PP TAM THUC BAC HAI

Phương pháp tam thức bậc hai trong chứng minh bất
đẳng thức
Trong chuyên đề này chúng ta sẽ sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để chứng
minh bất đẳng thức.Nội dung của chuyên đề này hết sức đơn giản đó là :
Đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng
Khi đó ta có thể xem vế trái của (*) là một tam thức bậc hai của một biến nào đó rồi sử
dụng định lí thuận hoặc định lí đảo của tam thức bậc hai để chứng minh (*).
Dạng 1 : Sử dụng định lí thuận về dấu của tam thức bậc hai.
Bài 1)Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác còn x,y,z là ba số thỏa mãn điều kiện
ax+by+cz=0.Chứng minh (1) Bài giải:
Từ ax+by+cz=0 Vậy:
(1)
(2)
Nếu y=0 thì (2) -->(2) đúng -->(1) đúng.
Nếu ,khi đó:
Quan niệm vế trái của (3) là tam thức bậc hai của có hệ số của là a>0 và
Từ |b-c|<a--> , tương tự và
Vậy --> nên vế trái
của (3) luôn >0-->(3) đúng -->(1) được chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=0
Bài 2)Cho và abc=1.Chứng minh rằng:
Từ abc=1 và do nên chắc chắn a>0.Ta có:
(1)
Xét tam thức bậc hai
Ta có hệ số của là 1>0 và
Theo định lí thuận về dấu của tam thức bậc hai thì f(x)>0 với mọi x
đúng-->dpcm
Dạng 2)Sử dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai
Bài 1)Cho (a+c)(a+b+c)<0.Chứng minh:
Nếu a=0 thì từ giả thiết ta có c(b+c)<0 (1)
Bất đẳng thức phải chứng minh có dạng (2)

Từ (1) suy ra vậy (2) đúng -->dpcm.
Nếu xét tam thức bậc hai sau:
Từ f(0)=a+b+c ; f(-1)=2(a+c) -->từ gải thiết ta có f(0)f(-1)<0.Theo định lí đảo về dấu của
tam thức bậc hai suy ra phương trình f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt .hay
Một số bài tập vận dụng:
1)Cho các số a,b,c,d,m,n thảo mãn :
.Chứng minh rằng:
2)Chứng minh rằng với mọi a,b,c ta đều có:
Trên đây là một trong những phương pháp chứng minh bất đẳng thức điển hình , rất mong
sau khi đọc xong bài viết này các bạn có thể vận dụng vào những bài bất đẳng thức thành
thạo hơn.