căn bậc hai của số phức

Câu 1: Tìm căn bậc hai của
a) 4 b) 5
) ( ; 0) ) ( ; 0)c a a R a d a a R a
∈ > ∈ <
C©u 2: Chøng minh r»ng víi

2
z w=
) 4; 2
) 3; 3
) 3 4 ; (1 2 )
a w z i
b w z i
c w i z i
= − = ±
= − =±
=− + = ± +

1) Căn bậc hai của số phức
Cho số phức w. Mỗi số phức z thoả mãn được gọi
là một căn bậc hai của w
2
z w
=
Như vậy: Mỗi căn bậc hai của w là một nghiệm của phương trình
(với z là ẩn )
2
0z w− =

Làm thế nào để tìm
căn bậc hai của số
phức w ?
a) Trường hợp w là số thực
- Căn bậc hai của 0 là 0
- Xét số thực
2 2
2 2 2
2
z = a
0 × z ( )( ). ®ãz a =0
Ëy
0 × z a
a cã hai c¨n bËc hai lµ a µ
a cã hai c¨n bËc hai lµ . µ
= z ( ) ( . )( . )
.
®ã z 0
.
Ë .y
Khi a th a z a z a Do
z a
V
Khi a th ai z a i z a i
z a i
Do a khi
z
v a
a i v a
a i

iV

− > − = − + − ⇔

= −


− < − − − = − − + −

= −
− =

= − −
−
− −

−

Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của a) – 9
2
) ( ; 0)b a a R a− ∈ ≠

b) Tr'ờng hợp w là số phức w = a + bi
2 2
2 2 2
2 2
2 2
ọi z= x + yi ( x, y R ) là căn bậc hai của w
Ta có z = w (x + yi)
2

2
(*)
2
ải hệ (*) tìm cặp (x; y) ; Mỗi cặp (x;y ) cho ta một căn bậc hai

G
a bi
x xyi y i a bi
x y xyi a bi
x y a
xy b
Gi

= +
+ + = +
+ = +

=


=

x + yi của số phức a + bi

2 2 2
2 2
) ọi số phức x + yi (x, y R ) là căn bậc hai của số phức - 8 + 6i
Khi đó : ( x + yi ) 8 6 2 8 6
8 (1)
2 6 (2)

6 3
ừ ph'ơng trình ( 2) y = , ào ph'ơng trình (1 )
2x
a G
i x y xyi i
x y
xy
T thay v
x

= + + = +

=


=

=
2
2
4 2
2
2
2
1
9
8
8 9 0
9
Ta có hệ

3
3
3
1
1; 3
3
1; 3
ậy có hai căn bậc hai của -8 + 6i là 1 + 3i và -1 - 3i
x
x
x x
x
x
y
y
x
y
x
x
x
x y
x y
y
x
V


=

=
+ =




=



=

=

=





=
= =





= =
=

Vớ d 2: Tỡm cn bc hai ca s
a) -5 + 6i b) - i

2 2 2
2 2
) ọi số phức x + yi (x, y R ) là căn bậc hai của số phức - i
Khi đó : ( x + yi ) 2
0 (1)
2 1 (2)
-1
ừ ph'ơng trình ( 2) y = , ào ph'ơng trình (1 )
2x
Ta có hệ
b G
i x y xyi i
x y
xy
T thay v
x

= + =

=


=

2
2
2 2
2
2
2
1
1
2
1
4
1
1
2
2
2 1
2
1 1
1
;
2 2
2
1
1 1
;
2
2 2
1 1 -1 1
ậy có hai căn bậc hai của - i là à
2 2 2 2

x
x
y
x
x
y
y
x
x
y
x
x y
x
y
x y
x
V i v i


=





=
=

=





=

=




=





= =
=

=
= =




+

Vớ d 3 :
1 1
2 2
1 2
ết z 2 à một căn bậc hai của w 3 4
3 2 à một căn bậc hai của w 5 12
ãy tìm các căn bậc hai của w w
Bi i l i
z i l i
H
= + = +
= + = +
2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
ả lời:
Ta có (z ) w w ác căn bậc hai của w w à z
ậy hai căn bậc hai của w w à z (2 )(3 2 ) 4 7

à - z 4 7
Tr
z C l z
V l z i i i
v z i
=
= + + = +
=

Một số phức
Có mấy căn bậc hai và
các căn bậc hai đó có
tính chất gì?
- Mọi số phức có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau
khác 0
0z ≠
0z
≠
-§Æc biÖt: è thùc a >0 cã hai c¨n bËc hai lµ a vµ - a
è thùc a < 0 cã hai c¨n bËc hai lµ -a. µ - -a .
S
S i v i
−
−
- Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0

- ố 0 có căn bậc hai bằng 0
- Mọi số thực a > 0 có đúng hai căn
bậc hai là hai số đối nhau a à -
ăn bậc hai của số thực

a
ọi số thực a <0kh

ô
có tín
ng
h chất
có c

ăn bậc hai
S
v
M
C

- Số 0 có căn bậc hai là 0
- Mọi số phức w 0 có đúng hai căn bậc hai
là hai số đối nhau
:
w > 0
- Nếu (R C) thì w có đúng
ăn bậc hai của số phức:
Đặc biệt
hai
w R
căn bậc hai là hai số đối nhau là w
C
v

à - w
w < 0
ếu (R C ) thì w có đúng hai
w R
căn bậc hai là hai số đối nhau -w. à - -w .
N
i v i






Nội dung cần ghi nhớ
-
Khái niệm căn bậc hai của một số
-
- Cách tìm căn bậc hai của số
z C
∈
z C
∈