Đạo hàm cấp hai (11 cơ bản)

Câu 1: Tìm vi phân của hàm số :

Câu 2: Tìm
(sinx)
d(cosx)
d
Giải :
Ta có :
=' osx-cosx+xsinx=xsinxy c
(xsinx)dxdy
⇒ =
= = = −
−
'
'
(sinx) (sinx) osx
cotx
d(cosx) sinx
( osx)
d dx c
c dx
y = sinx - xcosx
Giải :
Ta có :


Tính y

và đạo hàm của y

biết
a) y= x
3
- 5x
2
+ 4x
b) y= sin3x
Giải: a) y

= 3x
2
- 10x + 4
đạo hàm của y là 6x-10
b) y

= 3cos3x
đạo hàm của y là -9sin3x
I. Định nghĩa :
Gi s h.s y= f(x) cú o hm
ti mi im . Khi
ú,h thc y=f(x) xỏc nh mt
hm mi trờn khong (a;b).Nu
h.s y=f(x) li cú o hm ti x
thỡ ta gi o hm ca y l o
hm cp hai ca h.s y=f(x) v kớ
hiu l y hoc f(x).
-Đạo cấp 3 k/h là: y

hoặc f

(x)
hoặc f
(3)
(x)
-Đạo cấp n k/h là: y
(n)
hoặc f
(n)
(x)

( , 4)n n
Chú ý:

=
( ) ( 1) '
( ) ( ( ))
n n
f x f x
( )
;x a b

I. Định nghĩa :
Gi s h.s y= f(x) cú o hm
ti mi im . Khi
ú,h thc y=f(x) xỏc nh mt
hm mi trờn khong (a;b).Nu
h.s y=f(x) li cú o hm ti x
thỡ ta gi o hm ca y l o
hm cp hai ca h.s y=f(x) v kớ

hiu l y hoc f(x).
-Đạo cấp 3 k/h là: y

hoặc f

(x)
hoặc f
(3)
(x)
-Đạo cấp n k/h là: y
(n)
hoặc f
(n)
(x)

( , 4)n n
Chú ý:

=
( ) ( 1) '
( ) ( ( ))
n n
f x f x
( )
;x a b
VD: Cho y= x
5

a) Hãy điền vào bảng sau
y

y

y
(3)
y
(4)
y
(5)
y
(6)
y
(7)
4
5x
3
20x
2
60x
120x
120
0
0
b) Tính y
(100)
c) Bắt đầu từ n bằng bao nhiêu
thì y
(n)
bằng 0.
Giải:

b) y
(100)
= 0
c) n=6

C©u hái tr¾c nghiÖm :
H·y ®iÒn ®óng sai vµo « trèng
a) y=sinx cã y
’’
=sinx
b) y=sinx cã y’’ = -sinx
c) y=sinx cã y
(3)
=cosx
d) y=sinx cã y
(3)
= -cosx
S
§
S
§

I. Định nghĩa
II.ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp 2
1. ý nghĩa cơ học
Xét chuyển động có pt s=f(t)
Đã biết:
v(t)=f

(t) là vận tốc tức thời của

cđ tại thời điểm t
Tỉ số gọi là gia tốc trung
bình của cđ trong thời gian



v
t

t





= =
0
'( ) lim ( )
t
v
v t t
t
Ta gọi

=
,
( ) ( )v t t
là gia tốc tức thời của cđ tại thời
điểm t
Đạo hàm cấp hai f

(t) là gia tốc
tức thời của chuyển động s=f(t) tại
thời điểm t
Nên

=( ) ''( )t f t
2. Ví dụ
Xét chuyển động có pt:


= +
( ) sin( )
A, ,
s t A t
là những hằng số
Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm t
của chuyển động

I. Định nghĩa
II.ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp 2
1. ý nghĩa cơ học
Đạo hàm cấp hai f

(t) là gia tốc
tức thời của chuyển động s=f(t) tại
thời điểm t
2. Ví dụ
Xét chuyển động có pt:

= +
( ) sin( )
A, ,
s t A t
là những hằng số
Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm t
của chuyển động
Giải :
Vận tốc tức thời của cđ tại thời
điểm t là



= = +

+
'
,
( ) ( ) sin( )
=A cos( )

v t s t A t
t
Gia tốc tức thời của cđ tại thời
đi m t là


= =
+

,, ,
2
( ) ( ) ( )
= -A sin( )
t s t v t
t

Tóm tắt bài học
1. Đạo hàm cấp 1,2,3,4, ,n
y

, y

, y

, y
(4)
, , y
(n)

2. Pt chuyển động s=f(t)
Vận tốc tức thời của cđ tại
thời điểm t là
=
,
( ) ( )v t s t
Gia tốc tức thời của cđ tại thời
điểm t là

=

,,
( ) ( ) t s t

=
( ) ( 1) '
( )
n n
y y
Bài tập1:Tính y

biết
= +
2
) 1 b)y=tanx a y x x
Giải:
+
= + =
+ +
2 2
2
2 2
x 1 2x
) ' 1 +
1 1
a y x
x x
2
2
2
2

(1 2 )
4 1
1
''
1
x x
x x
x
y
x
+
+
+
=
+
+ +
=
+ +
2 2
2 2
4 (1 ) (1 2 )

(1 ) 1
x x x x
x x
+ +
2
2 2
x(3+2x )
=

(1 ) 1x x

Tóm tắt bài học
1. Đạo hàm cấp 1,2,3,4, ,n
y

, y

, y

, y
(4)
, , y
(n)

2. Pt chuyển động s=f(t)
Vận tốc tức thời của cđ tại
thời điểm t là
=
,
( ) ( )v t s t
Gia tốc tức thời của cđ tại thời
điểm t là

=
,,
( ) ( ) t s t

=
( ) ( 1) '

( )
n n
y y
Bài tập 1:Tính y

biết
= +
2
) 1 b)y=tanx a y x x
Giải:
=
'
2
1
)
cos
b y
x
= =
2 '
4 4
(cos ) 2cos sin
''
cos cos
x x x
y
x x
=
3
2sin

cos
x
x
Bài tập 2: Cho f(x)=(2x - 3)
5
.
Tính f

(3), f

(3)


Tóm tắt bài học
1. Đạo hàm cấp 1,2,3,4, ,n
y

, y

, y

, y
(4)
, , y
(n)

2. Pt chuyển động s=f(t)
Vận tốc tức thời của cđ tại
thời điểm t là
=

,
( ) ( )v t s t
Gia tốc tức thời của cđ tại thời
điểm t là

=
,,
( ) ( ) t s t

=
( ) ( 1) '
( )
n n
y y
Bài tập 2: Cho f(x)=(2x -3)
5
.
Tính f

(3), f

(3)

Giải: Ta có
f

(x)=5.2(2x-3)
4
=10(2x-3)
4

f(x)=80(2x-3)
3
f(x)=480(2x-3)
2
Từ đó f(3)=2160
f(3)=4320

Tãm t¾t bµi häc
1. §¹o hµm cÊp 1,2,3,4, ,n
y
’
, y
’’
, y
’’’
, y
(4)
, , y
(n)

2. Pt chuyÓn ®éng s=f(t)
VËn tèc tøc thêi cña c® t¹i
thêi ®iÓm t lµ
Gia tèc tøc thêi cña c® t¹i thêi
®iÓm t lµ
−
=
( ) ( 1) '
( )
n n

y y
=
,
( ) ( )v t s t
,,
) ( ( )t s t
γ
=
Bµi tËp 3: CMRvíi mäi ta cã
NÕu
=
1
( )f x
x
th×
+
−
=
( )
1
( 1) . !
( )
n
n
n
n
f x
x
1n ≥
Bµi tËp 4: Cho hµm sè :

(HD: c/m b»ng p
2
quy n¹p)
b) y = x.cosx . c/m :
2(y’ – cosx) – xy” – xy = 0
=
2
1
) (x +2x+2) c/m:
2
a y
2y.y” – (y’)
2
– 1 = 0
c) y=sinx .TÝnh y
(n)