DAY SO CO GIOI HAN HUU HAN

1) ĐN dãy số có giới hạn hữu hạn
nội dung bài dạy
VD 1: Cho dãy số (u
n
) với u
n
= 3+ (-1)
n
/n.
Biểu diễn các số hạng của dãy số trên trục số:
u
2
u
1
3,5
2
3
u
3
u
4
2,67
3,25
u
5
2,8
u
6
3,17
u

7
2,86
u
8
2)Nếu biểu diễn các số hạng trên trục số,
khi n tăng thì khoảng cách từ u
n
đến 3 càng
nhỏ, hay các điểm u
n
chụm lại xung quanh
điểm 3.
Kết luận:
1) Dãy số (u
n
)

nói trên có giới hạn bằng 3.
1)Khi n tăng thì giá trị của các số hạng u
n

xấp xỉ gần bằng 3.
NX:
2) Dãy số (u
n
) có giới hạn là 3 dãy số
(u
n
-3) có giới hạn 0.
lim u

n
= L R lim (u
n
- L) = 0
Khi đó dãy số (u
n
) gọi là dãy số có
giới hạn hữu hạn

nội dung bài dạy
1) ĐN dãy số có giới hạn hữu hạn
lim u
n
= L R lim (u
n
- L) = 0
Khi đó dãy số (u
n
) gọi là dãy số có
giới hạn hữu hạn.

Muốn chứng minh dãy số (u
n
) có giới hạn
là L R, ta chứng minh dãy số (u
n
L) có
giới hạn 0
Nhận xét:

Lim u
n
= L khoảng cách từ điểm u
n
đến
điểm L trở lên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn
là n đủ lớn.

néi dung bµi d¹y
1) §N d·y sè cã giíi h¹n h÷u h¹n
lim u
n
= L  R lim (u
n
- L) = 0
Khi ®ã d·y sè (u
n
) gäi lµ d·y sè cã
giíi h¹n h÷u h¹n.

Muèn chøng minh d·y sè (u
n
) cã giíi h¹n
lµ L  R, ta chøng minh d·y sè (u
n
L) cã –
giíi h¹n 0.
VD2: Cho d·y sè (u
n
) víi u

n
=
Chøng minh r»ng: lim u
n
= 2
2 1n
n
+
VD4: Cho d·y sè (u
n
) víi u
n
= . CMR
lim u
n
= 3
( 1)
3
2 1
n
n
−
+
+
VD3: Cho d·y sè kh«ng ®æi (u
n
) víi u
n
= c, (c
lµ h»ng sè). CMR: lim u

n
= c.
VD5: D·y sè (u
n
), víi u
n
= (-1)
n
cã giíi h¹n
hay kh«ng?

nội dung bài dạy
1) ĐN dãy số có giới hạn hữu hạn
lim u
n
= L R lim (u
n
- L) = 0
Khi đó dãy số (u
n
) gọi là dãy số có
giới hạn hữu hạn
2) Một số định lí:
Giả sử lim u
n
= L, lim v
n
= M và c là
một hằng số. Khi đó:
Lim (u

n
+v
n
) = L + M
Lim (u
n
- v
n
) = L - M
Lim (u
n
.v
n
) = L.M
Lim (c.u
n
) = cL
Lim ( nếu M 0)


n
n
u
L
v M
=
Giả sử lim u
n
= L. Khi đó:
a) Lim | u

n
| = | L | và lim

b) Nếu u
n
0 n thì L 0 và lim
3
3
n
u L=
n
u L=
Định lý 2:
Định lý 1:
ýCác bước tìm giới hạn :
1) Chia cả tử và mẫu cho n có
luỹ thừa cao nhất.
2) Sử dụng định lí về các phép toán
giới hạn, đưa về giới hạn của một số dãy số
có giới hạn 0 đã biết

Các dãy số trên có dạng
1
1 0
*
1
1 0
, ; , ;
...
; ,

...
. 0
i j
p p
p p
n
q q
q q
p q
a b R i j N
a n a n a
u p q N
b n b n b
a b






+ + +

=

+ + +



VD 7: Tìm lim
2

2
3 1
4
n
n
+
+
VD 8: Tìm lim
4 3
4 3
3 2 5
2 3
n n n
n n
+ +
+
VD 9: Tìm lim
2
3 2
2
3 1
n
n n

+ +
= 3
= 1/2
= 0
( 1)
3

2 1
n
n

+
+
ýNX: lim u
n
=
p > q
p
q
a
b





nếu p = q
0 nếu

nội dung bài dạy
1) ĐN dãy số có giới hạn hữu hạn
lim u
n
= L R lim (u
n
- L) = 0
Khi đó dãy số (u

n
) gọi là dãy số có
giới hạn hữu hạn
2) Một số định lí:
ý Các bước làm:
1) Chia cả tử và mẫu cho n có luỹ thừa
cao nhất. 2)
Sử dụng định lí về các phép toán giới hạn,
đưa về giới hạn của một số dãy số có giới
hạn 0 đã biết.

Cho dóy s (u
n
), v i:
1
1 0
*
1
1 0
, ; , ;
...
; ,
...
. 0
i j
p p
p p
n
q q
q q

p q
a b R i j N
a n a n a
u p q N
b n b n b
a b






+ + +

=

+ + +



Giả sử lim u
n
= L, lim v
n
= M và c là
một hằng số. Khi đó:
Lim (u
n
+v
n

) = L + M
Lim (u
n
- v
n
) = L - M
Lim (u
n
.v
n
) = L.M
Lim (c.u
n
) = cL
Lim ( nếu M 0)


n
n
u
L
v M
=
Giả sử lim u
n
= L. Khi đó:
a) Lim | u
n
| = | L | và lim

b) Nếu u
n
0 n thì L 0 và lim
3
3
n
u L=
n
u L=
Định lý 2:
Định lý 1:
Phiu hc tp
ýNX: lim u
n
=
p > q
p
q
a
b





nếu p = q
0 nếu