Xet tinh don dieu bang pp tam thuc bac hai

Dành cho:
- h c sinh khá , gi iọ ỏ
-Thí sinh ôn thi đ i h cạ ọ


( )
( )
( )
( )
)
( ) ( )
x m x m
Ví dụ : Tìm m để hàm số : y
x m
đồng biến trên ;
Ví dụ : Tìm m để hàm số y x m x m m x
đồng biến trên ;
Ví dụ : Tìm m để hàm số y x m x m m x
đồng biến trên ;
Ví dụ : Tìm m để y
+ − + +
=
−
+∞
= − + − − + +

+∞

= − + + + +
 

 
2
3 2 2
3 2
2 1 1
1
1
2 1 2 3 2 1
2
1
3 1 2 7
3
4 9
4
( ) ( )
( )
)
x m x m x
đồng biến trên ;
mx x
Ví dụ : Tìm m để y
x
đồng biến trên ;
= − + − + + −
+ −
=
+

+∞


3 2
2
1
1 3 4
3
0 3
6 2
5
2
1
Các ví dụ min h họa

( )
) Kiến thức cần nắm :
Tam thức bậc hai : ax bx c a với b ac
TH : tam thức không đổi dấu . Cụ thể :
+ + ≠ ∆ = −
∆ <
2 2
1
0 4
1 0
−∞
TH : . Tam thức không đổi dấu :∆ =2 0
TH : . Tham thức đổi dấu qua x và qua x
Cụ thể :
∆ >
1 2
3 0
x

ax bx c+ +
2
+∞
cùng dấu với a
−∞
x
ax bx c+ +
2
+∞
cùng dấu với a
b
a
−
2
cùng dấu với a
0
−∞
x
ax bx c+ +
2
+∞
cùng dấu với a
x
1
cùng dấu với a
0
x
2
0
trái dấu với a

( )
( )
( ) ( )
Đề bài hay hỏi :
? Tìm m để hàm số y f x đồng biến trên khoảng , đoạn , nửa khảng K
?Tìm m để hàm số y f x nghòch biến trên khoảng,đoạn,nửa khảng K
Phương pháp hay sử dụng : Dựa vào lập luận :
Nếu hàm số f x có f ' x có n
=
=
= 0
( )
( )
( )
( )
( )
ghiệm hữu hạn . Khi đó:
Hàm số đồng biến trên K f ' x , x K
Hàm số nghòch biến trên K f ' x , x K
f ' x
Tìm m để t
Bươ
rên K làm cho
f ' x
Các bạn cần ph
ùc : xét dấu được f ' x
Bước : Dựa vào bảng xét dấu đó đ
ải :
− ⇔ ≥ ∀ ∈

− ⇔ ≤ ∀ ∈

≥


≤

0
0
1
2
0
0
( )
( )
ưa ra các điều kiện để nóquy đònh
f ' x
tập K làm cho bằng phương pháp trực quan
f ' x

≥


≤

0
0

( )
( )

x m x m
Ví dụ : Tìm m để hàm số : y
x m
đồng biến trên ;
+ − + +
=
−
+∞
2
2 1 1
1
1
Bài làm
Tập xác đònh : x m− ∀ ≠
( )
x mx m m
Ta có: y'
x m
− + − −
− =
−
2 2
2
2 4 2 1
( )
Nhận thấy : y' có tối đa nghiệm . Nên hs đb trên ;= +∞0 2 1
( )
hs xác đònh trên ;
x mx m m x


+∞

⇔

− + − − ≥ ∀ >


2 2
1
2 4 2 1 0 1
( )
m
x mx m m x *

≤

⇔

− + − − ≥ ∀ >


2 2
1
2 4 2 1 0 1
( )
( )
( )
Xét g x x mx m m với x và m
có ' m m m m
= − + − − ≥ > ≤

∆ = − − − = + ≥
2 2
2
2 2
2 4 2 1 0 1 1
4 2 2 1 2 1 0

( )
TH : m ' g x x m thỏa mãn yêu cầu= − ⇒ ∆ = ⇒ ≥ ∀ > ⇒ = −1 1 0 0 1 1
−∞
x
ax bx c+ +
2
+∞
+
x
1
+
0
x
2
0
−
( )
Xét g x x mx m m với x và m= − + − − ≥ > ≤
2 2
2 4 2 1 0 1 1
1
m
m

m m
m m m
m
m

− <

<

− −


⇔ − + ≥ ⇔ − + ≥
 
 
− ≠ ≤

− ≠ ≤


2
2
2 2 0
1
2 1
2 1 0 6 1 0
2
1 1
1 1
( )

TH : m và m
Bảng xét dấu g x là :
≠ − ≤2 1 1
( )
x x
x
x x
x x x x x
m
m
m

+ − <

− <
 
< ≤

⇔ ⇔ − ≤ ⇔ − + + ≥
  
− ≠ ≤

 
− ≠ ≤
− ≠ ≤


1 2
1
1 2

2 1 2 1 2
2 0
1 0
1
1 0 1 0
1 1
1 1
1 1

( )
m
m
m ; ;
m
m
Qua trường hợp tất cả các giátrò m cần tìm là :
m

<


 
≤ −
 
⇔ ∈ −∞ − + +∞ ⇔
 
 
≠ −





− ≠ ≤

≤ −
U
1
3 2 2
3 2 2 3 2 2
1
1 1
2
3 2 2

( )
( )
)
( )
( )
( )
( )
: Tìm m để hs y x m x m m x
đồng biến trên ;
: Chuẩn bò xuất trận :
Ta c
Ví
óy' x m x m m
với ' m m m m m
dụ
Bài làm

Bước
m
= − + − − + +

+∞

= − + − − +
∆ = + + − + = − + > ∀
3 2 2
2 2
2
2 2
1 2 3 2 1
2
3 2 1 2 3 2
1 3 2 3 2 7 7 7 0
2
1
−∞
x
y'
+∞
+
x
1
+
0
x
2
0

−
≤ 2
: Lập luận : ( chuyển đổi bài tBước oán )2
)
Hàm số đồng biến trên ;
x x

+∞

⇔ < ≤
1 2
2
1
Bảng xét dấu y' có dạng :⇒
m
Vì m m∆ = − < ⇒ − + >
2
147 0 7 7 7 0

Böôùc : Tìm m ?=3
( )
x x
x
x x
x x x x
x

+ − <

− <

 
< ≤ ⇔ ⇔
 
− + + ≥
− ≤




1 2
1
1 2
1 2 1 2
2
4 0
2 0
2
2 4 0
2 0
( )
( )
( )
( )
y' x m x m m
m
b
coù x x
a
m m
c

x x
a
= − + − − +
+
+ = − =
− − +
= =
2 2
1 2
2
1 2
3 2 1 2 3 2
2 1
3
2 3 2
3
( )
( )
m
m
m m
m
m m
m
m
m

+

− <


<

⇔ ⇔
 
+ − ≤
+

− +

− − + ≥



<

⇔ − ≤ ≤

− ≤ ≤


2
2
2 1
4 0
5
3
2 6 0
4 1
2 3 2

4 0
3 3
5
3
2
3
2
2
2

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Ví dụ
Bước Công tác Chuẩn bò trước khi đưa ra lập
: Tìm m để hàm số y x m x m m x
Đồng biến trên [ ; ]
Bài làm
:
Ta cóy' x m x m m
' m m m
x m
y'
x m
Bảng xét d
luận
ấu y' là :
:
= − + + + +
= − + + +

⇒ ∆ = + − + = >

=
= ⇔

= +

3 2
2
2
1
1 2 7
3
4 9
2 1 2
1 2 1 0
3
1
0
2
−∞
x
y'
+∞
+
x
1
+
0
x

2
0
−
;
 
 
4 9
;
 
 
4 9
Hàm số đồng biến trên [ ; ]
x x
x x

< ≤
⇔

≤ <


1 2
1 2
4 9
4
9
Bước : Tìm m ?=3
Bước Lập lu: :ận2
( )
m m

m ; ;
m m
 
+ ≤ ≤
 
⇔ ⇔ ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞
 
 
≤ ≥
 
2 4 2
2 9
9 9

( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
Bước : Xét dấ
Ví dụ : Tìm m để y x m x m x
đồng biến trên ;
Bài làm
Ta có: y' x m x m g x
Với ' m m m m m
Bảngxétdấ
u
u y' a
y
l ø :
'

= − + − + + −
= − + − + + =
∆ = − + + = − + > ∀
3 2
2
2
2
1
4 1 3 4
3
0 3
2 1 3
1 3 4 0
1
−∞
x
y'
+∞
−
x
1
−
0
x
2
0
+
( )
( ) ( )
1 2

1 2 1 2
1 2
Hàmsố đồng biến trên 0;3 y' 0 x 0
Bước2 : Dư
;3
TH1 : x 0;3 x
x 0 3
ïa vàodấu củay' Đưacáclập luận điều kho
x TH2 : x 0;3 x
TH3 :
ả
x
n
0
:
3 x
⇔ ≥ ∀ ∈

= ≤

⇔ ≤ < ≤ ⇔ ≤ =


< < <


( )
( )
1
2

1 2
m 3
g 0 0
0
x 0
1
: Khôngxảyr
Bước3 :Dựa vàolậpluận
Th1
tìm
a
x 3
x x 3
2 m 1
m ?
3

+


=
=
=
  
−
⇔ ⇔
  
≥
+ ≥






− ≥

=
( )
( )
2
1
1 2
7m 12 0
g 3 0
x 3
12
: m
2 m 1 3
7
x 0
x x
2
3
Th


 − =
=
=
  

⇔ ⇔ ⇔ =
  
− ≤
≤
+ ≤






( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
x x 0
x 0 x
: x 0 3 x
x x 3 x x 9 0
x 3 x
m 3
m 3
0
12
1
m
12

7
m 3
m
6 m
12
Vậy qua 3 trườnghợp tược
Th
1
7
1
3
9
m
0
7

<

< <
 
< < < ⇔ ⇔
 
− + + <
< <





+


> −
<

 
−
⇔ ⇔ ⇔ >
 
+
>
 
− − + <
−
≥




)
( )
Ví dụ :
Bài làm
mx x
Tìm m để y
x
nghòch biến trên ;
Tacó: Tậpxác đònh : x
mx mx
y'
x

+ −
=
+

+∞

− ∀ ≠ −
+ +
=
+
2
2
2
6 2
2
1
2
4 14
2
5
) ( )
Hàmsố nghòch biến trê
Bước : Đưa ra lậpluận
n ; g x mx mx
:
, x

+∞ ⇔ = + + ≤ ∀ ≥

2

1 4 1 0
1
4 1
( )
( )
TH : m .Khi đó: g x x
Bước : Phân chi
m khôngthỏamãnyêu cầu đề
Th : m .Bảng xét dấu g x
a các khả năngcó thểxẩy ra về hệ số m
là :
= > ∀ ≥ ⇒ =
>
1 0 0 1
0
2
0
2

−∞
x
( )
g x
+∞
+
x
1
+
0
x

2
0
−
( )
Th3 : m 0.Bảng xét dấu g x là<
−∞
x
( )
g x
+∞
−
x
1
−
0
x
2
0
+
( )
g x 0 x 1 là không xảy ra⇒ ≤ ∀ ≥
( ) ( )
1 2
1 1 2 1 2
x x 2 0
g x 0 x 1 x x 1 x x x x 1 0
m 0
4 2 0
14
5m 14

14 14
m
0
4 1 0 m
5
m
m 5
m 0
m 0
m 0
14
Vậyqua 3 trườnghợpta được : m
5

+ − <

≤ ∀ ≥ ⇔ < ≤ ⇔ − + + ≥


<


− − <


+

≤ −
≥
  

+ + ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ −
  
  
<
<


<


≤ −