Tiết 39: Phương trình tổng quát của mặt phẳng - bai giảng nhất cụm thủy nguyên - 2005

Sở giáo dục và đào tạo HP
Đơn vị Trờng THPT Lý Thờng Kiệt

hình học 12
Tiết 39

Phươngưtrìnhưtổngưquátư
củaưmặtưphẳng
Giáo viên: Vũ Văn Ninh
Ngày d¹y: 01/03/2005


Kiểmưtraưbàiưcũ
Câu hỏi1: Các mệnh đề sau đúng hay sai ?
1/ Tồn tại duy nhất một mp() đi qua điểm M0

Đúng

và với đt cho trớc
2/ Tồn tại duy nhất một mặt phẳng đi qua ba
điểm cho trớc không thẳng hàng cho trớc
3/ Tồn tại duy nhất một mp đi qua một điểm cho

Sai
Đúng

trớc và // với 2 đt d vµ d’ (d (d  d’ ; d  d)
4/Có vô số các đờng thẳng cùng vuông góc

Đúng
Đúng

với một mặt phẳng cho trớc

a , b 0 thì a ; b cùng phơng
6/ Nếu AB, AC 0 thì A, B, C không thẳng hàng
5/ Nếu

Sai
Đúng
Đúng


Câu hỏi2: Trong mp với hệ toạ độ Oxy , viết phơng
trình tổng quát của đờng thẳng () đi qua ®iĨm Mo=
(xo, yo) vµ nhËn n = (A; B) (A2 +B2 0 ) làm véctơ
pháp tuyến.

Trả lời:

Phơng trình tổng quát của đờng thẳng đi qua điểm Mo=
(xo, yo) và có 1 vectơ pháp tuyến n = (A; B) là:
(): A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (A2 + B2  0)
 Ax + By + C = 0 Víi C y= - Axo - Byo
M0

n
x

O

()


Tiết 39: Phơng trình tổng quát của mặt phẳng

Một mặt phẳng có bao nhiêu
VTPT?
Các véctơ này có quan hệ với
nhau nh thế nào?
Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua
một điểm cho trớc và nhận một
véctơ cho trớc làm VTPT?
Vậy điểm M (P) thì ta cần có
đk gì?

I) Véc tơ pháp tuyến của mặt
phẳng: (VTPT)
1) ĐN1: (SGK)
n 0 0 là VTPT cña mf(P) n  (P)
k.n n

M  (P)
 M 0M  n
P

.M

.

M

o

NhËn xÐt
 NÕu n lµ VTPT cđa mf(P) thì k.n
(k 0) cũng là VTPT của mf (P)
Một mặt phẳng đợc xác định
khi ta biết một điểm vµ mét
VTPT


Tiết 39: Phơng trình tổng quát của mặt phẳng
I) Véc tơ pháp tuyến của mặt
phẳng: (VTPT)
1) ĐN1: (SGK)
n 0 0 lµ VTPT cđa mf(P) n  (P)
v
n
H·y nhËn xÐt u , v và VTPT n ?
P

.

ãu
M(x; y; z)
Mo

Nhận xét
Nếu n là VTPT của mf(P) thì k.n
(k 0) cũng là VTPT của mf (P)

Một mặt phẳng đợc xác định
khi ta biết một điểm và một
VTPT
2) ĐN2: cặp véc tơ chỉ phơng
(VTCP)
(SGK)
Nếu ( u, v ) là cặp VTCP của (P)
thì n = u , v là một VTPT cu¶
mf(P)


Tiết 39: Phơng trình tổng quát của mặt phẳng
II) Phơng trình tổng quát của mf
n
P

M0
M

1) a)
BàiĐL:toán:
Cho phẳng
mf(P) là
đi tập
qua
2)
Mỗi mặt
hợp
M(x; y; z) thoả
M0(x0;các

y0; zđiểm
0) và nhận n = (A; B; C)
mÃn:
Ax + By
+ Cz
= 0 (1)
làm vtpt.
HÃy
tìm+ Dđiều
kiện để
2
2
(A2 +y;Bz)
+C(P)
0) và ngợc lại tập
M(x;
hợp tất cả các điểm có toạ độ
thoả mÃn (1) là một mặt phẳng
ĐN: Khi đó (1) gọi là phơng trình
tổng quát của mặt phẳng
b) Chú ý: Mặt phẳng (P) đi qua
M0(x0; y0; z0) nhận n = (A; B; C)
làm VTPT có phơng trình:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
 (P): Ax + By + Cz + D = 0
th× (P) cã VTPT n = (A; B; C)


Tiết 39: Phơng trình tổng quát của mặt phẳng
II) Phơng trình tổng quát của mf

b) Chú ý: Mặt phẳng (P) ®i qua
M0(x0; y0; z0) nhËn n = (A; B; C)

Lời giải

làm VTPT có phơng trình:

(P) // (Q) (P) nhËn VTPT cña

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

(Q) n = (2; -1; 1) lµm VTPT

 (P): Ax + By + Cz + D = 0

 (P): 2(x - 0) - (y + 1) + z - 2 = 0

th× (P) cã VTPT n = (A; B; C)
VD1: ViÕt PT mf (P) ®i qua

 2x - y + z - 3 = 0

A(0; -1; 2) vµ song song víi
(Q): 2x - y + z = 0

P

A
n

Q


Tiết 39: Phơng trình tổng quát của mặt phẳng
II) Phơng trình tổng quát của mf
3) Các trờng hợp riêng:
Cho (P): Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2
 NÕu
 NÕu



0)

D = 0 th× (P): Ax + By + Cz = 0 (P) ®i qua gốc toạ độ O
A = 0, B 0, C  0 th× (P): By + Cz + D = 0 (P) // hc chøa Ox

NÕu B = 0, A  0, C  0 th× (P): Ax + Cz + D = 0 (P) // hc chøa Oy
NÕu C = 0, A  0, B  0 th× (P): Ax + By + D = 0 (P) // hc chứa Oz

z

n(0; B; C)
i
i
O

x

y n và mối quan hệ giữa

Em có nhận xét gì về toạ độ của VTPT
Em có nhận xét gì về mf(P) và gốc toạ độ O?
n và i . Từ đó suy ra mối quan hệ giữa (P) và Ox


Tiết 39: Phơng trình tổng quát của mặt phẳng
II) Phơng trình tổng quát của mf
3) Các trờng hợp riêng:
Cho (P): Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2



0)

 NÕu

D = 0: (P): Ax + By + Cz = 0

(P) đi qua gốc toạ độ O

 NÕu

A = 0, B  0, C  0 th× (P): By + Cz + D = (P) // hc chøa Ox

0

(P) // hc chøa Oy
NÕu B = 0, A  0, C  0 th× (P): Ax + Cz + D =

(P) // hc chøa Oz

0
 NÕu A = 0, B = 0, C  0 th× (P): Cz + D = 0 (P) // hc trïng víi (xOy)
NÕu C = 0, A  0, B  0 th× (P): Ax + By + C =
n(0; 0; C)
0
z

k
j O

i

x

Nhận xét về toạ độ của VTPT n và VTPT của (xOy)

y

Vậy mf (P) và (xOy) có quan hệ gì víi nhau


Tiết 39: Phơng trình tổng quát của mặt phẳng
II) Phơng trình tổng quát của mf
3) Các trờng hợp riêng:
Cho (P): Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2



0)

 NÕu

D = 0: (P): Ax + By + Cz = 0

(P) đi qua gốc toạ độ O

 NÕu

A = 0, B  0, C  0 th× (P): By + Cz + D = (P) // hc chøa Ox

0

(P) // hc chøa Oy
NÕu B = 0, A  0, C  0 th× (P): Ax + Cz + D =

(P) // hc chøa Oz
0
 NÕu A = 0, B = 0, C  0 th× (P): Cz + D = 0 (P) // hc trïng víi (xOy)
NÕu C = 0, A  0, B  0 th× (P): Ax + By + D =
z
0NÕu A, B, C, D  0: Khi ®ã mf(P) cã thĨ viÕt:
x y z
C c
   1 (*) (a; b; c 0)

a

b

c

ý: ph
Cho
A(a;
0; theo
0) B(0;
b; 0)chắn
(*) Chú
gọi là
ơng
trình
đoạn
C(0; 0; c). Thì (ABC) có PT dạng (*)

O

B tại điểm
O có (P) hay không, (P) cắt Ox, Oy, Oz
b
y
có toạ độ b»ng bao nhiªu?

A
a

x


Tiết 39: Phơng trình tổng quát của mặt phẳng
Ví dụ 1: Trong kh«ng gian víi hƯ trơc Oxyz cho 3 ®iÓm:

A(-1; 1; 2) ; B(-4; 3; 1) ; C(2; -1; 0) .
Lập phơng trình mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C.

n

Lêi gi¶i:
Ta cã : AB = (-3; 2; 1)
AC = (3; -2; 2)

B

A

AB , AC = (-6; -9; 0) = -3(2 ; 3; 0)
Mp(ABC) ®i qua A(-1; 1; 2) và
nhận n = (2; 3; 0) là vectơ pháp
tuyến. Suy ra phơng trình () là :
2(x + 1) + 3(y - 1) + 0.(z - 2) = 0
 2x + 3y - 1 = 0

C


Tiết 39: Phơng trình tổng quát của mặt phẳng
Ví dụ 2: Viết phơng trình của mặt phẳng trung trực của đoạn
thẳng AB với A(1; 3; -2), B(3; 1; 0)
Lời giải:
Gọi I là trung điểm của AB

31

x

2
I
2

31

2
y I
I (2; 2; -1)
2

 20

 z I  2  1
Mặt phẳng trung trực của AB đi qua

B


1
I nhận AB
2

I


A



= (1; -1; 1)

lµm VTPT vËy nã cã pt:
x  2   y  2  z  1 0  x  y  z  1 0


Tiết 39: Phơng trình tổng quát của mặt phẳng

Tổng kết :
- Nếu mặt phẳng () qua M (x0, y0 z0) và có một vectơ
pháp tuyến là n(A; B; C) thì phơng trình của nó là:
v
A(x - xo) + B(y - yo) + C(z - zo) = 0
n
- NÕu u vµ v là cặp vectơ chỉ ph
ơng của mặt phẳng () thì:
n = u , v là véc tơ pháp tuyến
của mặt phẳng ()

a

v
P

M

u

u

b


Tiết 39: Phơng trình tổng quát của mặt phẳng

Bài tập về nhà :
Bài tập sách giáo khoa : 2,3,5,8 / trang 82,83
Bài tập làm thêm :
1. Cho 2 mặt phẳng :
() : 2x + y - 3z + 1 = 0
( )

: -x + 4y + 1 = 0

và điểm M(0; -4;1).
Lập phơng trình mặt phẳng () qua M và vuông
góc với () và ( )


Chúc các vị đại biểu
các thầy cô giáo cùng các em học sinh
mạnh khoẻ, chúc hội thi giáo viên giỏi cụm
Thuỷ Nguyên thành công rực rỡ.

Xin chân thành cảm ơn!