Hệ trục tọa độ trong không gian

Ch¬ngIII
Ph ¬ng ph¸p to¹ ®é trong kh«ng gian

HÖ to¹ ®é trong kh«ng gian

Ph ¬ng tr×nh mÆt ph¼ng

Ph ¬ng tr×nh ® êng th¼ng
Trô së liªn hîp quèc t¹i New York

1
Hệ toạ độ trong không gian
I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.
x Ox là trục hoành
Điểm O là
gốc toạ độ
yOy là trục tung
zOz là trục cao
y
i
r
j
r
k
r
O
x
z
x
z

y
1) Hệ toạ độ :
+) Điểm O đ ợc gọi là gốc toạ độ .
+) Trục xOx đ ợc gọi là trục hoành.
+) Trục yOy đ ợc gọi là trục tung.
+) Trục zOz đ ợc gọi là trục cao.
2 2 2
1, . . . 0i j k i j j k k i= = = = = =
r r r r r r r r r
i

j
r
k
r
+) , , là ba véc tơ đơn vị đôi một
vuông góc, ta có:
+) Các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).
+) Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn
đ ợc gọi là không gian Oxyz.
Ký hiệu: Oxyz.
Định nghĩa (SGK)

1
Hệ toạ độ trong không gian
I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.
1) Hệ toạ độ
E
M
O

y
x
z
i
j
k
Hoạt động 1: Trong không gian Oxyz cho một điểm M. Hãy phân
tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng , , đã cho trên
các các trục Ox; Oy; Oz.
j
r
k
r
i

OM
uuuur
Lời giải
Biểu diễn theo và ?
OM
uuur
OE
uuur
ON
uuur
Biểu diễn theo và ?
uuur
OE
uuur
OK

uuur
OH
Biểu diễn:
theo ?
theo ?
theo ?
r
i
+
uuur
) OK
+
uuur
) OH
r
j
+
uuur
) ON
r
k
Biểu diễn theo
uuur
OM
r
r r
i, j,k?
Ta có OM OE ON= +
uuuur uuur uuur
OE OH OK= +

uuur uuur uuur
. , . , .OK x i OH y j ON z k= = =
uuur r uuur r uuur r
Gọi K, H, N lần l ợt là hình chiếu của M
lên các trục Ox, Oy, Oz.
. . .
OM OK OH ON
x i y j z k
= + +
= + +
uuuur uuur uuur uuur
r r r
Vậy
K
x
H
y
N
z

2) Toạ độ của một điểm.
y
x
1
Hệ toạ độ trong không gian
I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.
. . .OM x i y j z k= + +
uuuur r r r
ĐN: Bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn
gọi là toạ độ của điểm M đối với hệ trục toạ độ Oxyz.

Viết M(x;y;z) hoặc M= (x;y;z).
Nhận xét: x; y; z là toạ độ t ơng ứng của các
điểm K; H; N. Trên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz
Trong không gian Oxyz cho
điểm M và 3 vectơ
không đồng phẳng. Có bao
nhiêu bộ 3 số (x; y; z) thoả
mãn:
. . . ?OM x i y j z k= + +
uuuur r r r
, ,i j k
r r r
Với bộ 3 số (x; y; z) có
bao nhiêu điểm M thoả
mãn
. . . ?OM x i y j z k= + +
uuuur r r r
O
z
i
j
k
M
E
H
K
N
x
y
z

2) Toạ độ của một điểm.
1
Hệ toạ độ trong không gian
I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.
Ví dụ1:

) 2 5 , 2a Cho OM i j k ON k j= + =
uuuur r r r uuur r r
Xác định toạ độ của các điểm M, N?

) điểm M(-2; 0; 0), N(0; -2; 1), P(-3; 2; 1)
Hãy biểu thị OM, ON và OP theo các vectơ đơn vị?
b Cho
uuuur uuur uuur
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz
Giải:

Vậy N(0;-1;2)
a) M(2;5;-1);
2. 0. 1. 2.ON k j i j k= = +
uuur r r r r r
) 2 , 2 , 3 2 .= = + = + +
uuuur r uuur r ur uuur r r r
b OM i ON j k OP i j k

Đ.án: Trong không gian cho 3 vectơ a, b, c không đồng phẳng.
Khi đó với mọi vectơ x ta đều đ ợc bộ 3 số m, n, p sao cho
x =ma+nb+pc. Ngoài ra bộ 3 số m, n, p là duy nhất.
r r r

r
r r r r
1
Hệ toạ độ trong không gian
I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.
Em hãy nêu định lý về
biểu diễn một vectơ theo
3 vectơ không đồng
phẳng?

3. Toạ độ của véc tơ
1 2 3
1 2 3 1 2 3
Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho vectơ a, khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ 3 số (a ; a ;a )
sao cho a= a i + a j + a k. Ta gọi bộ 3 số (a ; a ;a ) là toạ độ của vectơ a đối với
hệ toạ độ Oxyz
r
r r r ur r
1 2 3 1 2 3
. Viết a=(a ; a ;a ) hoặc a(a ; a ;a )
r r
1
Hệ toạ độ trong không gian
I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.
Nhận xét:
)Trong hệ toạ độ Oxyz, toạ độ của điểm M là toạ độ của vectơ OM.
Ta có: M= (x;y;z) OM = (x;y;z).
+

uuuur

uuuur
) i (1;0;0), j (0;1;0), k (0;0;1)+ = = =
r r r
) 0 (0;0;0).+ =
r

3. Toạ độ của véc tơ
1
Hệ toạ độ trong không gian
I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.
A
O
A
B
B
C
C
D
D
M
c
a
b
x
z
y
Hoạt động 2: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật
ABCD.ABCD có đỉnh A trùng với gốc O, có theo thứ tự
cùng h ớng với và có AB = a, AD =b, AA = c. Hãy tính toạ độ
các vectơ với M là trung điểm của CD.

Giải:
, , 'AB AD AA
uuur uuur uuur
, , ',AB AC AC AM
uuur uuur uuuur uuur
, ,i j k
r r r
( )
) , , ' ;0;0 .AB a i AD b j AA c k AB a+ = = = =
uuur r uuur r uuur r uuur
( )
) ; ;0 .AC AB AD ai b j AC a b+ = + = + =
uuur uuur uuur r r uuur
( )
) ' ' ' ; ; .AC AB AD AA ai b j c k AC a b c+ = + + = + + =
uuuur uuur uuur uuur r r r uuuur
) ' ' ' 'AM AD D M AD AA D M+ = + = + +
uuur uuuur uuuuur uuur uuur uuuuur
1
; ; .
2
AM a b c

=
ữ

uuur
Ta có:
, , 'AB AD AA
uuur uuur uuur

, , ',AB AC AC AM
uuur uuur uuuur uuur
, ,i j k
r r r
Hoạt động 2: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật
ABCD.ABCD có đỉnh A trùng với gốc O, có theo thứ tự
cùng h ớng với và có AB = a, AD =b, AA = c. Hãy tính toạ độ
các vectơ với M là trung điểm của CD.
, , 'AB AD AA
uuur uuur uuur
, , ',AB AC AC AM
uuur uuur uuuur uuur
, ,i j k
r r r
, , 'AB AD AA
uuur uuur uuur
, , ',AB AC AC AM
uuur uuur uuuur uuur
, ,i j k
r r r
, , 'AB AD AA
uuur uuur uuur
, , ',AB AC AC AM
uuur uuur uuuur uuur
, ,i j k
r r r
1 1
' .
2 2
AD AA AB b j c k ai= + + = + +

uuur uuur uuur r r r

1
HÖ to¹ ®é trong kh«ng gian
Trong mÆt ph¼ng víi hÖ trôc to¹ ®é Oxy cho
KiÕn thøc cò
1 2 1 2
a (a ; a ), b (b ;b )= =
r r
1 1 2 2
5) Víi b 0, a cïng ph ¬ng b k : a kb ,a kb .≠ ⇔∃ ∈ = =
r r r r
¡
1 1 2 2
2) a b (a b ; a b )− = − −
r r
1 2
3) k.a ( k a ; ka ), k= ∈
r
¡
1 1
2 2
a b
4) a b
a b
=

= ⇔

=


r r
1 1 2 2
1) a b (a b ; a b )+ = + +
r r
A A B B
B A B A
6) Trong mÆt ph¼ng víi hÖ Oxy cho A(x ; y ), B(x ; y ) th×
AB = OB -OA = (x -x ; y -y ).∗
uuur uuuur uuur
Ta cã:
A B A B
x + x y + y
To¹ ®é trung ®iÓm M cña AB: M( ; )
2 2
∗

1
Hệ toạ độ trong không gian
II- Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ
1 1 2 2 3 3.
2) Với b 0, a cùng ph ơng b k : a kb ,a kb ,a kb = = =
r r r r
Ă
1 1 2 2 3 3
2) a b (a b ; a b ;a b ). =
r r
1 2 3
3) ka (ka ; ka ;ka ), k=
r

Ă
1 1
2 2
3 3
a b
1) a b a b
a b
=


= =


=

r r
1 1 2 2 3 3
1) a b (a b ; a b ;a b ).+ = + + +
r r
A A A B B B
B A B A B A
3)Trong k/g với hệ Oxyz cho A(x ; y ;z ), B(x ; y ;z ) thì
) AB = OB -OA = (x -x ; y -y ;z -z ).+
uuur uuuur uuur
1 2 3 1 2 3
a (a ; a ;a ), b (b ;b ;b )= =
r r
Định lý: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ
Ta có:
Hệ quả:

+) Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là :
A B A B A B
x x y y z z
M( ; ; )
2 2 2
+ + +

1
Hệ toạ độ trong không gian
1 2 3 1 2 3
1 2 3
( ; ; ) ( ; ; )a a a a a a a a
a a i a j a k
=
= + +
r r
r r r r
Củng cố:
Qua bài học cần nắm đ ợc các kiến thức trọng tâm sau:
1) Định nghĩa hệ toạ độ
2)Toạ độ của một điểm.
. . .OM x i y j z k= + +
uuuur r r r
Bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn

gọi là toạ độ của điểm M đối với hệ
trục toạ độ Oxyz. Viết M(x;y;z) hoặc
M = (x;y;z).
I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.
3) Toạ độ của véc tơ

II- Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ
1 1 2 2 3 3.
2) Với b 0, a cùng ph ơng b k
saochoa kb , a kb , a kb

= = =
r r r r
Ă
1 1 2 2 3 3
2) a b (a b ; a b ;a b ). =
r r
1 2 3
3) ka (ka ; ka ;ka ), k=
r
Ă
1 1
2 2
3 3
a b
1) a b a b
a b
=


= =


=

r r

1 1 2 2 3 3
1) a b (a b ; a b ;a b ).+ = + + +
r r
A A A B B B
B A B A B A
A B A B A B
3)Cho A(x ; y ;z ), B(x ; y ;z )
AB = (x -x ; y -y ;z -z ).
Toạ độ trung điểm M của AB:
x + x y + y z z
M( ; ; ).
2 2 2


+
uuur
1 2 3 1 2 3
a (a ; a ;a ), b (b ;b ;b )= =
r r
Định lý: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ
Ta có:
Hệ quả:

1
Hệ toạ độ trong không gian
Câu hỏi thảo luận
Cho A(1;2; 3),B( 1;3; 4),C(5;0; 1).
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz
Nhóm 1, 2: a) Tìm toạ độ của các véc tơ:
1

AB, AC, v 3AB AC.
2
=
uuur uuur r uuur uuur
CMR :Ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Nhóm 3, 4: b)Xác định toạ độ trung điểm của đoạn thẳng BC
Đáp án:
a) AB ( 2;1; 1), AC (4; 2;2)= =
uuur uuur
1 1
3AB ( 6;3; 3), AC (2; 1;1), v 3AB AC ( 8;4; 4).
2 2
= = = =
uuur uuur r uuur uuur
Hai véc tơ cùng ph ơng vì
AB,AC
uuur uuur
AC 2.AB=
uuur uuur
b) Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng BC là:
3 5
M(2; ; )
2 2

Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng.

1
Hệ toạ độ trong không gian
Công việc về nhà:
Làm bài tập 1, 2, 3 SGK trang 68

Nghiên cứu phần III, IV SGK.
Ôn tập lý thuyết

Hệ trục tọa độ nh ta đã học còn đ ợc gọi là hệ trục tọa độ Đêcac
vuông góc, đó là tên của nhà toán học phát minh ra nó.
Một vài nét về nhà toán học Đêcac
1
Hệ toạ độ trong không gian
Đêcac (Descartes) sinh ngày 31/03/1596 tại
Pháp và mất ngày 11/02/1650 tại Thuỵ Điển.
Đêcac đã có rất nhiều đóng góp cho toán học.
Ông đã sáng lập ra môn hình học giải tích .Cơ sở
của môn này là ph ơng pháp toạ độ do ông phát
minh .Nó cho phép nghiên cứu hình học bằng
ngôn ngữ và ph ơng pháp của đại số.
Các ph ơng pháp toán học của ông đã có ảnh h ởng sâu
sắc đến sự phát triển của toán học và cơ học sau này.

Một vài nét về nhà toán học Đêcac
1
Hệ toạ độ trong không gian
17 năm sau ngày mất ,ông đ ợc đ a về Pháp và chôn
cất tại nhà thờ mà sau này trở thành điện
Păngtêông(Panthéon), nơi yên nghỉ của các danh
nhân n ớc Pháp.
Tên của Đêcác đ ợc đặt tên cho một miệng núi
lửa trên phần trông thấy của mặt trăng.

XIN CHN THNH CM N CC
THY Cễ GIO V CC EM HC SINH

Xin chân thành cảm ơn các thầy (cô) và các em học sinh
Xin chào và hẹn gặp lại !