Khi đó đường


VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG.
PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

III. VÍ DỤ:
Bài 1
Cho hệ tọa độ Oxy. Viết phương trình tổng quát của:
a. Đường thẳng Ox
b. Đường thẳng Oy
Giải:
a. Đường thẳng Ox qua O(0;0) và nhận j = (0;1) làm pháp vectơ, có
phương trình:
0 (x – 0) + 1(y – 0) = 0  y = 0
b. Đường thẳng Oy qua O(0;0) và nhận i = (1;0) làm pháp vectơ có
phương trình:
1 (x – 0) + 0 (y – 0) = 0  x = 0


VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG.
PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

III. VÍ DỤ:
Bài 2
Cho đường thẳng (∆) có phương trình Ax + By + C = 0 và điểm
M0(x0;y0)

a. Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua M và song song với (∆)
b. Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua M và vng góc với (∆)
Giải:
a. Đường thẳng (D) // (∆) nên nhậnn = (A;B) là FVT và (D) qua M0(x0;y0)
có phương trình:
A (x – x0) + B(y – y0) = 0  Ax + By – Ax0 – By0 = 0
b. n = (A;B) là FVT của đường thẳng (∆). Do (D) ⊥ (∆) nên n1 = (B;-A) là
FVT của (D) và (D) qua M0(x0;y0) có phương trình:
B (x – x0) – A (y – y0) = 0  Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0


VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG.
PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

III. VÍ DỤ:
Bài 3
CMR đường thẳng (d) qua A(a;0); B(0;b) (a ≠ 0; b ≠ 0) có phương trình:

x y
+ =1
a b

Giải:
Vì AB= (-a;b) nên n = (b;a) vng góc với AB.
Đường thẳng (D) cần tìm qua A(a;0) và nhận n làm FVT có phương
trình:
b(x – a) + a(y – 0) = 0  bx + ay = ab
Chi 2 vế cho ab ta được:

x y

+ =1
a b


VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG.
PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

IV. CỦNG CỐ - DẶN DÒ:

Bài tập phần Phương trình đường thẳng