Chương 2:Bài toán đối ngẫu

1
BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU
1
Chương 2
NỘI DUNG CHƯƠNG
2.1 Ý nghĩa và cách lập bài toán đối ngẫu
2.2 Giải bài toán đối ngẫu
2.3 Ứng dụng của bài toán đối ngẫu
2
2
2.1 Ý nghĩa và cách lập bài toán đối ngẫu
 Xét bài toán sảnxuấttối ưu:
Có một đốitácđặtvấn đề mua toàn bộ nguyên
liệucủactyA.Hãylập bài toán định giá mua
ng/liệurẻ nhất.
12 3
123
123
12 3
234 max
2 3 10000
2 3 3 50000 (2.1.1)
2 3 4 30000
0, 1,2,3
j
Zxx x
xxx
xxx
xx x
xj






3
Ý nghĩa và cách lập bài toán đối ngẫu
Gọiy
i
, i=1,2,3 là giá mua 1 đ/vị nguyên liệu
đường, sữa, bộttương ứng.
Bài toán (2.1.1)’ gọilàBTĐNcủa (2.1.1).
123
123
123
12 3
10000 50000 30000 min
2 2 2
2 3 3 3 (2.1.1)
3 3 4 4
0, 1,2,3
i
Zyyy
yyy
yyy
yy y
yi

  






4
3
Lập bài toán đối ngẫu
Bài toán xuất phát(ĐNgẫu) Bài toán đối ngẫu (X.phát)
5
11
max
nn
Zcx cx 
11
min
mm
Zby by

 
1
,( 1, )
n
ij j i
j
ax b i m










0
0,( 1,)
tuøy yù
j
x
jn






1
,( 1, )
m
ij i j
i
ay c j n










0
0,( 1,)
tuøy yù
i
y
im






RBD ngược dấu RBC
RBC cùng dấu RBD x
j
Lập bài toán đối ngẫu
Ví dụ 2.1.1a Xét bài toán QHTT
6
12 3
123
123
12 3
28max
7 4 2 28
3 3 10
2 3 15
0, 1,3
j
Zxxx
xxx

xxx
xx x
xj


 


123
12 3
12 3
12 3
13
BTDN
28 10 15 min
7 3 2 2
4 3 1
2 3 8
0, 0
Zyyy
yy y
yy y
yy y
yy



 



4
Lập bài toán đối ngẫu
b)
7
123
12 3
123
12
13
12
23 min
2 2 2
4 3
2 4
2 5
, 0
Zx x x
xx x
xxx
xx
xx
xx
  

 
 


1234
123 4

12 3
12 4
13 24
2345 max
2 2 1
2 2 2
4 3
, 0; , 0
Zyyyy
yyy y
yy y
yy y
yy yy


   
 
 
  

BTĐN
Cặp ràng buộc đối ngẫu
 Trong mộtcặp bài toán đốingẫu, ta gọihairàng
buộcbất đẳng thức trong hai bài toán cùng tương
ứng vớimộtchỉ số(quy định dấulẫn nhau) là một
cặpràngbuộc đốingẫu.
8
5
Cặp ràng buộc đối ngẫu
Ví dụ 2.1.2 Ở ví dụ 2.1.1a thì có 5 cặp ràng buộc

đối ngẫu sau:
9
1123
2123
3123
123 1
12 3 3
0 7 3 2 2
0 4 3 1
0 2 3 8
742 28 0
23 15 0
xyyy
xyyy
xyyy
xxx y
xx x y
 
 
  
 

Các định lý đối ngẫu
Định lý đốingẫuyếu:
Nếu x*là phươngántùyýcủabàitoángốc(P)
và y*làphươngántùyýcủabàitoánđốingẫu
(D) thì Z(x*) ≤ Z’(y*).
Hệ quả 1:
Nếumột trong hai bài toán (củacặpbàitoánđối
ngẫu) có phương án tối ưu thì bài toán còn lại

cũng có phương án tối ưu.
10
6
Các định lý đối ngẫu
Hệ quả 2:
11
Nếu x
0
là PA của (P)
y
0
là PA của (D)
và Z(x
0
) = Z’(y
0
)






x
0
là PATƯ của (P)
y
0
là PATƯ của (D)




Các định lý đối ngẫu
Định lý đối ngẫu mạnh:
12
Nếu x
*
là PATƯ của (P)
y
*
là PATƯ của (D)
*
() (*)
Z
xZy





7
Các định lý đối ngẫu
Định lý độ lệch bù yếu:
Điềukiệncầnvàđủ để PA x
0
của bài toán (P) và
PA y
0
của bài toán (D) là là 2 PA tối ưulà:
13

00
1
00
1
0,( 1, )
0,( 1, )
m
jijij
i
n
ij j i i
j
x
ay c j n
ax b y i m




 
















Các định lý đối ngẫu
Hoặc phát biểutương đương:
Đkcầnvàđủ để x
0
và y
0
là PATƯ của bài toán (P)
và (D) tương ứng là trong từng cặpràngbuộc đối
ngẫucủacặpbàitoánđó: nếumộtràngbuộc(của
bài toán này) thỏamãnvớidấubất đẳng thứcthực
sự (thỏa mãn lỏng) thì ràng buộc còn lại(củabài
toán kia) phảithỏamãnvớidấu đẳng thức(thỏa
mãn chặt), i.e.,
14
8
Các định lý đối ngẫu
.
15
00 0 0
11
- Neáu 0 hay 0 thì
jjjmjmj
x
xayayc 
00 0

11
- Neáu + +a >(<) thì 0
iinnii
ax x b y


00 0 0
11
- Neáu 0 hay 0 thì
iii inni
y
yaxaxb 
00 0
11
- Neáu ( ) thì 0
( 1, ; 1, )
jmjmjj
ay ay c x
imjn
  


2.2 Giải BTĐN khi biết PATƯ BT gốc
Cho bt QHTT (P) và một PATƯ x
0
. Cần giải btdn
(D) của (P)?
Bước 1: Lập btđn (D) của (P)
Bước 2: Lập hệ pt tối ưu cho biến bt (D).
(dựa vào đlý độ lệch bù yếu)

-Giải hệ này tìm nghiệm y
0
.
Bước 3: Kết luận lời giải cho bt (D)
-Nếu y
0
thỏa các Rb còn lại của (D) thì
nó là PATƯ cần tìm của (D).
16
9
2.2 Giải BTĐN khi biết PATƯ BT gốc
Vi dụ 2.2.1:
Có phương án tối ưu la x
0
=(7,0,-9) . Hãy lập và
giải bài toán đối ngẫu của bài toán trên?
17
123
123
123
123
12 3
34 min
32415
2 5 8
4 2 2 10 (2.2.1)
, 0; 0
 
  
 



Zx xx
xxx
xxx
xx x
xx x
2.2 Giải BTĐN khi biết PATƯ BT gốc
BTĐN của bt (2.2.1) là:
123
123
123
123
12 3
34 min
32415
2 5 8
4 2 2 10 (2.2.1)
, 0; 0
 
  
 


Zx xx
xxx
xxx
xx x
xx x
18

1
2
3
y
y
y











12 3
15 8 10 maxZyyy


123
3243yyy


123
2 2 4yyy


123

4521yy y


123
,, 0yyy
10
2.2 Giải BTĐN khi biết PATƯ BT gốc
Do x
0
=(7,0,-9) là PATƯ của bt (2.2.1) nên theo
đlý đ.l.b.y ta có hệ:
Ta thấyy
0
=(1/5, 0, 9/10) thỏacácRBcủabtđn
nên nó là PATƯ củabtdnvà
19
123
123
2
324 3
4521
0
yyy
yy y
y

  

  





1
2
3
1/5
0
9/10
y
y
y








max
12Z


2.3 Ứng dụng của bài toán đối ngẫu
2.3.1 Giải bt QHTT bằng bài toán đối ngẫu.
2.3.2 Kiểm chứng tính tối ưu của một PA.
2.3.3 Tìm tập PATƯ của một bài toán QHTT
20
11

2.3.1 Giải bt QHTT bằng bài toán đối ngẫu
Cho bt QHTT (P) khó giải thì ta giải (P) thông qua
btđn(Q)của(P)như sau:
Bước1:Lậpbtđn(Q)của(P)
Bước2:Giải(Q)bằng PP đơnhình
-Nếu (Q) không có lờigiải(P)
không có lờigiải. KT
-Nếu(Q)cóPATƯ Bước3
21
2.3.1 Giải bt QHTT bằng bài toán đối ngẫu
Bước3:Lậphệ pt tối ưu cho biếnbt(P)(*)
(dựavàođịnh lý độ lệch bù yếu)
-Giảihệ này tìm nghiệm x
0
∈R
n
.
- x
0
thỏatấtcả các ràng buộccủa(P)thì` nó
là PATƯ của(P)
Chú ý: (*) là hệ pttt luôn hoặc có nghiệm duy nhất
hoặcvôsố nghiệm.
22
12
2.3.1 Giải bt QHTT bằng bài toán đối ngẫu
Đặcbiệt: PP này rấthiệuquả khi (P) có dạng
trường hợpnàythìbtđncủa (P2.3.1) có dạng
23
1

1
min,( 0)
,( 0),( 1, ) (P2.3.1)
0,( 1, )
n
jj j
j
n
ij j i i
j
j
Zcx c
ax b b i m
xjn


 




2.3.1 Giải bt QHTT bằng bài toán đối ngẫu
Giải (Q2.3.1) bằng cách thêm vào n biếnphụ
y
m+k
, (k=1, ,n) và dùng PP đơn hình.
Nếu(Q2.3.1)tối ưuthìcáchệ sốướclượng trong
bảng đơnhìnhtối ưu(
m+1
, , 

m+n
) ứng vớicác
biếnphụ y
m+k
là PATƯ của (P2.3.1)
24
1
1
max
, 1, (Q3.2.1)
0, 1,
m
ii
i
m
ji j j
i
i
Zby
ay c j n
yim








13

2.3.1 Giải bt QHTT bằng bài toán đối ngẫu
Ví dụ 2.3.1 Giải bt QHTT sau:
Chỉ cần thêm vào 3 biến phụ y
4
,y
5
,y
6
ta sẽ có bt
dạng chuẩn.
25
123
123
12 3
123
12 27 6 min
2 3 2 12
(P3.1) 3 6
6 9 2 24
0, 1,3
j
Zx xx
xx x
xx x
xxx
xj


 



12 3
123
123
123
12 6 24 max
2 6 12
3 3 9 27 (Q3.1)
2 2 6
0, 1,3
i
Zyyy
yyy
yy y
yyy
yi






btđn
2.3.1 Giải bt QHTT bằng bài toán đối ngẫu
Bảng 1
Do hệ số 
i
còn < 0 nên PA chưa tối ưu. Chon
y
3

vào cơ sở, y
4
ra khỏi cơ sở, phần tử trụ a
13
=6
26
CS c
B
PA y
1
y
2
y
3
y
4
y
5
y
6

j
126240 0 0
y
4
0122 1 6 10 02
y
5
02733901 03
y

6
0621200 13

i
0-12-6-24 00 0
14
2.3.1 Giải bt QHTT bằng bài toán đối ngẫu
Bảng 2
Do hệ số 
i
còn < 0 nên PA chưa tối ưu. Chon y
1
vào cơ sở, y
6
ra khỏi cơ sở, phần tử trụ a
31
=4/3
CS c
B
PA y
1
y
2
y
3
y
4
y
5
y

6

j
12 6 24 0 0 0
y
3
24 2 1/3 1/6 1 1/6 0 0 6
y
5
0 9 0 3/2 0-3/21 0-
y
6
024/3 2/3 0 -1/3 0 1 3/2

i
48 -4 -2 0 4 0 0
27
2.3.1 Giải bt QHTT bằng bài toán đối ngẫu
Bảng 3
Do 
i
 0, i nên PA đã tối ưu.
CS c
B
PA y
1
y
2
y
3

y
4
y
5
y
6

j
126240 00
y
3
24 3/2 0 0 1 1/4 0 -1/4 -
y
5
09 03/20-3/21 0-
y
1
12 3/2 1 1/2 0 -1/4 0 3/4 -

i
54 000303
28
15
2.3.1 Giải bt QHTT bằng bài toán đối ngẫu
PATƯ của btđn y
*
=(3/2, 0, 3/2).
Theo đlý độ lệch bù yếu ta có hệ:
Ta thấyx
*

=(3, 0, 3) thỏa các RB củabt(P3.1)nên
nó là PATƯ của bài toán và Z
min
=54.
29
123
123
2
23212
692 24
0
xx x
xxx
x








1
2
3
3
0
3
x
x

x








2.3.1 Giải bt QHTT bằng bài toán đối ngẫu
NX: Ta thấybt(P3.1)làtrường hợp đặcbiệtcủa
(P2.3.1) nên ta kếtluậnlờigiảicủanónhư sau:
Từ bảng tối ưu(bảng 3) ta có: (
4
,
5
,
6
)=(3,0,3)
nên PATƯ của(P3.1)là:x
*
=(3,0,3) và Z
min
=54.
30
16
2.3.2 Kiểm chứng tính tối ưu của một PA.
Cho bt QHTT (P) và một vector x
0
∈R

n
. Hỏi x
0
có
phải là PATƯ của (P) không?
Lời giải:
Bước 1: Kiểm tra x
0
có là PA của (P) không.
Nếu phảiBước 2
Bước 2: Lập btđn (Q) của (P). Giả sử x
0
là
PATƯ của (P).
Bước 3: Lập hệ PT tối ưu theo biến bt (Q).
31
2.3.2 Kiểm chứng tính tối ưu của một PA.
Giảihệ pt tối ưu tìm nghiệm:
-Nếuhệ vô nghiệm x
0
không là PATƯ
-Nếuhệ có nghiệmy
0
∈R
m
Bước4
Bước4:
-Nếuy
0
không thỏacácRBcònlạicủa(Q)

thì y
0
không là PA của(Q).Dođóx
0
không là
PATƯ của(P).
-Nếuy
0
thỏa các RB còn lạicủa(Q)thìnólà
PATƯ của(Q).Dođóx
0
là PATƯ của(P).
32
17
2.3.2 Kiểm chứng tính tối ưu của một PA.
Ví dụ 2.3.2: Cho bt QHTT sau và x
0
=(2,0,4,0)
Kiểmtraxemx
0
có phảilàPATƯ của (P2.3.2)
không?
33
1234
134
14
23 4
1234
2244 min
2 6

3 + 2 4 (P2.3.2)
4
, , , 0
    


 

Zxxxx
xxx
xx
xx x
xx xx
2.3.2 Kiểm chứng tính tối ưu của một PA.
Ta thấyx
0
thỏacácRBcủa (P2.3.2) nên nó là PA
của (P2.3.2).
BTĐNcủa (P2.3.2) là:
34
123
12
3
13
123
2
644 max
3 2
2
2 4 (Q2.3.2)

2 4
0
Zyyy
yy
y
yy
yyy
y


 




18
2.3.2 Kiểm chứng tính tối ưu của một PA.
Giả sử x
0
=(2,0,4,0) là PATƯ của (P2.3.2).
Theo đlý đ.l.b.y là có hệ:
y
0
= (2,0,0) thỏacácRBcủa (Q2.3.2) nên nó là
PATƯ của (Q2.3.2).
Do đóx
0
=(2,0,4,0) là PATƯ của bài toán (P2.3.2).
35
2

12
13
0
3 2
2 4
y
yy
yy



 




1
2
3
2
0
0
y
y
y









2.3.3 Tìm tập PATƯ của một bài toán QHTT
Trường hợpBTQHTT(P)cóvôsố PATƯ. Để tìm tập
PATƯ của bài toán ta làm như sau:
Bước1:Giải(P)bằng PP đơnhìnhđể tìm mộtPATƯ
x
0
của(P).
Bước2:DựavàoPATƯ x
0
vừa tìm đượcgiảiBTĐN
(Q) của (P) và tìm mộtPATƯ y
0
của(Q).
Bước3:DựavàoPATƯ y
0
lậphệ pt tối ưu cho biếnbt
(P). Hệ này là hệ pttt có vô số nghiệm. Tập
nghiệmcủahệ này thỏacácRBcủa(P)làtập
PATƯ cần tìm.
36
19
2.3.3 Tìm tập PATƯ của một bài toán QHTT
Ví dụ 2.3.3 Tím tậpPATƯ của bt QHTT sau:
Dùng PP hình họcdễ dàng ta tìm đượcmộtPATƯ
củabtlàx
*
=(-9/4, -5/2)

37
12
12
12
12
1
2 3 min
2 2
2 (P3.3)
2 3 12
1






Zxx
xx
xx
xx
x
2.3.3 Tìm tập PATƯ của một bài toán QHTT
BTĐN của (P3.3) là:
Do x
*
=(-9/4, -5/2) là PATƯ của (P3.3) nên theo đlý
đ.l.b.y ta có hệ
38
12 34

12 34
12 3
123 4
2212 max
2 2 2
3 3 (Q3.3)
, , 0, 0
Zyyyy
yy yy
yy y
yyy y

    
 
 

12 34
*
12 3
24
22 2
3 3 (0,0,1,0)
0, 0
yy yy
yy y y
yy

 

    





20
2.3.3 Tìm tập PATƯ của một bài toán QHTT
y
*
=(0,0,1,0) thỏa các RB của(Q3.3)nênnólà
PATƯ cùa (Q3.3). Theo đlý đ.l.b.y ta có hệ:
Tập nghiệm pt:
Để  là tậpPATƯ của(P3.3)thì phảithỏahệ
39

12
23 12xx


{( 6 3 / 2, )/ }



 
2( 6 3 / 2) 2
14 5
63/2 2
32
63/21

 



  

     


 

2.3.3 Tìm tập PATƯ của một bài toán QHTT
Tập PATƯ của (P3.3) là:
40
{( 6 3 / 2, ) / 14 / 3 5 / 2}


     