Tiết 28, 29: Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Lớp:
12 A6 Sí
số : 45 Vắng:
0

Thứ hai ngày 25 tháng 11 năm 2008

Bằng hình ảnh trực quan, các em có liên tưởng
gì về ,mộtPHƯƠNGnTRÌNH MẶT PHẲNG
chiếc mà hình Tivi LCD
Hình ảnh về mặt hồ khi lặng gió.
Ax+By+Cz+D=0
Hình ảnh về các bức tường của ngôi
Hoặc gần lớpi 11 em đãlà chiếcmặng đeng trong.
GV: Ở gũ hơn nữa học về bả t phẳn ta học
nhà.
không gian, vậy để xác định một mp ta có các
cách sau.
HS: Các hình ảnh này cho ta thấy về một phần mặt
3 điểmng trong 1 điểm và gian. 2 đường thẳng 2 đường thẳng
phẳ không không một
đường thẳng
thẳng hàng

không thuộc nó

cắt nhau

song song

Ngoài các phương pháp trên hôm nay ta sẽ xác định
mp bằng phương pháp tọa độ trong không gian .



z
M0

α

x

O

r
n
M

d

y


Bằng trực quan em
thấy đường thẳng d
có mối đường
Nếu trênqh như thế
thẳngnào vớr(α)
d ta lấiy 1
vectơ n

r
Thì n như thế nào với (α)
r
Hs: d
n

Vậy bạn nào định nghóa
cho cô véc tơ pháp tuyến
của mặt phẳng (α).

d
r

α)

a
b .

n

.

r
Khi đó ta nói n là
(α)

véc tơ pháp tuyến
của mp (α)

Cho mp () nu vectơ n
khác vectơ 0 và có
giá vuông góc với ()
thì n được gọi là vectơ
pháp tuyến của mặt
phẳng ()
r
Ký hiệu: n ^ (a )

z

n



x

O

y


Coự voõ soỏ veực tụ phaựp tuyeỏn
r
A. Cả hai vectơ n và
của ().

r
v là vtpt

r
B. Vectơ u là vtpt của ()

r
C. Chỉ có vectơ n là vtpt của ()
D. Cả ba vectơ trên là vtpt
của ().

r
u

r
n


r
v

HÃytheo em một mặt
quan sát vào r
r
Baùn n choùn
Chú ý: nếuủaừ là véc tơ pháp tuyến vẽ và chọn nhiêu k ,0
() thì
hình của có bao k nvới
phẳng
cũng là vécSaipháp Hoõ củaphương án đúng
tơ
()

Hoan tuyến
vectơ ph¸p tun?
Đúng rồi


Trong không gian Oxyz cho

mặt phẳng () và hai véc
tơr không cùng phương
r
,
a = (a1;,a2 ; a3 ) b = (b1; b2 ; b3 )
có giá song song
hoặc nằm trong mặt
r phẳng () CMR :() nhận
véc n = (a btơ a b ; a b - a b ; a b - a b )
2 3

3 2

3 1

1 3

1 2

2 1

làm véc tơ pháp tuyến.
n vuoõng goực vụựi a

ta coự điều gì?

r
n

rHs:
r
a.n = 0

r
a
r

b
b’

a’

α
Em có:nhận xét gì về
Ta có
r r hệ giữa véctơ n với
quan
a.n = a1 (a2 b3 − a3 b2 )
hai vectơ a và b ?

2
r + ar (a3 b1 − a1b3 )
r r
Tr¶ lêi: n ^ (a bvµ n ^b b = 0

+ a3 a 1 2 − a2 1 )
rr
Tương tự b .n = 0


Véctơ n xác định như trên được gọi là tích có
hướng (hay tích véctơ) của hai véctơ a và b,

r r r
kí hiệu n = a Ù b Hoặc
L­u ý

r r r
n = é , bù
a
ê ú
ë û

æ 2 a3 a3 a1 a1 a2 ư
r r r
÷
é ; b ù (a b - a b ; a b - a b ; a b - a b ) = ỗa ;
÷
n=ê ú 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 ỗ
a =
;
ỗb b b b b b ứ
ở ỷ
ữ
ỗ 2 3 3 1 1 2ữ

ố

r
r
Hai vectơ a và b nói trên còn gọi là cặp vectơ chỉ phư
ơng của mặt phẳng ().
r
r r
n = [ a, b] là một vectơ pháp tuyến của ()
Vậy nếu A, B, C là ba điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng () thì

r
uur uuu
r
n = [ AB, AC ]

là một vectơ pháp tuyến của () .


1. Trong không gian
Oxyz cho ba điểm
A(2;-1;3), B(4;0;1),
C(-10;5;3). Hãy tìm vtpt
của mặt phẳng (ABC).

HD:

.

B(4;0;1)

n

.

A(2;-1;3)

r
r
r uuu uuu
n = AB ∧ AC = (12;24;24)

.

C(-10;5;3)


Trong hệ toạ độ Oxyz cho
mặt phẳng (),ủi qua ủieồm
Mo(xo;yo;zo)

vaứ nhận n(A;B;C) làm vtpt.
CMR đk cần và đủ để điểm
M(x;y;z)  () là :
A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=0
r
z

α

M0
x

O

n

M
y

Gi¶i:

⊂
M  () MoM
()
uuuuu r
r
r
r uuuuu
M 0M ^ n Û n M 0M = 0
 A(x-x0) + B(y -y0) + C(z-z0) = 0
Điểm M  ()
khi nào?


Trong không gian Oxyz
,CMR: tập hợp các điểm
M(x;y;z) thỏa mãn PT :
Ax+By+Cz=0
( trong đó các hệ số A,

B,C không đồng thời
bằng 0) là một MP nhận
n=(A;B;C) làm vtpt.
Vậy từ 2 bài toán trên
ta có định nghóa sau.

Chän M0(x0 ; y0 ; z0) sao cho:

Phương trình có dạng
Ax0 +B y0 + Cz0 + D = 0

Gọi (α)By mp đi+qua=M0
Ax + là + Cz D 0,
nhận n=(A;B;C) làm vtpt
Trong đó A ,B, C không
Ta có: M  () 
đồng +B(y-y n (z-z ) =
A(x-x0)thời bằ)+gCkhông, 0
0
0

được gọi là phương trình

 Ax+By+C z - Ax0-B y0 -C z0 = 0
tổng quát của mặt phaỳng.
Đặt bằng D
Ax + By+ C z + D = 0


r

n

2

Hãy tìm
Hãy tìm một vtpt của
vtpt
Để viết ptcủa
mp (α) 4x-2y-6z+7=0
(MNP)?
mp(MNP) ta
HD: n=(4;-2;-6)
cần xác định
các yếu tố
nào?
3
Lập pt tổng quát của
mp (MNP) vụựi M(1;1;1),
N(4;3;2), P(5;2;1)
HS :Can 1 VTPT

P
M

N

HD: MN=(3;2;1); MP(4;1;0)
Mặt phẳng (MNP) có vectơ
pháprtuyến là:
r

uuu uuu
r

n = [ MN , MP] =
ổ 1 1 3 3 2ử
ữ (- 1;4;- 5)
ỗ2
ữ
;
;
ỗ
ữ
ỗ1 0 0 4 4 1 ứ=
ữ
ỗ
ố

và đi qua điểm M nên có phương trình là:
-1(x 1) + 4(y - 5) -5 (z – 1) = 0
 x-4y+5z-2=0


Vaọy:
Nếu mặt phẳng () qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vtpt
thì phương trình của nó là:
A(x x0) + B(y y0) + C(z z0) = 0

Nếu mặt phẳng () là mặt phẳng có phươg trình: Ax +
r
By + Cz + D = 0 th× n = ( A; B; C ) lµ mét vtpt cđa nã.

Trong khoâng gian cho Oxyz cho mp (α) Ax
(1)
+ By + Cz + D = 0
a) Nếu D=0 : (α):đi qua gốc tọa độ
z
α

O
x

Ax+By +Cz=0

y


b) Nếu

 A = 0 thì mp(1) chứa hoặc song song với trục Ox.

z
B≠0

C ≠ 0


z

z

i

O

y

j

x
x
a) By+Cz+D=0 b) Ax+Cz+D=0

y

O

k

x
c) Ax+By+D=0

y


Hoạt động 4

α)

x

O

Cz+D=0

y
x

(α

(α

Nếu B = 0 hoặc C = 0 thì mặt phẳng (1) có đặc điểm
z
z
z
gì?
O
y
By+D=0

x

O
Ax+D=0

c) Nếu phương
trình mp có dạng : Cz + D = 0 thì mặt phẳng đó song
song hoặc trùng với mp (Oxy).

y


Hoạt động 5:Nếu A = C = 0 và B ≠ 0 hoặc B = C
= 0 và A ≠ 0 thì mặt phẳng (1) có đặc điểm gì?
* Nhận xét:
Neáu A , B , C , D ≠ 0 thì bằng cách đặt như sau :
D
D
D
a=−
; b=−
; c=−
A
B
C

ta có phương trình dạng :

x y z
+ + =1
a b c

và được gọi là phương trình của mặt phẳng theo đoạn
chắn (Hay nói cách khác phương trình trên là phương
mặt phẳng đi qua 3 điểm nằm trên 3 trục Ox , Oy , Oz
lần lượt là : (a ; 0 ; 0) , (0 ; b ; 0) , (0 ; 0 ;c)) .


Baứi taọp 1

Em hÃy lựa chọn phương trình mặt phẳng ë cét A sao cho
phï hỵp víi kÕt ln ë cét B:
Cét A
1. Ax+ By + Cz = 0
2. By + Cz + D = 0

Cét B
a. Song song víi trơc Ox
hc chøa trơc Ox
b. Song song víi mp Oxy
hc trïng víi mp Oxy

3. Ax + Cz + D = 0

c. Đi qua gốc toạ độ

4. Cz + D = 0

d. Song song víi trơc Oz
hc chøa trơc Oz
e. Song song víi trơc Oy
hc chøa trơc Oy


r
n

.

C

Bài 2 : Viết phương trình mặt phẳng

.A

.B

Đi qua 3 điểm
A(-1;0;0) , B(0;2;0),C (0;0;-5)
Bài giải
Vtpt n = [AB;AC]
AB = ( 1; 2 ; 0)
AC = ( 1; 0 ; -5)
Vtpt n = [AB;AC] = (-10 ; 5 ; -2)
(ABC) qua A(-1; 0; 0 )
Pt.(ABC) lµ : 10x – 5y + 2z – 10 = 0


Trong hệ toạ độ Oxyz cho
A( -1; 3; 0),B( 5; -7 ; 4)
Viết phương trình mặt phẳng trung
trực của đoạn AB
Bài giải

A

B

I

{
{

(P) thỏa mÃn
(P) thỏa mÃn

Qua I ?
1Vtpt n =?

Qua I (2;-2;2)
1Vtpt AB (6;-10;4)

Phương trình (P): 3x-5y +2z 20 = 0



Gọi (P) là mặt phẳng trung trực AB


Bài 3 : Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm M0 (3;0 ;-1) và song song
với mặt phẳng (Q) có phương trình:
4x -3y +7z +1 = 0

n

Bài giải
Mặt phẳng ()
Qua M0( 3;0;-1)
1vtpt ( 4;-3;7)

=> Phương trình ():
4x 3y +7z -5 = 0

P
Q

( 4;-3; 7 )