day so co gioi han 0

Sở Giáo dục và đào tạo thanh hóa
Tr ờng THPT quảng x ơng 2
***
ChơngIV.Giới hạn
Tiết60. Đ1. Dãy số có giới hạn 0
Giáoviên:NguyễnHoàngTuyên
Tiết60.Đ1.Dãy số có giới hạn 0
1). Định nghĩa dãy số có giới hạn 0:
( 1)
VD:Chodãysố( )với
n
n n
u u
n

=
Làmthếnàođểxácđịnhđợcsốhạngu
1
củadãysốtrên?
Làmthếnàođểxácđịnhđợcsốhạngu
1
củadãysốtrên?
Từsốhạngtổngquátcủadãysốtathayn=1,tađợc:
( )
1
1
1
1
1
u

= =
Hãyxácđịnhcácsốhạngu
2
,u
3
,u
10
,u
11
,u
23
,u
24
củadãysốtrên?
Hãyxácđịnhcácsốhạngu
2
,u
3
,u
10
,u
11
,u
23
,u
24
củadãysốtrên?
( )
2
2

1
1
2 2
u

= =
10 233 11 24
1 11 1
, , ,
1
3 11
,
2410 23
u uu u u= == ==
Hãybiểudiễndãysốtrêndớidạngkhaitriển?
Tiết60.Đ1.Dãy số có giới hạn 0
1). Định nghĩa dãy số có giới hạn 0:
( 1)
VD:Chodãysố( )với
n
n n
u u
n

=
|
1
|
0
|

1
2
|
1
4
|
1
10
|
1
24
|
1
3

|
1
5

|
1
11

|
1
23

1 1 1 1 1 1 1 1
1, , , , , , , , , , ,
2 3 4 5 10 11 23 24

Biểudiễn(u
n
)dớidạngkhaitriển:
Biểudiễncácsốhạngcủadãysố(u
n
)trêntrụcsố:
*Khoảngcách|u
n
|từđiểmu
n
đến0nhỏdầnkhintăngdần
TiÕt60.§1.D·y sè cã giíi h¹n 0
( 1)
VD:Chod·ysè( )víi
n
n n
u u
n
−
=
1 1 1 1 1 1 1 1
1, , , , , , , , , , ,
2 3 4 5 10 11 23 24
− − − − −
BiÓudiÔn (u
n
) díid¹ngkhaitriÓ n:
1). §Þnh nghÜa d·y sè cã giíi h¹n 0
1

2
1
10
1
11
1
12
1
23
1
24
1
25
1
50
1
51
1
52
n 1 2 … 10 11 12 … 23 24 25 … 50 51 52 …
|u
n
|
… … … …
1
2
1
10
1
11

1
12
1
23
1
24
1
25
1
50
1
51
1
52
1
Tiết60.Đ1.Dãy số có giới hạn 0
( 1)
VD:Chodãysố( )với
n
n n
u u
n

=
1 1 1 1 1 1 1 1
1, , , , , , , , , , ,
2 3 4 5 10 11 23 24

Biểudiễn (u
n

) dớidạngkhaitriể n:
1). Định nghĩa dãy số có giới hạn 0
1
2
1
10
1
11
1
12
1
23
1
24
1
25
1
50
1
51
1
52
n 1 2 10 11 12 23 24 25 50 51 52
|u
n
|
1
1
2
1

10
1
11
1
12
1
23
1
24
1
25
1
50
1
51
1
52
?
?
Mọi số hạng của dãy số đã cho có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1/10
kể từ số hạng thứ mấy trở đi ?
Tiết60.Đ1.Dãy số có giới hạn 0
( 1)
VD:Chodãysố( )với
n
n n
u u
n

=

1 1 1 1 1 1 1 1
1, , , , , , , , , , ,
2 3 4 5 10 11 23 24

Biểudiễn (u
n
) dớidạngkhaitriể n:
1). Định nghĩa dãy số có giới hạn 0
1
2
1
10
1
11
1
12
1
23
1
24
1
25
1
50
1
51
1
52
n 1 2 10 11 12 23 24 25 50 51 52
|u

n
|
1
1
2
1
10
1
11
1
12
1
23
1
24
1
25
1
50
1
51
1
52
?
?
Mọi số hạng của dãy số đã cho có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1/10
kể từ số hạng thứ mấy trở đi ?
*Mọisốhạngcủadãysốcógiátrịtuyệtđốinhỏhơn
1/10,kểtừsốhạngthứ11trởđi
1

| | vớimọi 10
10
n
u n< >
Tiết60.Đ1.Dãy số có giới hạn 0
( 1)
VD:Chodãysố( )với
n
n n
u u
n

=
1 1 1 1 1 1 1 1
1, , , , , , , , , , ,
2 3 4 5 10 11 23 24

Biểudiễn (u
n
) dớidạngkhaitriể n:
1). Định nghĩa dãy số có giới hạn 0
1
2
1
10
1
11
1
12
1

23
1
24
1
25
1
50
1
51
1
52
n 1 2 10 11 12 23 24 25 50 51 52
|u
n
|
1
1
2
1
10
1
11
1
12
1
23
1
24
1
25

1
50
1
51
1
52
?
?
Mọi số hạng của dãy số đã cho có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1/23
kể từ số hạng thứ mấy trở đi ?
Tiết60.Đ1.Dãy số có giới hạn 0
( 1)
VD:Chodãysố( )với
n
n n
u u
n

=
1 1 1 1 1 1 1 1
1, , , , , , , , , , ,
2 3 4 5 10 11 23 24

Biểudiễn (u
n
) dớidạngkhaitriể n:
1). Định nghĩa dãy số có giới hạn 0
1
2
1

10
1
11
1
12
1
23
1
24
1
25
1
50
1
51
1
52
n 1 2 10 11 12 23 24 25 50 51 52
|u
n
|
1
1
2
1
10
1
11
1
12

1
23
1
24
1
25
1
50
1
51
1
52
?
?
Mọi số hạng của dãy số đã cho có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1/23
kể từ số hạng thứ mấy trở đi ?
*Mọisốhạngcủadãysốcógiátrịtuyệtđốinhỏhơn
1/23,kểtừsốhạngthứ24trởđi
Tiết60.Đ1.Dãy số có giới hạn 0
( 1)
VD:Chodãysố( )với
n
n n
u u
n

=
1 1 1 1 1 1 1 1
1, , , , , , , , , , ,
2 3 4 5 10 11 23 24

Biểudiễn (u
n
) dớidạngkhaitriể n:
1). Định nghĩa dãy số có giới hạn 0
1
2
1
10
1
11
1
12
1
23
1
24
1
25
1
50
1
51
1
52
n 1 2 10 11 12 23 24 25 50 51 52
|u
n
|
1

1
2
1
10
1
11
1
12
1
23
1
24
1
25
1
50
1
51
1
52
?
?
Mọi số hạng của dãy số đã cho có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn
a). 1/ 50 b). 1/ 75 c). 1/ 500 d). 1/ 1 000 000
kể từ số hạng thứ mấy trở đi ?
a). 51 b). 76 c). 501 d). 1 000 001
Tiết60.Đ1.Dãy số có giới hạn 0
( 1)
VD:Chodãysố( )với
n

n n
u u
n

=
1 1 1 1 1 1 1 1
1, , , , , , , , , , ,
2 3 4 5 10 11 23 24

Biểudiễn (u
n
) dớidạngkhaitriể n:
1). Định nghĩa dãy số có giới hạn 0
1
2
1
10
1
11
1
12
1
23
1
24
1
25
1
50
1

51
1
52
n 1 2 10 11 12 23 24 25 50 51 52
|u
n
|
1
1
2
1
10
1
11
1
12
1
23
1
24
1
25
1
50
1
51
1
52
Mọisốhạngcủadãysốđềucógiátrịtuyệtđốinhỏhơnmột
sốdơngnhỏtuỳýchotrớc,kểtừmộtsốhạngnàođótrởđi.

Tanói:dãy số có giới hạn là 0
Tiết60.Đ1.Dãy số có giới hạn 0
( 1)
VD:Chodãysố( )với
n
n n
u u
n

=
1 1 1 1 1 1 1 1
1, , , , , , , , , , ,
2 3 4 5 10 11 23 24

Biểudiễn (u
n
) dớidạngkhaitriể n:
1). Định nghĩa dãy số có giới hạn 0
1
2
1
10
1
11
1
12
1
23
1
24

1
25
1
50
1
51
1
52
n 1 2 10 11 12 23 24 25 50 51 52
|u
n
|
1
1
2
1
10
1
11
1
12
1
23
1
24
1
25
1
50
1

51
1
52
Mọisốhạngcủadãysốđềucógiátrịtuyệtđốinhỏhơnmột
sốdơngnhỏtuỳýchotrớc,kểtừmộtsốhạngnàođótrởđi.
Tanói:dãy số có giới hạn là 0
?
? Em hiểu thế nào là một dãy số có giới hạn 0 ?
Tiết60.Đ1.Dãy số có giới hạn 0
1). Định nghĩa dãy số có giới hạn 0
Dãy số u
n
có giới hạn 0 nếumọi|u
n
|nhỏhơnmộtsố
dơngtuỳýchotrớc,kểtừmộtsốhạngnàođótrởđi
lim( ) 0hoặc li m 0hoặcKíh ệu: 0i
n n n
u u u= =
n
Kíhiệu:" "cònđ ợcviết" ",
đọclà:Dãysốcógiớihạnlà0khin
lim 0 l
dầnđếnvôcự
im u =0
c
n
n
u

=
( 1)
VD:Dãysố cógiớihạnlà0
Taviết:
( 1)
lim 0
n
n
n
u
n
n

=

=
Tiết60.Đ1.Dãy số có giới hạn 0
1). Định nghĩa dãy số có giới hạn 0
Dãy số u
n
có giới hạn 0 nếumọi|u
n
|nhỏhơnmộtsố
dơngtuỳýchotrớc,kểtừmộtsốhạngnàođótrởđi
lim( ) 0hoặc li m 0hoặcKíh ệu: 0i
n n n
u u u= =
n
đọclà:
Kíhiệu:"lim 0"cònđ ợcviết"lim u =0",

Dãysốcógiớihạnlà0khindầnđếnvôcực
n
n
u

=
*Nhậnxét:
lim 0 lim 0
n n
u u+ = =
1 ( 1) ( 1) 1
: Vì: vàlim 0nênlim 0
n n
n n
VD
n n

= = =
+Dãysốkhôngđổi(u
n
),vớiu
n
=0cógiớihạn0
Tiết60.Đ1.Dãy số có giới hạn 0
1
VD:Chodãysố vàbảnggiátrịcủa ứngvớigiátrịcủanđãcho
n n
u u
n
=

n 1 2 10 11 12 23 24 25 50 51 52
|u
n
|
1
1
25
1
50
1
51
1
52
1
24
1
23
1
12
1
11
1
10
1
2
Hãy xác định các phát biểu sau đúng hay sai?
1
A).Mọi , kểtừsốhạngthứ12trởđi
11
n

u <
Tiết60.Đ1.Dãy số có giới hạn 0
1
VD:Chodãysố vàbảnggiátrịcủa ứngvớigiátrịcủanđãcho
n n
u u
n
=
n 1 2 10 11 12 23 24 25 50 51 52
|u
n
|
1
1
25
1
50
1
51
1
52
1
24
1
23
1
12
1
11
1

10
1
2
Hãy xác định các phát biểu sau đúng hay sai?
1
A).Mọi , kểtừsốhạngthứ12trởđi
11
n
u <
Đúng
Tiết60.Đ1.Dãy số có giới hạn 0
1
VD:Chodãysố vàbảnggiátrịcủa ứngvớigiátrịcủanđãcho
n n
u u
n
=
n 1 2 10 11 12 23 24 25 50 51 52
|u
n
|
1
1
25
1
50
1
51
1
52

1
24
1
23
1
12
1
11
1
10
1
2
Hãy xác định các phát biểu sau đúng hay sai?
1
A).Mọi , kểtừsốhạngthứ12trởđi
11
n
u <
1
B).Mọi , kểtừsốhạngthứ25trởđi
24
n
u <
Đúng
Tiết60.Đ1.Dãy số có giới hạn 0
1
VD:Chodãysố vàbảnggiátrịcủa ứngvớigiátrịcủanđãcho
n n
u u
n

=
n 1 2 10 11 12 23 24 25 50 51 52
|u
n
|
1
1
25
1
50
1
51
1
52
1
24
1
23
1
12
1
11
1
10
1
2
Hãy xác định các phát biểu sau đúng hay sai?
1
A).Mọi , kểtừsốhạngthứ12trởđi
11

n
u <
1
B).Mọi , kểtừsốhạngthứ25trởđi
24
n
u <
Đúng
Đúng
Tiết60.Đ1.Dãy số có giới hạn 0
1
VD:Chodãysố vàbảnggiátrịcủa ứngvớigiátrịcủanđãcho
n n
u u
n
=
n 1 2 10 11 12 23 24 25 50 51 52
|u
n
|
1
1
25
1
50
1
51
1
52
1

24
1
23
1
12
1
11
1
10
1
2
Hãy xác định các phát biểu sau đúng hay sai?
1
A).Mọi , kểtừsốhạngthứ12trởđi
11
n
u <
1
B).Mọi , kểtừsốhạngthứ25trởđi
24
n
u <
1
C).Mọi , kểtừsốhạngthứ52trởđi
51
n
u <
Đúng
Đúng
Tiết60.Đ1.Dãy số có giới hạn 0

1
VD:Chodãysố vàbảnggiátrịcủa ứngvớigiátrịcủanđãcho
n n
u u
n
=
n 1 2 10 11 12 23 24 25 50 51 52
|u
n
|
1
1
25
1
50
1
51
1
52
1
24
1
23
1
12
1
11
1
10
1

2
Hãy xác định các phát biểu sau đúng hay sai?
1
A).Mọi , kểtừsốhạngthứ12trởđi
11
n
u <
1
B).Mọi , kểtừsốhạngthứ25trởđi
24
n
u <
1
C).Mọi , kểtừsốhạngthứ52trởđi
51
n
u <
Đúng
Đúng
Đúng
D).Mọi nhỏhơnmộtsốd ơngnhỏtuỳý
chotr ớc, kểtừmộtsốhạngnàođótrởđi
n
u
Đúng
Tiết60.Đ1.Dãy số có giới hạn 0
1
VD:Chodãysố vàbảnggiátrịcủa ứngvớigiátrịcủanđãcho
n n
u u

n
=
n 1 2 10 11 12 23 24 25 50 51 52
|u
n
|
1
1
25
1
50
1
51
1
52
1
24
1
23
1
12
1
11
1
10
1
2
Hãy xác định các phát biểu sau đúng hay sai?
D).Mọi nhỏhơnmộtsốd ơngnhỏtuỳý
chotr ớc, kểtừmộtsốhạngnàođótrởđi

n
u
Đúng
Đúng
1
E). lim 0
n
=
Tiết60.Đ1.Dãy số có giới hạn 0
1). Định nghĩa dãy số có giới hạn 0
Mọi| | đềunhỏhơnmộtsố
lim 0 d ơngnhỏtuỳýchotr ớc,
kểtừmộtsốhạngnàođótrởđi
n
n
u
u

ữ
=
ữ
ữ

1
lim 0
n
=
2). Một số dãy số có giới hạn 0
3
1 1

).lim 0 ).lim 0a b
n n
= =
*Địnhlí1:(SGK)
Chứng minh định lí 1
Chứng minh định lí 1
?
?
Với limv
n
= 0, ta có điều gì?
n n
Vì u v nêntacókếtlu ậngì?
Vìlimv
n
=0nênmọisốhạngcủa
dãysố(v
n
)nhỏhơnmộtsốdơng
nhỏtuỳýchotrớc,kểtừsốhạngthứ
Nnàođótrởđi
n n
Vì|u | nênmọi|u |nhỏhơnsốd ơng
nhỏtuỳýchotr ớcđó,kểtừsốhạngthứNtrởđi
n
v
V y: lim u
n
= 0
,

lim 0
lim 0
n n
n
n
u v n
u
v



=

=


Chohaidãysố(u
n
)và(v
n
)
Tiết60.Đ1.Dãy số có giới hạn 0
1). Định nghĩa dãy số có giới hạn 0
Mọi| | đềunhỏhơnmộtsố
lim 0 d ơngnhỏtuỳýchotr ớc
kểtừmộtsốhạngnàođótrởđi
n
n
u
u

ữ
=
ữ
ữ

1
lim 0
n
=
2). Một số dãy số có giới hạn 0
3
1 1
).lim 0 ).lim 0a b
n n
= =
*Địnhlí1:(SGK)
sin
VD1:Chứngminhrằng:lim 0
n
n
=
sin
VD1:Chứngminhrằng:lim 0
n
n
=
Giải:
Hãyđiềnvàochỗtrốngđểđợc
mệnhđềđúng?

Hãyđiềnvàochỗtrốngđểđợc
mệnhđềđúng?
sin n
n
1
n
1
Và: lim
n
0
Theođịnhlí1tacó:
sin
lim
n
n
,
lim 0
lim 0
n n
n
n
u v n
u
v



=

=

=
= 0
Tiết60.Đ1.Dãy số có giới hạn 0
1). Định nghĩa dãy số có giới hạn 0
Mọi| | đềunhỏhơnmộtsố
lim 0 d ơngnhỏtuỳýchotr ớc
kểtừmộtsốhạngnàođótrởđi
n
n
u
u

ữ
=
ữ
ữ

1
lim 0
n
=
2). Một số dãy số có giới hạn 0
3
1 1
).lim 0 ).lim 0a b
n n
= =

*Địnhlí1:(SGK)
,
lim 0
lim 0
n n
n
n
u v n
u
v



=

=


1
VD2:Chứngminhrằng:lim 0,
k
k Z
n
+
=
1
VD2:Chứngminhrằng:lim 0,
k
k Z
n

+
=
Giải:
Hãyđiềnvàochỗtrốngđểđợc
mệnhđềđúng?
Hãyđiềnvàochỗtrốngđểđợc
mệnhđềđúng?
1
k
n
1
k
n
1
Và: lim
n
0
Theođịnhlí1tacó:
1
lim
k
n
1
n
=

=
= 0
Tiết60.Đ1.Dãy số có giới hạn 0
1). Định nghĩa dãy số có giới hạn 0

1
lim 0
n
=
2). Một số dãy số có giới hạn 0
3
1 1
).lim 0 ).lim 0a b
n n
= =
*Địnhlí1:(SGK)
,
lim 0
lim 0
n n
n
n
u v n
u
v



=

=


1
lim

2
n
1
lim
2
n

ữ

Theođịnhlí2tacó:
*Địnhlí2:(SGK)
Nếu <1thì lim 0
n
q q =
1
2
1
a)
b)
( )
2
lim
3
n
n

2
lim
3
n

ữ

VD:Hãyđiềnvàochỗtrốngđểđợc
mệnhđềđúng?
VD:Hãyđiềnvàochỗtrốngđểđợc
mệnhđềđúng?
<
=
= 0
=
=
0
Tiết60.Đ1.Dãy số có giới hạn 0
1). Định nghĩa dãy số có giới hạn 0
1
lim 0
n
=
2). Một số dãy số có giới hạn 0
3
1 1
).lim 0 ).lim 0a b
n n
= =
*Địnhlí1:(SGK)
,
lim 0
lim 0

n n
n
n
u v n
u
v



=

=


1
lim
4
n

=
ữ

Theođịnhlí2tacó:
*Địnhlí2:(SGK)
Nếu <1thì lim 0
n
q q =
5
4
n

n
cos

1
4
n
5
VD:Chứngminhrằng:lim 0
4
n
n
cos

=
5
VD:Chứngminhrằng:lim 0
4
n
n
cos

=
VD:Hãyđiềnvàochỗtrốngđểđợc
mệnhđềđúng?
VD:Hãyđiềnvàochỗtrốngđểđợc
mệnhđềđúng?
Giải:
1
4
n

ữ

1
vì 1
4
<
Theođịnhlí1tacó:
5
lim
4
n
n
cos

=

=
0
0