CM BDDT bằng tam thức bậc hai

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - Lương Hiền An - Trường THCS Triệu Phước
DÙNG TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Dạng 1 : Sử dụng định lí thuận về dấu của tam thức bậc hai.
Bài 1. Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác còn x,y,z là ba số thỏa mãn điều kiện
ax + by + cz = 0.
Chứng minh : xy + yz +zx
≤
0 (1)
Bài giải:
Từ ax + by + cz = 0
Vậy: (1)
(2)
Nếu y = 0 thì (2)
=> (2) đúng => (1) đúng.
Nếu ,khi đó:
Quan niệm vế trái của (3) là tam thức bậc hai của có hệ số của là a > 0 và
Từ |b-c| < a => , tương tự và
Vậy
=> nên vế trái của (3) luôn >0
=> (3) đúng => (1) được chứng minh.
Dấu "=" xảy ra < = > x = y = z = 0
Bài 2. Cho và abc = 1.Chứng minh rằng:
Violet.vn/luonghienan Trang
1
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - Lương Hiền An - Trường THCS Triệu Phước
Từ abc = 1 và do nên chắc chắn a > 0.
Ta có:
(1)
Xét tam thức bậc hai
Ta có hệ số của là 1 > 0 và

Theo định lí thuận về dấu của tam thức bậc hai thì f(x) > 0 với mọi x
đúng
=> đpcm
Dạng 2.Sử dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai
Bài 1. Cho (a+c)(a+b+c)<0. Chứng minh:
Nếu a = 0 thì từ giả thiết ta có c(b+c)<0 (1)
Bất đẳng thức phải chứng minh có dạng (2)
Từ (1) suy ra b
≠
c vậy (2) đúng => đpcm.
Nếu a
≠
0 xét tam thức bậc hai sau:
Từ f(0) = a + b + c ; f(-1) = 2(a+c)
=> từ gải thiết ta có f(0)f(-1) < 0.Theo định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai
=> phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt .
Hay
Violet.vn/luonghienan Trang
2
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - Lương Hiền An - Trường THCS Triệu Phước
BÀI TẬP VẬN DỤNG
1. Cho các số a,b,c,d,m,n thảo mãn :
. Chứng minh rằng:
2. Chứng minh rằng với mọi a,b,c ta đều có:
Violet.vn/luonghienan Trang
3